第 小题 圆锥曲线问题
15
第15小题 圆锥曲线问题..........................................................1
一、主干知识归纳与回顾......................................................2
15.1 椭圆................................................................2
15.2 双曲线..............................................................3
15.3 抛物线..............................................................4
（一）命题角度剖析..........................................................5
（二）考情分析..............................................................5
（三）高考预测..............................................................6
二、题型分类与预测..........................................................6
命题点一：圆锥曲线的定义.................................................6
1.1母题精析（三年高考真题）..........................................6
一．椭圆的定义（共1小题）........................................6
二．抛物线的定义（共6小题）......................................7
三．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）................................9
1.2解题模型.........................................................10
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................12
一．椭圆的定义（共1小题）.......................................12
二．抛物线的性质（共10小题）....................................13
三．双曲线的定义（共1小题）.....................................19
四．圆与圆锥曲线的综合（共1小题）...............................19
命题点二：求圆锥曲线的方程..............................................20
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................20
一．椭圆的方程（共2小题）.......................................20
二．抛物线的方程（共1小题）.....................................21
三．双曲线的方程（共7小题）.....................................22
1.2解题模型.........................................................251.3对点训练（四年省市模考）.........................................26
一．椭圆的方程（共3小题）.......................................26
二．抛物线的方程（共1小题）.....................................29
三．双曲线的标准方程（共1小题）.................................29
四．双曲线的方程（共3小题）.....................................30
命题点三：圆锥曲线的性质................................................32
1.1母题精析（三年高考真题）.........................................32
一．椭圆的性质（共11小题）......................................32
二．抛物线的性质（共1小题）.....................................39
三．直线与抛物线的综合（共1小题）...............................40
四．双曲线的性质（共20小题）....................................41
五．直线与双曲线的综合（共1小题）...............................54
1.2解题模型.........................................................55
1.3对点训练（四年省市模考）.........................................58
一．椭圆的性质（共8小题）.......................................58
二．抛物线的性质（共8小题）.....................................64
三．直线与抛物线的综合（共2小题）...............................73
四．双曲线的性质（共11小题）....................................75
五．直线与双曲线的综合（共1小题）...............................84
三、类题狂刷（五年区模、校模）：...........................................86
一．椭圆的性质（共9小题）.......................................86
二．抛物线的性质（共17小题）....................................95
三．直线与抛物线的综合（共2小题）..............................110
四．双曲线的性质（共16小题）...................................112
五．直线与双曲线的综合（共1小题）..............................125
六．圆锥曲线的综合（共1小题）..................................126
七．圆与圆锥曲线的综合（共2小题）..............................127一、主干知识归纳与回顾
15.1 椭圆
定义 平面内与两个定点 、 的距离的和等于常数 （大于 ）的点的
轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴的长 短轴的长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、
焦距
关系
离心率
焦点三角形面积
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
弦长公式
，15.2 双曲线
定义 平面内与两个定点 、 的距离的差的绝对值等于非零常数 （小于 ）
的点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
焦点的位置 焦点在 轴上 焦点在 轴上
图形
标准方程
范围 或 ， 或 ，
顶点
、 、
轴长 实轴的长 虚轴的长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、
焦距
关系
离心率
渐近线方程
焦点到渐近线
距离
焦点三角形面
积
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：15.3 抛物线
平面内与一定点 和一条定直线 ( 不经过点 )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 叫
定义
抛物线的焦点，直线 叫抛物线的准线.
图形
标准方程
顶点
离心率
对称轴 轴 轴
范围
焦点
准线方程
通径
过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：
焦点弦长
公式
参数 的
几何意义 参数 表示焦点到准线的距离， 越大，开口越阔（一）命题角度剖析
1.圆锥曲线的定义★★★★☆ 2.求圆锥曲线的方程★★★★☆
3.圆锥曲线的性质★★★★★
（二）考情分析
高考频率：100% 试题难度：中等较难 呈现形式：以选择题或填空题
（三）高考预测
圆锥曲线在高考中一般有一大二小的题型设计，小题侧重圆锥曲线的定义、标准方程、
几何性质的考查，其中离心率是考查的重点，另外，小题多与平面几何或平面向量结合，有
一定的难度。二、题型分类与预测
命题点一：圆锥曲线的定义
1.1母题精析（三年高考真题）
一．椭圆的定义（共1小题）
1．（2021•上海）已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点， 为焦点作抛物线
交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ．
【点评】本题考查了抛物线的定义以及椭圆的定义和性质，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
二．抛物线的定义（共6小题）
2．（2023•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 到直线 的距离为5，则
A．7 B．6 C．5 D．4
【点评】本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．
3．（2022•乙卷）设 为抛物线 的焦点，点 在 上，点 ，若 ，则
A．2 B． C．3 D．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，距离公式的应用，是基础题．
4．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
A．1 B．2 C． D．4
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，是基础题．5．（2023•乙卷）已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为 ．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
6．（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与
轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．（2021•北京）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 ，若 ，
则点 的横坐标是 5 ； 的面积为 ．
【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用，抛物线定义的应用以及几何性质的运用，考查了逻辑推理能
力与运算能力，属于中档题．
三．圆锥曲线的轨迹问题（共1小题）
8．（2020•上海）已知椭圆 ，作垂直于 轴的垂线交椭圆于 、 两点，作垂直于 轴的垂线
交椭圆于 、 两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题．
1.2解题模型
1.圆锥曲线的定义与拓展
(1)椭圆的定义
①第一定义：{P||PF₁|+|PF₂|=2a(2a>|F₁F₂|=2c),其中F,F₂为两个定点}.
