压轴22 解析几何中的创新与融合问题的3 大核心题型
随着高考改革的不断深入，高考对学生知识迁移能力、数学思维能力、探究能力的考查不断深入，圆
锥曲线中的创新类试题成为了高考命题的热点，圆锥曲线中的创新类试题一般可分为两类：一是“新定义
曲线”（如2024·新高考Ⅰ卷11 题），二是“新定义交汇题”（如2024·新高考Ⅱ卷19 题）.对于“新定义曲线”
类问题，要研透“新曲线”的定义和性质，从特殊到一般，结合已学过的知识、方法去解决问题.对于“新
定义交汇题”，圆锥曲线可与函数、数列、向量等结合，解这类问题要在深刻理解对应知识的基础上，发现
并挖掘题目中蕴含的信息，灵活变换角度，转化为“熟悉”的问题去解决.
题型01 圆锥曲线与其他知识的交汇
1.（2026·河南周口·模拟）已知点
1
1,
P t
t
+
在抛物线
2
:
4
C x
y
=
上，过点
1P 作斜率为1
- 的直线交C 于另一个
点
1
Q ，设
2P 与
1
Q 关于y 轴对称，再过
2P 作斜率为1
- 的直线交C 于另一个点
2
Q ，设
3P 与
2
Q 关于y 轴对称，
以此类推一直作下去，设
*
,
n
n
n
P
x
y
nÎN
．
(1)求t 的值；
(2)求数列
nx
的通项公式，并求数列
1
n
n
x
y
ì
ü
í
ý
+
î
þ
的前n 项和
nT 的取值范围；
(3)求
*
1
2
n
n
n
P P
P
n
+
+
ÎN
V
的面积．
【解】（1）因为点
1
1,
P t
t
+
在抛物线
2
:
4
C x
y
=
上，则
2
1
4
t
t
+
=
，解得
1
t = ；
（2）由
1 2,1
P
可知
1
2
x =
，
1
1
y = ，
因为点
,
n
n
n
P
x
y
在抛物线
2
:
4
C x
y
=
上，则
2
4
n
n
x
y =
，且
1
,
n
n
n
Q
x
y
-
-
，
过
2
1
1
1, 4
n
n
n
x
P
x
-
-
-
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
2
n ³
，且斜率为1
- 的直线
2
1
1
1
1
:
4
n
n
n
n
x
P Q
y
x
x
-
-
-
-
-
= -
-
，
联立方程
2
1
1
2
4
4
n
n
x
y
x
x
x
y
-
-
ì -
= -
-
ïí
ï
=
î
，消去y 得
1
1
4
0
n
n
x
x
x
x
-
-
-
+
+
=
，解得
1
n
x
x -
=
或
1
4
n
x
x -
= -
-
，
因为
1
,
n
n
n
Q
x
y
-
-
，故
1
4
n
n
x
x -
-
= -
-
，即
1
4
n
n
x
x -
=
+
，
技法指导
解析几何中的数列性质的研究，要依据已有的条件构建数列的递推关系，再对得到的递推关系作消元处
理，从而得到纯粹的单数列的递推关系，这样便于问题的解决.
故数列
nx
是首项为2，公差为4 的等差数列，所以
2
4
1
4
2
nx
n
n
=
+
-
=
-
，
又
2
2
2
1
4
n
n
x
y
n
=
=
-
，所以
2
1
1
1
1
1
1
4
1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
n
n
x
y
n
n
n
n
n
æ
ö
=
=
=
-
ç
÷
+
-
-
+
-
+
è
ø ，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
3
5
5
7
2
1
2
1
2
2
1
nT
n
n
n
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
+
-
+×××+
-
=
-
ç
÷
ç
÷
-
+
+
è
ø
è
ø ，所以
1
2
nT <
，
又
nT 是关于n 的递增函数，故
min
1
1
3
T
T
=
=
，
nT 的取值范围是1 1
,
3 2
é
ö
÷
êë
ø ；
（3）由（2）知：
2
4
2, 2
1
nP
n
n
-
-
，
2
1 4
2, 2
1
nP
n
n
+
+
+
，
2
2 4
6, 2
3
nP
n
n
+
+
+
，
直线
2
n
n
P P + 的方程为
2
2
2
2
3
2
1
2
1
4
2
2
1
4
2
4
6
4
2
n
n
y
n
x
n
n
x
n
n
n
+
-
-
-
-
=
-
+
=
+
-
+
+
-
+
，
即
2
2
1
4
4
3
0
n
x
y
n
n
+
-
-
-
+
=
，
点
2
1 4
2, 2
1
nP
n
n
+
+
+
到直线
2
n
n
P P + 的距离为
2
2
2
2
2
2 2
1
2
1
4
4
3
4
2
1
1
2
1
1
n
n
n
n
d
n
n
+
-
+
-
-
+
=
=
+
+
+
+
，
2
2
2
2
2
2
2
4
6
4
2
2
3
2
1
64 2
1
64
8
2
1
1
n
n
P P
n
n
n
n
n
n
+
é
ù
=
+
-
+
+
+
-
-
=
+
+
=
+
+
ë
û
，
所以
*
1
2
n
n
n
P P
P
n
+
+
ÎN
V
的面积为
2
1
16
2
n
n
S
P P
d
+
=
=
．
2.（2026·湖北黄冈·二模）已知向量
cos , sin
OP
r
r
q
q
=
uuur
绕着原点O 沿逆时针方向旋转a 角可得到向量
cos
, sin
OP
r
r
q
a
q
a
=
+
¢
+
uuur
.
(1)求点
2,0
T
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点T¢的坐标；
(2)若曲线E 上的所有点绕着原点逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ 对应的方程为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
.
（i）求曲线E 的方程；
（ii）设直线l 过定点
2,0
-
与曲线E 交于点
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E 交于点C ，D ，且l
m
^
，
求
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值.
