1
专题分层突破练4
万有引力定律及其应用
A 组基础巩固练
1.(2023 江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星,能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行,该轨道可视为
圆轨道。该卫星与月球相比,一定相等的是( )
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
2.(2023 山东卷)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引,这种吸引力可能与天体间(如地球与月
球)的引力具有相同的性质,且都满足F∝m0m
r
2 。已知地月之间的距离r 大约是地球半径的60 倍,地
球表面的重力加速度为g,根据牛顿的猜想,月球绕地球公转的周期为( )
A.30π√
r
g
B.30π√
g
r
C.120π√
r
g
D.120π√
g
r
3.(2023 广西柳州三模)北斗三号全球卫星导航系统由中圆轨道(轨道半径约28 000 km)卫星、地球静
止同步轨道卫星和倾斜地球同步轨道卫星(两种卫星轨道半径相等,均约为42 000 km)组成,则( )
A.倾斜地球同步轨道卫星和地球静止同步轨道卫星周期不相等
B.北斗三号导航系统所有卫星绕地球运行的线速度均小于7.9 km/s
C.倾斜地球同步轨道卫星能定点北京上空并与北京保持相对静止
D.中圆轨道卫星线速度约为地球静止同步轨道卫星线速度的1.5 倍
4.(2022 湖北卷)2022 年5 月,我国成功完成了天舟四号货运飞船与空间站的对接,形成的组合体在地
球引力作用下绕地球做圆周运动,周期约90 min。下列说法正确的是( )
A.组合体中的货物处于超重状态
B.组合体的速度大小略大于第一宇宙速度
C.组合体的角速度大小比地球同步卫星的大
D.组合体的加速度大小比地球同步卫星的小
5.(2023 江西赣州一模)我国将卫星“夸父一号”成功送入太阳同步晨昏轨道,从宇宙中看,卫星一方
面可视为绕地球做匀速圆周运动,轨道平面与地球的晨昏分界线共面,卫星轨道离地高度h=720 km,
周期T1=100 min;另一方面卫星随地球绕太阳做匀速圆周运动,周期T2=1 年。卫星轨道平面能保持垂
直于太阳光线,如图所示。已知地球的半径为R,引力常量为G,则下列表述正确的是( )
A.晨昏轨道平面与地球静止卫星轨道平面重合
2
B.根据以上信息可以估算出地球的质量
C.“夸父一号”的发射速度大于11.2 km/s
D.根据r
3
T 2
2 =( R+h)
3
T 1
2
,可估算出地球到太阳的距离r
6.(2023 北京海淀一模)如图所示,卫星沿圆形轨道Ⅰ环绕地球运动。当其运动到M 点时采取了一次
减速制动措施,进入椭圆轨道Ⅱ或Ⅲ。轨道Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ均与地球赤道平面共面。变更轨道后( )
A.卫星沿轨道Ⅲ运动
B.卫星经过M 点时的速度小于7.9 km/s
C.卫星经过M 点时的加速度变大
D.卫星环绕地球运动的周期变大
7.(2023 海南统考)2022 年6 月5 日,神舟十四号载人飞船(以下简称飞船)发射升空,与天和核心舱成功
对接。假设飞船与天和核心舱对接过程的简化示意图如图所示,天和核心舱处于半径为r2的圆轨道
Ⅲ上,飞船先被发送至半径为r1的圆轨道Ⅰ上,通过变轨操作后,沿椭圆轨道Ⅱ运动到远地点B 处与天
和核心舱对接。已知地球质量为m 地,引力常量为G,则( )
A.飞船在轨道Ⅰ上运动的周期与天和核心舱运动的周期之比为
√
r2
3
r1
3
B.飞船沿轨道Ⅱ从近地点A 运动到远地点B 的过程中,速度不断减小
C.飞船在轨道Ⅱ上经过B 点的加速度小于天和核心舱的加速度