②第二定义： 其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F l,d为点P到直线l
的距离.③第三定义：{P|k ·k =e²-1,0<e<1,其中k k 分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为
PA PB PA, PB
离心率}(注意：椭圆的第三定义中的定点在x轴上，且利用椭圆的第三定义得出的轨迹方程
不包括这两个定点).
(2)双曲线的定义
①第一定义：{P|||PF₁|-|PF₂||=2a<|F₁F₂|=2c,其中F₁,F₂为两个定点}.
②第二定义：{p|PF=e,e>1,其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F l,为点P到直线l的距
离(注意：当F为左焦点时，l为左准线 ；当F为右焦点时，l为右准线 )
③第三定义：{P|k ·k =e²-1,e>1,其中k k 分别表示点P与两定点A,B连线的斜率，e为离
PA PB PA, PB
心率}(注意：此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上).
(3)抛物线的定义
抛物线的定义可归结为“一动三定”:“一动”即一个动点，设为M;“三定”即一个定点F、一
条定直线l、一个定值(即动点M与定点F的距离和动点M到定直线l的距离的比值为常数1).
2.圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内与定点有关的轨迹是否为椭圆、
双曲线、抛物线；二是利用椭圆、双曲线、抛物线的定义解决与焦点有关的问题.
类题通法：
(1)解决椭圆焦半径的最值问题的常见思路：①与焦半径乘积有关的最值问题，一般利用
椭圆的定义，根据基本不等式求解，注意等号成立的条件；②与焦半径和、差有关的最值问
题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题解决.
(2)解决双曲线焦半径的最值问题的思路：利用双曲线的定义及正、余弦定理得出焦半径
的关系式，进而求出与之相关的最值.
(3)解决抛物线焦半径的最值问题的思路：利用抛物线上某点到焦点的距离与该点到准线
距离相等进行转化，再根据平面几何的相关知识求解.
3.轨迹方程的求法
(1)直接法
直接法是将圆锥曲线中满足的几何关系或者等量关系的动点直接坐标化，列出等式后化简即
可得到动点轨迹方程.当所求动点要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、
代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程.要注意用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是
不能忽视的.
(2)定义法
若从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关
曲线的要素，求出曲线方程.要注意在利用定义法求轨迹方程后，还要看轨迹是否是完整的圆、
椭圆、双曲线或抛物线，如果不是完整的曲线，那么应对其中的变量x或y进行限制.
(3)相关点法(代入法)
若所求点P(x,y)与某已知曲线F(x ,y )=0上一点Q((x ,y )存在某种关系，则可根据条件用
0 0 0 0
x,y表示出x₀,yo,然后代入到点Q所在曲线的方程中，即可得到关于x,y的方程.
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用相关点法求出点P的轨迹方程：
①某个动点Q在已知方程的曲线上移动；②另一个动点P随点Q的变化而变化；③在变
化过程中点P和点Q满足一定的规律，
(4)参数法
从条件中无法直接找到x,y的联系，但可通过辅助变量k,分别找到x,y与k的关系，从而
得到x,y,k的方程组 即曲线的而得到x,y和k的方程组参数方程，消去参数k后即可
得到关于x,y的方程.在选择参数时，要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．椭圆的定义（共1小题）
1．（2023•南平模拟）设 是曲线 上的点， ， ，则 的
最大值等于 1 0 ．
二．抛物线的性质（共10小题）
2．（2023•莆田模拟）已知 为抛物线 的焦点， 为 上的一点， 中点的横坐标为2，则
A．3 B．4 C．5 D．63．（2023•三明三模）设抛物线焦点为 ，准线与对称轴交于点 ，过 的直线交抛物线于 ， 两点，
对称轴上一点 满足 ，若 的面积为 ，则 到抛物线准线的距离为
A． B． C． D．
4．（2023•宁德模拟）已知抛物线 的焦点为 ， 为抛物线上一个动点， ，则
的最小值为
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（2023•泉州模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若 ，
，则 到 的距离等于
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2022•泉州模拟）抛物线具有如下光学性质：从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光
线平行于抛物线的对称轴．生活中的探照灯就是利用这个原理设计的．已知 是抛物线 的焦点，
从 发出的光线经 上的点 反射后经过点 ，则
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2022•厦门模拟）已知抛物线 的准线被圆 所截得的弦长为 ，则
A．1 B． C．2 D．4
8．（2022•荔城区校级模拟）过抛物线 焦点 的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右
依次为 ， ， ．若 ，则线段 的中点到准线的距离为
A．3 B．4 C．5 D．69．（2021•福州一模）若抛物线 上一点 到其焦点的距离等于3，则
A． B． C． D．
10．（2021•厦门二模）已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点，且 ，以 为
直径的圆截 轴所得的弦长为2，则
A．2 B．4 C．2或4 D．2或6
11．（2022•龙岩模拟）抛物线 上一点 ， 到焦点的距离为 3 ．
三．双曲线的定义（共1小题）
12．（2021•厦门模拟）双曲线 的焦点到渐近线的距离是
A．2 B．3 C． D．6
四．圆与圆锥曲线的综合（共1小题）
13．（2021•莆田二模）已知抛物线 的准线与圆 相切，则
A．2 B．6或 C． 或10 D．2或命题点二：求圆锥曲线的方程
1.1母题精析（三年高考真题）
一．椭圆的方程（共2小题）
1．（2022•甲卷）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的左、右顶点， 为
的上顶点．若 ，则 的方程为
A． B．
C． D．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，平面向量数量积的坐标运算等知识，属于中等题．
2．（2019•新课标Ⅰ）已知椭圆 的焦点为 ， ，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点．
若 ， ，则 的方程为
A． B． C． D．
【点评】本题考查了椭圆的性质，余弦定理的应用，属中档题．
二．抛物线的方程（共1小题）
3．（2022•全国）以 为焦点， 轴为准线的抛物线的方程是
A． B． C． D．
【点评】本题考查抛物线的平移及抛物线的方程的求法，属于基础题．
三．双曲线的方程（共7小题）
4．（2023•乙卷）设 ， 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是
A． B． C． D．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，是中档题．5．（2023•天津）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．过 作其中一条渐近线的
