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专题04 分式单元综合提优专练（解析版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（2021·陕西九年级专题练习）方程
的解是（ ）
A．0
B．2
C．3
D．无解
【答案】D
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【详解】
解答：
去分母得：1+2(x−3)=4−x，
去括号得：1+2x−6=4−x，
解得：x=3，
经检验x=3 是增根，原分式方程无解．
故选D
【点睛】
本题考查解分式方程，解题关键是去分母和验根.
2．（2021·河北八年级月考）如果分式
的值为0，那么
的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-1 或1
D．1 或0
【答案】B
【分析】
根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．
【详解】
根据题意，得
|x|-1=0 且x+1≠0，
解得，x=1．
故选B．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子
为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
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3．（2021·河南）十堰即将跨入高铁时代，钢轨铺设任务也将完成．现还有
米的
钢轨需要铺设，为确保年底通车，如果实际施工时每天比原计划多铺设
米，就能提
前
天完成任务．设原计划每天铺设钢轨
米，则根据题意所列的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设原计划每天铺设钢轨
米，根据如果实际施工时每天比原计划多铺设
米，就能提
前
天完成任务可列方程．
【详解】
设原计划每天铺设钢轨
米，可得：
，
故选A．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出分式方程，关键是设出未知数以时间为等量关系列出方程．
4．（2021·全国九年级专题练习）已知关于
的分式方程
的解是非正数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m 的范围即可
【详解】
，
方程两边同乘以
，得
，
移项及合并同类项，得
，
分式方程
的解是非正数，
，
，
解得，
，
故选A．
【点睛】
此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则求出m 的值
5．（2021·浙江七年级专题练习）化简
的结果是( )
A．x+1
B．
C．x-1
D．
【答案】A
【分析】
根据同分母分式相减，分母不变，将分子相减，再将分子利用平方差公式分解因式，
然后约分即可化简.
【详解】
解：原式=
.
故答案为A
【点睛】
此题考查分式的加减法，解题关键在于掌握运算法则.
二、填空题
6．（2018·南昌市第十九中学八年级期末）（2011 贵州安顺，14，4 分）某市今年起调
整居民用水价格，每立方米水费上涨20%，小方家去年12 月份的水费是26 元，而今
年5 月份的水费是50 元．已知小方家今年5 月份的用水量比去年12 月份多8 立方米，
设去年居民用水价格为x 元/立方米，则所列方程为________________．
【答案】
【分析】
本题需先根据已知条件，设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程，即可求出
答案．
【详解】
解：设去年居民用水价格为x 元/立方米，根据题意得：
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故答案为
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，在解题时要能根据题意找出题目中的等
量关系是本题的关键．
7．（2021·安徽九年级三模）若关于x 的分式方程
有增根，则m 的值
为_______．
【答案】1
【分析】
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让
最简公分母
，得到
，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．
【详解】
解：方程两边都乘
，得
∵原方程有增根，
∴最简公分母
，
解得
，
当
时，
故m 的值是1，
故答案为1
【点睛】
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0 确
定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
8．（2021·全国九年级专题练习）甲、乙两辆汽车同时从
地出发，开往相距
的
地，甲、乙两车的速度之比是
，结果乙车比甲车早
分钟到达
地，则甲车
的速度为_____
．
【答案】80
【分析】
设甲车的速度为
，则乙车的速度为
，根据乙车比甲车早30 分钟到达
B 地列方程求解即可.
【详解】
设甲车的速度为
，则乙车的速度为
，
依题意，得
，
解得：
，
经检验，
是原方程的解，且符合题意，
故答案为80.
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.注意分
式方程要验根.
