01 集合的概念及表示方法
巩固练习
考点1：集合的定义
A组
1
下列对象能组成集合的是
①桃浦中学一部分学生
②倒数等于自身的实数
③超过100页的书
④世界知名艺术家
⑤方程x2 + 1 = 0的全体解
考点2：集合的分类
A组
1
判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由．
(1)
上海各区的名称；
(2)
尾数是5的自然数；
(3)
我们班身高大于1.7m的同学．
1
考点3：集合的性质
A组
1
若−3 ∈{a −3, 2a −1, a2 −1}，则a的值为（ ）
A. －1
B. 0
C. 1
D. 2
考点4：方程解与元素个数问题
B组
1
若集合A = {x ax2 + 2x −1 = 0, x ∈R}只有一个元素，则实数a的取值范围是
．
∣
2
已知集合A = {x ax2 −3x + 2 = 0, x ∈R}.若集合A中至多有一个元素，则实数a的取值范围是（ ）
A. a ≥9
8
B. a ≥9
8 或a = 0
C. a > 9
8 或a = 0
D. a < 9
8 或a = 0
∣
考点5：列举法表示集合
A组
1
用列举法表示下列集合：
（1）方程组{
的解集；
（2）不大于10的非负奇数集；
（3）A = {x|x ∈Z,
6
4 −x ∈N}．
x + y = 3
x −y = 1
2
B组
1
已知集合A={x|-2<x<2,x∈Z},B={y|y=x +1,x∈A},则集合B用列举法表示是
.
2
考点6：描述法表示集合
A组
1
被7除余2的所有自然数组成的集合可以表示为
.
B组
1
用描述法表示下列集合：
(1)
被3除余1的所有自然数组成的集合；
(2)
比1大又比10小的所有实数组成的集合；
(3)
平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合.
C组
1
用|A| 表示非空集合A 中元素的个数，定义A ∗B = {
，若A = {0, 1} ，
B = {x|(x2 + ax)(x2 + ax + 3) = 0}，A ∗B = 1，则实数a的所有可能取值构成集合S，则S =
（请用列举法
表示）．
|A| −|B|, |A| ≥|B|
|B| −|A|, |B| > |A|
3
考点8：符号运用
A组
1
用符号“∈”或“∉”填空．
（1）0
N；
（2）−√2
R；
（3）3π
Q；
（4）−10
Z．
考点9：元素与集合的关系问题
A组
1
下列写法正确的是（ ）.
A. 0 ∈{(0, 1)}
B. 1 ∈{(0, 1)}
C. (0, 1) ∈{(0, 1)}
D. (0, 1) ∈{0, 1}
2
已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为
．
3
设集合A = {x, xy, xy −1}，其中x ∈Z，y ∈Z且y ≠0. 若0 ∈A，则用列举法表示集合A =
B组
1
已知A = {x|x = a + b√3, a ∈Z, b ∈Z}
（1）试写出集合A的五个元素；
（2）判断下列元素是否属于A：0，−√3，√12，3√2，1
2 −√3；
（3）若x ∈A, y ∈A，试判断x + y, xy与A的关系.
4
5
C组
1
已知非空集合S的元素都是整数，且满足：对于任意给定的x，y∈S (x、y可以相同)，有x+y∈S且x-y∈S.
（1）集合S能否为有限集，若能，求出所有有限集，若不能，请说明理由；
（2）证明：若3∈S且5∈S，则S=Z.