垂线，垂足为 ．已知 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．
6．（2022•天津）已知抛物线 ， ， 分别是双曲线 的左、右焦点，抛
物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点 ，若 ，则双曲线的标准方程为
A． B． C． D．
【点评】本题考查抛物线的性质与双曲线的性质，方程思想，属基础题．
7．（2021•北京）双曲线 的离心率为2，且过点 ， ，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【点评】本题考查了双曲线的标准方程的求解，解题的关键是求出基本量 ， 的值，考查了运算能力，
属于基础题．
8．（2020•天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线
为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为
A． B． C． D．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
9．（2023•北京）已知双曲线 的焦点为 和 ，离心率为 ，则 的方程为 ．
【点评】本题考查双曲线的方程的求解，方程思想，属基础题．
10．（2020•全国）已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则 ．
【点评】本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质，是基础题．1.2解题模型
1.求圆锥曲线方程的方法
(1)定义法：根据已知条件，若所求轨迹满足圆锥曲线的定义，则利用圆锥曲线的定义求出参
数a,b,p的值，从而得到所求的轨迹方程.
(2)待定系数法：根据题目条件确定焦点的位置，从而设出所求圆锥曲线的标准方程，利用题
目条件构造关于a,b,p的方程(组),解得a,b,p的值，即可求得方程。
归纳总结：
利用待定系数法求椭圆，双曲线方程时，多用到以下方法设方程：
(1)与椭圆 有相同的离心率的椭圆方程可设为 。
(2)与椭圆 有相同的离心率的椭圆方程可设为
。
(3)与双曲线 共渐近线的双曲线方程可设为
。
(4)与双曲线的渐近线方程为 ，则双曲线方程可设为 。
(5)若双曲线过两个已知点，则双曲线可设为 或(6)与双曲线 共焦点的双曲线方程可设为
。
(7)与椭圆 有相同焦点的双曲线方程可设为
2关于抛物线标准方程的理解
(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式.
(2)焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x²=±2py(p>0),通常又可以写成y=ax²,这与以前所学习
的二次函数的解析式一致，但需要注意由方程y=ax²求焦点坐标和准线方程时，必须先将抛
物线的方程化成标准形式.
(3)抛物线y²=2px上的点通常可设为( ).,可减少变元的数量.
1.3对点训练（四年省市模考）
一．椭圆的方程（共3小题）
1．（2023•思明区校级三模）已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆
于 、 两点．若 的中点坐标为 ，则 的方程为
A． B．
C． D．
2．（2023•新罗区校级三模）如图， ， 分别为椭圆 的左、右焦点， ， 在椭圆上且关于
原点对称（点 在第一象限），延长 交椭圆于点 ，若 ，则直线 的方程为．
3．（2023•福州模拟）已知椭圆 ，直线 与 在第二象限交于 ， 两点 在 的左下
方），与 轴， 轴分别交于点 ， ，且 ，则 的方程为 ．
二．抛物线的方程（共1小题）
4．（2023•莆田模拟）若抛物线 的焦点到准线的距离为3，且 的开口朝左，则 的标准方程为
A． B． C． D．
三．双曲线的标准方程（共1小题）
5．（2022•宁德模拟）若过点 ， 的双曲线的渐近线为 ，则该双曲线的标准方程是
．
四．双曲线的方程（共3小题）
6．（2022•泉州模拟）已知双曲线 的焦距为 ，点 在 的一条渐近线上，
则 的方程为
A． B．
C． D．
7．（2019•厦门一模）已知双曲线 的一个焦点为 ，点 ， 是 的一条渐近
线上关于原点对称的两点，以 为直径的圆过 且交 的左支于 ， 两点，若 ， 的面积为8，则 的渐近线方程为
A． B． C． D．
8．（2023•福州模拟）已知曲线
A．若 ，则 是椭圆
B．若 ，则 是双曲线
C．当 是椭圆时，若 越大，则 越接近于圆
D．当 是双曲线时，若 越小，则 的张口越大
命题点三：圆锥曲线的性质
1.1母题精析（三年高考真题）
一．椭圆的性质（共11小题）
1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆 ， 的离心率分别为 ， ．若 ，
则
A． B． C． D．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属基础题．
2．（2023•甲卷）已知椭圆 ， ， 为两个焦点， 为原点， 为椭圆上一点，
，则
A． B． C． D．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的数量积以及余弦定理的应用，是中档题．
3．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆 的左焦点和右焦点分别为 和 ，直线 与 交于
点 ， 两点，若△ 面积是△ 面积的两倍，则
A． B． C． D．
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属中档题．
4．（2023•甲卷）设 ， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
A．1 B．2 C．4 D．5
【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及勾股定理与三角形的面积，关键是掌握椭圆的几何性质．
5．（2022•甲卷）椭圆 的左顶点为 ，点 ， 均在 上，且关于 轴对称．若
直线 ， 的斜率之积为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，是基础题．
6．（2021•新高考Ⅰ）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则 的最
大值为
A．13 B．12 C．9 D．6
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，是基础题．
7．（2021•乙卷）设 是椭圆 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为
A． B． C． D．2
【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的参数方程，三角函数最值的求法，考查转化思想以及计算能力，
是中档题．8．（2021•乙卷）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足 ，
则 的离心率的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，考查了运算求解能力和转化与化归思想，属于中档题．
9．（2021•甲卷）已知 ， 为椭圆 的两个焦点， ， 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，则四边形 的面积为 8 ．
【点评】本题主要考查椭圆的性质，椭圆的定义，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．
10．（2021•浙江）已知椭圆 ，焦点 ， ， ．若过 的直线和圆
相切，与椭圆的第一象限交于点 ，且 轴，则该直线的斜率是 ，椭圆
的离心率是 ．
【点评】本题考查了椭圆、圆的简单几何性质，以及点到直线的距离公式，需要学生熟练掌握公式，是中