三、解答题
9．（2021·江苏九年级零模）班级组织同学乘大巴车前往“研学旅行”基地开展爱国
教育活动，基地离学校有90 公里，队伍8：00 从学校出发．苏老师因有事情，8：30
从学校自驾小车以大巴1.5 倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前15
分钟到达基地．问：
（1）大巴与小车的平均速度各是多少？
（2）苏老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？
【答案】（1）大巴的平均速度为40 公里/时，则小车的平均速度为60 公里/时；（2）
苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30 公里
【分析】
（1）根据“大巴车行驶全程所需时间=小车行驶全程所需时间+小车晚出发的时间+小
车早到的时间”列分式方程求解可得；
（2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间+小车晚出发时间=大巴车从学校到相遇
点所用时间”列方程求解可得．
【详解】
（1）设大巴的平均速度为x 公里/时，则小车的平均速度为1.5x 公里/时，根据题意，
得：
=
+
+
解得：x=40．
经检验：x=40 是原方程的解，∴1.5x=60 公里/时．
答：大巴的平均速度为40 公里/时，则小车的平均速度为60 公里/时；
（2）设苏老师赶上大巴的地点到基地的路程有y 公里，根据题意，得：
+
=
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解得：y=30．
答：苏老师追上大巴的地点到基地的路程有30 公里．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，
并依据相等关系列出方程．
10．（2021·广东九年级专题练习）已知T
．
（1）化简T；
（2）若正方形ABCD 的边长为a，且它的面积为9，求T 的值．
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】
（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；
（2）由正方形的面积求出边长a 的值，代入计算即可求出T 的值．
【详解】
（1）T
；
（2）由正方形的面积为9，得到a＝3，则T
．
【点睛】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．（2021·广水市教学研究室八年级期末）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一
个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12 趟可完成，需支付运费4800
元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2 倍，且乙车每趟运
费比甲车少200 元．
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？
【答案】（1）甲车单独运完需18 趟，乙车单独运完需36 趟；
（2）单独租用一台车，租用乙车合算．
【分析】
（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x 趟，根据
总工作效率
得出等式方程求出即可．
（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12
趟可完成，需支付运费4800 元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所
需费用进行比较即可．
【详解】
解：（1）∴甲车单独运完此堆垃圾需运x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x 趟，
根据题意得出：
，
解得：x=18，则2x=36．
经检验得出：x=18 是原方程的解．
答：甲车单独运完需18 趟，乙车单独运完需36 趟；
（2）设甲车每一趟的运费是a 元，由题意得：
12a+12（a
200
﹣
）=4800，
解得：a=300．
则乙车每一趟的费用是：300
200=100
﹣
（元），
单独租用甲车总费用是：18×300=5400（元），
单独租用乙车总费用是：36×100=3600（元）．
3600
∵
＜5400，故单独租用一台车，租用乙车合算．
12．（2021·陕西八年级期末）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200 元购
进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求．商家又用28800 元购进了第二批这种衬衫，
所购数量是第一批购进量的2 倍，但单价贵了10 元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫
全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少
元？
【答案】（1）120 件；（2）150 元．
【详解】
试题分析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进第二批这种衬衫可设为2x
件，由已知可得，，这种衬衫贵10 元，列出方程求解即可.（2）设每件衬衫的标价至
少为a 元，由（1）可得出第一批和第二批的进价，从而求出利润表达式，然后列不等
式解答即可.
试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是
件，则第二批衬衫是
件.
由题意可得：
，解得
，经检验
是原方程的根.
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（2）设每件衬衫的标价至少是
元.
由（1）得第一批的进价为：
（元/件），第二批的进价为：
（元）
由题意可得：
解得：
，所以，
，即每件衬衫的标价至少是150 元.
考点：1、分式方程的应用 2、一元一次不等式的应用.
13．（2021·全国）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：
.
（1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；
（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是
，原分式方程无解”，
请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？
【答案】（1）
;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.
【分析】
（1）“？”当成5，解分式方程即可，
（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2 代入即可解答.
【详解】
（1）方程两边同时乘以
得
解得
经检验，
是原分式方程的解.
（2）设？为
，
方程两边同时乘以
得
由于
是原分式方程的增根，
所以把
代入上面的等式得
所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.
【点睛】
本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的
使分式方程的分母为0 的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方
程； ②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14．（2020·广西八年级期末）老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后
用字母A 代替了原代数式的一部分，如下：
（1）求代数式A，并将其化简；
（2）原代数式的值能等于
吗？请说明理由．
【答案】（1）A＝
；（2）不能，理由见解析.
【分析】
（1）根据题意得出A 的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可；
（2）令原代数式的值为-1，求出x 的值，代入代数式中的式子进行验证即可．
【详解】
（1）
，
（2）不能，
理由：若能使原代数式的值能等于﹣1，则
，即x＝0，
但是，当x＝0 时，原代数式中的除数
，原代数式无意义．
所以原代数式的值不能等于﹣1．
【点睛】
考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键.
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15．（2021·广东九年级专题练习）先化简
，再将
代入求
值.
【答案】1.
