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2021 年普通高等学校招生全国统一考试 全国甲卷（文）
数学
一、选择题(本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的)
1．设集合M＝{1,3,5,7,9}．N＝{x|2x>7}，则M∩N 等于( )
A．{7,9}
B．{5,7,9}
C．{3,5,7,9}
D．{1,3,5,7,9}
2．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的
调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5 万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5 万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5 万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5 万元至8.5 万元之间
3．已知(1－i)2z＝3＋2i，则z 等于( )
A．－1－i
B．－1＋i
C．－＋i
D．－－i
4．下列函数中是增函数的为( )
A．f(x)＝－x
B．f(x)＝x
C．f(x)＝x2
D．f(x)＝
5．点(3,0)到双曲线－＝1 的一条渐近线的距离为( )
A. B. C. D.
6．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和
小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L＝5＋lg V．
已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(
)
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
7.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E，F，G.该正方体截去三棱锥A－
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EFG 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是( )
8．在△ABC 中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC 等于( )
A．1 B. C. D．3
9．记Sn为等比数列{an}的前n 项和．若S2＝4，S4＝6，则S6等于( )
A．7 B．8 C．9 D．10
10．将3 个1 和2 个0 随机排成一行，则2 个0 不相邻的概率为( )
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
11．若α∈，tan 2α＝，则tan α 等于( )
A. B. C. D.
12．设f(x)是定义域为R 的奇函数，且f(1＋x)＝f(－x)．若f ＝，则f 等于( )
A．－ B．－ C. D.
二、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分)
13．若向量a，b 满足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，则|b|＝________.
14．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为________．
15.已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________.
16．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1 的两个焦点，P，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|
PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
三、解答题(共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23 题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题(共60 分)
17．(12 分)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两
台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200 件产品，产品的质量情况统计如下表：
一级品
二级品
合计
甲机床
150
50
200
乙机床
120
80
200
合计
270
130
400
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(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
18．(12 分)记Sn为数列{an}的前n 项和，已知an>0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：
{an}是等差数列．
19．(12 分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1B1B 为正方形，AB＝BC＝2，E，F 分
别为AC 和CC1的中点，BF⊥A1B1.
(1)求三棱锥F－EBC 的体积；
(2)已知D 为棱A1B1上的点，证明：BF⊥DE.
20．(12 分)设函数f(x)＝a2x2＋ax－3ln x＋1，其中a>0.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若y＝f(x)的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围．
21．(12 分)抛物线C 的顶点为坐标原点O，焦点在x 轴上，直线l：x＝1 交C 于P，Q 两点，
且OP⊥OQ.已知点M(2,0)，且⊙M 与l 相切．
(1)求C，⊙M 的方程；
(2)设A1，A2，A3是C 上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M 相切．判断直线A2A3与⊙M 的
位置关系，并说明理由．
(二)选考题(共10 分．请考生在第22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一
题计分．)
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10 分)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A 的直角坐标为(1,0)，M 为C 上的动点，点P 满足AP＝AM，写出P 的轨迹C1的参
数方程，并判断C 与C1是否有公共点．
23．[选修4－5：不等式选讲](10 分)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.
(1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象；
(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a 的取值范围．
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答案精析
1．B [由题意得集合N＝，所以M∩N＝{5,7,9}．]
2．C [对于A，根据频率分布直方图可知，家庭年收入低于4.5 万元的农户比率约为(0.02
＋0.04)×1×100%＝6%，故A 正确；对于B，根据频率分布直方图可知，家庭年收入不低
于10.5 万元的农户比率约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B 正确；对于
C，根据频率分布直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为3×0.02＋4×0.04＋
5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02
＋14×0.02＝7.68(万元)，故C 错误；对于D，根据频率分布直方图可知，家庭年收入介于
4.5 万元至8.5 万元之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，
故D 正确．]
3．B [z＝＝＝＝－1＋i.]
4．D [方法一 (排除法)取x1＝－1，x2＝0，对于A 项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A 项不
符合题意；对于B 项有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B 项不符合题意；对于C 项有f(x1)＝1，f(x2)
＝0，所以C 项不符合题意．
方法二 (图象法)如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D 四个选项中函数的大致图象，
即可快速直观判断D 项符合题意．]
5．A [由双曲线的方程知，a＝4，b＝3，焦点在x 轴上，所以双曲线的一条渐近线方程为
y＝x，即3x－4y＝0，由点到直线的距离公式得，点(3,0)到双曲线的一条渐近线的距离为
＝.]
6．C [4.9＝5＋lg V⇒lg V＝－0.1⇒V＝10－＝≈≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数
据约为0.8.]
7.D [根据题目条件以及正视图可以得到该几何体的直观图，如图，
结合选项可知该几何体的侧视图为D.]
8．D [由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3 或
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BC＝－5(舍去)．]
9．A [方法一 因为S2＝4，S4＝6，且易知公比q≠±1，所以由等比数列的前n 项和公式，
得
两式相除，得q2＝，
所以或
所以S6＝＝7.
方法二 易知S2，S4－S2，S6－S4构成等比数列，由等比中项得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，
即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.]
10 ．C [ 把3 个1 和2 个0 排成一行，共有10 种排法，分别是
00111,10011,11001,11100,01011,01101,01110,10101,10110,11010，其中2 个0 不相邻的排法
有6 种，分别是01011,01101,01110,10101,10110,11010，所以所求概率P＝＝0.6.]
11．A [方法一 因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二 因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α
＝，tan α＝＝.]