档题．
11．（2020•上海）已知椭圆 的右焦点为 ，直线 经过椭圆右焦点 ，交椭圆 于 、
两点（点 在第二象限），若点 关于 轴对称点为 ，且满足 ，求直线 的方程是
．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与直线的对称关系的应用，直线方程的求法，是基本知识
的考查．
二．抛物线的性质（共1小题）
12．（2022•新高考Ⅱ）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 ， 两点，其中 在第一象限，点 ．若 ，则
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
三．直线与抛物线的综合（共1小题）
13．（2023•新高考Ⅱ）设 为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且与
交于 ， 两点， 为 的准线，则
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D． 为等腰三角形
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质的应用，是中档题．
四．双曲线的性质（共20小题）
14．（2023•甲卷）已知双曲线 的离心率为 ， 的一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则
A． B． C． D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．
15．（2023•甲卷）已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆
交于 ， 两点，则
A． B． C． D．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，是中档题．16．（2022•全国）若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的离心率
为
A．5 B． C． D．
【点评】本题考查双曲线的性质的应用及直线相互垂直的性质的应用，属于基础题．
17．（2021•甲卷）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为
A． B． C． D．
【点评】本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，属于基础题．
18．（2021•甲卷）已知 ， 是双曲线 的两个焦点， 为 上一点，且 ， ，
则 的离心率为
A． B． C． D．
【点评】本题考查余弦定理，方程思想，双曲线的几何性质，属基础题．
19．（2021•天津）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，抛物
线的准线交双曲线于 ， 两点，交双曲线的渐近线于 ， 两点，若 ，则双曲线的离心
率为
A． B． C．2 D．3
【点评】本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．
20．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ．
是 上一点，且 ．若△ 的面积为4，则A．1 B．2 C．4 D．8
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算
能力．
21．（2020•天津）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线
为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为
A． B． C． D．
【点评】本题考查了双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，直线的平行和垂直，属于中档题．
22．（2020•新课标Ⅰ）设 ， 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则△ 的面积为
A． B．3 C． D．2
【点评】本题考查了双曲线的性质，直角三角形的性质，双曲线的定义，三角形的面积，属于中档题．
23．（2020•全国）设双曲线 的焦点为 ， ，点 在双曲线右支上，且 ，则点
的横坐标为
A． B．2 C． D．6
【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，方程思想，属基础题．
24．（2022•乙卷）双曲线 的两个焦点为 ， ，以 的实轴为直径的圆记为 ，过 作 的切线与
交于 ， 两点，且 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，圆的性质，考查转化思想与数形结合思想，考查运算求解能力，属
于中档题．25．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．点 在 上，
点 在 轴上， ， ，则 的离心率为 ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
26．（2022•北京）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【点评】本题主要考查双曲线的简单性质，考查运算求解能力，属于基础题．
27．（2022•上海）已知 ， ， ， 两点均在双曲线 的右支上，若
恒成立，则实数 的取值范围为 ， ．
【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题．
28．（2022•浙江）已知双曲线 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线交双曲线于
点 ， ，交双曲线的渐近线于点 ， 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
29．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的渐近线方程为
．
【点评】本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求它的渐近线，着重考查了双曲线
的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
30．（2021•全国）双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在直线 上，则
的最小值为 ．【点评】本题考查双曲线的性质及点关于直线的对称点的坐标的求法及线段和最小值的求法，属于中档题．
31．（2020•江苏）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的一条渐近线方程为 ，
则该双曲线的离心率是 ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
32．（2020•新课标Ⅲ）设双曲线 的一条渐近线为 ，则 的离心率为
．
【点评】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
33．（2020•新课标Ⅰ）已知 为双曲线 的右焦点， 为 的右顶点， 为 上
的点，且 垂直于 轴．若 的斜率为3，则 的离心率为 2 ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力．
五．直线与双曲线的综合（共1小题）
34．（2020•新课标Ⅱ）设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别
交于 ， 两点．若 的面积为8，则 的焦距的最小值为
A．4 B．8 C．16 D．32
【点评】本题考查了双曲线的方程和基本不等式，以及渐近线方程，属于基础题．1.2解题模型
1.利用基本不等式求最值的方法
求圆锥曲线的离心率或其范围的方法
(1)求出a,b或a,c的值，代入 直接求解.
