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专题04整式的乘法与因式分解单元综合提优专练（原卷
版）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2﹣y2﹣1=(x+y)(x﹣y)﹣1；
②x3+x=x(x2+1)；
③(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2；
④x2﹣9y2=(x+3y)(x﹣3y).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．2x（x+3）＝2x2+6x B．24xy2＝3x•8y2
C．x2+2xy+y2+1＝（x+y）2+1 D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
3．已知A＝﹣4x2，B是多项式，在计算B+A时，小马虎同学把B+A看成了B•A，结
果得32x5﹣16x4，则B+A为（ ）
A．﹣8x3+4x2 B．﹣8x3+8x2 C．﹣8x3 D．8x3
4．图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称
轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个
正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n2
5．观察下列各式及其展开式：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
请你猜想（a+b）10的展开式第三项的系数是（ ）
A．36 B．45 C．55 D．66
16．已知a2+a﹣4=0，那么代数式：a2（a+5）的值是（ )
A．4 B．8 C．12 D．16
7．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A． ， B． ，4 C．3， D．3，4
9．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ ）（如图甲），把余下
的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（
）
A． B．
C． D．
10．因式分解 ，甲看错了a的值，分解的结果是 ，乙看错了b
的值，分解的结果为 ，那么 分解因式正确的结果为（ ）．
A． B．
C． D．
二、填空题
211．如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b=7，ab=13，则阴影部分的面积为
_____．
12．甲、乙两个同学分解因式 时，甲看错了b，分解结果为 ；
乙看错了a，分解结果为 ，则 ______ ．
13．若x，y满足方程组 则 的值为______.
14．有两个正方形 ，现将 放在 的内部得图甲，将 并列放置后构造新的正
方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形 的边长之
和为________．
15．在我们所学的课本中，多项式与多项式相乘可以用几何图形的面积来表示.例如，
（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图（1）来表示.请你根据此方法写出图（2）中
图形的面积所表示的代数恒等式：____________.
16．分解因式（2a﹣1）2+8a＝__．
317． =_______．
18．若多项式 是完全平方式，则 的值是______．
三、解答题
19．先化简，再求值：
，其中 ， ．
20．(1)若3a=5，3b=10，则3a+b的值．
(2)已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值．
21．如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小
长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)按要求填空：
①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于______；
②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：______
方法2：______
③观察图②，请写出代数式(m+n)2，(m-n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：
______；
(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|m+n-6|+|mn-4|=0，求(m-n)2的值．
(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了______．
22．观察下列算式：
①
②
③
（1）请按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；
（2）把这个规律用含有字母的式子表示出来，并说明其正确性.
23．阅读以下材料：
4对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550-1617年），纳皮尔发明对数是
在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707-1783年）才发现指
数与对数之间的联系．
对数的定义：一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：
x=logN．比如指数式24=16可以转化为4=log 16，对数式2=log 25可以转化为52=25．
a 2 5
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log（M•N）=logM+logN（a＞0，
a a a
a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logM=m，logN=n，则M=am，N=an
a a
∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=log（M•N）
a
又∵m+n=logM+logN
a a
∴log（M•N）=logM+logN
a a a
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式: .
（2）仿照上面的材料，试证明： = — (a>0，a l，M>0，N>0).
（3） 拓展运用：计算log 2+log 6-log 4=____.
3 3 3
24．阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断
△ABC的形状．
解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①
所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②
所以c2＝a2+b2．③
所以△ABC是直角三角形．④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第 步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为
；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
25．如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板，一块长4厘米、宽1厘米的长方形
纸板，一块小正方形以及另两块长方形的纸板，恰好拼成一个大正方形，求大正方形
的面积.
526．某小区有一块长为( )米,宽为( )米的长方形地块(如图所示)，物业公司计
划将中间修建一小型喷泉,然后将周围(阴影部分)进行绿化;
(1)应绿化的面积是多少平方米?
(2)当 时求出应绿化的面积.
27．下面是某同学对多项式（x2－4x+2）（x2－4x+6）+4进行因式分解的过程．
解：设x2－4x=y
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
= y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2 （第三步）
=（x2－4x+4）2（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果是否彻底？________．（填“彻底”或“不彻底”），若
不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_________．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2－2x）（x2－2x+2）+1进行因式分解．
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