成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
2021 年普通高等学校招生全国统一考试 全国乙卷（文）
数学
一、选择题(本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则∁U(M∪N)等于( )
A．{5}
B．{1,2}
C．{3,4}
D．{1,2,3,4}
2．设iz＝4＋3i，则z 等于( )
A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i
3．已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1.则下列命题中为真命题的是(
)
A．p∧q
B．綈p∧q
C．p∧綈q
D．綈(p∨q)
4．函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是( )
A．3π 和
B．3π 和2
C．6π 和
D．6π 和2
5．若x，y 满足约束条件则z＝3x＋y 的最小值为( )
A．18 B．10 C．6 D．4
6．cos2 －cos2 等于( )
A. B. C. D.
7．在区间随机取一个数，则取到的数小于的概率为( )
A. B. C. D.
8．若x，y 满足约束条件则z＝3x＋y 的最小值为( )
A．18 B．10 C．6 D．4
9．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是( )
A．f(x－1)－1
B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1
D．f(x＋1)＋1
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P 为B1D1的中点，则直线PB 与AD1所成的角为( )
A. B. C. D.
11．设B 是椭圆C：＋y2＝1 的上顶点，点P 在C 上，则|PB|的最大值为( )
A. B. C. D．2
12．设a≠0，若x＝a 为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A．a<b
B．a>b
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
C．ab<a2
D．ab>a2
二、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.
14．双曲线－＝1 的右焦点到直线x＋2y－8＝0 的距离为________．
15．记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则
b＝________.
16．以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥
的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为________(写出符合要求的一组答案即
可．)
三、解答题(共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题(共60 分)
17．(12 分)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无
提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
10.2
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为s 和s.
(1)求，，s，s；
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果－≥2，则认为新
设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高)．
18.(12 分)如图，四棱锥P－ABCD 的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M 为BC 的中点，且
PB⊥AM.
(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD 的体积．
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
19．(12 分)设{an}是首项为1 的等比数列，数列{bn}满足bn＝.已知a1,3a2,9a3成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n 项和．证明：Tn<.
20．(12 分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F 到准线的距离为2.
(1)求C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ＝9QF，求直线OQ 斜率的最大值．
21．(12 分)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求曲线y＝f(x)过坐标原点的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标．
(二)选考题(共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分)
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10 分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心为C(2,1)，
半径为1.
(1)写出圆C 的一个参数方程；
(2)过点F(4,1)作⊙C 的两条切线，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求
这两条切线的极坐标方程．
23．[选修4－5：不等式选讲](10 分)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.
(1)当a＝1 时，求不等式f(x)≥6 的解集；
(2)若f(x)>－a，求a 的取值范围．
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
答案精析
1．A [方法一 (先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．
又全集U＝{1,2,3,4,5}，所以∁U(M∪N)＝{5}．
方法二 (先转化再求解)因为∁U(M∪N)＝(∁UM)∩(∁UN)，∁UM＝{3,4,5}，∁UN＝{1,2,5}，所
以∁U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．]
2．C [方法一 (转化为复数除法运算)因为iz＝4＋3i，所以z＝＝＝＝3－4i.
方法二 (利用复数的代数形式)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由iz＝4＋3i，可得i(a＋bi)＝4＋
3i，即－b＋ai＝4＋3i，所以
即所以z＝3－4i.
方法三 (巧用同乘技巧)因为iz＝4＋3i，所以iz·i＝(4＋3i)·i，所以－z＝4i－3，所以z＝3
－4i.]
3．A [由正弦函数的图象及性质可知，存在x∈R，使得sin x<1，所以命题p 为真命题．
对任意的x∈R，均有e|x|≥e0＝1 成立，故命题q 为真命题，所以命题p∧q 为真命题．]
4．C [因为函数f(x)＝sin ＋cos
＝
＝＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.]
5．C [方法一 (数形结合法)作出可行域如图中阴影部分所示，
作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y＝－3x＋
z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．
解方程组得即点A 的坐标为(1,3)．从而z＝3x＋y 的最小值为3×1＋3＝6.
方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以
只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．
易知直线x＋y＝4 与y＝3 的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4 与x－y＝2 的交点坐标为(3,1)，
直线x－y＝2 与y＝3 的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y 可得z 的
值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6.
方法三 (巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
因为y≤3，所以－2y≥－6.②
于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，
当且仅当x＋y＝4 且y＝3，即x＝1，y＝3 时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2 成
立．]
6．D [方法一 (公式法)因为cos ＝sin＝sin ，所以cos2 －cos2 ＝cos2 －sin2 ＝cos＝cos ＝.
方法二 (构造法)设cos2 －cos2 ＝a，sin2 －sin2
＝b，则a＋b＝－
＝1－1＝0，①
a－b＝－＝cos－cos＝cos －cos
＝2cos ＝，②
所以根据①＋②可得2a＝，即a＝，
即cos2 －cos2 ＝.