【解】（1）（1）因为
2,0
T
，即
2
2 cos0
0
2 sin 0
ì
=
ïí
=
ïî
，
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点
0
0
,
T
x
y
¢
，
则
0
0
π
2 cos 0
1
4
π
2 sin 0
1
4
x
y
ì
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ïï
è
ø
í
æ
ö
ï
=
+
=
ç
÷
ï
è
ø
î
，所以
1,1
T¢
；
（2）（i）将曲线E 绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ ，
设
,
Q
x
y
¢
¢
¢ 为曲线E 上点
,
Q x y 旋转后的对应点，
设
cos
sin
x
r
y
r
q
q
=
ì
í
=
î
，则
π
2
2
cos
cos
sin
4
2
2
π
2
2
sin
cos
sin
4
2
2
x
r
r
r
x
y
y
r
r
r
x
y
q
q
q
q
q
q
ì
æ
ö
=
+
=
-
=
-
ï
ç
÷
ï
è
ø
í
æ
ö
ï
=
+
=
+
=
+
ç
÷
ï
è
¢
î
¢
ø
，
又因为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
，
所以
2
2
2
2
5
5
24
2
2
x
y
x
y
x
y
-
+
+
-
-
=
，整理得
2
2
1
6
4
x
y
+
= ，
（ii）
由（i）直线l 过定点
2,0
-
与曲线E :
2
2
1
6
4
x
y
+
= 交于
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E :
2
2
1
6
4
x
y
+
= 交
于C ，且l
m
^
， AB 与CD 交点满足
2
2
2
x
y
+
=
，且在椭圆内部，
当AB 与x 重合时
4 6
1
2 6 ,
,
8
3
2
ABCD
AB
CD
S
AB
CD
=
=
=
=
四边形
；·
当AB 与x 不重合时，设直线
1
1
2
2
:
2 ,
,
,
,
l x
t y
A x
y
B x
y
=
-
，
联立
2
2
1
6
4
2
x
y
x
ty
ì
+
=
ïí
ï =
-
î
，整理得
2
2
2
3
4 2
8
0
t
y
ty
+
-
-
=
，
则
1
2
1
2
2
2
4 2
8
,
2
3
2
3
t
y
y
y y
t
t
-
+
=
=
+
+
，
所以AB
2
2
2
2
2
2
4 2
8
1
1
4
96
2
3
2
3
2
3
t
t
t
t
t
t
æ
ö
-
+
=
+
×
- ´
=
×
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
同理可得CD
2
2
1
96 2
3
t
t
+
=
×
+
，
1
2
ABCD
S
AB
CD
=
=
四边形
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
192
48
48
25
2
3
2
3
2
3
2
3
2
t
t
t
t
t
t
+
+
×
³
×
=
+
+
æ
ö
+ +
+
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
2
2
2
3
2
3
t
t
+
=
+
，即
2
1
t = 时取等号，
因为192
8
25 < ，即
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值为192
25 .
题型02 曲率与曲率半径问题
3.（2026·广西·月考）曲率是表示曲线在某一点的弯曲程度的数值，曲线的曲率定义如下：若
f
x
¢
是函数
f x 的导函数，
f
x
¢¢
是
f
x
¢
的导函数，则曲线
y
f x
=
在点
0
0
,
P x
f x
处的曲率
0
3
2
2
0
1
f
x
K
f
x
=
é
ù
+ ë
û
¢¢
¢
.
(1)若函数
2
2
3
x
x
x
f
=
-
+ ，求曲线
y
f x
=
在点
1,
1
P
f
处的曲率.
(2)若函数
2
4
( 2
2)
f x
x
x
=
-
- <
<
，证明：曲线
y
f x
=
在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为
1
2 .
(3)已知函数
π
cos
( 2
2)
4
x
f x
a
x
=
- <
<
，若在曲线
y
f x
=
上存在一点
0
0
,
P x
f x
，使曲线
y
f x
=
在点P
处的曲率
1
2
K >
，求a 的取值范围.
【解】（1）因为
2
2
3,
f
x
x
x
x
=
-
+
ÎR ，所以
2
2,
2
f
x
x
f
x
¢
¢¢
=
-
=
，
则
1
0,
1
2
f
f
¢
¢
=
=
¢
，故曲线
y
f x
=
在点
1,
1
P
f
处的曲率
3
2
2
1
2
1
1
f
K
f
=
=
é
ùû
¢¢
ë ¢
+
.
技法指导
函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的曲率半径的求法：
设曲线y＝f(x)在(x0，y0)处的曲率半径为r，则由公切线及圆的切线性质可得{
f′（x0）＝－
x0－a
y0－b，
f″（x0）＝
r2
（b－y0）3，
由(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 知[f′(x0)]2＋1＝
r2
（y0－b）2，所以r＝{[f′（x0）]2＋1}
3
2
|f″（x0）|
.
（2）证明：因为
2
4
( 2
2)
f x
x
x
=
-
- <
<
，所以
2
2
2
4
,
4
4
4
x
f
x
f
x
x
x
x
-
= -
=
-
-
¢
-
¢¢
.
2
2
4
1
4
f
x
x
é
ù
+
=
¢
ë
û
-
，
则
2
2
3
2
2
2
2
4
4
4
1
8
2
1
4
4
x
x
f
x
f
x
x
x
-
¢
-
=
=
é
ù
+ ë
û
¢
-
¢
-
，
故曲线
y
f x
=
在其上任意一点处的曲率为定值，且该定值为
1
2 .
（3）因为
π
cos
( 2
2)
4
x
f x
a
x
=
- <
<
，
所以
2
π
π
π
π
sin
,
cos
4
4
16
4
a
x
a
x
f
x
f
x
¢
= -
¢
= -
¢
，
则
2
0
0
3
3
2
2
2
2
2
2
0
0
π
π cos
16
4
1
2
π
π
1
1
sin
16
4
x
a
f
x
K
x
a
f
x
-
=
=
>
æ
ö
é
ù
+ ë
û
+
÷ø
¢¢
çè
¢
，
则
2
4
2
0
3
2
2
2
0
π
π cos
1
256
4
4
π
π
1
sin
16
4
x
a
x
a
>
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，即
3
2
4
2
2
2
2
0
0
π
π
π
π
cos
1
sin
0
64
4
16
4
x
x
a
a
æ
ö
-
+
>
ç
÷
è
ø
.
令
2
0
π
sin
,0
1
4
x
b
b
=
£
< ，则
3
2
4
2
2
π
π
1
1
0
64
16
a
a
b
b
æ
ö
-
-
+
>
ç
÷
è
ø
，
即存在0
1
b
£
< ，使得不等式
3
2
4
2
2
π
π
1
1
0
64
16
a
a
b
b
æ
ö
-
-
+
>
ç
÷
è
ø
成立.
令
3
2
4
2
2
π
π
1
1
,0
1
64
16
a
a
g b
b
b
b
æ
ö
=
-
-
+
£
<
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
4
2
2
2
2
π
3
π
π
1
64
16
16
a
a
a
g b
b
æ
ö
= -
-
+
£
ç
÷
è
ø
¢
0 在
0,1 上恒成立，
则
g b 在
0,1 上单调递减，
则
2
4
π
0
1
0
64
a
g
=
- >
，解得
2
8
π
a >
或
2
8
π
a < -
，
故a 的取值范围为
2
2
8
8
,
,
π
π
¥
¥
æ
ö
æ
ö
-
-
È
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø .
