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2021 年普通高等学校招生全国统一考试 全国乙卷（理）
数学
一、选择题(本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．设2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，则z 等于( )
A．1－2i
B．1＋2i
C．1＋i
D．1－i
答案 C
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入2(z＋)＋3(z－)＝4＋6i，可得4a＋6bi＝4＋
6i，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.
2．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T 等于( )
A．∅ B．S C．T D．Z
答案 C
解析 方法一 在集合T 中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S 中，
s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以T∩S＝T.
方法二 S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T⊆S，所以
T∩S＝T.
3．已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1.则下列命题中为真命题的是(
)
A．p∧q
B．綈p∧q
C．p∧綈q
D．綈(p∨q)
答案 A
解析 由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p 为真命题．对
任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1 成立，故命题q 为真命题，所以命题p∧q 为真命题．
4．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1
B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1
D．f(x＋1)＋1
答案 B
解析 方法一 因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
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对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．
方法二 f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移
一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P 为B1D1的中点，则直线PB 与AD1所成的角为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 方法一 如图，
连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1 是正方体，且P 为B1D1 的中点，所以C1P⊥B1D1，又
C1P⊥BB1 ，所以C1P⊥平面B1BP. 又BP⊂平面B1BP ，所以C1P⊥BP. 连接BC1 ，则
AD1∥BC1，所以∠PBC1 为直线PB 与AD1 所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为
2，则在Rt△C1PB 中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.
方法二 以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间
直角坐标系(图略)，设正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为2，则B(0,0,2)，P(1,1,0)，
D1(2,2,0)，A(0,2,2)，PB＝(－1，－1,2)，AD1＝(2,0，－2)．设直线PB 与AD1所成的角为
θ，则cos θ＝＝＝.因为θ∈，所以θ＝.
方法三 如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，
则易知AD1∥BC1，所以直线PB 与AD1所成的角等于直线PB 与BC1所成的角．根据P 为正
方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P 为A1C1的中点．易知
A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝，又P 为A1C1的中点，所以可
得∠PBC1＝∠A1BC1＝.
6．将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，
每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有(
)
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
答案 C
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解析 根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，
可分两步进行安排：第一步，将5 名志愿者分成4 组，其中1 组2 人，其余每组1 人，共有
C 种分法；第二步，将分好的4 组安排到4 个项目中，有A 种安排方法．故满足题意的分
配方案共有C·A＝240(种)．
7．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右
平移个单位长度，得到函数y＝sin 的图象，则f(x)等于( )
A．sin
B．sin
C．sin
D．sin
答案 B
解析 依题意，将y＝sin 的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩
大到原来的2 倍，得到f(x)的图象，所以y＝sin
――――――――――――――――→y＝sin 的图象―――――――――――――――→f(x)＝sin 的图象．
8．在区间(0,1)与(1,2)中各随机取一个数，则两数之和大于的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 在区间(0,1)中随机取一个数，记为x，在区间(1,2)中随机取一个数，记为y，两数之
和大于，即x＋y>，则
在如图所示的平面直角坐标系中，
点(x，y)构成的区域是边长为1 的正方形区域(不含边界)，事件A“两数之和大于”即x＋
y>中，点(x，y)构成的区域为图中阴影部分(不含边界)，由几何概型计算公式得P(A)＝＝.
9．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高，
如图，点E，H，G 在水平线AC 上，DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高
度，称为“表高”，EG 称为“表距”，GC 和EH 都称为“表目距”，GC 与EH 的差称为
“表目距的差”，则海岛的高AB 等于( )
A.＋表高
B.－表高
C.＋表距
D.－表距
答案 A
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解析 因为FG∥AB，所以＝，所以GC＝·CA，因为DE∥AB，所以＝，所以EH＝·AH，
又DE＝FG，所以GC－EH＝(CA－AH)＝×HC＝×(HG＋GC)＝×(EG－EH＋GC)．由题设
中信息可得，表目距的差为GC－EH，表高为DE，表距为EG，则上式可化为，表目距的
差＝×(表距＋表目距的差)，所以AB＝×(表距＋表目距的差)＝＋表高．
10．设a≠0，若x＝a 为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A．a<b
B．a>b
C．ab<a2
D．ab>a2
答案 D
解析 方法一 (分类与整合法)因为函数f(x)＝a(x－a)2·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)
＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b)．令f′(x)＝0，结合a≠0 可得x＝a 或x＝.