D.飞船在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点的过程中,由于离地高度越来越大,所以机械能逐渐增大
8.(2023 贵州毕节二模)引力波的发现证实了爱因斯坦100 多年前所做的预测。1974 年发现了脉冲双
星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。如图所示,如果将脉冲双星系统简化为理想的
圆周运动模型,双星绕彼此连线上的O 点做匀速圆周运动。若引力常量为G,双星之间的距离为L,观
测到双星的周期为T,则可估算出双星的( )
3
A.线速度
B.轨道半径
C.质量之和
D.向心加速度
B 组素能提升练
9.(多选)(2023 辽宁联考)2022 年11 月30 日,我国六名航天员在空间站首次“太空会师”,向世界展示
了中国航天工程的卓越能力。载人飞船的发射可简化为如图所示的过程,从地面发射后先沿椭圆轨
道Ⅰ运行,从N 点经时间t1后运行到距地面高度为400 km 的M 点,在M 点与沿圆轨道Ⅱ运行的天和
核心舱成功对接(M 点为对接点),对接后从M 点经时间t2第一次到达P 点,P 在MN 连线延长线上。
已知地球半径为6 400 km。不考虑地球自转的影响及对接所用时间,已知地球表面重力加速度为g。
下列说法正确的是( )
A.飞船在轨道Ⅰ上N 点的速度比M 点的速度大
B.飞船在轨道Ⅱ上M 点的速度比在轨道Ⅰ上M 点的速度大
C.飞船沿轨道Ⅰ运行的时间t1大于沿轨道Ⅱ运行的时间t2
D.进入核心舱后,航天员的向心加速度为(
16
17)
2
g
10.(多选)在两个大物体引力场空间中存在着一些点,在这些点处的小物体可相对于两个大物体基本
保持静止,这些点称为拉格朗日点。中国探月工程中的“鹊桥号”中继卫星是世界上首颗运行于地
月拉格朗日L2点的通信卫星,如图所示,该卫星在几乎不消耗燃料的情况下与月球同步绕地球做圆周
运动。关于处于拉格朗日L1和L2点上的两颗同等质量的卫星,下列说法正确的是( )
A.两卫星绕地球做圆周运动的线速度相等
B.处于L2点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大
C.处于L1点的卫星绕地球做圆周运动的角速度大
D.处于L2点的卫星绕地球做圆周运动的向心力大
11.(2023 安徽宣城模拟)2022 年10 月7 日,太原卫星发射中心在黄海海域使用长征十一号海射运载火
箭,采用“一箭双星”方式,成功将微厘空间北斗低轨导航增强系统试验卫星发射升空,卫星顺利进入
预定轨道。设两颗卫星轨道在赤道平面上,运行方向相同,运动周期也相同,其中a 卫星为圆轨道,距离
地面高度为ha=2R,b 卫星为椭圆轨道,近地点M 距离地面高度为远地点N 距离地面高度的一半,地球
表面的重力加速度为g,a 卫星线速度大小为v1,b 卫星在近地点M 时线速度大小为v2,在远地点N 时
线速度大小为v3,地球半径为R,P 点为两个轨道的交点。下列说法正确的是( )
4
A.b 卫星远地点N 距离地面高度为4
3
R
B.b 卫星从N 点运动到M 点时间为6π√
3 R
g
C.v2>v1>v3
D.a、b 两卫星在P 点受到地球的引力相等
12.(多选)(2023 安徽芜湖一模)某航天器的发射过程可简化为两个阶段,如图所示,先由椭圆轨道1 运
动后调整至圆轨道2,然后以大小为v 的速度在轨道2 上稳定运行。轨道上A、B、C 三点与地球中心
在同一直线上,A、C 两点分别为轨道1 的远地点与近地点,且lAC=3lBC=3a。则( )
A.航天器在轨道1 上C 点的速度小于其在轨道2 上B 点的速度
B.航天器在轨道2 上的机械能等于其在轨道1 上的机械能
C.航天器在轨道1 上A 点的加速度等于v
2
2a
D.航天器在轨道2 上运行的周期与在轨道1 上运行的周期之比为8∶3√3
5
专题分层突破练4 万有引力定律及其应用
1.C 根据Gm0m
r
2 =ma 可知,由于轨道半径相同,故向心加速度一定相同,选项C 正确;该卫星质量
