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2024 高考物理二轮复习80 热点模型
最新高考题模拟题专项训练
模型51 旋转圆、放缩圆、磁聚焦模型
最新高考题
1．(2020·全国卷Ⅰ)一匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外，其边界
如图中虚线所示，为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质
量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种
速率。不计粒子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A．
B．
C．
D．
【参考答案】C
【名师解析】带电粒子在匀强磁场中运动，运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心
力有qvB＝m，解得r＝，运动时间t＝＝，θ 为带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角，
粒子在磁场中运动时间由轨迹所对圆心角决定。采用放缩法，粒子垂直ac 射入磁场，则轨
迹圆圆心必在直线ac 上，将粒子的轨迹半径从零开始逐渐放大。当r≤0.5R(R 为的半径)和
r≥1.5R 时，粒子从ac、bd 区域射出磁场，运动时间等于半个周期。当0.5R<r<1.5R 时，粒
子从弧ab 上射出，轨迹半径从0.5R 逐渐增大，粒子射出位置从a 点沿弧向右移动，轨迹
所对圆心角从π 逐渐增大。当轨迹半径等于R 时，轨迹所对圆心角最大，再增大轨迹半径，
轨迹所对圆心角减小。因此轨迹半径等于R 时，所对圆心角最大，为θmax＝π＋＝，粒子最
长运动时间为。综上，选项C 正确。
2．（10 分）（2020 年7 月浙江选考）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内
存在边界为矩形
、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探
测板
平行于
水平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不
计、间距相等的离子束中的离子均以相同速度持续从边界
水平射入磁场，b 束中
的离子在磁场中沿半径为R 的四分之一圆弧运动后从下边界
竖直向下射出，并打
在探测板的右边缘D 点。已知每束每秒射入磁场的离子数均为N，离子束间的距离均
为
，探测板
的宽度为
，离子质量均为m、电荷量均为q，不计重力及离
子间的相互作用。
（1）求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量
F 与板到
距离L 的关系。
【名师解析】：（1）
得
几何关系
（2）a、c 束中的离子从同一点Q 射出，
（3）a 或c 束中每个离子动量的竖直分量
最新模拟题
1. (2024 湖北宜城一中质检)如图所示，在平板PQ 上方有一匀强磁场，磁场方向垂直纸面
向里。某时刻有a、b、c 三个电子（不计重力）分别以大小相等、方向如图所示的初速度
va、vb和vc经过平板PQ 上的小孔O 垂直射入匀强磁场。这三个电子打到平板PQ 上的位置
到小孔O 的距离分别是
、
和
，电子在磁场中运动的时间分别为ta、tb和tc。整个装置
放在真空中。则下列判断正确的是（ ）
A.
=
<
B.
<
<
C. ta＞tb＞tc
D. ta=tc＜tb
【参考答案】C
【名师解析】
三个电子的速度大小相等，轨迹如图所示
垂直进入同一匀强磁场中。由于初速度va和vc的方向与PQ 的夹角相等，所以这两个电子
的运动轨迹正好组合成一个完整的圆，则这两个电子打到平板PQ 上的位置到小孔的距离
是相等的。而初速度vb的电子方向与PQ 垂直，则它的运动轨迹正好是半圆，所以电子打
到平板PQ 上的位置到小孔的距离恰好是圆的直径。由于它们的速度大小相等，因此它们
的运动轨迹的半径均相同。所以速度为vb的距离最大。故A 错误，B 错误；
CD．从图中可得，初速度va的电子偏转的角度最大，初速度vc的电子偏转的角度最小，根
据粒子在磁场中运动的时间与偏转的角度之间的关系
可得偏转角度最大
a 运动的时间最长，偏转角度最小的c 在磁场中运动的时间最短。故C
正确，D 错误。
2．（2023 湖北荆门三校5 月联考）（15 分）如图所示，在纸面内有一平面直角坐标系
xOy，其第一象限内有一沿y 轴负方向的有界匀强电场，其右侧边界满足方程y=x2，如图中