(1)当a>0 时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，所以x＝a 为
函数f(x)的极大值点，满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R 上单调递增，无极值点，不满足题意；
③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以x＝a 为
函数f(x)的极小值点，不满足题意．
(2)当a<0 时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在上单调递增，所以x＝a 为
函数f(x)的极小值点，不满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R 上单调递减，无极值点，不满足题意；
③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，所以x＝a 为
函数f(x)的极大值点，满足题意．
综上，a>0 且b>a 满足题意，a<0 且b<a 也满足题意．因此，可知必有ab>a2成立．
方法二 当a＝1，b＝2 时，函数f(x)＝(x－1)2·(x－2)，画出该函数的图象如图1 所示，可
知x＝1 为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝1，b＝2 可判断选项B，C 错误；
当a＝－1，b＝－2 时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图象如图2 所示，可知x
＝－1 为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝－1，b＝－2 可判断选项A 错误．
图1 图2
方法三 当a>0 时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图3 所示，观察可知b>a.
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图3
当a<0 时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图4 所示，观察可知a>b.
图4
综上，可知必有ab>a2成立．
11．设B 是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足|PB|≤2b，则C 的
离心率的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 方法一 依题意，B(0，b)，设P(acos θ，bsin θ)，θ∈[0,2π)，因为|PB|≤2b，所以对
任意θ∈[0,2π)，(acos θ)2＋(bsin θ－b)2≤4b2恒成立，即(a2－b2)sin2θ＋2b2sin θ＋3b2－a2≥0
对任意θ∈[0,2π)恒成立．令sin θ＝t，t∈[－1,1]，f(t)＝(a2－b2)t2＋2b2t＋3b2－a2，则原问题
转化为对任意t∈[－1,1]，恒有f(t)≥0 成立．因为f(－1)＝0，所以只需－≤－1 即可，所以
2b2≥a2，则离心率e＝≤.
方法二 依题意，B(0，b)，设椭圆上一点P(x0，y0)，则|y0|≤b，＋＝1，可得x＝a2－y，则|
PB|2＝x＋(y0－b)2＝x＋y－2by0＋b2＝－y－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b 时，|PB|2＝
4b2，所以－≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝≤.
12．设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝－1，则( )
A．a<b<c
B．b<c<a
C．b<a<c
D．c<a<b
答案 B
解析 b－c＝ln 1.02－＋1，设f(x)＝ln(x＋1)－＋1，
则b－c＝f(0.02)，f′(x)＝－
＝，当x≥0 时，x＋1＝≥，故当x≥0 时，f′(x)＝≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
所以f(0.02)<f(0)＝0，即b<c.
a－c＝2ln 1.01－＋1，设g(x)＝2ln(x＋1)－＋1，则a－c＝g(0.01)，g′(x)＝－＝，当
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0≤x<2 时，≥＝x＋1，故当0≤x<2 时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0,2)上单调递增，所以
g(0.01)>g(0)＝0，故c<a，从而有b<c<a.
二、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C 的焦距为________．
答案 4
解析 双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my
＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距
为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.
14．已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案
解析 方法一 a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，即(1－3λ，3－
4λ)·(3,4)＝0，
∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
方法二 由(a－λb)⊥b 可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，从而λ＝＝＝＝.
15．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则
b＝________.
答案 2
解析 由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝
a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥
的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即
可．)
答案 ③④(答案不唯一，②⑤也可)
解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤
只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或
②⑤.若是③④，则原几何体如图1 所示；若是②⑤，则原几何体如图2 所示．
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三、解答题(共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题(共60 分)
17．(12 分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无
提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s 和s.
(1)求，，s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
解 (1)由表格中的数据易得
＝
＋10.0
＝10.0，
＝
＋10.0
＝10.3，
s ＝×[(9.7 －10.0)2 ＋2×(9.8 －10.0)2 ＋(9.9 －10.0)2 ＋2×(10.0 －10.0)2 ＋(10.1 －10.0)2 ＋
2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋
(10.6－10.3)2]＝0.04.
(2)由(1)中数据可得－＝10.3－10.0＝0.3，而2＝＝，显然有－>2 成立，所以认为新设备生
产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
18.(12 分)如图，四棱锥P－ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M 为
BC 的中点，且PB⊥AM.
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(1)求BC；
(2)求二面角A－PM－B 的正弦值．
解 (1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，PD⊥DC.
在矩形ABCD 中，AD⊥DC，故以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
设BC＝t，则A(t,0,0)，B(t,1,0)，M，P(0,0,1)，
所以PB＝(t,1，－1)，AM＝.
因为PB⊥AM，所以PB·AM＝－＋1＝0，得t＝，所以BC＝.
(2)易知C(0,1,0)，由(1)可得AP＝(－，0,1)，AM＝，CB＝(，0,0)，PB＝(，1，－1)．
设平面APM 的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则
即
令x1＝，则z1＝2，y1＝1，所以平面APM 的一个法向量为n1＝(，1,2)．
设平面PMB 的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则
即
得x2＝0，令y2＝1，则z2＝1，所以平面PMB 的一个法向量为n2＝(0,1,1)．
cos〈n1，n2〉＝＝＝，
所以二面角A－PM－B 的正弦值为.