与月球质量基本上不可能相等,故向心力大小和受地球的万有引力大小不可能相等,选项A、
B、D 错误。
2.C 根据题意,月球所在位置处的重力加速度为g'=
1
3 600
g,根据g'=(
2π
T )
2
r,解得T=120π√
r
g
,
选项A、B、D 错误,C 正确。
3.B 根据万有引力提供向心力有Gm地m
r
2
=m4 π
2
T
2 r,可得T=√
4 π
2r
3
Gm地
,可知倾斜地球同步轨道卫
星和地球静止同步轨道卫星周期相等,故A 错误;根据万有引力提供向心力有Gm地m
r
2
=mv
2
r
,可得
v=√
G m地
r
,地球第一宇宙速度7.9 km/s 等于卫星在地球表面轨道上绕地球做匀速圆周运动的线
速度,可知北斗三号导航系统所有卫星绕地球运行的线速度均小于7.9 km/s,故B 正确;倾斜地球
同步轨道卫星不能与北京保持相对静止,故C 错误;根据万有引力提供向心力有Gm地m
r
2
=mv
2
r
,可
得v=√
G m地
r
,可知中圆轨道卫星线速度与地球静止同步轨道卫星线速度之比为
v1
v2
=√
42 000
28 000 =√1.5,故D 错误。
4.C 组合体在天上只受万有引力的作用,则组合体中的货物处于失重状态,A 错误;由题知组合
体在地球引力作用下绕地球做圆周运动,而第一宇宙速度为最大的环绕速度,则组合体的速度大
小不可能大于第一宇宙速度,B 错误;已知地球同步卫星的周期为24 h,根据角速度和周期的关系
有ω=2π
T
,由于T 同>T 组合体,则组合体的角速度大小比地球同步卫星的大,C 正确;由题知组合体在
地球引力作用下绕地球做圆周运动,有Gm地m
r
2
=m4 π
2
T
2 r,得T=2π√
r
3
Gm地
,由于T 同>T 组合体,则r 同
>r 组合体,由ma=Gm地m
r
2
,可得a 同<a 组合体,D 错误。
5.B 晨昏轨道与地球晨昏分界线共面,静止卫星轨道与赤道平面共面,所以两个轨道平面不重合,
故A 错误;根据公式a= G m地
( R+h)
2 = 4 π
2( R+h)
T 1
2
可估算出地球的质量,故B 正确;“夸父一号”的
发射速度大于第一宇宙速度7.9 km/s,小于第二宇宙速度11.2 km/s,故C 错误;因为卫星环绕的中
心天体是地球,地球环绕的中心天体是太阳,所以D 选项中公式两边不相等,故D 错误。
6
6.B 卫星运动到M 点时减速,万有引力大于向心力,卫星做近心运动,沿轨道Ⅱ运动,A 错误;卫星
在近地轨道运动的速度约为7.9 km/s,在轨道Ⅰ的半径大于近地轨道的半径,根据G m地m
r
2
= m v
2
r
得v=√
G m地
r
可知,卫星经过M 点时的速度小于7.9 km/s,B 正确;根据Gm地m
r
2
=ma 得a=Gm地
r
2
,
由于变轨前后M 点离地球的距离不变,所以卫星经过M 点时的加速度大小不变,C 错误;根据开
普勒第三定律,轨道Ⅱ的半长轴小于轨道Ⅰ的半径,故从轨道Ⅰ变到轨道Ⅱ,卫星环绕地球运动的
周期变小,D 错误。
7.B 根据开普勒第三定律有r1
3
T 1
2 = r2
3
T 2
2,飞船在轨道Ⅰ上运动的周期与天和核心舱运动的周期之
比为T 1
T 2
=√
r1
3
r2
3
,故A 错误;根据开普勒第二定律可知,飞船沿轨道Ⅱ从近地点A 运动到远地点B
的过程中,速度不断减小,故B 正确;根据牛顿第二定律有Gm地m
r
2
=ma,解得a=Gm地
r
2 ,由此可知飞
船在轨道Ⅱ上经过B 点的加速度等于天和核心舱的加速度,故C 错误;飞船在轨道Ⅱ上由A 点运
动到B 点的过程中,只有引力做功,所以机械能守恒,保持不变,故D 错误。
8.C 根据Gm1m2
L
2
=m14 π
2
T
2 r1=m24 π
2
T
2 r2,可得r1=G m2T
2
4 π
2 L
2 ,r2=G m1T
2
4 π
2 L
2 ,由于双星质量未知,故无法
求出轨道半径,B 错误;由于v=2π r