(2)根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),结合b²=a²-c²或b²=c²-a²转化为关于a,c的齐次
等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a²转化为关于e或e²的方程(不等
式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).在求解时要注意椭圆中0<e<1,而双曲线中e>1.
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
2椭圆的几何性质的拓展
(1)通径：过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为 ,通径是最短的焦点弦.
(2)设P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a-c,a+c],即椭圆上的点到焦点的距离的最大
值为a+c,最小值为a—c.
(3)椭圆的焦点三角形：以椭圆上的点P(x₀,yo)与两焦点F₁,F₂为顶点的△PF₁F₂叫作焦点三角形.
如图所示，设∠F₁PF₂=0,焦点三角形具有如下性质：
①当P为短轴端点时，θ最大.
② =|PF₁|·|PF₂|sinθ= ，当 ，即P为短轴端点时，
S△PF F₂取最大值，最大值为bc.③焦点三角形的周长为2(a+c).
1
双曲线的几何性质的拓展(1)通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦长为
(2)若P是双曲线右支上一点，F₁,F₂分别为双曲线的左、右焦点，则|PF₁|min=a+c,|PF |min=c-a.
2
(3)焦点三角形的几个结论
①若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F₁,F₂分别为双曲线的左、右焦点，则
，
②过双曲线焦点F₁的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F₂构成的△ABF₂的周
长为4a+2|AB|.
③若P是双曲线 右支上不同于实轴端点的任意一点，F₁,F 分别为双曲
2
线的左、右焦点，I为△PF₁F₂内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
(4)焦点到渐近线的距离为b.
(5)等轴双曲线
①概念：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫作等轴双曲线.
②性质：双曲线的离心率e= ⇔两条渐近线互相垂直.
③一般方程：x²-y²=λ(λ≠0).
(6)共轭双曲线的性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的
倒数的平方和等于1.
(7)设P,A,B是双曲线上的三个不同的点，其中A,B关于原点对称，则直线PA与PB的斜率之
积为 (适用于焦点在x轴上的双曲线).
4抛物线焦点弦性质归纳
(1)焦点弦的性质以抛物线y²=2px(p>0)为例，设AB是抛物线的焦点弦，直线AB的倾斜角为θ,F是抛物线的焦
点，A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),A,B在准线上的射影为A₁,B₁,则有以下结论：
①
②若A位于x轴上方，B位于x轴下方，
③|AB|=x₁+x₂+p= 抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦.
④
⑤ 为定值.
⑥以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
⑦以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切.
⑧以A₁B₁为直径的圆与直线AB相切，切点为F,∠A₁FB₁=90°.
⑨A,O,B₁三点共线，B,O,A₁三点也共线.
(2)如图所示，AB是抛物线x²=2py(p>
0)的焦点弦，分别过A,B作抛物线的切线，交于点P,连接PF,则有以下结论：
①点P的轨迹是一条直线，即抛物线的准线l:
②两切线互相垂直，即PA⊥PB.
