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第 1 讲 转化思想在立体几何中的应用
转化这种主要的思维策略在高中数学有着广泛的应用，转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也
是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学
问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。
立体几何作为高中数学教学的重要内容之一，这部分蕴含了丰富的数学思想方法，教学中渗透有关的
思想方法，有助于学生降低难度。转化思想在立体几何中主要体现在将空间问题转化为平面问题，涉及到
几何体中的最值问题、等积转化问题以及点线面的转化等问题
【应用一】转化思想在空间几何体中距离最值得应用
我们在高考复习及高考题中也常常遇见几何中某两点的最值问题，对于此类问题可以采取的方式就是
对几何体进行展开。例如下面这道例题：
【例1.1】（2022·广东佛山·高三期末）长方体 中， ，E为棱 上的
动点，平面 交棱 于F，则四边形 的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【思维提升】把曲面上的最短距离问题利用展开图转化为平面上两点间的距离问题，从而使问题得到解决。
这是求曲面上最短距离的一种常用方法。
【变式1-1】（多选）（2022·山东青岛·一模）已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为
， ，母线 长为2， 为母线 中点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆台母线 与底面所成角为60° B．圆台的侧面积为
C．圆台外接球半径为2 D．在圆台的侧面上，从 到 的最短路径的长度为5
【变式1-2】 （2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）（多选题）长方体 中，， ， ，则（ ）
A． 到平面 的距离为
B． 到平面 的距离为
C．沿长方体的表面从 到 的最短距离为
D．沿长方体的表面从 到 的最短距离为
【变式1-3】．如图所示，在正三棱柱 中， ， ，由顶点 沿棱柱侧面(经过棱
)到达顶点 ，与 的交点记为 ，则从点 经点 到 的最短路线长为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式1-3】（2023·安徽铜陵·统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为
2km，山高为 ， 是山坡 上一点，且 .现要建设一条从 到 的环山观光公路，这条公
路从 出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为______.
【应用二】转化思想在空间几何体中线线角、线面角、面面角的应用（1）异面直线所成角公式：设 ， 分别为异面直线 ， 上的方向向量， 为异面直线所成角的大小，
则 ．
（2）线面角公式：设 为平面 的斜线， 为 的方向向量， 为平面 的法向量， 为
与 所成角的大小，则 ．
（3）二面角公式：
设 ， 分别为平面 ， 的法向量，二面角的大小为 ，则 或 （需要根据具体情
况判断相等或互补），其中 ．
空间几何体中线线角、线面角、面面角通常由两种处理方式，一是通过建系，转化为向量进行解决，
二是运用传统的方式分别把角表示出来。
【例2-1】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体 ， ，点 为线段 的中
点，则直线 与平面 所成角的正切值是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）如图，在四棱锥 中，四边形ABCD是直角
梯形， ， ， 底面ABCD， ， ，E是PB的中点．
(1)求证：平面 平面PBC；(2)若二面角 的余弦值为 ，求a的值；
(3)在（2）的条件下求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．
【思维提升】求角度的问题我们有两种方法：几何法与向量法，在选择方法的过程中我们一般有如下原则:
（1）方便建系的题目适合向量法，如长方体，底面容易找到垂直的锥体等
（2）方便做“投影”的题目适合用几何法，如几何体高线上的点与底面连线等
【变式2-1】．（2023·浙江·校联考三模）在正方体 中，平面 经过点B、D，平面 经过
点A、 ，当平面 分别截正方体所得截面面积最大时，平面 所成的锐二面角大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】．（多选）（2023·湖南邵阳·统考三模）（多选题）如图所示，已知点A为圆台 下底面圆
周上一点，S为上底面圆周上一点，且 ，则（ ）
A．该圆台的体积为
B．直线SA与直线 所成角最大值为
C．该圆台有内切球，且半径为
D．直线 与平面 所成角正切值的最大值为
【变式2-3】．【2020年新课标2卷理科】如图，已知三棱柱ABC-ABC 的底面是正三角形，侧面BBC C
1 1 1 1 1
是矩形，M，N分别为BC，BC 的中点，P为AM上一点，过BC 和P的平面交AB于E，交AC于F.