虚线所示，电场强度大小E= 4V/m。第三象限内（包含x 轴负半轴）存在垂直纸面向里的
匀强磁场，磁感应强度大小为
。在第一象限内虚线右侧、纵坐标0 ≤ y ≤ 0.25m 区
域内有大量（速度相等）沿x 轴负方向运动的带电粒子，粒子电荷量q=＋8×10－6C，质量
m=1×10－6kg。已知从边界上横坐标为x= 0.1m 以初速度v0处飞入的粒子从坐标原点飞出电
场区域，不计粒子重力和粒子之间的相互作用力，求：
（1）粒子的初速度v0；
（2）所有粒子离开电场时，其速度方向与x 轴负方向所成夹角的范围；
（3）粒子在磁场中运动的最短时间和出磁场的坐标。
【参考答案】．（1）4m/s；（2）0~45°；（3）0.25s
【名师解析】（1）从x=0.1m 飞入的粒子,由类平抛运动的规律有
（1 分）
（1 分）
x=v0t（1 分）
y=x2（1 分）
联立解得
v0= 4m/s（1 分）
（2）从范围内任意位置进入电场的粒子，设进入的位置横坐标为x，则由
x=v0t
解得
（1 分）
可知，所有粒子均从坐标原点飞出电场。
设粒子飞离电场时沿电场方向的速度大小为v1，则
（1 分）
（1 分）
粒子在电场中运动时间越长，飞出电场时速度方向与x 轴负方向的夹角越大，故
从y1= 0.25m 处进人电场的粒子，飞离电场时与x 轴负方向的夹角最大，θ1= 45°（1 分）
从y2= 0 飞人的粒子运动方向不变，θ2= 0（1 分）
故粒子飞离电场时速度方向与x 轴负方向的夹角范围为0~45°。
（3）与x 轴负方向夹角最大的粒子在磁场中运动的时间最短，所有粒子从同一点离开磁场，
由洛伦兹力提供向心力有
（1 分）
解得
（1 分），
（1 分）
磁场中运动最短时间
（1 分）出磁场的坐标为
（1 分）
3. 如图所示，有一粒子源，可以产生某种质量为m，电荷量为q 的带正电离子，离子从静
止开始经M 和N 两板间的电场加速后，从cd 边的中点O 沿纸面以与Od 成30°角的方向射
入边长为a 的正方形abcd 边界内的匀强磁场区域，已知匀强磁场的磁感应强度为B，方向
垂直纸面向里，不计粒子的重力以及离子间的相互作用。求：
（1）若要离子全部从ab 边射出，加速电场MN 两板间的电压U 满足的条件；
（2）若加速电场MN 两板间的电压
，离子在磁场中运动的时间t。
【参考
答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）当粒子不从ad 边射出的临界轨迹是轨迹与ad 边相切，如图中①所示，设此时粒子轨
道半径为
，几何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
以上各式联立解得轨迹与ad 边相切时加速电压为
当粒子恰好从ab 边射出的临界轨迹是轨迹与ab 边相切，如图中②所示，设此时粒子轨道
半径为
，由几何关系得
解得
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
粒子在电场中加速过程根据动能定理
以上各式联立解得轨迹与ad 边相切时加速电压为
要使粒子全部从ad 边射出，则粒子轨迹半径要小于
，大于
，则加速
电压
，即
（2）加速电场两板间的电压
粒子在电场中加速过程根据动能定理
在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力
以上各式联立代入数据解得
如图所示，当粒子轨迹与bc 边界相切时，如图中③所示，设此时的轨道半径为
，由几何
关系得
解得
因为
，则粒子从cd 边射出
根据对称性得轨迹的圆心角为300°，运动时间为
4. 如图所示，在y>0 的区域内存在垂直于xOy 平面向里，大小为B 的匀强磁场，y<0 的区
域内存在沿y 轴正方向的匀强电场（图中未画出）。质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子
（不计重力）自y 轴上的点P 以初速度v0沿x 轴正方向射出，经点M（L，0）进入磁场，
且速度与x 轴正方向的夹角为60°，经磁场偏转后从x 正半轴上的点N 离开磁场。
（1）求匀强电场的场强大小E 以及点P 的坐标；
（2）求MN 两点间距d 以及粒子在磁场中运动的时间t0；
（3）若粒子运动到点N 瞬间，将y<0 的区域的电场撤去，改为垂直于xOy 平面向里，大小
为λB（λ>0）的匀强磁场，结果使得粒子的轨迹在之后的运动中能够与y 轴相切，试求λ 的
可能取值。
【参考
答案】（1）
，（0，
）；（2）
，
；
（3）
或
【名师解析】
（1）粒子做类平抛运动
联立得
故点P 的坐标为
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动
得