③PA⊥PB.④点P的坐标为
1.3对点训练（四年省市模考）
一．椭圆的性质（共8小题）
1．（2023•漳州模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，以 为圆心的圆与
轴交于 ， 两点，与 轴正半轴交于点 ，线段 与 交于点 ．若 与 的焦距的比值为
，则 的离心率为
A． B． C． D．
2．（2023•泉州模拟）已知椭圆 的左焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交
于 ， 两点，与 轴交于点 ．若 ，则 的离心率为A． B． C． D．
3．（2023•福州模拟）已知椭圆 ，且 ， ， 依次成公比为2的等比数列，则
A． 的长轴长为2
B． 的焦距为
C． 的离心率为
D． 与圆 有2个公共点
4．（2023•莆田模拟）已知椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，右焦点为 ， 关
于直线 的对称点为 ．若过 ， ， 三点的圆的半径为 ，则 的离心率为 ．
5．（2023•龙岩模拟）已知 ， ， 是椭圆 上的三个点， 为 的左焦点， ，
两点关于原点 对称，若 ，则椭圆 的离心率为 ．
6．（2023•莆田模拟）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与
椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．
已知椭圆 ，则 的蒙日圆 的方程为 ；若过圆 上的动点 作 的两条
切线，分别与圆 交于 ， 两点，则 面积的最大值为 ．
7．（2023•漳州模拟）已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ， ， 为 上的两
个动点，且直线 与 斜率之积为 为坐标原点），则椭圆 的短轴长为 2 ，
．8．（2023•福州模拟）已知椭圆 ，直线 与 在第二象限交于 ， 两点 在 的左下
方），与 轴， 轴分别交于点 ， ，且 ，则 的方程为 ．
二．抛物线的性质（共8小题）
9．（2023•泉州模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线 与 交于 、 两点，点 在
上的投影为 ．若 ，则
A． B．2 C． D．3
10．（2023•泉州模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上，点 在 上．若
， ，则 到 的距离等于
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2023•漳州模拟）上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役．在这场
战役中，我军使用了反斜面阵地防御战术．反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡．反
斜面阵地的构建，是为了规避敌方重火力输出．某反斜面阵地如图所示，山脚 ， 两点和敌方阵地 点
在同一条直线上，某炮弹的弹道 是抛物线 的一部分，其中 在直线 上，抛物线的顶点 到直线
的距离为100米， 长为400米， ， ，建立适当的坐标系使得抛物线 的方程
为 ，则
A．
B． 的准线方程为
C． 的焦点坐标为D．弹道 上的点到直线 的距离的最大值为
12．（2023•福建模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上， 垂直 于点 ，直线
与 相交于 、 两点．若 为 的三等分点，则
A． B． C． D．
13．（2023•福建模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上， 垂直 于点 ，直线
与 相交于 、 两点．若 为 的三等分点，则
A． B． C． D．
14．（2023•南平模拟）已知点 ，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 ， 两点，
则
A． 的最大值为
B． 的面积最小值为2
C．当 取到最大值时，直线 与 相切
D．当 取到最大值时，
15．（ 2023•漳州模拟）已知 为抛物线 上的一个动点，直线 ， 为圆上的动点，则点 到直线 的距离与 之和的最小值为 4 ．
16．（2023•泉州模拟）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线
与 交于 ， 两点．若 的面积等于 的面积的2倍，则 ．
三．直线与抛物线的综合（共2小题）
17．（2023•厦门模拟）抛物线： ， 是 上的点，直线 与 交于 ， 两点，
过 的焦点 作 的垂线，垂足为 ，则
A． 的最小值为1
B． 的最小值为1
C． 为钝角
D．若 ，直线 与 的斜率之积为
18．（2023•龙岩模拟）已知抛物线 ，直线 过点 且与 相交于 ， 两点，若 的
平分线过点 ，则直线 的斜率为 ．
四．双曲线的性质（共11小题）
19．（2023•福建模拟）已知双曲线 的离心率为 ，左，右焦点分别为 ， ，
关于 的一条渐近线的对称点为 ．若 ，则△ 的面积为
A．2 B． C．3 D．4
20．（2023•漳州模拟）已知双曲线 的左焦点为 ，直线 与双曲线交于 ， 两点，且 ， ，则当 取得最小值时，双曲线 的离心率为
A．3 B． C．2 D．
21．（2023•厦门模拟）已知双曲线 的焦距为4，则其离心率为
A． B． C．2 D．4
22．（2023•南平模拟）已知双曲线 的左顶点为 ，若 上存在点 ，使得 与
关于直线 对称，则 的离心率为
A． B． C．2 D．3
23．（2023•泉州模拟）已知双曲线 的焦点分别为 ，虚轴为 ．若四边形 的一个内角为
，则 的离心率等于
A． B． C． D．3
24．（2023•漳州模拟）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，且 到
的一条渐近线的距离为 ， 为坐标原点，点 ， 为 右支上的一点，则
A．
B．过点 且斜率为1的直线与 有两个不同的交点
C．
D．当 ， ， ， 四点共圆时，
25．（2023•三明三模）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时
等号成立．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，双曲线上关于原点对称的两点
， 满足 ，若 ，则双曲线的离心率为 ．
26．（2023•泉州模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 的渐近线与
圆 在第一象限的交点为 ，线段 与 交于点 ， 为坐标原点．若 ，则 的离
心率为 ．
27．（2023•福州模拟）已知 是双曲线 的左焦点， 是 的右顶点，过点 作 轴的垂线