19．(12 分)记Sn为数列{an}的前n 项和，bn为数列{Sn}的前n 项积，已知＋＝2.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求{an}的通项公式．
(1)证明 因为bn是数列{Sn}的前n 项积，
所以n≥2 时，Sn＝，
代入＋＝2 可得，＋＝2，
整理可得2bn－1＋1＝2bn，即bn－bn－1＝(n≥2)．
又＋＝＝2，所以b1＝，
故{bn}是以为首项，为公差的等差数列．
(2)解 由(1)可知，bn＝，则＋＝2，所以Sn＝，
当n＝1 时，a1＝S1＝，
当n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.
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故an＝
20．(12 分)设函数f(x)＝ln(a－x)，已知x＝0 是函数y＝xf(x)的极值点．
(1)求a；
(2)设函数g(x)＝，证明：g(x)<1.
(1)解 由题意得y＝xf(x)＝xln(a－x)，
则y′＝ln(a－x)＋x[ln(a－x)]′.
因为x＝0 是函数y＝xf(x)的极值点，
所以y′|x＝0＝ln a＝0，所以a＝1.
(2)证明 由(1)可知，f(x)＝ln(1－x)，其定义域为{x|x<1}，
当0<x<1 时，ln(1－x)<0，此时xf(x)<0，
当x<0 时，ln(1－x)>0，此时xf(x)<0.
易知g(x)的定义域为{x|x<1 且x≠0}，
故要证g(x)＝<1，只需证x＋f(x)>xf(x)，即证x＋ln(1－x)－xln(1－x)>0.
令1－x＝t，则t>0，且t≠1，
则只需证1－t＋ln t－(1－t)ln t>0，即证1－t＋tln t>0.
令h(t)＝1－t＋tln t，则h′(t)＝－1＋ln t＋1＝ln t，
所以h(t)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(t)>h(1)＝0，
即g(x)<1 成立．
21．(12 分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，且F 与圆M：x2＋(y＋4)2＝1 上点的距
离的最小值为4.
(1)求p；
(2)若点P 在M 上，PA，PB 是C 的两条切线，A，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．
解 (1)由题意知M(0，－4)，F，圆M 的半径r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得
p＝2.
(2)由(1)知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB 的斜率存在，设A，B，直线AB 的方程为y＝kx＋b，
联立消去y 得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b>0(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝4·.
因为x2＝4y，即y＝，所以y′＝，则抛物线在点A 处的切线斜率为，在点A 处的切线方程
为y－＝(x－x1)，即y＝x－，
同理得抛物线在点B 处的切线方程为y＝x－，
联立则
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即P(2k，－b)．因为点P 在圆M 上，
所以4k2＋(4－b)2＝1，①
且－1≤2k≤1，－5≤－b≤－3，
即－≤k≤，3≤b≤5，
满足(※)．
设点P 到直线AB 的距离为d，则d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4.
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，则t＝，且3≤b≤5.
因为t＝在[3,5]上单调递增，所以当b＝5 时，t 取得最大值，tmax＝5，此时k＝0，所以
△PAB 面积的最大值为20.
(二)选考题(共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．)
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10 分)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C(2,1)，半
径为1.
(1)写出⊙C 的一个参数方程；
(2)过点F(4,1)作⊙C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
这两条切线的极坐标方程．
解 (1)因为⊙C 的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C 的参数方程为(θ 为参数)．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线距离为2>r，舍去；
当直线斜率存在时，设切线y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，
故＝1，即|2k|＝，
4k2＝1＋k2，解得k＝±.
故直线方程为y＝(x－4)＋1 或y＝－(x－4)＋1.
故两条切线的极坐标方程为
ρsin θ＝ρcos θ－＋1 或
ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
即ρsin＝2－或ρsin＝2＋.
23．[选修4－5：不等式选讲](10 分)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.
(1)当a＝1 时，求不等式f(x)≥6 的解集；
(2)若f(x)>－a，求a 的取值范围．
解 (1)当a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，
即求|x－1|＋|x＋3|≥6 的解集，
当x≥1 时，2x＋2≥6，得x≥2；
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当－3<x<1 时，4≥6，此时没有x 满足条件；
当x≤－3 时，－2x－2≥6，得x≤－4.
综上，不等式f(x)≥6 的解集为{x|x≤－4 或x≥2}．
(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，
当且仅当(x－a)(x＋3)≤0 时，等号成立．
所以f(x)min＝|a＋3|>－a，
当a<－3 时，－a－3>－a，无解；
当a≥－3 时，a＋3>－a，解得a>－，
综上所述，a 的取值范围是.