粒子运动的周期
粒子的圆心角为
，故
（3）记粒子经点N 后第一次返回x 轴的点Q，由（2）知，
间距
为
经分析，粒子可能的轨迹如图所示
由几何关系有
解得
或
解得
5.（15 分）（2023 江苏扬州考前质检）如图所示，y 方向足够长的两个条形区域，宽度
分别为 l1=0.1m 和 l2=0.2m，两区 域分别分布着磁感应强度为 B1 和 B2 的磁场，磁场方
向垂直于 xoy 平面向外，磁感应强度 B2=0.1T．现有大量粒子从坐标原点 O 以恒定速度
v=2×106m/s 不断沿 x 轴正方向射入磁 场，由于 B1 的大小在 0~0.5T 范围内可调，粒子
可从磁场边界的不同位置飞出．已知带电 粒子的电量 q=﹣2×10-8C，质量 m=4×10-16kg，
不考虑带电粒子的重力．求：
（1）要使粒子能进入 B2的磁场，B1 应满足的条件；
（2）粒子在条形区域内运动的最短时间 t．
（3）粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标 y；
【名师解析】
（1）当带电粒子在 B1 磁场中圆周运动的半径大于 l1时粒子能进入磁感应强度 B2的磁场。
qvB 1=m
（1 分）
当 r = l1 时
（1 分）
代入数据得 B1 = 0.4T （1 分）
因此 B 满足的条件为 0 B1 0.4T （1 分）
（2）当 B1=0 时，粒子进入 B2 磁场，
解得： r 2= 0.4m （1 分）
粒子从右边界 MN 飞出。
由几何关系可知
2 = 30° （1 分）
粒子在两个条形区域运动的时间为
随着 B1 的增大，如图所示，根据时间等于弧长与速度的比值可知，粒子在磁场中的 运动
时间先增大后减小，当 B1 达到最大值 0.5T 时，粒子从左边界飞出，运动时间为
所以粒子在两个条形区域内运动的最短时间为
t 2=1.26 ×10-7 s
（3）设 A1 为粒子从 MN 射出的最高点，则 A1 为轨迹与边界 MN 的切点，如图 O1 为
粒子 在 B1 磁场中运动的圆心，O2 为粒子在 B2 磁场中运动的圆心，由几何知识可得
， 1 = 30° （2 分）
由几何知识知此时
A1 的纵坐标
粒子从 y 轴飞出磁场时的最高点坐标
6. （2022 湖南长沙长郡中学模拟）如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸面向
里，图中虚线为磁场的边界，其中bc 段是半径为R 的四分之一圆弧，ab、cd 的延长线通过
圆弧的圆心，Ob 长为R。一束质量为m、电荷量为q（q>0）的粒子，在纸面内以不同的速
率从O 点垂直ab 射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N 是圆弧边界上的
两点，不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是（ ）
A. 从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率
B. 从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N 点射出粒子所用时间
C. 所有粒子所用最短时间为
D. 所有粒子所用最短时间为
【参考答案】AD
【名师解析】
粒子运动轨迹如图所示，可以看出，粒子落到b 点到c 点的过程中，半径越老越大，则由
可知，速度越来越大，所以从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速
率。又因为粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比，且由几何关系知，弦切角等于圆心
角的一半，所以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短，如图所示，当弦与圆周相切时，
弦切角最小，因为Ob 长为R，所以由几何关系知，此时弦切角为
，所以圆心角为
所以最短运动时间为
即从M 点射出粒子在磁场中运动时间与从N 点射出粒子所用时间大小不能确定。
故选AD。
7. (2023 云南昆明一中第9 次质检)如图所示，空闻有半径为R 的圆形匀强磁场，磁感应强
度大小为B，方向垂直于纸面，在距圆心O 为
处有一粒子源，
时刻沿纸面内的任
意方向上均匀发射出速度大小相同的大量带电粒子，粒子比荷为k，粒子在磁场中运动的
半径为
，则（ ）
A. 粒子在圆形磁场区域中运动的最短时问为
B. 粒子在圆形磁场区城中运动的最短时间为
C.
时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
D.