1 1 1 1（1）证明：AA∥MN，且平面AAMN⊥EBC F；
1 1 1 1
（2）设O为△ABC 的中心，若AO∥平面EBC F，且AO=AB，求直线BE与平面AAMN所成角的正弦
1 1 1 1 1 1 1
值.
【整体点评】
(2)方法一：几何法的核心在于找到线面角，本题中利用平行关系进行等价转化是解决问题的关键；
方法二：等价转化是解决问题的关键，构造直角三角形是求解角度的正弦值的基本方法；
方法三：利用向量法的核心是找到平面的法向量和直线的方向向量，然后利用向量法求解即可；
方法四：基底法是立体几何的重要思想，它是平面向量基本定理的延伸，其关键之处在于找到平面的法向
量和直线的方向向量.
【应用三】转化思想在空间几何体中距离的应用
求解空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接
计算．
如图，设两条异面直线 的公垂线的方向向量为 ，这时分别在 上任取 两点，则向量在 上的正射影长就是两条异面直线 的距离．则 即两异面直线间的距离，等于两异面
直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面 外一点（如图）， 为平面 的法向量，过 作平面 的斜线 及垂线 ．
（3）、 向量法求距离
【例3】（2022·福建省高三模拟试卷）在三棱锥 中， 和 都是边长为 的正三角
形， .若 为三棱锥 外接球上的动点，则点 到平面 距离的最大值为
_________.
【思维提升】距离问题问题主要分为点线距离，点面距离以及面面距离。最常考查的是点面距离。对于点
P到直线 l 的距离可以考虑通过向量加以解决。对于点到面的距离，可以从传统的方法以及向量法。传统
的方法体现在把距离做出来，若在特殊的体中如圆锥、正棱柱等，做垂线垂足在特殊的位置可以作出距离
（定性），然后再三角形中求出。若不好定性则可以考虑运用等积法。若建系分别用向量也比较简单。线
面距和面面距，转化成点面距求解．【变式3-1】．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知四棱锥 的底面为正方形，
底面 ，点 是线段 上的动点，则直线 与平面 所成角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】．（2023·浙江温州·统考三模）四面体 满足
，点 在棱 上，且 ，点 为 的重
心，则点 到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）如图，一个由四根细铁杆 、 、 、
组成的支架（ 、 、 、 按照逆时针排布），若 ，一个半径
为1的球恰好放在支架上与四根细铁杆均有接触，则球心 到点 的距离是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式3-4】 （2023·山西·统考一模）如图所示，在四棱锥 中，侧面 平面 ，
是边长为 的等边三角形，底面 为直角梯形，其中 ， ， .
(1)求 到平面 的距离；
(2)线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 夹角的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
【应用四】转化思想在空间几何体线线、线面、面面位置关系的应用
线线、线面、面面平行与垂直的位置关系既相互依存又存在，又在一定条件下不仅能纵向转化：线
线平行或垂直，线面平行或垂直，面面平行或垂直。而且还可以横向转化：线线、线面、面面的平行，线
线、线面、面面的垂直。这些转化关系在平行或垂直的判定定理和性质定理中得到充分体现。平行或垂直
关系的证明大都可以利用上述结论关系去证明。
如平行关系：
【例 4】（2022•浙江）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ，
， ， ，二面角 的平面角为 ．设 ， 分别为 ，
的中点．
（Ⅰ）证明： ；【思维提升】证明线线垂直的位置关系时，若通过转化为异面直线所成的角有困难，可以通过线线垂直、
线面垂直以及面面垂直的之间的性质定理与判定定理进行转化。即线线垂直转化为线面垂直，线面垂直转
化为面面垂直。
【变式 4-1】．（2022•甲卷（理））在四棱锥 中， 底面 ， ，
， ， ．
（1）证明： ；
【变式4-2】．（2022•北京）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
【方法总结】
1．判定面面平行的主要方法：(1) 利用面面平行的判定定理；(2) 利用线面垂直的性质．
2. 面面平行条件的应用：(1) 两平面平行，分析构造与之相交的第三个平面，交线平行；(2) 两平
面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行．
【变式4-3】．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）如图，直三棱柱 内接于圆柱，
，平面 平面 ．
(1)证明： 为圆柱底面的直径；【应用五】转化思想在空间几何体中体积的应用
研究简单几何体体积问题的过程中，运用等积转化常见的思路为选择适当的底面和高。体现在转化顶
点法、转化底面、根据比值进行转化。
柱、锥、台、球的表面积和体积
名称
表面积 体积
几何体
柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝ Sh
锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ Sh
台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h
球 S＝ 4πR2 V＝ πR3
【例5】【2020年新课标3卷理科】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体
积为_________．
【思维点睛】
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，
确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正
方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直
径.