T
,故也无法求出线速度,A 错误;由m1=4 π
2 L
2r2
GT
2
,m2=4 π
2 L
2r1
GT
2
,
可得双星质量之和为m1+m2=4 π
2 L
2r2
GT
2
+ 4 π
2 L
2r1
GT
2
= 4 π
2 L
3
GT
2 ,C 正确;由Gm1m2
L
2
=m1a1=m2a2,得
a1=Gm2
L
2 ,a2=Gm1
L
2 ,由于双星质量未知,故无法求出向心加速度,D 错误。
9.ABD 根据开普勒第二定律可知,飞船在轨道Ⅰ上N 点的速度比M 点的速度大,故A 正确;飞
船在M 点向高轨道变轨,需要点火加速,故B 正确;根据开普勒第三定律r
3
T
2=k 可知,飞船沿轨道Ⅰ
运行的时间t1小于沿轨道Ⅱ运行的时间t2,故C 错误;进入核心舱后,航天员做匀速圆周运动,其向
心加速度为an=Gm地
r
2
,又Gm地m
R
2 =mg,r=6 800 km,R=6 400 km,联立解得an=(
16
17)
2
g,故D 正确。
10.BD 两卫星相对于两个大物体的中心基本保持静止,因此绕地球做圆周运动的周期相等,角
速度相等,故C 错误;由题意可知,两卫星围绕地球运动的角速度相等,运动半径不同,由角速度与
线速度的关系v=ωr 可得,两卫星绕地球做圆周运动的线速度不相等,故A 错误;由F=ma=mω2r
可知,质量相同、角速度相同的情况下,运动半径越大,向心加速度越大,向心力越大,由于r2>r1,故
处于L2点的卫星绕地球做圆周运动的向心加速度大,向心力大,故B、D 正确。
7
11.C 设b 卫星运行的椭圆轨道半长轴为a0,根据开普勒第三定律有(2 R+ R)
3
T
2
= a0
3
T
2 ,即a0=3R,
设近地点M 距离地面高度为h0,有h0+2h0+2R=2a0=6R,解得h0=4
3
R,故b 卫星远地点N 距离地面
高度为8
3
R,A 错误。对卫星a 有Gm地m
(3 R)
2 =m·(
2π
T )
2
·3R,在地球表面有Gm地m'
R
2
=m'g,联立解得
T=2π√
27 R
g
,故b 卫星从N 点运动到M 点时间为t=1
2
T=π√
27 R
g
=3π√
3 R
g
,B 错误。根据开普勒
第二定律可知v2>v3,卫星b 由N 点运动到P 点时速度在增大,分析可知若在P 点点火加速可进入
圆形a 轨道,可得v1>v3;同理,卫星b 在近地点M 减速可进入M 点所在高度处的圆轨道,根据万有
引力公式可知,当卫星围绕地球做圆周运动时轨道越高,速度越小,所以可知卫星a 的速度小于M
点所在高度处的圆轨道的速度,即卫星b 在近地点M 的速度大于卫星a 的速度,所以有
v2>v1>v3,C 正确。根据万有引力公式,a、b 两卫星在P 点时到地球的距离相等,由于两卫星的质
量关系未知,所以无法判断受到地球引力的大小关系,D 错误。
12.CD 卫星在C 点所在圆轨道变轨到轨道1 需要点火加速,所以航天器在轨道1 上C 点的速度
大于C 点所在圆轨道的速度,根据Gm地m
r
2
=mv
2
r
,可得v=√
G m地
r
,可知C 点所在圆轨道的速度大
于轨道2 的速度,所以航天器在轨道1 上C 点的速度大于其在轨道2 上B 点的速度,A 错误;卫星
由轨道1 加速变为轨道2,则卫星在轨道2 上的机械能大于其在轨道1 上的机械能,故B 错误;由
题意可得,轨道2 半径为l AC +lBC
2
= 3a+a
2
=2a,轨道2 上经过A 点的加速度等于轨道1 上经过A
点的加速度,又卫星在轨道2 上A 点速度为v,所以轨道2 上经过A 点的加速度等于v
2
2a
,则在轨道
1 上经过A 点的加速度等于v
2
2a
,故C 正确;轨道1 的半长轴为3a
2
,轨道2 的半径为2a,由开普勒第
三定律可得
T 1
2
T 2
2 =(1.5a)
3
(2a)
3
,所以航天器在轨道2 上运行的周期与在轨道1 上运行的周期之比为
T 2
T 1
=
8
3√3
,D 正确。