方法三 (代值法)因为cos ＝，cos ＝，所以cos2 －cos2
＝2－2＝.]
7．B [因为区间的长度为，区间的长度为，所以在区间随机取一个数，则取到的数小于的
概率P＝÷＝.]
8．C [方法一 (数形结合法)作出可行域如图中阴影部分所示，
作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A 时，直线y＝－3x＋
z 在y 轴上的截距最小，即z 最小．
解方程组得即点A 的坐标为(1,3)．从而z＝3x＋y 的最小值为3×1＋3＝6.
方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以
只需要比较三角形区域三个顶点处的z 的大小即可．
易知直线x＋y＝4 与y＝3 的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4 与x－y＝2 的交点坐标为(3,1)，
直线x－y＝2 与y＝3 的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y 可得z 的
值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6.
方法三 (巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①
因为y≤3，所以－2y≥－6.②
于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
当且仅当x＋y＝4 且y＝3，即x＝1，y＝3 时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2 成
立．]
9．B [方法一 因为f(x)＝，所以f(x－1)＝＝，f(x＋1)＝＝.
对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝－1＝，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；
对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝＋1＝，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；
对于C，f(x＋1)－1＝－1＝＝－，定义域不关于原点对称；
对于D，f(x＋1)＋1＝＋1＝＝，定义域不关于原点对称．
方法二 f(x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移
一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.]
10．D [方法一 如图，
连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1 是正方体，且P 为B1D1 的中点，所以C1P⊥B1D1，又
C1P⊥BB1 ，所以C1P⊥平面B1BP. 又BP⊂平面B1BP ，所以C1P⊥BP. 连接BC1 ，则
AD1∥BC1，所以∠PBC1 为直线PB 与AD1 所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为
2，则在Rt△C1PB 中，C1P＝B1D1＝，BC1＝2，sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.
方法二 如图所示，
连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB 与AD1所成的角等于直线PB
与BC1所成的角．根据P 为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共
线，且P 为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1
＝，又P 为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝∠A1BC1＝.]
11．A [方法一 (消元转化法)设点P(x，y)，则根据点P 在椭圆＋y2＝1 上可得x2＝5－5y2.
易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－
2y＋6＝－2.
当2y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.
方法二 (利用椭圆的参数方程)因为点P 在椭圆＋y2＝1 上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．
易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋
2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝－2.易知当2sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
PB|max＝.]
12．D [方法一 (分类与整合法)因为函数f(x)＝a(x－a)2·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－
b)＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b)．令f′(x)＝0，结合a≠0 可得x＝a 或x＝.
(1)当a>0 时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，所以x＝a 为
函数f(x)的极大值点，满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R 上单调递增，无极值点，不满足题意；
③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以x＝a 为
函数f(x)的极小值点，不满足题意．
(2)当a<0 时，
①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在上单调递增，所以x＝a 为
函数f(x)的极小值点，不满足题意；
②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R 上单调递减，无极值点，不满足题意；
③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，所以x＝a 为
函数f(x)的极大值点，满足题意．
综上，a>0 且b>a 满足题意，a<0 且b<a 也满足题意．因此，可知必有ab>a2成立．
方法二 当a＝1，b＝2 时，函数f(x)＝(x－1)2·(x－2)，画出该函数的图象如图1 所示，可
知x＝1 为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝1，b＝2 可判断选项B，C 错误；
当a＝－1，b＝－2 时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图象如图2 所示，可知x
＝－1 为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝－1，b＝－2 可判断选项A 错误．
图1 图2
方法三 当a>0 时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图3 所示，观察可知b>a.
图3
当a<0 时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图4 所示，观察可知a>b.
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
图4
综上，可知必有ab>a2成立．]
13．
解析 方法一 (定义法)因为a∥b，所以a＝kb，即(2,5)＝k(λ，4)，得解得
方法二 (结论法)因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，
解得λ＝.
14．
解析 由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐标为(3,0)，所
以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0 的距离d＝＝.
15．2
解析 由题意得S△ABC＝acsin B＝ac＝，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝
a2＋c2－2accos B＝12－2×4×＝8，则b＝2.
16．③④(答案不唯一，②⑤也可)
解析 根据“长对正、高平齐、宽相等”及图中数据，可知图②③只能是侧视图，图④⑤
只能是俯视图，则组成某个三棱锥的三视图，所选侧视图和俯视图的编号依次是③④或
②⑤.若是③④，则原几何体如图1 所示；若是②⑤，则原几何体如图2 所示．
17．解 (1)由表格中的数据易得
＝
＋10.0
＝10.0，
＝
＋10.0
＝10.3，
s ＝×[(9.7 －10.0)2 ＋2×(9.8 －10.0)2 ＋(9.9 －10.0)2 ＋2×(10.0 －10.0)2 ＋(10.1 －10.0)2 ＋
2×(10.2－10.0)2＋(10.3－10.0)2]＝0.036，
s＝×[(10.0－10.3)2＋3×(10.1－10.3)2＋(10.3－10.3)2＋2×(10.4－10.3)2＋2×(10.5－10.3)2＋
(10.6－10.3)2]＝0.04.