【变式5-1】．（2022·江苏如皋·高三期末）已知三棱锥D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝
，∠BAC＝ ，则点A到平面BCD的距离为_________，该三棱锥的外接球的体积为_________.
【变式5-2】．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗，粽子主要分为南北两大派系，地方细分特色鲜明，且形状各异，裹蒸粽是广东肇庆地区最为出名的粽子，是
用当地特有的冬叶､水草包裹糯米､绿豆､猪肉､咸蛋黄等蒸制而成的金字塔形的粽子，现将裹蒸粽看作一个
正四面体，其内部的咸蛋黄看作一个球体，那么，当咸蛋黄的体积为 时，该裹蒸粽的高的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【变式5-3】．．【2022年新高考2卷】（多选题）如图，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，
FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E−ACD，F−ABC，F−ACE的体积分别为V ,V ,V ，则
1 2 3
（ ）
A．V =2V B．V =V
3 2 3 1
C．V =V +V D．2V =3V
3 1 2 3 1
巩固练习
1、（2023·河北唐山·统考三模）把边长为 的正方形 沿对角线 折成直二面角 ，则三
棱锥 的外接球的球心到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
2、（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）（多选题）已知正方体ABCD−ABC D 的棱长为2，
1 1 1 1
M为棱CC 上的动点，AM⊥平面 ，下面说法正确的是（ ）
1
A．若N为DD 中点，当AM+MN最小时，CM=
1
B．当点M与点C 重合时，若平面 截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
1C．若点M为CC 的中点，平面 过点B，则平面 截正方体所得截面图形的面积为
1
D．直线AB与平面 所成角的余弦值的取值范围为
3、【2022年新高考1卷】（多选题）已知正方体ABCD−A B C D ，则（ ）
1 1 1 1
A．直线BC 与DA 所成的角为90° B．直线BC 与C A 所成的角为90°
1 1 1 1
C．直线BC 与平面BB D D所成的角为45° D．直线BC 与平面ABCD所成的角为45°
1 1 1 1
4、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1， ，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
5、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为 的正 ，
粮堆母线 的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，
则小猫所经过的最短路程是__________m．
6、（2023·江苏南京·校考一模）如图，三棱柱 中，侧面 为矩形， 是边长为2的菱形， ， ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求三棱柱 的体积．
7、 （2022年福建省福州市高三模拟试卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PAB是边长为2的等边三角
形．梯形ABCD满足BC＝CD＝1，AB∥CD，AB⊥BC．
（1）求证：PD⊥AB；
（2）若PD＝2，求点D到平面PBC的距离．
8、（2022年广东省佛山市高三模拟试卷）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图
1，E、F、G分别是边长为4的正方形的三边 的中点，先沿着虚线段 将等腰直角三角形
裁掉，再将剩下的五边形 沿着线段EF折起，连接 就得到了一个“刍甍” (如图
2)。
（1）若O是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
（2）若二面角 的大小为 求平面 与平面 夹角的余弦值.
