压轴16 立体几何中的创新与融合问题的3 大核心题型
随着高考改革的不断推进，近期各地的模拟题呈现的考查方向百花齐放，在立体几何中以空间图形为
背景的试题，其考查的知识内容和范围，涉及代数、几何、三角、向量、新定义等学科分支，对综合运用
各种知识技能解题的灵活性要求有所加强，应予以重视.
题型01 立体几何与轨迹问题的融合
1.在棱长为4 的正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，棱
1
DD 上的点E 满足
1
DE
ED
=
uuur
uuuur
，F 是侧面
1
1
CDD C 上的动点，且
1
/ /
B F
平面
1A BE ，则点F 在侧面
1
1
CDD C 上的轨迹长度为（ ）
A．2 2
B．3 2
C．2 3
D．4
2.（2025·江苏苏州三模）如图，在直角梯形ABCD 中，
//
AD BC ，
1
2
2
AD
BC
=
=
，
90
ABC
Ð
=
o ，
45
C
Ð
=
o，E 为BC 中点，现将CDE
D
沿DE 折起，使得平面CDE ^ 平面ABED ，连接
,
AC BC ，设M 为CE
中点，动点P 在侧面CBE 和侧面CDE 上运动，且始终满足AM
MP
^
，则点P 形成的轨迹长度为 .
技法指导
1.动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断
出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.
2.翻折有关的轨迹问题
(1)翻折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.
(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.
(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.
题型02 立体几何与函数的融合
3.（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为3,H 为
1
DD 上三等分点且靠近
1
D
点，在侧面
1
1
ABB A 内作边长为1 的正方形
1
EFGB ，P 是侧面
1
1
ABB A 内一动点，且点P 到平面
1
1
BCC B 的距离
与线段PF 的长度相等．则当点P 运动时，
2
|
|
HP
的最小值是（ ）
A．12
B．13
C．14
D．17
4.如图，在长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，已知
1
AD = ，
2
AB =
，
1
AA
a
=
，若对角线
1
BD 上存在一点P ，使得
1
1
·
0
PB PC =
uuur uuuur
，则a 的最大值是
．
题型03 立体几何中的创新问题
技法指导
立体几何中体积、距离、角的最值（范围）问题，常用的解题思路是：
（1）直观判断：判断动点、动线、动面在变化中达到某一特定位置时，所求的量有相应最大（小）值；
（2）函数思想：通过建系或引入变量，把这类问题转化为函数，从而利用代数方法求解.
技法指导
用类比方法求解定义新性质创新问题的三个切入角度
（1）从两个性质的相似性和差异性上理解新性质的准确性；
（2）从两个性质的内涵、应用环境上的差异刻画新性质的“全貌”（本质）；
（3）从类比方法获得启示，从而应用新性质解决问题.
5.空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，, ,
i j k
r
r r
分别
为“空间斜坐标系”中三条数轴（x 轴、y 轴、z 轴）正方向的单位向量，若向量n
xi
yj
zk
=
+
+
r
r
r
r
，则nr 与有
序实数组
, ,
x y z 相对应，称向量nr 的斜坐标为
, ,
x y z ，记作
, ,
n
x y z
=
r
．如图，在平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
1
AB
AD
=
= ，
1
2
AA =
，AB
AD
^
，
1
1
π
3
BAA
DAA
Ð
= Ð
=
．以
1
,
,
AB AD AA
uuur uuur uuur
为基底建
立“空间斜坐标系”．
(1)若点E 在平面ABCD 内，且
1A E ^ 平面ABCD ，求
1A E
uuur
的斜坐标；
(2)若AF
uuur 的斜坐标为
1,0,1 ，求平面
1
AD F 与平面ABCD 的夹角的余弦值．
6.（2025·河南郑州·三模）在空间直角坐标系O-xyz 中，已知向量
, ,
0
u
a b c
abc
=
¹
r
，经过点
0
0
0
0
,
,
P x
y
z
，且以u
r
为法向量的平面α 的方程为
0
0
0
0
a x
x
b y
y
c z
z
-
+
-
+
-
=
．
(1)求原点O 到平面
4
0
x
y
z
-
-
-
=
的距离；
(2)根据平面直角坐标系中点到直线的距离公式，类比出
0
0
0
,
,
P x
y
z
到平面
0
A x
B y
C z
D
¢
¢
¢
¢
+
+
+
=
的距离公
式，并利用有关知识证明；
(3)已知平行六面体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
，平面
1
1
CDD C 的方程为
2
2
0
x
y
z
-
+
-
=
，平面
1
1
ADD A 经过点
0,0,1 ,
1,1,2 ,
2,2,1
E
F
G
，平面
1
1
ACC A 的方程为
2
1
0 1
2
kx
ty
z
t
-
-
+ =
≤≤
，求平面
1
1
CDD C 与平面
1
1
ACC A
夹角的余弦值的最大值．
1.等腰四面体是一种特殊的三棱锥，它的三组对棱分别相等.已知一个长方体的体积为12，则由长方体的四
个顶点构成的等腰四面体的体积为（ ）
A.3
B.4
C.6
D.8
2．
（2025·云南保山·二模）已知正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
，Q 为上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
所在平面内的动点，当直线DQ
与
1
DA 的所成角为45°时，点Q 的轨迹为（ ）
A．圆
B．直线
C．抛物线
D．椭圆
3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1 中，M 为A1C1 的中点，N 为侧面BCC1B1 上的一点，且MN∥平面ABC1，若
点N 的轨迹长度为2，则（ ）
A.AC1＝4
B.BC1＝4
C.AB1＝6
D.B1C＝6
4．（2025·江苏扬州二模）定义两个向量u 与v 的向量积是u v
´ 一个向量，它的模
sin
,
u
v
u
v
u v
´
=
×
á
ñ ，它的
方向与u 和v 同时垂直，且以u
v
u
v
´
，，
的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2 的正四面体ABCD 中，
则
AB
AD
AC
´
×
=
uuur
uuur
uuur
（ ）
A．2 3
B．4 .
