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专题06 三角函数的图象与性质综合
（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）
知识点1 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
[2kπ－π，2kπ]
递减区间
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
知识点2 函数y=Asin(ωx＋φ)
1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
1
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(A>0，ω>0)
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
ωx＋φ
0
π
2π
x
－
－
－
y＝Asin(ωx＋φ)
0
0
－A
0
3、三角函数的图象变换
由函数y＝sin x 的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
重难点01 利用三角函数的单调性求参数
1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，
列不等式(组)求解；
3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。
【典例1】（23-24 高三下·江西宜春·模拟预测）已知函数
在区间
上单调递
减，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为
在区间
上单调递减，所以
，
则
，即
，所以
，
因为
，
，所以
，
因为
，所以
，
，
2
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因为
在区间
上单调递减，
所以
，解得
，所以
的取值范围为
．
【典例2】（23-24 高三下·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数
在区间
上
单调递减，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】当
时，
，
又
的单调递减区间为
，
所以
，解得
，
且
，解得
，又
，
所以
0，所以
的取值范围为
.
重难点02 与函数零点或方程的根有关的参数问题
因为f ( x)= Asin(ωx +φ)的最小正周期是T = 2π
|ω|，所以ω= 2π
T ，也就是说只要确定了周期T，就可以确
定ω的取值. 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k 个零点，需要确定含有k 个零点的区间
长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k 个零点，需要确定包含k+1 个零点的区间长度的最小值．
【典例1】（23-24 高三下·河北沧州·月考）已知函数
在区间
上有且仅有3
个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
3
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【解析】由
可得
，
令
,
所以
或
，
故函数的正零点从小到大排列为：
，
要使在区间
上有且仅有3 个零点，需要满足
且
，解得
，故选：C
【典例2】（23-24 高三下·湖北·二模）已知函数
（
，
）的最小正周期为T，
，若
在
内恰有10 个零点则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数
（
，
）的周期为
，
又
，所以
，
所以
，即
，
因为
，所以
，解得
，
所以
，因为
，所以
，
要使
在
内恰有10 个零点，则
.
所以
的取值范围是
.
重难点03 利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T
2 ，相邻的对称轴和对称中心
之间的“水平间隔”为T
4 ，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω
的取值。
4
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（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），
也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.
【典例1】（23-24 高三下·黑龙江·三模）已知函数
在区间
内恰有3 条对称
轴，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
又函数
在区间
恰有3 条对称轴，
所以
，解得
，故选：D.
【典例2】（23-24 高三上·福建漳州·月考）已知函数
（ω＞0），若f（x）在区间
上有且仅有3 个零点和2 条对称轴，则ω 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数
，
因为
，所以
，
由于函数
在区间
上有且仅有3 个零点和2 条对称轴，
根据函数的图像：
所以
，整理得：
．故选：D．
5
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重难点04 与图象平移有关的参数范围问题
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数
=平移后的函数
.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数
=新的函数
.
3、平移后的函数与原图象关于
轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于
轴对称：平移前的函数
=平移后的函数-
；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
【典例1】（23-24 高三下·内蒙古赤峰·开学考试）将函数
的图象向左平移
个
单位长度后得到函数
的图象，若
在
上单调递增，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】由题意
，
令
，显然关于
单调递增，且
，
若
在
上单调递增，则
，解得
，
即
的最大值为
.故选：C.
【典例2】（23-24 高三上·江苏镇江·月考）将函数
的图象向右平移
个单位长度后，再将使
得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
（
）得到函数
的图象，若在区间
内有5 个零点，
则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】将函数
的图象向右平移
个单位长度，
得到
的图象，
6
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再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的
，得到函数
的图象.
时，
，
在
轴右方的零点为
因为函数
的图象在区间
内有5 个零点，
所以
，解得
.
重难点05 根据三角函数的最值求参数
若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，
进而求解.