时刻，出磁场与未出磁场的粒子数之比为
【参考答案】AD
【名师解析】如图1 所示，当粒子的轨迹以AB 为弦长时经历的时间最小，由几何关系得圆
心角为
，故粒子在圆形磁场区域中运动的最短时间为
，A 正确B 错误。
．因粒子均匀分布于各个方向，故粒子数之比与角度成正比，如图2 所示，当
时，由几何关系知出磁场与未出磁场的粒子数之比为
，故C 错误，D 正确。
8..（2023 山东滕州质检） 8．如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁
场，磁感应强度为B，在磁场边界上的M 点放置一个放射源，能在纸面内以速率v 向各个
方向发射大量的同种粒子，粒子的电荷量为q、质量为m（不计粒子的重力），所有粒子
均从某段圆弧边界射出，其圆弧长度为
。下列说法正确的是（ ）
A．粒子进入磁场时的速率为
B．所有粒子中在磁场中运动的最长时间是
C．将磁感应强度大小改为
时，有粒子射出的边界弧长变为
D．若粒子入射速率为
时，有粒子射出的边界弧长变为
【参考答案】．C
【名师解析】．由题意，如图所示，当粒子在磁场中运动转过的圆心角为180°时，其射出
点N 离M 最远，此时
对应磁场区域的圆心角为120°，则根据几何关系可知粒子做匀速
圆周运动的半径为
根据牛顿第二定律有
解得
故A 错误；
粒子在磁场中运动的周期为
当粒子的轨迹与磁场区域内切时，其运动时间最长，恰好为1 个周期，故B 错误；
将磁感应强度大小改为
时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为R，所以有粒子射出的边界弧长
变为
故C 正确；
若粒子入射速率为
时，粒子运动半径变为
如图所示，可知此时磁场区域所截粒子轨迹弦长最大值为
，所以有粒子射出的边界弧
长变为
故D 错误。
9.（2022 山东泰安三模）如图所示为一圆形区域，O 为圆心，半径为R，P 为边界上的一点，
区域内有垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度大小为B。电荷量为q、质
量为m 的相同带电粒子a、b（不计重力）从P 点先后以大小相等的速率
射入磁
场，粒子a 正对圆心射入，粒子b 射入磁场时的速度方向与粒子a 射入时的速度方向成θ
角，已知粒子a 与粒子b 在磁场中运动的时间之比为3∶4，下列说法正确的是（ ）
A. 粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r =R
B. θ=60°
C. θ=30°
D. a、b 粒子离开磁场时的速度方向也成θ 角
【参考答案】AC
【名师解析】
粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r =
，代入速度
，得r = R，故A 正确；
BC．因a 正对圆心射入，又r = R，故a 粒子在磁场中的运动时间为
，运动圆弧的圆
心角为90°，两粒子在磁场中运动的周期相等，即T =
，故b 粒子在磁场中的运动时
间为
，即运动圆弧的圆心角为120°，运动圆弧对应的圆心与O、P 三点的连线构成等
边三角形，故θ=30°，故B 错误，C 正确；
作图可知a、b 粒子离开磁场时平行，是“磁发散”模型，故D 错误。
故选AC。
10．（2023 四川宜宾重点高中二诊）（20 分）如图所示，在
平面内，三个
半径为的四分之一圆形有界区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内有垂直纸面向外、磁感应强度
为
的匀强磁场（含边界上）。一群质量为
电荷量为的带正电的粒子同时从
坐标原点O 以相同的速率、不同的方向射入第一象限内（含沿轴、
轴方
向），它们在磁场中运动的轨道半径也为，在
的区域，存在场强为
、
沿
方向的匀强电场。整个装置在真空中，不计粒子的重力及粒子之间的相互
作用。求：
（1）粒子从O 点射入磁场时的速率
；
（2）这群粒子从O 点射入磁场至运动到轴的最长时间；
（3）这群粒子到达
轴上的区域范围。
【名师解析】：
（1）粒子在磁场中由洛伦兹力提供向心力，则有
又
可得
（2）如图所示，这些粒子中，从O 沿
轴方向射入磁场的粒子，从O 到C 用时最长。
由
可得
（3）这些粒子经过Ⅰ区域偏转后方向都变为与
轴平行，接着匀速直线进入Ⅱ区域，
经过Ⅱ区域偏转又都通过C 点；从C 点进入Ⅲ区域，经过Ⅲ区域偏转，离开Ⅲ区域时，
所有粒子都变成与
轴平行（即垂直进入电场）。
对于从
进入电场的粒子，在
方向的分运动有
解得
则该粒子运动到
轴上的坐标为
对于从
进入电场的粒子，在
方向的分运动有
解得
则该粒子运动到y 轴的坐标为
这群粒子运动到
轴上的区间为