2
设集合M = {x|x = a2 −b2, a, b ∈Z}；
(1)
判断元素7是否属于M，并说明理由；
(2)
已知实数x0 = 4k −2 (k ∈Z)，证明：x0 ∉M；
(3)
对任意x1, x2 ∈M，判断x1x2是否是集合M中的元素？并证明你的结论；
6
3
设集合A由全体二元有序实数组组成，在A上定义一个运算，记为⊗:对于A中的任意两个元素α = (a, b), β = (c, d)，
规定：α ⊗β = (ad + bc, bd −ac)；
(1)
求(1, 2) ⊗(3, 4)；
(2)
已知集合M = {(x, y) ∣xy < 0, x ∈R, y ∈R}，判断是否对任意α, β ∈M，都有α ⊗β ∈M?并说明理由：
(3)
是否存在A中的元素I = (x, y)，使得α ⊗I = I ⊗α = α恒成立？若存在，求出元素I；若不存在，请说明理
由；
7
02 集合和集合的关系与集合的基本运算
巩固练习
考点1：子集与真子集的概念
B组
1
集合A＝{﹣1，2，4}，B＝{2，m2}，B ⊆A，则m＝
．
2
已知集合A = {1}，B = {x x2 + 3x + a = 0}，若A ⊆B，则实数a的值为
．
∣
3
已知集合M = {x|x = kπ
4 + π
4 , k ∈Z}，集合N = {x x = kπ
8 −π
4 , k ∈Z}，则（ ）
A. M ∩N = ∅
B. M ⊆N
C. N ⊆M
D. M ∪N = M
∣
考点2：符号运用
A组
1
若集合A = {x x2 −2x + 1 = 0}，B = {x x2 −1 = 0}，则A
B.（用符号“⊂”“=”或“⊃”连接）
∣∣
2
用适当的符号（∈、∉、=、⊆、⊂）填空：
（1）∅ {0}；
（2）{y |y = 3x} {x y = (x −1)2 + 1}.
∣
8
考点3：集合相等
B组
1
若集合A = {x|ax2 −ax + 2 = 0} = ∅，则实数a的取值范围是
.
考点5：子集个数的求算
A组
1
集合P满足P ⊂{(x, y)|x2 + y2 = 4, x, y ∈Z}，则这样的集合P有
个．
考点6：子集个数的应用
B组
1
已知集合P满足{a, b} ⊂P ⊆{a, b, c, d, e}，则集合P的个数有
个；
考点8：集合关系中的参数取值问题
A组
1
已知集合A = {x|x2 + x −6 = 0}，B = {x|mx + 1 = 0}，若B ⊆A，求实数m的取值范围．
9
B组
1
已知a ∈R，x ∈R，集合A = {2, 4, x2 −5x + 9}，B = {3, x2 + ax + a}，C = {x2 + (a + 1)x −3, 1}.
（1）求使集合A = {2, 3, 4}的x的值；
（2）求使2 ∈B，B ⊆A的a，x的值；
（3）求使集合B = C的a，x的值.
2
已知A = {x x2 + 4x = 0}，B = {x x2 + 2 (a + 1)x + a2 −1 = 0}.
(1)
若A ∩B = A，求实数a的值；
(2)
若B是A的真子集，求实数a的取值范围.
∣∣
10
考点9：交并补集的定义
A组
1
已知全集U = R, A = (1, +∞), B = [√2, √5)，则A ∩B =
.
–
2
若集合A = {(x, y) |x + y = 0}, B = {(x, y) |2x −y = 3}，则A ∩B =（ ）
A. {1, −1}
B. {−1, 1}
C. {(1, −1)}
D. {(−1, 1)}
3
若全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, A = {3, 5, 8}, B = {7, 9, 10}，则A ∪B =
.
–
B组
1
已知A = (−∞, 0]，B = [a, +∞)，且A ⋃B = R，则实数a的取值范围为
.
考点10：已知交并补集求参数取值问题
A组
1
设全集U = {2, 3, a2 + 2a −3}，A = {3, a}，若A = 5，则实数a =
.
–
B组
1
已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|x-a<0}．
（1）求A∪B；
（2）求A ⋂B；
（3）若A∩C=A，求实数a的取值范围．
–
11
考点11：交并补集与一元二次方程的根
B组
1
已知集合A = {x|x2 + (p −1)x + q = 0}，B = {x|(x −1)2 + p (x −1) + q = x + 1}，当A = {2}时，求集合B．
考点12：交集的运算性质
A组
1
已知集合A={x｜-2≤x≤5}，B={x｜m≤x≤2m-1} A∩B="B," 求m的取值范围．
12
考点13：并集的运算性质
A组
1
若A, B是全集U的真子集，则下列四个命题：①A ∩B = A；②A ∪B = A；③A ∩B = ∅;④A ∩B = U;⑤B ⊆A中
与命题A ⊆B等价的有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
–
–
考点14：补集的运算性质
A组
1
设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，集合T = {3，6}，则S ∩T =
．
–
B组
1
设全集U={(x, y)|x, y ∈R}．集合M {(x, y)| y −3
x −2 = 1}，N = {(x, y)|y ≠x + 1}，则A ⋃B等于 ．
–
考点15：利用文氏图解决交并补问题
A组
1
设全集为U，集合A, B是U的子集，用交、并、补运算符号表示图中阴影部分集合为
．
2
给定全集U，A，B是U的子集，且A ⊆B，则（ ）
A. A ⊆B
B. A ∩B = ∅
C. A ∪B = U
D. A ⊆B
–
–
13
B组
1
将集合A ∩C ∩∁UB在如图中用阴影部分表示出来
.