4.在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线
:
C y
f x
=
上的曲线段
AB ，其弧长为s
D ，当动点从A 沿曲线段
AB 运动到B 点时，A 点的切线Al 也随着
转动到B 点的切线Bl ，记这两条切线之间的夹角为q
D
（它等于Bl 的倾斜角与Al 的倾斜角之差）．显然，当
弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定
义
Δ
Δ
K
s
q
=
为曲线段
AB 的平均曲率；显然当B 越接近A，即s
D 越小，K 就越能精确刻画曲线C 在点A 处
的弯曲程度，因此定义
3
Δ
0
2
2
Δ
lim Δ
1
s
y
K
s
y
q
®
¢
=
+
¢
=
¢
（若极限存在）为曲线C 在点A 处的曲率．（其中y¢，y¢¢ 分
别表示
y
f x
=
在点A 处的一阶、二阶导数）；
(1)求单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率；
(2)求椭圆
2
2
1
5
x
y
+
= 在
3, 10
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
处的曲率；
(3)定义
3
2 2
1
y
y
y
¢¢
=
¢
+
j
为曲线
y
f x
=
的“柯西曲率”．已知在曲线
ln
2
f x
x
x
x
=
-
上存在两点
1
1
,
P x
f x
和
2
2
,
Q x
f x
，且P，Q 处的“柯西曲率”相同，求3
3
1
2
x
x
+
的取值范围.
【解】（1）由题意可得单位圆上圆心角为45°的圆弧的平均曲率
π
Δ
4
1
π
Δ
4
K
s
q
=
=
= ；
（2）在
2
2
1
5
x
y
+
= 中，取
0
y >
，则得
2
5
1
=
- x
y
，则
1
2
2
1
5
5
x
x
y
-
æ
ö
= -
-
ç
÷
è
ø
¢
，
1
3
2
2
2
2
2
1 1
1
5
5
25
5
x
x
x
y
-
-
æ
ö
æ
ö
= -
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
¢¢
，
故
3
30
10
x
y
=
= -
¢
，
3
10
4
x
y
=
= -
¢¢
，故
3
2
10
25 13
4
169
3
1 10
K =
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
．
（3）
ln
1
f
x
x
=
¢
- ，
1
f
x
x
¢¢
=
，故
3
3
3
2 2
2 2
2 2
1
ln
3 ln
y
y
y
x
x
s
s
j
=
=
=
+
¢¢
¢
，其中
3
s
x
=
，
令
3
1
1
t
x
=
，
3
2
2
t
x
=
，则1
1
2
2
ln
ln
t
t
t
t
=
，则
1
ln
ln
1
t
t
t
t
= - -
，其中
2
1
1
t
t
t
=
> （不妨2
1
t
t
>
）
令
ln
p x
x
x
=
，则
1 ln
p x
x
=
¢
+
，
由
0
p x
¢
>
，可得
1
e
x >
；由
0
p x
¢
<
，可得
1
0
e
x
<
<
，
故
p x 在
1
0, e
æ
ö
ç
÷
è
ø 递减，在1 ,
e
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø递增，
故
2
1
1
1
0
e
t
t
>
>
>
>
；
令
1
2
ln
ln
ln
1
1
t
t
h t
t
t
t
t
=
+
=
+
-
-
，
2
2
1
1
ln
1
1
t
h t
t
t
t
é
ù
-
=
+
¢
-
ê
ú
-
ë
û
，令
2
1
( )
ln
1
t
m t
t
t
-
=
-
+
(
1)
t >
，
则
2
1
1
t
m t
t t
-
¢
=
+
，当
1
t > 时，
( )
0
m t
¢
>
恒成立，故
( )
m t 在(1,
)
+¥ 上单调递增，
可得
( )
(1)
0
m t
m
>
=
，即
2
1
ln
0
1
t
t
t
-
-
>
+
，故有
2
2
1
1
ln
0
1
1
t
h t
t
t
t
é
ù
-
=
-
>
ê
ú
+
-
ë
û
¢
，
则
h t 在
1, ¥
+
递增，又
1
lim
ln 2 1
t
h t
®
=
- ，
lim
0
t
h t
¥
®+
=
，故
1
2
ln
ln 2 1,0
t
t
+
Î
-
，
故3
3
1
2
1
2
2 ,1
e
x
x
t
t
æ
ö
+
=
+
Îç
÷
è
ø ．
题型03 利用函数性质之间的关系推理论证
5.焦距为2c 的椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
a
b
G
+
= （
0
a
b
>
>
）满足a ､b ､c 成等差数列，称G 为“等差椭圆”.
(1)求G 的离心率；
(2)过
0,
D
a
-
作直线l 与G 有且只有一个公共点，求此直线的斜率k 的值；
(3)设点A 为椭圆的右顶点，P 为椭圆上异于A 点的任一点，Q 为P 关于原点O 的对称点（Q 也异于A ），直
线AP ､AQ 分别与y 轴交于M ､N 两点，判断以线段MN 为直径的圆是否过定点？说明理由.
【解】（1）解：由题意，2b
a
c
=
+ 且
2
2
2
a
c
b
-
=
，所以代入可得
2
2
5
2
3
0
c
ac
a
+
-
=
.
即
2
5
2
3
0
e
e
+
-
=
，解得
3
5
e =
（
1
e = - 舍去）.
（2）解：显然，斜率k 存在，设直线l 的方程为y
kx
a
=
-
.
联立
2
2
2
2
2
2
y
kx
a
b x
a y
a b
=
-
ì
í
+
=
î
，代入化简得
2
2
2
2
3
2
2
2
2
0
b
a k
x
a kx
a
a
b
+
-
+
-
=
①
方程①的
6
2
2
2
2
2
2
2
4
4
a k
a
b
a k
a
b
D =
-
+
-
，
技法指导
对于“新定义曲线”类问题，理解“新曲线”的定义（方程）是关键，通过“新曲线”的定义（方程）
结合图形，与学过的研究圆锥曲线的思路及方法进行合理联想，利用曲线与方程思想即可解决问题.
令
0
D =
，化简得
2
2
2
2
a k
a
b
=
-
，所以
2
2
2
2
2
a
b
c
k
a
a
-
æ
ö
=
= ç
÷
è
ø
.
由（1）的结论可知，
3
5
k = ±
.
（3）解：设
,
P m n ，
,
Q
m
n
-
-
.
直线AP 的斜率
AP
n
k
m
a
=
-
，直线AP 的方程
n
y
x
a
m
a
=
-
-
，
令
0
x =
，解得
an
y
m
a
= -
-
，即
0,
an
M
m
a
æ
ö
-
ç
÷
-
è
ø
.
直线AQ 的斜率
AQ
n
k
m
a
=
+
，直线AQ 的方程
n
y
x
a
m
a
=
-
+
，
令
0
x =
，解得
an
y
m
a
= -
+
，即
0,
an
N
m
a
æ
ö
-
ç
÷
+
è
ø
.