C．4 3
D．4 2
5.如图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面垂直，O 为正方形ABCD 的中心，M 为正方形
ABCD 内一点，且满足MP＝MC，则点M 的轨迹为（ ）
6．由空间一点O 出发不共面的三条射线OA，OB ，OC 及相邻两射线所在平面构成的几何图形叫三面角，
记为O
ABC
-
．其中O 叫做三面角的顶点，面AOB ，BOC ，COA叫做三面角的面，AOB
Ð
，BOC
Ð
，AOC
Ð
叫做三面角的三个面角，分别记为a ，b ，g ，二面角
-
-
A
OB
C 、B
OA
C
-
-
、A
OC
B
-
-
叫做三面角的
二面角，设二面角A
OC
B
-
-
的平面角大小为x ，则一定成立的是（）
A．
cos
cos cos
cos
sin sin
x
a
b
g
b
g
-
=
B．
cos
cos cos
cos
sin sin
x
a
b
g
b
g
+
=
C．
sin
sin sin
cos
cos cos
x
a
b
g
b
g
-
=
D．
sin
sin sin
cos
cos cos
x
a
b
g
b
g
+
=
7.（多选）（2025·江苏南通·模拟）已知点P 是正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
侧面
1
1
BB C C （包含边界）上一点，下
列说法正确的是（ ）
A．存在唯一一点P，使得DP / /
1
AB
B．存在唯一一点P，使得AP / / 面
1
1
AC D
C．存在唯一一点P，使得
1A P ⊥
1
B D
D．存在唯一一点P，使得
1
D P ⊥面
1
1
AC D
8．（多选）(2025·金华十校模拟)在矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为线段AB 的中点,将△ADE 沿直线DE 翻折到
△A1DE,若M 为线段A1C 的中点,则在△ADE 从起始到结束的翻折过程中( )
A.存在某位置,使得DE⊥A1C
B.存在某位置,使得CE⊥A1D
C.MB 的长为定值
D.MB 与CD 所成角的正切值的最小值为
1
2
9.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，P 是面对角线BC1 上一动点，Q 是底面ABCD（含边界）内一
动点，则D1P＋PQ 的最小值为 .
10．（2025·浙江杭州·期末）如图在长方形ABCD 中，
3
AB =
，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将AED
V
沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C，则K 所形成轨迹的长度为
（ ）
A．π
2
B．π
3
C．
3
2
D．2 3
3
11.在空间直角坐标系中，定义：平面a 的一般方程为
2
2
2
0
, , ,
,
0
Ax
By
Cz
D
A B C D
R A
B
C
+
+
+
=
Î
+
+
¹
，
点
0
0
0
,
,
P x
y
z
到平面a 的距离
0
0
0
2
2
2
Ax
By
Cz
D
d
A
B
C
+
+
+
=
+
+
，则在底面边长与高都为2 的正四棱锥中，底面中心
O 到侧面的距离等于
．
12.（2025·吉林长春·二模）如图，在三棱锥S
ABC
-
中，平面SAB ^ 平面
,
120
ABC
SAB
Ð
=
° ，
2
AC
AB
BC
SA
=
=
=
=
，点E 在棱AC 上，且
3
CE
AE
=
，侧面SAB 内一动点P 满足
2
CP
PE
=
，则点P 的
轨迹长度为
；直线CP 与直线AB 所成角的余弦值的取值范围为
.
13.设全体空间向量组成的集合为V ，
1
2
3
( ,
,
)
a
a a a
=
r
为V 中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“因
变量”也是向量的“向量函数”
( )
f x ；
( )
2(
) (
)
f x
x
x a a x
V
=
+
- ×
Î
r
r
r r r r
.
(1)设
1,0,0
u = -
r
，
0,0, 1
v =
-
r
，若
f u
v
=
r
r
，求向量a
r
；
(2)对于V 中的任意单位向量x
r
，求
2
f x
x
+
r
r
的最大值.
14.类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理.如图1，由射线PA，PB，PC 构成的三
面角P-ABC，∠APC＝α，∠BPC＝β，∠APB＝γ，二面角A-PC-B 的大小为θ，则cos γ＝cos αcos β
＋sin αsin βcos θ.
（1）当α，β∈（ 0，
π
2）时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体ABCD-A1B1C1D1 中，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC＝60°，∠BAC＝45°.
①求∠A1AB 的余弦值；
②在直线CC1 上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由.
15.三棱锥P
ABC
-
的底面是以AC 为底边的等腰直角三角形且
2 2
AC =
，各侧棱的长均为3，点E 为棱PA
的中点点Q 是线段CE 上的动点.
(1)求点E 到平面ABC 的距离；
(2)设点Q 到平面PBC 的距离为
1d ，Q 到直线AB 的距离为
2
d ，求
1
2
d
d
+
的最小值.