2
设全集U = {1, 2, 3, 4, 5}，若A ∩B = {2}，A ∩B = {4}，A ∪B = {1, 5}，则A =
．
–
–
3
设全集U =｛x|x ⩽20的素数｝，B ⋂A={3, 5}，A ⋂B={7, 19}，A ⋂B={2, 17}，求集合A，B．
–
–
–
考点16：文氏图的实际应用
B组
1
某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至少参加一个至多参加两个小组.已知参加数学、
物理、化学小组的人数分别为26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，
则同时参加数学和化学小组的有
人.
14
C组
1
2024年国庆假期期间，佛山市安排了精彩纷呈的文旅体活动，其中文化旅游活动备受市民青睐.某学校对120名学生
在国庆期间参与佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演，顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动，广东千古情
的“火人狂欢节”活动的情况进行了统计，统计结果如下表所示：
参与情况
参与人数
参与了佛山祖庙的“乐游祖庙，喜迎国庆”文艺汇演
60
参与了顺德欢乐海岸的“潮玩广府”嘉年华活动
89
参与了广东千古情的“火人狂欢节”活动
50
至少参与了其中的一个活动
105
则下列说法正确的是（ ）
A. 三项活动都没有参与的人数为15
B. 三项活动都参与的人数最多为47
C. 恰好参与一个活动的人数最少为21
D. 恰好参与两个活动的人数最多为94
15
03 常用逻辑关系
巩固练习
考点1：命题的概念
A组
1
已知下列语句:①一束美丽的花;②x>3;③2是一个偶数;④若x=2,则x -5x+6=0.其中是命题的个数是 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2
考点2：命题的判断
B组
1
设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（ ）
A. 若A ∩B = ∅，则(∁UA) ∪(∁UB) = U；
B. 若A ∪B = U，则(∁UA) ∩(∁UB) = ∅；
C. 若A ∩B = ∅，则A = B = ∅；
D. 若A ∪B = ∅，则A = B = ∅.
考点3：命题与推出关系
B组
1
已知命题p：x ﹣4x﹣5≤0，命题q：x ﹣2x＋1﹣m ≤0(m＞0)．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若m＝5，命题p和q中有且只有一个真命题，求实数x的取值范围．
2
2
2
16
考点4：充分条件与必要条件
A组
1
若m, n ∈R，则“m + n ≥0”是“m ≥0且n ≥0”的
条件．
2
下列说法正确的是（ ）
A. x ∈Z是x ∈N的必要不充分条件
B. x ≥3是x > 5的充分不必要条件
C. 若q ⇒p，则p是q的充分条件
D. 一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
3
俗话说“便宜没好货”，这句话的意思是，“不便宜”是“好货”的（ ）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
C. 充要
D. 非充分非必要
B组
1
设a、 b、 c、 d ∈R，则{
是{
成立的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
c + d > a + b
(c −a) (d −b) > 0
c > a
d > b
C组
1
设集合M = {t t = m2 −n2，m，n ∈Z}.
（1）证明：属于M的两个整数，其积也属于M；
（2）判断32、33、34是否属于M，并说明理由；
（3）写出“偶数2k (k ∈Z)属于M”的一个充要条件并证明.