【典例1】（23-24 高三下·浙江·三模）若函数
的最大值为 2，则常数
的取值可
以为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为函数
的最大值为1，
的最大值为1，
由题意可知，
取得最大值1 时，
也取得最大值1，
即当
时，
，
，
得
，
，
，
当
时，
，其他值不满足等式.故选：D
【典例2】（23-24 高三下·山东济宁·三模）已知函数
，若
在区间
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上的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，函数
，
当
时，
，显然
，
且正弦函数
在
上单调递减，由
在区间
上的值域为
，
得
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.故选：D
一、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z 不可以忽略．
【典例1】（23-24 高三上·全国·专题练习）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得
，
解得
.故选：B．
【典例2】（23-24 高三上·河南新乡·月考）函数
的定义域为 .
（用区间表示结果）
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【答案】
【解析】要使函数
有意义，
只需
，所以
，
，
即
，
，
所以
或
，
所以函数
的定义域为
.
二、三角函数值域或最值的3 种求法
1、直接法：形如y＝asin x＋k 或y＝acos x＋k 的三角函数，直接利用sin x，cos x 的值域求出；
2、化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k 的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，确定ωx＋φ 的范围，
根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；
3、换元法：
（1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k 的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
（2）形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c 的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t 的二次函数
求值域(最值)
【典例1】（23-24 高三下·广东湛江·二模）函数
在
上的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，所以
，
故
在
上的值域为
.故选：B.
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【典例2】（22-23 高三上·山东朔州·开学考）已知函数
，则
的最小值为
.
【答案】
【解析】因为
，则
，
所以，
，
故当
时，函数
取得最小值，即
.
【典例3】（22-23 高三上·广东深圳·月考）已知函数
，则
的最大值
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
令
，
即
，
由
，则
.故选：A.
【典例4】（23-24 高三下·湘豫联考·三模）当
时，
的最大值是（ ）
A．2
B．
C．0
D．
【答案】D
【解析】原式
，
其中锐角
由
确定，由
，得
，
所以
.故选：D
三、求三角函数单调区间的2 种方法
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1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单
调性列不等式求解；
2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时，若x 的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
【典例1】（23-24 高三上·湖南衡阳·期末）下列函数的最小正周期为
，且在
上单调递减的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意，A 项，在
中，
，
，最小正周期为
，
当单调递增时，
，解得：
∴在
上不单调递减，A 错误；
B 项，在
中，
，最小正周期为
，
当单调递增时，
，解得：
∴在
上不单调递减，B 错误；
C 项，在
中，
，周期
,
∴函数在
即
上单调递减，
∴函数在
上单调递减，C 正确；
D 项，在
中，
，故D 错误.故选：C.
【典例2】（23-24 高三下·全国·模拟预测）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【解析】
，令
，
,
故函数
的单调递增区间为
.故选：D．
【典例3】（23-24 高三下·天津·高考模拟）函数
的图象经过点
和点
，则
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，
，且
，即
且
，
因为
，所以
，则
，
所以
，化简得
，
因为
，所以
时，故
，所以
．
由
，得
，
所以
的单调递增区间是
．故选：D．
四、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx 或y＝Atan ωx
的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b 的形式．常见的结论有：
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（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．
（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
【典例1】（23-24 高三下·浙江杭州·三模）已知函数
，则“
”是“
为奇函数且
为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】一方面，当，
时，
是奇函数，
是偶函数，故充分性成立，
另一方面，当
时，有
是奇函数，
是偶函数，
但此时关于
的方程
没有解，故必要性不成立，
综上所述，在已知
的情况下，
“
”是“
为奇函数且
为偶函数”的充分而不必要条件.故选：
A.