设
,
R x y ，则
,
an
MR
x y
m
a
æ
ö
=
+
ç
÷
-
è
ø
uuur
，
,
an
NR
x y
m
a
æ
ö
=
+
ç
÷
+
è
ø
uuur
，
0
MR NR
×
=
uuur uuur
，代入化简得
2
2
2
2
2
2
0
an
an
a n
x
y
y
m
a
m
a
m
a
æ
ö
+
+
+
+
=
ç
÷
+
-
-
è
ø
②.
因为点P 在椭圆上，所以
2
2
2
2
1
m
n
a
b
+
= ，即
2
2
2
2
2
a n
b
m
a
= -
-
.
于是方程②化为
2
2
2
0
an
an
x
y
y
b
m
a
m
a
æ
ö
+
+
+
-
=
ç
÷
+
-
è
ø
.
无论m ､n 取何值，当
0
y =
时总有x
b
= ± ，所以，以线段MN 为直径的圆经过定点
,0
b
-
和
,0
b
.
6.（2025·上海徐汇二模）若给定椭圆
2
2
1
0
0
(
)
C
ax
by
a
b
a
b
+
=
¹
：
＞，＞，
和点
0
0
(
)
N x
y
，
，则称直线
0
0
1
l
ax x
by y
+
=
：
为椭圆C 的“伴随直线”．
（1）若
0
0
(
)
N x
y
，
在椭圆C 上，判断椭圆C 与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0
个、1 个、2 个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点
0
0
(
)
N x
y
，
在椭圆C 的外部，则直线l 与椭圆C 必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此
逆命题的真假，说明理由；
（3）若
0
0
(
)
N x
y
，
在椭圆C 的内部，过N 点任意作一条直线，交椭圆C 于A、B，交l 于M 点（异于A、
B），设
1
2
,
MA
AN MB
BN
l
l
=
=
uuuv
uuuv uuuv
uuuv
，问
1
2
l
l
+
是否为定值？说明理由．
【解】（1）
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
1
2
1
0
1
ax
by
aby
a x
x
ax x
by
ax x
by y
ì
+
=
Þ
+
-
+ -
=
í
+
=
î
即
2
2
0
0
2
0
ax
ax x
ax
-
+
=
，∴
2
2
2
2
0
0
4
4
0
a x
a x
D =
-
=
∴l 与椭圆C 相切．
（2）逆命题：若直线
0
0
1
l
ax x
by y
+
=
：
与椭圆C 相交，
则点
0
0
(
)
N x
y
，
在椭圆C 的外部．
是真命题．联立方程得
2
2
2
2
2
0
0
0
0
2
1
0
aby
a x
x
ax x
by
+
-
+ -
=
则
2
2
2
2
2
0
0
0
0
4
4
1
0
a x
a by
ax
by
D =
-
+
-
>
∴
2
2
2
4
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
ax
by
b y
ax
abx y
-
+
-
+
>
∴
2
2
0
0
1
by
ax
+
>
∴
0
0
(
)
N x
y
，
在椭圆C 的外部．
（3）同理可得此时l 与椭圆相离，设
1
1
(
)
(
)
M x
y
A x
y
，
，
，
则
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
x
x
x
y
y
y
l
l
l
l
+
ì =
ï
+
ïí
+
ï
=
ï
+
î
代入椭圆
2
2
1
C
ax
by
+
=
：
，利用M 在l 上，
即
0
1
0
1
1
ax x
by y
+
= ，整理得
2
2
2
2
2
0
0
1
1
1
1
1
0
ax
by
ax
by
l
+
-
+
+
- =
同理得关于
2
l 的方程，类似．
即
1
2
l
l
、
是
2
2
2
2
2
0
0
1
1
1
1
0
ax
by
ax
by
l
+
-
+
+
- =
的两根
∴
1
2
0
l
l
+
=
．
1．（2025·湖南长沙一模）设双曲线
2
2
:
1
3
y
x
G
-
= ，正项数列
nx
满足
1
1
x = ，对任意的
2
n ³
，
*
N
nÎ
，都有
1
, 3
n
n
x
x -
是G 上的点．
（1）求数列
nx
的通项公式；
（2）记
1
2
2
3
1
1
1
1
...
n
n
n
S
x
x
x
x
x
x +
=
+
+
+
+
+
+
，是否存在正整数m ，使得
2
2
1
33
m
y
x
S
-
= 与G 有相同的渐近线？如
果有，求出m 的值；如果没有，请说明理由．
【解】（1）由题，
2
1
2
3
1
3
n
n
x
x
-
-
= ，
即
2
2
1
1
n
n
x
x -
-
= ，
2
n ³
，
*
N
nÎ
，故
2
nx
是以
2
1
1
x = 为首项，1为公差的等差数列，
故
2
nx
n
=
，又
0
nx >
，于是
nx
n
=
．
（2）由
1
1
1
1
1
n
n
n
n
x
x
n
n
+
=
=
+ -
+
+
+
，
得
1
2
2
3
1
1
1
1
...
2
1
3
2
...
1
1 1
n
n
n
S
n
n
n
x
x
x
x
x
x +
=
+
+
+
=
-
+
-
+
+
+ -
=
+ -
+
+
+
，
G 的渐近线方程为
3
y
x
= ±
，
2
2
1
33
m
y
x
S
-
= 的渐近线方程为
33
m
S
y
x
= ±
，
故
3
33
m
S
=
，即
1 1
99
m
S
m
=
+ - =
，故
9999
m =
．
2.（2025·上海浦东新·三模）设椭圆
1
E 的长半轴长为
1a 、短半轴长为
1b ，椭圆
2
E 的长半轴长为
2a 、短半轴长
为
2b ，若
1
1
2
2
a
b
a
b
=
，则我们称椭圆
1
E 与椭圆
2
E 是相似椭圆.已知椭圆
2
2
:
1
2 +
=
x
E
y
，其左顶点为A 、右顶点
为B .
（1）设椭圆E 与椭圆
2
2
:
1
2
x
y
F
s +
= 是“相似椭圆”，求常数s的值；
（2）设椭圆
:
G
2
2
2
x
y
l
+
=
（0
1
l
<
< ），过A 作斜率为
1k 的直线1l 与椭圆G 只有一个公共点，过椭圆E 的上
顶点为D 作斜率为
2k 的直线2l 与椭圆G 只有一个公共点，求
1
2
k k 的值；
（3）已知椭圆E 与椭圆
2
2
:
1
2
x
y
H
t
+
= （
2
t >
）是相似椭圆.椭圆H 上异于A 、B 的任意一点
0
1
(
,
)
C x
y ，且椭
圆E 上的点
0
2
(
,
)
M x
y
（
1
2
0
y y >
）求证：AM
BC
^
.