12．C [因为f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2
＋x)＝f(1＋(1＋x))＝f(－(1＋x))＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是以2 为周期的周
期函数．f ＝f ＝f ＝.]
13．3
解析 由|a－b|＝5 得(a－b)2＝25，即a2－2a·b＋b2＝25，结合|a|＝3，a·b＝1，得32－2×1
＋|b|2＝25，所以|b|＝3.
14．39π
解析 设该圆锥的高为h，则由已知条件可得×π×62×h＝30π，解得h＝，则圆锥的母线长
为＝＝，故该圆锥的侧面积为π×6×＝39π.
15.－
解析 方法一 (五点作图法)由题图可知T＝－＝(T 为f(x)的最小正周期)，得T＝π，所以
＝π，即ω＝2.
故f(x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，
即f(x)＝2cos，
所以f＝2cos＝－.
方法二 (平移法)由题意知，T＝－＝(T 为f(x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.
函数y＝2cos 2x 的图象与x 轴的一个交点是，对应函数f(x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x 轴的一
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个交点是，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x 的图象向右平移－＝个单位长度得
到的，所以f(x)＝2cos(2x＋φ)＝2cos＝2cos，所以f＝2cos＝－2cos ＝－.
16．8
解析 根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，
所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋
(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2
的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.
17．解 (1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是＝0.75，乙机床生产
的产品中一级品的频率是＝0.6.
(2)根据题表中的数据可得
K2＝＝≈10.256.
因为10.256>6.635，所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异．
18．证明 由题意可知，数列{}的首项为，设等差数列{}的公差为d，
则d＝－＝－＝，
所以＝＋(n－1)＝n，
即Sn＝a1·n2，
所以an＝
即an＝(2n－1)a1，
所以an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列．
19．(1)解 如图，取BC 的中点为M，连接EM，
由已知可得EM∥AB，AB＝BC＝2，CF＝1，EM＝AB＝1，AB∥A1B1，
由BF⊥A1B1得EM⊥BF，
又EM⊥CF，BF∩CF＝F，
所以EM⊥平面BCF，
故V 三棱锥F－EBC＝V 三棱锥E－FBC＝×BC×CF×EM＝××2×1×1＝.
(2)证明 连接A1E，B1M，由(1)知EM∥A1B1，
所以ED 在平面EMB1A1内．
在正方形CC1B1B 中，由于F，M 分别是CC1，BC 的中点，所以由平面几何知识可得
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BF⊥B1M，
又BF⊥A1B1，B1M∩A1B1＝B1，所以BF⊥平面EMB1A1，
又DE⊂平面EMB1A1，所以BF⊥DE.
20．解 (1)由题意得，f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2a2x＋a－＝＝，
则当x>时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
故函数f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为f ，
要使y＝f(x)的图象与x 轴没有公共点，只需f(x)的最小值恒大于0，即f >0 恒成立，
故a2·2＋a·－3ln ＋1>0，得a>，
所以a 的取值范围为.
21．解 (1)由题意知，直线x＝1 与C 交于P，Q 两点，且OP⊥OQ，设C 的焦点为F，P
在第一象限，
则根据抛物线的对称性，∠POF＝∠QOF＝45°，
所以P(1,1)，Q(1，－1)．
设C 的方程为y2＝2px(p>0)，则1＝2p，得p＝，
所以C 的方程为y2＝x.
因为圆心M(2,0)到l 的距离即⊙M 的半径，且距离为1，
所以⊙M 的方程为(x－2)2＋y2＝1.
(2)直线A2A3与⊙M 相切，理由如下：
设A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，
当A1，A2，A3中有一个为坐标原点，另外两个点的横坐标均为3 时，满足条件，此时直线
A2A3与⊙M 相切．
当x1≠x2≠x3时，直线A1A2：x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
则＝1，即(y－1)y＋2y1y2＋3－y＝0，
同理可得(y－1)y＋2y1y3＋3－y＝0，
所以y2，y3是方程(y－1)y2＋2y1y＋3－y＝0 的两个根，
则y2＋y3＝，y2y3＝.
直线A2A3的方程为x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
设点M 到直线A2A3的距离为d(d>0)，则d2＝＝＝1，即d＝1，
所以直线A2A3与⊙M 相切．
综上可得，直线A2A3与⊙M 相切．
22．解 (1)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，
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即x2＋y2＝2x，
整理得(x－)2＋y2＝2.
(2)设P 的坐标为(x，y)，
则AP＝(x－1，y)，因为AP＝AM，
所以AM＝，
所以M，
因为M 为C 上的动点，
所以2＋2＝2，
化简得(x＋－3)2＋y2＝4，
即P 点的轨迹C1的方程为(x＋－3)2＋y2＝4，
化成参数方程为
(t 为参数)，
圆心C1(3－，0)，r1＝2，
C(，0)，r＝，
因为|3－－|<2－，所以C 与C1没有公共点．
23．解 (1)f(x)＝
g(x)＝
作出图象，如图所示．
(2)由(1)得f(x)＝
函数f(x＋a)的图象即为将函数f(x)的图象向左或向右平移|a|个单位长度，
当a≤0 时，即为将函数f(x)的图象向右平移|a|个单位长度得到f(x＋a)的图象，此时函数f(x
＋a)的图象始终有部分图象位于函数g(x)的图象下方，无法满足f(x＋a)≥g(x)，
则要满足f(x＋a)≥g(x)，
需a>0，f(x＋a)＝|x＋a－2|，
当函数y＝|x＋a－2|的图象过点时，＝4，
解得a＝或a＝－(舍去)，
根据图象可得若f(x＋a)≥g(x)，则a≥，
即a∈.