交双曲线的一条渐近线于点 ，连接 交另一条渐近线于点 ．若 ，则双曲线 的离心率
为 2 ．
28．（2023•厦门模拟）不与 轴重合的直线 过点 ， ，双曲线 上
存在两点 、 关于 对称， 中点 的横坐标为 ．若 ，则 的离心率为 2 ．
29．（2023•泉州模拟）在平面直角坐标系 中，已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，
为 的左、右顶点， 为 左支上一点，若 平分 ，直线 与 的斜率分别为 ， ，且
，则 的离心率等于 2 ．
五．直线与双曲线的综合（共1小题）
30．（2023•龙岩模拟）已知双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，为坐标原点．直线 交双曲线 的右支于 ， 两点（不同于右顶点），且与双曲线 的两条渐近线分
别交于 ， 两点，则
A． 为定值
B．
C．点 到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．存在直线 使
三、类题狂刷（五年区模、校模）：
一．椭圆的性质（共9小题）
1．（2023•思明区校级模拟）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆
上且位于第一象限，满足 ， 的平分线与 相交于点 ，若 ，则椭圆的离
心率为
A． B． C． D．
2．（2023•鼓楼区校级模拟）已知椭圆 ， 为其左焦点，直线 与椭圆
交于点 ， ，且 ．若 ，则椭圆 的离心率为A． B． C． D．
3．（2023•厦门模拟）比利时数学家旦德林发现：两个不相切的球与一个圆锥面都相切，若一个平面在圆
锥内部与两个球都相切，则平面与圆锥面的交线是以切点为焦点的椭圆．如图所示，这个结论在圆柱中也
适用．用平行光源照射一个放在桌面上的球，球在桌面上留下的投影区域内（含边界）有一点 ，若平行
光与桌面夹角为 ，球的半径为 ，则点 到球与桌面切点距离的最大值为
A． B． C． D．
4．（2023•福州模拟）已知椭圆 ，且 ， ， 依次成公比为2的等比数列，则
A． 的长轴长为2
B． 的焦距为
C． 的离心率为
D． 与圆 有2个公共点
5．（2023•福鼎市校级一模）如图， ， 分别是椭圆的左、右焦点，点 是以 为直径的圆与椭圆在
第一象限内的一个交点，延长 与椭圆交于点 ，若 ，则直线 的斜率为 ．6．（2023•宁德模拟）已知椭圆 的一个焦点为 ，短轴 的长为 为 上异于 ， 的两点．
设 ， ，且 ，则 的周长的最大值为 8 ．
7．（2023•蕉城区校级模拟）已知椭圆 的右焦点是 ，直线 交椭圆于 ，
两点，直线 与椭圆的另一个交点为 ，若 ，则椭圆的离心率为 ．
8．（2023•鲤城区校级模拟）法国数学家加斯帕 蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他
发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的
蒙 日 圆 ． 已 知 椭 圆 ， 则 的 蒙 日 圆 的 方 程 为 ； 在 圆
上总存在点 ，使得过点 能作椭圆 的两条相互垂直的切线，则 的取值范
围是 ．
9．（2023•泉州模拟）如图，已知有公共焦点 、 的椭圆 和双曲线 相交于 、 、 、
四个点，且满足 ，直线 与 轴交于点 ，直线 与双曲线 交于点 ，
记直线 、 的斜率分别为 、 ，若 ，则椭圆 的离心率为 ．二．抛物线的性质（共17小题）
10．（2023•福鼎市校级一模）已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，点 在第
一象限且在抛物线 上，则当 取最大值时，直线 方程为
A． B． C． D．
11．（2023•思明区校级模拟）已知 为抛物线 的焦点，过 的直线 交抛物线 于 ， 两点，
若 ，则
A．1 B． C．3 D．4
12．（2023•思明区校级四模）已知抛物线 的焦点为 ，点 为 上一点， 为 靠近点 的
三等分点，若 ，则 点的纵坐标为
A．2 B．4 C．6 D．8
13．（2023•南平模拟）过抛物线 的焦点 的直线交抛物线 于 ， ， ，
两点，设 ， ，若 ， ， 成等比数列，则
A． B．3 C．3或 D．
14．（2023•福建模拟）过抛物线 的焦点作直线 ， 交 于 ， 两点，若线段 中点的纵坐标为2，则
A．10 B．9 C．8 D．7
15．（2022•城厢区校级模拟）设抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与 相交于 ， 两
点，与 的准线相交于点 ，点 在线段 上， ，则 与 的面积之比
A． B． C． D．
16．（2022•莆田模拟）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线
的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线
，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线 上的点 反射后，与抛物
线 交于点 ，若 的面积是10，则
A． B．1 C． D．2
17．（2022•芗城区校级模拟）在抛物线 上有三点 ， ， ， 为其焦点，且 ，
则
A．6 B．8 C．9 D．12
18．（2022•龙岩模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上的点，过 作 的垂线，
垂足为 ，若 ，则
A． B． C． D．
19．（2023•宁德模拟）已知抛物线 ，过焦点 的直线 与 交于 ， ， ， 两点，， 与 关于原点对称，直线 与直线 的倾斜角分别是 与 ，则
A． B． C． D．
20．（2023•福州模拟）已知抛物线 的准线方程为 ，圆 ，直线
与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点 ， 在第一象限）， 为坐标原点，则下列
说法中正确的是
A． B．
C．若 ，则 D． ， 为定值
21．（2023•福建模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上， 垂直 于点 ，直线
与 相交于 、 两点．若 为 的三等分点，则
A． B． C． D．
22．（2023•泉州模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点， 为
的中点，则下列说法正确的是
A． 的最小值为4 B． 的最大值为4
C．当 时， D．当 时，
23．（2023•鼓楼区校级模拟）已知抛物线 与过点 的直线相交于 ， 两点，且
为坐标原点），则三角形 的面积为 ．24．（2023•晋安区校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为曲线 上一点，
若 ，则点 的坐标为 ．