【解】（1）解：显然椭圆E 的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= ，由椭圆E 与F 相似易得：
当
2
s >
时2
1
4
2
s
s =
Þ
=
；… 当0
2
s
<
<
时2
1
1
2
s
s
=
Þ
= ， 所以
4
s =
或1
（2）证明：易得
(
2,0),
(0,1)
A
D
-
所以1l 、2l 的方程分别为
1(
2)
y
k x
=
+
、
2
1
y
k x
=
+
依题意联立：
1
2
2
(
2)
2
y
k x
x
y
l
ì
=
+
ïí
+
=
ïî
2
2
2
2
1
1
1
(1
2
)
4 2
4
2
0
k
x
k x
k
l
Þ
+
+
+
-
=
又直线1l 与椭圆G 相切则
1
0
D =
（又0
1
l
<
< ）即
1
1
1
2
k
l
l
=
-
…
依题意再联立：
2
2
2
1
2
y
k x
x
y
l
=
+
ìïí
+
=
ïî
2
2
2
2
(1
2
)
4
2
2
0
k
x
k x
l
Þ
+
+
+
-
=
又直线2l 与椭圆G 相切则
2
0
D =
（又0
1
l
<
< ）即
2
1
1
2
k
l
l
-
=
即
1
2
1
1
1
=
1
2
2
1
2
k k
l
l
l
l
-
´
-
=
故
1
2
1
= 2
k k
（3）解：显然椭圆E ：
2
2
1
2
x
y
+
= ，椭圆
2
2
:
1
2
4
x
y
H
+
= .…
由椭圆H 上的任意一点
0
1
(
,
)
C x
y 于是
2
2
0
1
1
2
4
x
y
+
=
椭圆E 上的点
0
2
(
,
)
M x
y
即
2
2
0
2
1
2
x
y
+
= 又
1
2
0
y y >
则
1
2
2
y
y
=
又
(
2,0), ( 2,0)
A
B
-
则
2
0
2
AM
y
k
x
=
+
，
1
0
2
BC
y
k
x
=
-
又
2
2
1
2
2
2
2
0
0
0
0
0
2
2
=
2
1
2
2
2
2
AM
BC
y
y
y
y
y
x
x
x
x
k
k
x
×
=
×
=
= -
-
+
-
+
-
×
所以AM
BC
^
.
3．（2025·河北沧州二模）在平面直角坐标系中，若点
,
P x y 的横、纵坐标均为整数，则称
,
P x y 为格点，
若曲线Γ 上存在3 个格点构成三角形，则称Γ 为“3 格曲线”.
(1)若椭圆
2
2
2
:
1(1
2)
4
x
y
C
b
b
+
=
<
<
为“3 格曲线”，求C 的离心率；
(2)若椭圆
2
2
2
:
1(0
2)
4
x
y
C
b
b
+
=
<
<
上存在
4
n n ³
个格点，且从中任取3 个格点构成三角形，设该三角形的
一个顶点为C 的左顶点的概率为
P n ，求
P n ；
(3)若直线:
2
l y
x
=
+
上存在2 个格点
,
M N ，使得
2
MK
NK
+
=
，其中K 为曲线D ：
2
2
2
1
0
4
x
y
b
b
+
=
>
与y
轴正半轴的交点，求b 的值.
【解】（1）由题可知，C 的左顶点
1
2,0
A -
，右顶点
2 2,0
A
是两个格点.
因为1
2
b
<
<
，所以C 的上，下顶点不为格点.又C 为“3 格曲线”，所以C 上至少存在一个异于椭圆C 顶点的
格点
,
H m t ，则
,
0
2
0
m t
m
t
b
ì
Î
ï <
<
í
ï <
<
î
Z
，则
1
1
m
t
ì
=
ïí
=
ïî
，
由
2
2
2
1
4
m
t
b
+
= ，可得
2
1
1
1
4
b
+
= ，解得
2
4
3
b =
，
则C 的离心率
2
2
1
6
1
1
3
3
c
b
e
a
a
=
=
-
=
-
=
；
（2）由（1）可知，当1
2
b
<
<
时，
,
H m t 是C 上的格点，且
1
1
m
t
ì
=
ïí
=
ïî
，
此时C 上有
2,0 , 2,0 , 1,1 , 1, 1 ,
1,1 ,
1, 1
-
-
-
- -
，共6 个格点，
则
2
5
3
6
C
1
6
C
2
P
=
=
当
1
b = 时，易知C 上有
2,0 , 2,0 , 0,1 , 0, 1
-
-
，共4 个格点，则
2
3
3
4
C
3
4
C
4
P
=
=
，
当0
1
b
<
< 时，易知C 上有
2,0 , 2,0
-
，共2 个格点，不符合题意，
故
3 ,
4
4
1 ,
6
2
n
P n
n
ì
=
ïï
= í
ï
=
ïî
；
（3）因为
,
M N 是直线:
2
l y
x
=
+
上的两个格点，所以
2
M
N
MN
x
x
=
-
，
显然MK
NK
MN
+
³
，则2
2
M
N
x
x
³
-
，即
2
M
N
x
x
-
£
.
又
,
M
N
x
x ÎZ ，所以
1
M
N
x
x
-
= ，不妨设
,
M
N
N
x
x
x
k k
>
=
ÎZ .
当
1
M
N
x
k
x
k
=
+
ì
í
=
î
，时，
1,
3 ,
,
2
M k
k
N k k
+
+
+
，且
0,
K
b .
2
2
2
2
2
2
1
3
2
1
1
MK
NK
k
k
b
k
k
b
k
k
k
k
+
=
+
+
+ -
+
+
+
-
>
+
+
=
+
+
则
1
2
k
k
+
+
<
，得
1,0
k = -
,
当
1
k = - 时，
2
2
(2
)
1 (1
)
2
MK
NK
b
b
+
=
-
+
+
-
=
若
2
b ³
，则
2
1 (1
)
4
b
b
+
-
=
-
，解得
7
3
b =
,
若0
2
<
<
b
，则
2
1 (1
)
b
b
+
-
=
，解得
1
b = ,
当
0
k =
时，
2
2
1 (3
)
(2
)
2
MK
NK
b
b
+
=
+
-
+
-
=
,
若
2
b ³
，则
2
1 (3
)
4
b
b
+
-
=
-
，解得
3
b =
,
若0
2
<
<
b
，则
2
1 (3
)
b
b
+
-
=
，解得
5
3
b =
,
综上所述，b 的值可能为7
3 或1 或3 或5
3 .