∣
17
考点5：已知条件关系求参数取值
B组
1
设α：1 ≤x ≤3；β: m + 1 ≤x ≤2m + 4，m ∈R，若α是β的充分不必要条件，则m的取值范围是
C组
1
已知非空集合A = {x|x2 −(3a −1)x + 2a2 −a < 0}，集合B = {x|x2 −4x + 3 < 0}．
（1）当a = 2时，求A ⋂B；
（2）命题p : x ∈A，命题q : x ∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．
考点6：命题的反设
B组
1
对于命题“若a ∈R且a −√2是有理数，则a是无理数”，用反证法证明时，假设a是有理数后下面到处矛盾的方法：
①因为a是有理数，√2是无理数，所以a −√2是无理数，这与a −√2是有理数矛盾；
②因为a −√2有理数，√2是无理数，所以a是无理数，这与a是有理数矛盾；
③因为a是有理数，a −√2是有理数，所以a −a + √2 = √2是有理数，这与√2是无理数矛盾；
其中，推理正确的序号是
.
18
考点7：反证法在证明题中的应用
A组
1
已知实数x, y满足x + y = 2，则下列结论的证明更适合用反证法的是（ ）
A. 证明xy ≤1
B. 证明x, y中至少有一个不大于1
C. 证明x2 + y2 ≥2
D. 证明x, y可能都是奇数
B组
1
用反证法证明命题“设n ∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”时，应假设
.
2
若x ∈R, a = x2 −x, b = x2 −3x + 2.证明：a, b至少有一个不小于0.
19
04 一元二次函数的图象与性质
巩固练习
考点1：二次函数一般式中各参数的集合意义
A组
1
如图所示，当ab > 0时，函数y = ax2与f(x) = ax + b的图象是 （ ）
A.
B.
C.
D.
2
已知二次函数y=ax +bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A. a＞0
B. 3是方程ax +bx+c=0的一个根
C. c＜0
D. 当x＜1时，y随x的增大而减小
2
2
3
若函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3，x ∈[a, b]的图象关于直线x = 1对称，则b =
.
考点2：定轴定区间值域问题
A组
1
求函数y = −x2 + 2x + 3, x ∈[0, 3]的最大值和最小值.
20
B组
1
已知函数f (x) = x2 −4x + 5
（1）写出函数y随x增大而增大的x的区间范围
（2）求f (x)在[1，4]上的最值
（3）求f (x)在[3，6]上的最值
（4）求f (x)在[−2，0]上的最值
C组
1
已知二次函数f(x) = x2 + ax + 1，x ∈[−1, 2]．
（1）如果函数f(x)单调递减，求实数a的取值范围；
（2）当a = 1时，求f(x)的最大值和最小值，并指出此时x的取值；
（3）求f(x)的最小值，并表示为关于a的函数H(a)．
21
考点3：R上的恒成立值域问题
B组
1
函数f (x) = √mx2 −2mx + 4的x在R上函数恒有意义，则实数m的取值范围是
考点4：定轴动区间
B组
1
已知函数f(x) = −x2 + 4x, x ∈[m, 5]的值域是[−5, 4]，则实数m的取值范围是（ ）
A. (−∞, −1)
B. (−1, 2]
C. [−1, 2]
D. [2, 5)
2
函数f (x) = x2 −6x + 8，x ∈[1, a] (a > 1)，且f (x)的最大值是f (a)，则实数a的取值范围是
．
B组
1
已知函数f (x) = x2 −2x −3．
(1)
若x ∈[0, 2]，求函数f (x)的最值；
(2)
若x ∈[t, t + 2]，求函数f (x)的最值．
22
考点5：动轴定区间
B组
1
求函数f(x) = x2 + 2ax, x ∈[1, 3]的最值.
2
若函数f(x) = x2 −2ax + 2a，x ∈(−∞, 4)无最值，则a的取值范围是（ ）
A. a < 2
B. a > 2
C. a ≤4
D. a ≥4
C组
1
已知二次函数f(x) = x2 −(3m −1)x + 2m2 −m.
（1）若m = 2，求y = f(x)在区间[−3, 2]上的值域；
（2）求y = f(x)在区间[−1, 5]上的最值；
（3）若f(x)的在区间(−3, 2)上无最值，求m的取值范围；
23
2
已知函数f (x) = −x2 + mx −m.
(1)
若函数f (x)的值域是(−∞, 0]，求实数m的值；
(2)
若函数f (x)在[−1, 0]上单调递减，求实数m的取值范围；
(3)
是否存在实数m，使得f (x)在[2, 3]上的值域恰好是[2, 3]？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.