25．（2023•仙游县校级模拟）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点 的两
点 为坐标原点），若 ，过 的中点 作 于点 ，则 的最小值为 1 ．
26．（2023•鼓楼区校级模拟）已知抛物线 与圆 ，过抛物线的焦点 作斜率为 的
直线 与抛物线交于 ， 两点，与圆交于 ， 两点 ， 在 轴的同一侧），若 ，则 的
值是 8 ．
三．直线与抛物线的综合（共2小题）
27．（2022•漳州模拟）若直线 与抛物线 相切于点 ， 与 轴交于点 ， 为
的焦点，则
A． B． C． D．
28．（2023•龙岩模拟）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ， 两点，点
在抛物线 上，则下列说法正确的是
A． 的最小值为1
B． 的周长的最小值为
C．若 ，则 的最小值为32
D．若过 ， 分别作抛物线 的切线，两切线相交于点 ，则点 在抛物线 的准线上四．双曲线的性质（共16小题）
29．（2023•思明区校级二模）已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是它们的一个公共点，且
，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为
A． B． C． D．2
30．（2015•平和县校级四模）设 、 分别为双曲线 的左、右焦点， 为双曲
线的左顶点，以 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 ， 两点，且满足 ，则该双曲线
的离心率为
A． B． C． D．
31．（2023•鼓楼区校级模拟）若双曲线 的一条渐近线被圆 所截
得的弦长为2，则双曲线 的离心率为
A． B． C．2 D．
32．（2022•上杭县校级模拟）设双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，以 为圆
心的圆恰好与双曲线 的两渐近线相切，且该圆恰好经过线段 的中点，则双曲线 的离心率是
A． B． C． D．
33．（2022•福建模拟）已知双曲线 的焦距为 ，且实轴长为2，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
34．（2021•龙岩模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，点 在
的一条渐近线上，若 ，则△ 的面积为
A． B． C． D．
35．（2022•莆田模拟）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则
A．2 B． C． D．4
36．（2022•鼓楼区校级三模）数学赋予建筑美感与活力，许多建筑融入数学元素，更具神韵．图（1）是
单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成的立体图形）型建筑．图（2）是其最细处的部分截面图象，上、
下底面与地面平行．现测得下底直径 米，上底直径 米， 与 间的距离为80米，
与上下底面等距离的 点处的直径等于 ，则该建筑最细处的直径为
A．10 B．20 C． D．
37．（2022•龙岩模拟）已知双曲线 的右顶点、右顶点分别为 ， ，过点 的直线 与 的一条渐近线交于点 ，直线 与 的一个交点为 ，若 ，且 ，
则 的值为
A．2 B． C． D．
38．（2022•城厢区校级模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，点
在双曲线 的右支上， 为双曲线 的半焦距），直线 与双曲线 交于另一个点 ，
，则双曲线 的离心率为
A．3 B．2 C． D．
39．（2023•鼓楼区校级模拟）公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究发现了黄金分割数
，简称黄金数．离心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线．若黄金双曲线
的左右顶点分别为 ， ，虚轴的上端点为 ，左焦点为 ，离心率为 ，则
A．
B．
C．顶点到渐近线的距离为
D．△ 的外接圆的面积为
40．（2023•漳州模拟）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，且 到
的一条渐近线的距离为 ， 为坐标原点，点 ， 为 右支上的一点，则A．
B．过点 且斜率为1的直线与 有两个不同的交点
C．
D．当 ， ， ， 四点共圆时，
41．（2023•泉州模拟）费马定理是几何光学中的一条重要原理，在数学中可以推导出圆锥曲线的一些光
学性质．例如，点 为双曲线 ， 为焦点）上一点，点 处的切线平分 已知双曲线
， 为坐标原点， 是点 处的切线，过左焦点 作 的垂线，垂足为 ，则
2 ．
42 ． （ 2023• 福 建 模 拟 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 为 坐 标 原 点 ， 记 为 双 曲 线
的左焦点，以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 ， 两点，且线段 与
交于点 ，若 ，则 的离心率的取值范围为 ．
43．（2023•石狮市校级模拟）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，直线
过点 交双曲线右支于 ， 两点，若 ， ，则双曲线 的离心率为 ．
44．（2023•晋江市校级模拟）已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，点 是双曲
线 上的任意一点（不是顶点），过 作 的角平分线的垂线，垂足为 ，线段 的延长线交
于点 ， 是坐标原点，若 ，则双曲线 的渐近线方程为 ．五．直线与双曲线的综合（共1小题）
45．（2023•福建模拟）双曲线 的下焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，若过 ，
和点 的圆的圆心在 轴上，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
六．圆锥曲线的综合（共1小题）
46．（2022•涵江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 与双
曲线 ， 有相同的焦点 ， ， 的渐近线分别交 于 ， 和 ， 四点，
若多边形 为正六边形，则 与 的离心率之和为A． B．2 C． D．
七．圆与圆锥曲线的综合（共2小题）
47．（2022•涵江区校级模拟）抛物线 的焦点到圆 上点的距离的最大值为
A．6 B．2 C．5 D．8
48．（2018•龙岩模拟）已知以圆 的圆心为焦点的抛物线 与圆 在第一象限交于 点，
点是抛物线 上任意一点， 与直线 垂直，垂足为 ，则 的最大值为
A．1 B．2 C． D．8