4．（2026·甘肃武威一模）曲线的曲率是描述几何弯曲程度的量，曲率越大，曲线的弯曲程度越大．曲线在
点M 处的曲率
3
2
2
1
y
K
y
=
+
¢¢
¢
（其中y¢表示函数
( )
y
f x
=
在点M 处的导数，y¢¢ 表示导函数
( )
f
x
¢
在点M 处的
导数）．在曲线
( )
y
f x
=
上点M 处的法线（过该点且垂直于该点处的切线的直线为曲线在此处的法线）指向
曲线凹的一侧上取一点D,使得
1
|
|
MD
K
r
=
=
，则称以D 为圆心，以r 为半径的圆为曲线在M 处的曲率圆，
因为此曲率圆与曲线弧度密切程度非常好，且再没有圆能介于此圆与曲线之间而与曲线相切，所以又称此
圆为曲线在此处的密切圆．
(1)求出曲线
2
2
1 :
2
C
y
x
-
=
在点
(0, 2)
M
处的曲率，并在曲线
2 :
1
C
xy = 的图象上找一个点E，使曲线
2
C 在点
E 处的曲率与曲线
1
C 在点
(0, 2)
M
处的曲率相同；
(2)若要在曲线
2
2
1 :
2
C
y
x
-
=
上支凹侧放置圆
3
C 使其能在
(0, 2)
M
处与曲线
1
C 相切且半径最大，求圆
3
C 的方
程；
(3)在（2）的条件下，在圆
3
C 上任取一点P，曲线
1
C 上任取关于原点对称的两点A，B，求PA PB
×
uuur uuur 的最大值．
【解】（1）曲线
2
2
1 :
2
C
y
x
-
=
在点
(0, 2)
M
附近满足
2
2
y
x
=
+
，进一步有
2
2
x
y
x
¢ =
+
，
2
2
2
3
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
y
x
x
+
- ×
+
¢¢ =
=
+
+
，故其曲率
3
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2
x
y
K
x
y
x
x
+
¢¢
=
=
=
¢
æ
ö
+
+
+
ç
÷
+
è
ø
.
在
0
x =
处，
3
2
2
2
2
2
K =
=
，所以曲线
2
2
1 :
2
C
y
x
-
=
在点
(0, 2)
M
处的曲率为
2
2 .
考虑曲线
2 :
1
C
xy = 上的点
1,1
E
，曲线在该点附近满足
1
y
x
=
，进一步有
2
1
y
x
¢ = -
，
3
2
y
x
¢¢ =
，故其曲率
3
3
3
3
2
2
2
2
2
4
2
2
2
1
1
1
1
y
x
K
y
x
x
x
¢¢
=
=
=
¢
æ
ö
æ
ö
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
在
1
x = 处，
3
3
2
2
2
2
2
2
1
2
1 1
K =
=
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
，所以曲线
2 :
1
C
xy = 在点
1,1
E
处的曲率亦为
2
2 .
（2）设
3
C 的方程为
2
2
2
2
x
y
R
R
+
-
-
=
，
0
R >
，由条件知，由
2
2
2
2
x
y
R
R
+
-
-
=
和
2
2
2
y
x
=
+
组成
的方程组只有一个解
,
0,
2
x y =
.
将其联立，得到
2
2
2
2
2
y
y
R
R
-
+
-
-
=
，即
2
2
2
0
y
R
y
R
-
+
+
=
，即
2
0
y
y
R
-
-
=
.
若
2
R >
，则原方程组还有另一个解
2
2,
R
R
-
，矛盾.
而
2
R =
时，我们有
2
2
0
y -
=
，从而
2
y =
，
2
2
2
0
x
y
=
-
=
，故
0
x =
，这表明原方程组只有
,
0,
2
x y =
一个解.
所以所求的半径最大的圆
3
C 的方程为
2
2
2 2
2
x
y
+
-
=
.
（3）首先有
2
2
PA PB
PO
OA
PO
OB
PO
OA
PO
OA
OP
OA
×
=
+
×
+
=
+
×
-
=
-
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
.
设
,
A
A
A x
y
，则我们又有
2
2
3 2
OP
R
£
+
=
，
2
2
2
2
2
2
A
A
A
OA
x
y
x
=
+
=
+
³
，故
2
2
18
2
16
PA PB
OP
OA
×
=
-
£
-
=
uuur uuur
.
当
0,3 2
P
，
0,
2
A
时，
2
2
18
2
16
PA PB
OP
OA
×
=
-
=
-
=
uuur uuur
.
所以PA PB
×
uuur uuur 的最大值是16.
5．（2026 云南大理模拟）刻画曲线的弯曲程度是几何研究的重要内容，曲线的曲率是针对曲线上某个点的
切线方向角对弧长的转动率，曲线的曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大.若记
'
''f
x
f
x
¢
é
ù
= ë
û ，则函数
y
f x
=
在点
0
0
,
P x
y
处的曲率
''
0
3
2
2
0
1
f
x
K
f
x
=
é
ù
ê
¢
+
ú
ë
û
.
(1)求曲线
ln
y
x
=
在点
1,0 处的曲率；
(2)已知函数
2
3
2
3
ln
3
2
a
g x
x
x
x
x
=
-
-
，
1
0, e
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，若存在
1
x ，
2x 使得
g x 的曲率为0，求证：
1
2
8
2ln
ln
3
x
x
+
>
.
【解】（1）解：
2
1
1
y
y
x
x
¢
¢¢
=
= -
，
，
''
1
1,
1
f
f
x
¢
=
= - ，
所以曲线
ln
y
x
=
在点
1,0 处的曲率为
3
2
1
2 .
4
1 1
K =
=
+
（2）证明：由题意可得
2
2 ln
2
g
x
x
x
ax
x
-
¢
=
-
，
''
2ln
2
g
x
x
ax
=
-
，
若( )
g x 曲率为0，则
''
0
g
x =
，即ln
0
x
ax
-
=
，即
ln x
a
x
=
，
令
ln
( )
x
x
x
j
=
，则
2
1 ln
0
x
x
x
j¢
-
=
=
，得
e
x= ，
所以在
0,e 上，
0
x
j¢
>
，( )
j x 单调递增，且
1
( )
(e)
e
x
j
j
<
=
；
在
e, ¥
+
上，
0
x
j¢
<
，( )
j x 单调递减，且
1
0
( )
e
x
j
<
<
.
又
1
0, e
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，所以
( )
a
x
j
=
有两个解.
设为
1
x ，
2x ，
1
2
0
e
x
x
<
<
<
，
又
1
2
1
2
ln
ln
x
x
a
x
x
=
=
，所以
1
1
2
2
ln
0
ln
0
x
ax
x
ax
-
=
ì
í
-
=
î
，可设
1
1
2
2
ln
ln
x
x
t
x
x
=
= ，
0,1
t Î
，
所以
1
2
2
2
ln
ln
ln
ln
x
tx
t
x
x
=
= ，
0,1
t Î
，
2
2
ln
ln
ln
t
x
t
x
+
=
，
化简可得
2
ln
ln
1
t
x
t
= - ，则
1
ln
ln
1
t
t
x
t
=
-
.