考点6：动轴动区间
C组
1
已知函数f (x) = x2 −(a −2)x + a −4；
（1）若函数y = f (x)在区间[1, 2]上的最小值为4 −a，求实数a的取值范围；
（2）是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m ≤f (x) ≤n的解集恰好为[m, n]，若存在，求出m，n的值，若不
存在，请说明理由.
24
05 一元二次方程的根分布
巩固练习
考点1：两根都大于零
A组
1
已知方程1
4 x2 + (m −2)x + m = 0有两个不相等的正根，则实数m的取值范围是
.
B组
1
已知x1, x2是一元二次方程(4k2 + 1)x2 −(4k + 1)x + 1 = 0的两个不相等的实数根．
(1)
若两根同号，求实数k的取值范围；
(2)
求使得x1
x2 + x2
x1 + 4的值为整数的整数k的值．
考点2：一根大于零一根小于零
B组
1
已知关于x的方程x2 + 2 (a + 2)x + a2 −1 = 0有一个正根和一个负根，则实数a的取值范围为
．
25
考点3：两根都小于零
A组
1
若关于x的方程3x2 + 10x + k = 0有两个不相等的负实数根，求实数k的取值范围．
考点4：两根都大于k
A组
1
一元二次方程x2 −5x + 1 −m = 0的两根均大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A. [−21
4 , +∞)
B. (−∞, 5)
C. [−21
4 , −5)
D. (−21
4 , −5)
C组
1
设二次函数f(x) = ax2 + bx + c，其中a､b､c ∈R.
（1）若b = 2(a + 1)，c = 9a + 4，且关于x的不等式x2 −8x + 20
f(x)
< 0的解集为R，求a的取值范围；
（2）若a､b､c ∈Z，且f(0)､f(1)均为奇数，求证：方程f(x) = 0无整数根；
（3）若a = 1，b = 2k −1，c = k2，求证：方程f(x) = 0有两个大于1的根的充要条件是k < −2.
26
考点6：两根都小于k
B组
1
已知函数f (x) = x2 −a (a −2)x + b.
(1)
若关于x的不等式f (x) < 0的解集为(−2, 1)，求a, b的值；
(2)
当b = 2时，方程f (x) = 0有一个根大于1，一个根小于1，求实数a的取值范围.
考点7：两根在区间内
B组
1
已知a，b ∈N∗，c = 1，关于x的方程ax2 + bx + c = 0有两个不相等的实根，且均大于−1小于0，求a + b的最小
值．
27
2
已知方程x2 + (m −3)x + m = 0.
（1）若此方程有两个正实根，求实数m的取值范围；
（2）若此方程有两个正实根均在(0, 2)内，求实数m的取值范围.
C组
1
已知a，b，c ∈R，函数y = ax2 + bx + c．
(1)
若a = 1，关于x的不等式ax2 + bx + c ≤2x2 −4x −30 对任意x ∈R恒成立，求b，c的值；
(2)
若a，b ∈N∗，c = 1，关于x的方程ax2 + bx + c = 0有两个不相等的实根，且均大于−1小于0，求a + b的最小
值．
∣∣∣
考点9：有且仅有一根在区间内
B组
1
方程x2 + ax −2 = 0在区间[1, 5]上有根，则实数a的取值范围为
A. (−23
5 , +∞)
B. (1, +∞)
C. [−23
5 , 1]
D. (−∞, 23
5 ]
28
考点10：两根在两个区间内
B组
1
方程x2 + 2 (m −1)x + 2m + 6 = 0有两个实根x1，x2，且满足0 < x1 < 1 < x2 < 4，则m的取值范围是
.
C组
1
已知二次函数f (x)＝x2＋2bx＋c(b, c ∈R)．
(1)
若函数y＝f (x)的零点为−1和1，求实数b, c的值；
(2)
f (x)满足f (1)＝0，且关于x的方程f (x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(−3, −2), (0, 1)内，求实数b的取
值范围．
29
06 不等式的性质与一元二次不等式的解法
巩固练习
考点1：两实数大小比较
A组
1
设x是实数，比较(x + 1) (x2 −x + 1)与(x −1) (x2 + x + 1)的值的大小.