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
(2)由(1)中数据可得－＝10.3－10.0＝0.3，而2＝＝，显然有－>2 成立，所以认为新设备生
产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高．
18.(1)证明：平面PAM⊥平面PBD；
(2)若PD＝DC＝1，求四棱锥P－ABCD 的体积．
(1)证明 ∵PD⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，
∴PD⊥AM.
∵PB⊥AM，且PB∩PD＝P，PB⊂平面PBD，PD⊂平面PBD，
∴AM⊥平面PBD.
又AM⊂平面PAM，
∴平面PAM⊥平面PBD.
(2)解 ∵M 为BC 的中点，∴BM＝AD.
由题意知AB＝DC＝1.
∵AM⊥平面PBD，BD⊂平面PBD，∴AM⊥BD，
由∠BAM＋∠MAD＝90°，∠MAD＋∠ADB＝90°，得∠BAM＝∠ADB，
易得△BAM∽△ADB，∴＝，
即＝，得AD＝，
∴S 矩形ABCD＝AD·DC＝×1＝，
则四棱锥P－ABCD 的体积VP－ABCD＝S 矩形ABCD·PD＝××1＝.
19．(1)解 设{an}的公比为q，则an＝qn－1.
因为a1,3a2,9a3成等差数列，
所以1＋9q2＝2×3q，解得q＝，
故an＝，bn＝.
(2)证明 由(1)知Sn＝＝，
Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②得Tn＝＋＋＋…＋－，
整理得Tn＝－，
则2Tn－Sn＝2－＝－<0，故Tn<.
20．解 (1)由抛物线的定义可知，焦点F 到准线的距离为p，故p＝2，
所以C 的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知F(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则PQ＝(x2－x1，y2－y1)，QF＝(1－x2，－y2)，
因为PQ＝9QF，所以
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
可得
又点P 在抛物线C 上，所以y＝4x1，
即(10y2)2＝4(10x2－9)，化简得y＝x2－，
则点Q 的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ 的方程为y＝kx，易知当直线OQ 与曲线y2＝x－相切时，斜率可以取最大，
联立y＝kx 与y2＝x－并化简，得k2x2－x＋＝0，
令Δ＝2－4k2·＝0，解得k＝±，
所以直线OQ 斜率的最大值为.
21．解 (1)由题意知f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－2x＋a，对于f′(x)＝0，Δ＝(－2)2－
4×3a＝4(1－3a)．
①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增；
②当a<时，令f′(x)＝0，即3x2－2x＋a＝0，
解得x1＝，x2＝，
令f′(x)>0，则x<x1或x>x2；
令f′(x)<0，则x1<x<x2.
所以f(x)在(－∞，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增．
综上，当a≥时，f(x)在R 上单调递增；当a<时，f(x)在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
(2)记曲线y＝f(x)过坐标原点的切线为l，切点为P(x0，x－x＋ax0＋1)，
因为f′(x0)＝3x－2x0＋a，所以切线l 的方程为y－(x－x＋ax0＋1)＝(3x－2x0＋a)(x－x0)．
由l 过坐标原点，得2x－x－1＝0，解得x0＝1，所以切线l 的方程为y＝(1＋a)x.
令x3－x2＋ax＋1＝(1＋a)x，则x3－x2－x＋1＝0，解得x＝±1，所以曲线y＝f(x)过坐标原点
的切线与曲线y＝f(x)的公共点的坐标为(1,1＋a)和(－1，－1－a)．
22．解 (1)因为⊙C 的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C 的参数方程为(θ 为参数)．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线距离为2>r，舍去；
当直线斜率存在时，设切线y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，
故＝1，即|2k|＝，
4k2＝1＋k2，解得k＝±.
故直线方程为y＝(x－4)＋1 或y＝－(x－4)＋1.
故两条切线的极坐标方程为
ρsin θ＝ρcos θ－＋1 或
ρsin θ＝－ρcos θ＋＋1.
成就未来，新教育伴你成
长
www.
xinjiaoyu
.com
联系电话：400-186-9786
即ρsin＝2－或ρsin＝2＋.
23．解 (1)当a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，
即求|x－1|＋|x＋3|≥6 的解集，
当x≥1 时，2x＋2≥6，得x≥2；
当－3<x<1 时，4≥6，此时没有x 满足条件；
当x≤－3 时，－2x－2≥6，得x≤－4.
综上，不等式f(x)≥6 的解集为{x|x≤－4 或x≥2}．
(2)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，
当且仅当(x－a)(x＋3)≤0 时，等号成立．
所以f(x)min＝|a＋3|>－a，
当a<－3 时，－a－3>－a，无解；
当a≥－3 时，a＋3>－a，解得a>－，
综上所述，a 的取值范围是.