【分析】
直接利用分式的混合运算法则进而化简得出答案．
【详解】
原式
将
代入得：
【点睛】
此题主要考查了分式的化简求值，正确掌握分式的混合运算法则是解题关键．
16．（2021·全国九年级专题练习）某中学开学初在商场购进A、B 两种品牌的足球，
购买A 品牌足球花费了2500 元，购买B 品牌足球花费了2000 元，且购买A 品牌的足
球数量是购买B 品牌足球数量的2 倍，已知购买一个B 品牌足球比购买一个A 品牌足
球多花30 元
（1）求购买一个A 品牌、一个B 品牌的足球各需多少元？
（2）该中学响应习总书记足球进校园号召，决定两次购进A、B 两种品牌足球共50
个，恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比第一次购买时提高
了8%，B 品牌足球按第一次购买时售价的9 折出售，如果这所中学此次购买A、B 两
种品牌足球的总费用不超过3240 元，那么该中学此次最多可购买多少个B 品牌足球？
【答案】（1）一个A 品牌的足球需50 元，一个B 品牌的足球需80 元；（2）该中学
此次最多可购买30 个B 品牌足球
【分析】
（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（x+30）元，根据购买A 品
牌足球数量是购买B 品牌足球数量的2 倍列出方程解答即可；
（2）设此次可购买a 个B 品牌足球，则购买A 品牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B
两种品牌足球的总费用不超过3240 元，可列出关于a 的不等式，解不等式即可解决问
题．
【详解】
解：（1）设一个A 品牌的足球需x 元，则一个B 品牌的足球需（x+30）元，由题意得：
，解得：x＝50，
经检验：x＝50 是原方程的解，x+30＝80．
答：一个A 品牌的足球需50 元，一个B 品牌的足球需80 元．
（2）设此次可购买a 个B 品牌足球，则购买A 品牌足球（50﹣a）个，由题意得：
50×（1+8%）（50﹣a）+80×0.9a≤3240，解得a≤30．
∵a 是整数，∴a 最大等于30，
答：该中学此次最多可购买30 个B 品牌足球．
【点睛】
本题考查的是分式方程的应用和一元一次不等式的应用，属于常考题型，正确理解题
意、列出相应的方程和不等式是解答的关键．
17．（2021·全国九年级专题练习）已知关于x 的分式方程
，
(1)若方程的增根为x=1，求m 的值
(2)若方程有增根，求m 的值
(3)若方程无解，求m 的值．
【答案】（1）m=-6;(2) 当x=
2
﹣时，m=1.5；当x=1 时，m=
6
﹣；（3）m 的值为﹣1
或﹣6 或1.5
【详解】
试题分析：方程两边同时乘以最简公分母（x-1）(x+2)，化为整式方程；
（1）把方程的增根x=1 代入整式方程，解方程即可得；
（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x 的值，然后代入整式方程即可得；
（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别
求解即可得.
试题解析：方程两边同时乘以（x+2）（x
1
﹣），得
2（x+2）+mx=x-1，
整理得（m+1）x=
5
﹣，
（1）∵x=1 是分式方程的增根，
1+
∴
m=
5
﹣，
解得：m=
6
﹣；
（2）∵原分式方程有增根，
∴（x+2）（x
1
﹣）=0，
解得：x=
2
﹣或x=1，
当x=
2
﹣时，m=1.5；当x=1 时，m=
6
﹣；
（3）当m+1=0 时，该方程无解，此时m=
1
﹣；
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当m+1≠0 时，要使原方程无解，由（2）得：m=
6
﹣或m=1.5，
综上，m 的值为﹣1 或﹣6 或1.5．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确
方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键.
18．（2021·全国八年级课时练习）若a，b 为实数，且
，求3a
b
﹣
的值．
【答案】2
【分析】
根据题意可得
，解方程组可得a,b,再代入求值.
【详解】
解：∵
，
∴
，
解得
，
3a
b=6
4=2
∴
﹣
﹣
．
故3a
b
﹣的值是2．
【点睛】
本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.
19．（2021·全国八年级课时练习）若a＞0，M=
，N=
．
（1）当a=3 时，计算M 与N 的值；
（2）猜想M 与N 的大小关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）M＝
，N＝
；（2）M＜N；证明见解析.
【分析】
（1）直接将a=3 代入原式求出M，N 的值即可；
（2）直接利用分式的加减以及乘除运算法则，进而合并求出即可．
【详解】
（1）当a=3 时，M
，N
；
（2）方法一：猜想：M＜N．理由如下：
M﹣N
．
∵a＞0，∴a+2＞0，a+3＞0，∴
，∴M﹣N＜0，∴M＜N；
方法二：猜想：M＜N．理由如下：
．
∵a＞0，∴M＞0，N＞0，a2+4a+3＞0，∴
，∴
，∴M＜N．
【点睛】
本题考查了分式的加减以及乘除运算，正确通分得出是解题的关键．
20．（2021·全国九年级专题练习）若关于x 的方程
有增根，则增
根是多少？并求方程产生增根时m 的值．
【答案】x＝3 或－3 是原方程的增根；m＝6 或12.
【详解】
试题分析：先根据方程有增根，可让最简公分母为0，且把分式方程化为整式方程，
分别代入求解即可.
试题解析：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x＋3)(x－3)＝0，
所以x＝3 或x＝－3 是原方程的增根．
原方程两边同乘(x＋3)(x－3)，得m＋2(x－3)＝x＋3.
当x＝3 时，m＋2×(3－3)＝3＋3，解得m＝6；
当x＝－3 时，m＋2×(－3－3)＝－3＋3，
解得m＝12.
综上所述，原方程的增根是x＝3 或x＝－3.
当x＝3 时，m＝6；
当x＝－3 时，m＝12.
点睛：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方
程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．
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