【典例2】（23-24 高三下·河南信阳·一模）若函数
的图像关于原点对称，则
m＝ ．
【答案】
/
【解析】因为
的图像关于原点对称，则
为奇函数，且
为奇函数，
则
为偶函数，
即
，
，则
，则
．
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【典例3】（23-24 高三下·湖北黄石·三模）已知函数
，
，则下列说法
正确的是（ ）
A．
为偶函数，
的图象关于直线
对称
B．
的图象关于
轴对称，
不是对称图形
C．
的图象关于原点对称，
的图象关于点
对称
D．
的图象关于原点对称，
的图象关于
轴对称
【答案】A
【解析】函数
的定义域为
，
且
，
所以
为偶函数，函数图象关于
轴对称，
任意
，
，
则
，
故
是偶函数，即
的图象关于
轴
对称.故选：A
五、三角函数对称性问题的2 种求解方法
1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心是图象与x
轴的交点，即函数的零点；
2、公式法：
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；
（2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；
（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z
【典例1】（23-24 高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数
的最小正周
期为
，则
的图象的一个对称中心为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
，由题可知
，所以
.
令
，得
，
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所以
的图象的对称中心为
，所以点
符合.故选：D.
【典例2】（23-24 高三下·陕西·模拟预测）已知函数
，则
的图像
（ ）
A．关于直线
对称
B．关于直线
对称
C．关于
中心对称
D．关于
中心对称
【答案】A
【解析】
，
对于A，
，函数
关于直线
对称，A 正确；
对于B，
，函数
关于直线
不对称，B 错误；
对于C，
，函数
关于
不成中心对称，C 错误；
对于D，
，函数
关于
中心对称，D 错误.故选：A
【典例3】（23-24 高三下·安徽·三模）“
”是“函数
的图象关于
对
称”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数
的图象关于
对称，则
，解得
，
因为
是
的真子集，
所以“
”是“函数
的图象关于
对称”的充分不必要条件.
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故选：A.
六、由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M 和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
把图象的最高点或最低点代入.
【典例1】（23-24 高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数
的部分图
像如图所示，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】B
【解析】由图可得
，
，
，所以
，
所以
，因为
在函数的图像上，
可得
，解得
，
因为
，所以
，
，
所以
.
故选：B.
【典例2】（23-24 高三下·甘肃酒泉·三模）函数
，其部分图象
如图所示，则
（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
的最小正周期为
，
由题意可知：
，
，即
，且
，则
，
可得
，
由图象可知：
为
的最大值点，
则
，解得
，
且
，可知
，所以
.故选：B.
七、三角函数图象的变换
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k 的变化引起图象的变换：
（1）A 的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
（2）ω 的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
（3）φ 的变化引起左右平移变换，k 的变化引起上下平移变换．
图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值；
（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。
【典例1】（23-24 高三下·广东揭阳·二模）把函数
的图象向左平移
个最小正周期后，所得
图象对应的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
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【解析】由题意得
的最小正周期为
，
则所求函数为
.故选：C
【典例2】（23-24 高三下·浙江·月考）（多选）为了得到函数
的图象，只要把函数
图象上所有的点（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】AD
【解析】把函数
图象上所有的点向左平移
个单位长度，
可得函数
的图象，A 正确；
把函数
图象上所有的点向右平移
个单位长度，
可得函数
的图象，B 错误；
把函数
图象上所有的点向左平移
个单位长度，
可得函数
的图象，C 错误；
把函数
图象上所有的点向右平移
个单位长度，
可得函数
的图象，D 正确；故选：AD.
八、三角函数图象与性质综合
角度一、图象性质的综合应用
方法总结：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
【典例1】（23-24 高三下·陕西铜川·三模）已知函数
，则下列说法中不正确的是
（ ）
18
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A．
的最小正周期为
B．
的最大值为
C．
在区间
上单调递增 D．
【答案】C
【解析】依题意
，则函数
的最大值为
，
最小值正周期为
，从而可排除
选项.
，
，根据三角函数的性质可知，
当
，即
时函数单调递减，
当
，即
时函数单调递增，
故
在区间
上不可能单调递增，应选C 项.
为偶函数，
从而
，从而可排除D 选项.故选：C
【典例2】（23-24 高三下·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知
（
，
，
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．
在
内有3 个极值点
D．
在区间
上的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于AB，根据函数
的部分图象知，
，
19
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，
，故AB 正确，
对于C，由五点法画图知，
，解得
，
由于
，所以
，
.
令
，则
，
时，
，
时，
，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
故
在
内有2 个极值点，分别为
，
，故C 错误，
对于D，
，可得：
，
故当
此时
取最大值
，故D 正确.故选：ABD.