要证
1
2
8
2ln
ln
3
x
x
+
>
，即证(2
1)ln
8
1
3
t
t
t
+
>
-
，
需要证
8
1
ln
3 2
1
t
t
t
-
<
+
，即证
8
1
ln
0
3 2
1
t
t
t
-
-
<
+
，
令
8(
1)
( )
ln
3(2
1)
t
H t
t
t
-
=
-
+
，
2
2
2
2
2
1
8
(2
1)
8
(2
1)
( )
0
(2
1)
(2
1)
(2
1)
t
t
t
H t
t
t
t
t
t
t
+
-
-
¢
=
-
=
=
+
+
+
≥，
所以
( )
H t 在
0,1 上单调递增，
所以
( )
(1)
0
H t
H
<
=
，得证．
6.中国结是一种手工编制工艺品，因其外观对称精致，符合中国传统装饰的审美观念，广受中国人喜爱. 它
有着复杂奇妙的曲线，却可以还原成单纯的二维线条，其中的“八字结”对应着数学曲线中的伯努利双纽线.
在xOy 平面上，我们把与定点
1
,0
F
a
-
，
2
,0
0
F
a
a >
距离之积等于
2
a 的动点的轨迹称为伯努利双纽线，
1F ，
2F 为该曲线的两个焦点. 数学家雅各布•伯努利曾将该曲线作为椭圆的一种类比开展研究. 已知曲线
2
2
2
2
2
:
9
C
x
y
x
y
+
=
-
是一条伯努利双纽线.
(1)求曲线C 的焦点
1F ，
2F 的坐标；
(2)试判断曲线C 上是否存在两个不同的点A，B（异于坐标原点O），使得以AB 为直径的圆过坐标原点O.
如果存在，求出A，B 坐标；如果不存在，请说明理由.
【解】（1）方法一：设焦点
1
,0
F
a
-
，
2
,0
0
F
a
a >
，
曲线
2
2
2
2
2
:
9
C
x
y
x
y
+
=
-
与x 轴正半轴交于点
3,0
P
，
由题意知
2
2
1
2
3
3
9
PF PF
a
a
a
a
=
+
-
=
-
=
，
于是
2
9
2
a =
，
3 2
2
a =
，
因此
1
3 2 ,0
2
F æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
3 2 ,0
2
F æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
方法二：设焦点
1
,0
F
a
-
，
2
,0
0
F
a
a >
，
由题意知
2
2
2
2
4
x
a
y
x
a
y
a
é
ù é
ù
+
+
-
+
=
ë
û ë
û
，
即
2
2
2
2
2
2
4
2
2
x
a
y
ax
x
a
y
ax
a
é
ù é
ù
+
+
+
+
+
-
=
ë
û ë
û
，
整理得
2
2
2
2
2
2
2
x
y
a
x
y
+
=
-
，于是
2
9
2
a =
，
3 2
2
a =
.
因此，
1
3 2 ,0
2
F æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
3 2 ,0
2
F æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
（2）假设曲线C 上存在两点A，B，使得以AB 为直径的圆过坐标原点O，即OA
OB
^
，
由题意知直线OA，OB 斜率均存在，
不妨设直线OA 的方程为
1
y
k x
=
，直线OB 的方程为
2
y
k x
=
，
将直线OA 的方程与曲线C 联立，得
2
2
4
2
2
1
1
1
9
1
k
x
x
k
+
=
-
，
即
2
1
2
2
2
1
9 1
0
1
k
x
k
-
=
>
+
.
解得
1
1
1
k
- <
< ，同理
2
1
1
k
- <
< ，
因此
1
2
1
k k = - 不可能成立，于是假设不成立，
即曲线C 上不存在两点A，B，使得以AB 为直径的圆过坐标原点O.
7.（2025·湖北黄冈·二模）已知向量
cos , sin
OP
r
r
q
q
=
uuur
绕着原点O 沿逆时针方向旋转a 角可得到向量
cos
, sin
OP
r
r
q
a
q
a
=
+
¢
+
uuur
.
(1)求点
2,0
T
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点T¢的坐标；
(2)若曲线E 上的所有点绕着原点逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ 对应的方程为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
.
（i）求曲线E 的方程；
（ii）设直线l 过定点
2,0
-
与曲线E 交于点
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E 交于点C ，D ，且l
m
^
，
求
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值.
【解】（1）（1）因为
2,0
T
，即
2
2 cos0
0
2 sin 0
ì
=
ïí
=
ïî
，
绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到的点
0
0
,
T
x
y
¢
，
则
0
0
π
2 cos 0
1
4
π
2 sin 0
1
4
x
y
ì
æ
ö
=
+
=
ç
÷
ïï
è
ø
í
æ
ö
ï
=
+
=
ç
÷
ï
è
ø
î
，所以
1,1
T¢
；
（2）（i）将曲线E 绕着原点O 沿逆时针方向旋转π
4 得到曲线E¢ ，
设
,
Q
x
y
¢
¢
¢ 为曲线E 上点
,
Q x y 旋转后的对应点，
设
cos
sin
x
r
y
r
q
q
=
ì
í
=
î
，则
π
2
2
cos
cos
sin
4
2
2
π
2
2
sin
cos
sin
4
2
2
x
r
r
r
x
y
y
r
r
r
x
y
q
q
q
q
q
q
ì
æ
ö
=
+
=
-
=
-
ï
ç
÷
ï
è
ø
í
æ
ö
ï
=
+
=
+
=
+
ç
÷
ï
è
¢
î
¢
ø
，
又因为
2
2
5
5
2
24
x
y
x y
¢
¢
¢ ¢
+
-
=
，
所以
2
2
2
2
5
5
24
2
2
x
y
x
y
x
y
-
+
+
-
-
=
，整理得
2
2
1
6
4
x
y
+
= ，
（ii）
由（i）直线l 过定点
2,0
-
与曲线E :
2
2
1
6
4
x
y
+
= 交于
,
A B ，直线m 过定点
2,0 与曲线E :
2
2
1
6
4
x
y
+
= 交
于C ，且l
m
^
， AB 与CD 交点满足
2
2
2
x
y
+
=
，且在椭圆内部，
当AB 与x 重合时
4 6
1
2 6 ,
,
8
3
2
ABCD
AB
CD
S
AB
CD
=
=
=
=
四边形
；·
当AB 与x 不重合时，设直线
1
1
2
2
:
2 ,
,
,
,
l x
t y
A x
y
B x
y
=
-
，
联立
2
2
1
6
4
2
x
y
x
ty
ì
+
=
ïí
ï =
-
î
，整理得
2
2
2
3
4 2
8
0
t
y
ty
+
-
-
=
，
则
1
2
1
2
2
2
4 2
8
,
2
3
2
3
t
y
y
y y
t
t
-
+
=
=
+
+
，
所以AB
2
2
2
2
2
2
4 2
8
1
1
4
96
2
3
2
3
2
3
t
t
t
t
t
t
æ
ö
-
+
=
+
×
- ´
=
×
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
，
同理可得CD
2
2
1
96 2
3
t
t
+
=
×
+
，
1
2
ABCD
S
AB
CD
=
=
四边形
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
192
48
48
25
2
3
2
3
2
3
2
3
2
t
t
t
t
t
t
+
+
×
³
×
=
+
+
æ
ö
+ +
+
ç
÷
è
ø
，
当且仅当
2
2
2
3
2
3
t
t
+
=
+
，即
2
1
t = 时取等号，
因为192
8
25 < ，即
, ,
,
A B C D 四点构成的四边形面积的最小值为192
25 .