角度二：三角函数的零点（方程的根）的问题
方法总结：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
【典例1】（23-24 高三上·浙江温州·期末）已知函数
，若关于x 的方程
在
上
有两个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】画出函数
，
的图象，
若方程
在
上有两个不同的根，，由图可知
.故选：C
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【典例2】（23-24 高三下·江苏·月考）已知函数
，则函数
的零点个数为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】C
【解析】
，所以
的最大值为2，
当
取最大值时，有
，即
，
由
，
令
，解得
，
当
趋于
时，
趋于正无穷，
而
，
所以
在
上存在一个零点，
根据上述分析，在同一平面直角坐标系中画出
的图象与
的图象如图所示，
由图可知，
在
上存在一个零点，
在
上存在
个零点，
综上所述，
的图象与
的图象共有11 个交点.故选：C．
易错点1 忽视正、余弦函数的有界性
点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．
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【典例1】（2023 高三上·全国·专题练习）函数
的最大值为 ．
【答案】
【解析】
，
∵
，∴
，
，
，
∴函数
的最大值为．
【典例2】（23-24 高三上·上海浦东新·月考）函数
的值域为
.
【答案】
【解析】由
，又
，
令
，则
在给定区间内递增，
所以
，即原函数的值域为
.
易错点2 三角函数单调性判断错误
点拨：对于函数y=Asin(ωx+ϕ)来说，当
时，由于内层函数
是单调递增的，所以函
数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性与函数y=sin x 的单调性相同，故可完全按照函数y=sin x 的单调性来解
决；但当
时，内层函数
是单调递减的，所以函数y=Asin(ωx+ϕ)的单调性与函数
y=sin x 的单调性正好相反，就不能按照函数y=sin x 的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将
的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
【典例1】（23-24 高三·全国·专题练习）
在
上的单调递减区间为 .
【答案】
和
【解析】
，
令
得
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则
的单调递减区间为
令
,
∴
在
上的单调递减区间为
和
.
【典例2】（22-23 高三上·河北邢台·期末）函数
的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】由
＝cos
＝cos
，
得2kπ≤2x－
≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋
≤x≤kπ＋
(k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为
(k∈Z).
易错点3 图象变换的方向把握不准
点拨：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，
平
移的量为
，
平移的量为
。
【典例1】（23-24 高三下·江苏南京·二模）为了得到函数
的图象，只要把函数
图
象上所有的点（ ）
A．向左平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向右平移
个单位
【答案】A
【解析】
，
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则把函数
图象上所有的点向左平移
个单位即可，故选：A.
【典例2】（23-24 高三上·山西朔州·月考）（多选）要得到函数
的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向左平移
个单位长度
B．向右平移
个单位长度
C．向左平移
个单位长度
D．向右平移
个单位长度
【答案】BC
【解析】由
，
可知将函数
的图象向右平移
个单位长度，
可得
，即可得函数
的图象，
又由函数
的最小正周期为
，
可知向右平移
个单位长度与向左平移
个单位长度效果相同；所以选项BC 正确.
若向左平移
个单位长度，可得
，故A 错误；
若向右平移
个单位长度，可得
，故D 错误；
故选：BC.
易错点4 用零点确定
的
,忽略图象的升降
点拨：确定φ 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时
与x 轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x 轴
的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【典例1】（23-24 高三下·山东潍坊·月考）函数
的部分图象如图所
示，则
的解析式为 .
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【答案】
【解析】根据图象可得
, 而
，则
，
所以
或
，又
，所以
，
由
得
则
，即
,
由
，所以
，
故
时，
，所以
.
【典例2】（23-24 高三上·广东深圳·开学考试）已知函数
的图象大致如图，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【解析】由题意得
，解得
，
当
时，
，解得
，故
，
将
代入可得，
，
故
，解得
，
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则
，
所以
；
当
时，
，解得
，故
，
将
代入可得，
，
故
，解得
，
则
，
，
综上：.故选：C
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