8..（2025·山东潍坊·二模）双曲线
2
2
2
:
0
C x
y
a
a
-
=
>
的左、右顶点分别为A 、
1A ，点
1A 到C 的渐近线的
距离为
2
2 ．
(1)求C 的方程；
(2)按照如下方式依次构造点
n
A （
2
n ³
且nÎN ）：过点
1
n
A - 作斜率为2
- 的直线交C 于另一点
1
n
B - ，设
n
A 是
点
1
n
B - 关于实轴的对称点，记点
n
A 的坐标为
,
n
n
x
y
．
（i）证明：数列
n
n
x
y
-
、
n
n
x
y
+
是等比数列，并求数列
nx
和
ny
的通项公式；
（ii）记
1
n
n
A AA +
△
的面积为S ，
1
1
n
n
A A A +
△
的面积为T ，求S
T 的最大值．
【解】（1）双曲线C 的渐近线方程为
0
x
y
±
=
，
1
,0
A a
，
则点
1A 到渐近线的距离为
2
2
2
a =
，所以
1
a = ，所以C 的方程为
2
2
1
x
y
-
= ．
（2）（i）因为
,
n
n
n
A
x
y
，所以
1
1
1
,
n
n
n
A
x
y
-
-
-
、
1
,
n
n
n
B
x
y
-
-
，
直线
1
1
n
n
A
B
-
- 的方程为
2
n
n
y
y
x
x
+
= -
-
，即
2
2
n
n
y
x
x
y
= -
+
-
，
代入
2
2
1
x
y
-
= ，得
2
2
3
4 2
2
1
0
n
n
n
n
x
x
y
x
x
y
-
-
+
-
+ =
，
根据韦达定理得
1
4 2
3
n
n
n
n
x
x
x
y
- +
=
-
．
所以
1
5
3
4
4
n
n
n
y
x
x -
=
-
，
1
1
1
3
5
2
2
4
4
n
n
n
n
n
n
y
x
x
y
x
x
-
-
-
= -
+
-
=
-
，
由题设有
1
1
1
1
1
x
y
x
y
+
=
-
= ，
因为
1
1
1
1
1
1
1
5
3
1
3
1
4
4
4
4
3
9
3
5
3
4
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
y
x
y
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
-
æ
ö
-
-
-
+
ç
÷
-
è
ø
=
=
=
-
æ
ö
-
+
-
-
ç
÷
è
ø
，
所以
n
n
x
y
-
是公比为1
3 的等比数列．
因为
1
1
1
1
1
1
1
5
3
9
3
4
4
4
4
3
3
5
3
1
4
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
y
x
y
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
-
+
-
-
+
=
=
=
+
+
-
-
，
所以
n
n
x
y
+
是公比为3的等比数列，
所以
1
1
3
n
n
n
x
y
-
æ
ö
-
= ç
÷
è
ø
，
1
3n
n
n
x
y
-
+
=
所以
1
1
1
3
3
2
n
n
nx
-
-
æ
ö
+ ç
÷
è
ø
=
，
1
1
1
3
3
2
n
n
ny
-
-
æ
ö
-ç
÷
è
ø
=
.
（ii）先证明结论：若
1
1
,
MN
a b
=
uuuur
，
2
2
,
MP
a b
=
uuur
为两个不共线的非零向量，
则
2
1
1
sin
1 cos
2
2
PMN
S
MN
MP
PMN
MN
MP
PMN
=
×
Ð
=
×
-
Ð
V
uuuur
uuur
uuuur
uuur
2
2
2
2
2
2
1
1
cos
2
2
MN
MP
MN
MP
PMN
MN
MP
MN MP
=
×
-
×
Ð
=
×
-
×
uuuur
uuur
uuuur
uuur
uuuur
uuur
uuuur uuur
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1 2
1
2
1
2 1 2
2 1
1 2
2 1
1
1
1
2
2
2
2
a
b
a
b
a a
b b
a b
a a b b
a b
a b
a b
=
+
+
-
+
=
-
+
=
-
.
本题中，因为
1,
n
n
n
AA
x
y
=
+
uuuur
．
1
1
1
1,
n
n
n
AA
x
y
+
+
+
=
+
uuuuur
，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
x
y
x
y
x y
x
y
y
y
+
+
+
+
+
=
+
-
+
=
-
+
-
．
因为
1
1,
n
n
n
A A
x
y
=
-
uuuur
，
1
1
1
1
1,
n
n
n
A A
x
y
+
+
+
=
-
uuuuuur
，
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
T
x
y
x
y
x y
x
y
y
y
+
+
+
+
+
=
-
-
-
=
-
+
-
，
又因为
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
4
3
3
3
3
4
4
3
n
n
n
n
n
n
n
n
x y
x
y
-
-
-
-
+
+
æ
ö
æ
ö
+ -
-
+
- -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
=
-
=
，
1
1
1
3
3
n
n
n
n
y
y
-
+
æ
ö
-
=
+ ç
÷
è
ø
，
所以
1
1 4
1
3
2 3
3
n
n
S
-
æ
ö
æ
ö
=
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
1
1
1
4
3
2
3
3
n
n
T
-
æ
ö
æ
ö
=
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
1
1
1
1
4
8
3
3
3
3
1
1
4
1
4
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
S
T
-
-
-
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
=
= +
æ
ö
æ
ö
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
设
1
1
4
3
3
3
n
n
n
d
-
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，则
1
1
1
4
3
3
3
n
n
n
d
+
+
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
所以
1
0
n
n
d
d
+ -
>
，所以
1
n
n
d
d
+ >
，所以
1
4
16
3
9
3
9
n
d ³
+
-
=
，
所以
8
8
9
3
5
3
1
1
1
16
3 16
2
2
9
S
T £ +
= +
´
= +
=
，当且仅当
2
n =
时等号成立，
所以S
T 的最大值为5
2 ．