B组
1
王老师和高老师一起去粮店打酱油共三次，王老师每次打100元酱油，高老师每次打100斤酱油，由于酱油市场瞬息
万变，每次打的酱油价格都不相同，一斤的价格分别为a元、b元、c元，则三次后两人所打酱油的平均价格较低是
哪位老师？请说明理由.（即提炼关键不等式，并证明）
30
C组
1
下列叙述正确的是（ ）
①20242023 < 20232024；
②海滨中学将于近期召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选
一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y = [x]（[x]表示不大于x的最大整
数）可以表示为y = [ x + 5
10
]．
A. ①正确，②不正确
B. ①不正确，②正确
C. ①正确，②正确
D. ①不正确，②不正确
考点2：不等式的基本性质
A组
1
已知a, b, c ∈R,则下列推理中正确的是 ( )
A. a > b ⇒am2 > bm2
B. a
c > b
c ⇒a > b
C. a3 > b3, ab > 0 ⇒1
a < 1
b
D. a2 > b2, ab > 0 ⇒1
a < 1
b
2
设实数x, y满足3 ≤xy2 ≤8, 4 ≤x2
y ≤9，则x3
y4 的最大值是_____.
B组
1
根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响. 若用Q表示产量，L表示劳动投入，K表示资
本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示为Q = AK
1
α L
1
β ，其中 A > 0, K > 0, L > 0, α > 1, β > 1 . 当A不
变，K与L均变为原来的2倍时，有关于Q的两个命题:
①存在1 < α < 2和1 < β < 2，使得Q变为原来的 2 倍；
② 若2(α2 + β2) = α2β2，则Q最多可变为原来的 2 倍.
则下列说法正确的是（ ）
A. ①②都是真命题
B. ①是真命题②是假命题
C. ①是假命题②是真命题
D. ①②都是假命题
31
C组
考点3：叠加性的应用
A组
1
已知−1 ≤x + y ≤1，1 ≤x −y ≤5，则3x −y的取值范围是
．
B组
1
设实数a、b、c、d满足条件：0 ≤a ≤1，0 ≤b ≤1，0 ≤c ≤1，0 ≤d ≤1，则a(1 −b)+
b(1 −c) + c(1 −d) + d(1 −a)的取值范围是
.
考点4：不等式性质的综合应用
A组
1
已知下列三个不等式：①ab > 0，②c
a > d
b ，③bc > ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成几个
真命题？请证明你的结论.
32
B组
1
已知实数a, b, c满足a > b > c．
(1)
若a, b, c满足a + b + c = 0， 求证：a > 0且c < 0．
(2)
求证：
1
a −b +
1
b −c +
1
c −a > 0．并将上述不等式加以推广，把
1
c −a 的分子1改为另一个大于1的自然数
p，使得
1
a −b +
1
b −c +
p
c −a > 0对任意的a, b, c恒成立， 求p的值．
(3)
从另一角度推广，自然数m, n, p满足什么条件时，不等式
m
a −b +
n
b −c +
p
c −a > 0对任意a, b, c恒成立．
C组
1
已知数集A = {a1, a2, ⋅⋅⋅, an}（1 ≤a1 < a2 < ⋅⋅⋅< an，n ≥2）具有性质P：对任意的i，j（1 ≤i ≤j ≤n），aiaj
与aj
ai 两数中至少有一个属于A，（如a1a2与a2
a1 中至少有一个属于A）.
(1)
分别判断数集A = {1, 3, 4}和B = {1, 2, 4, 8}是否具有性质P，并说明理由；
(2)
求a1的值；
(3)
设正整数集合A = {a1, a2, ⋅⋅⋅an}（1 ≤a1 < a2 ⋅⋅⋅< an，n ≥2）具有性质P，证明：对任意1 ≤i ≤n（i为正
整数），ai都是an的因数.
33
考点5：一元一次不等式的解法
A组
1
不等式组{
无实数解，则m的取值范围是
.
x < 5
x > m
B组
1
不等式ax > b (b ≠0)的解集不可能是（ ）
A. (−∞, b
a )
B. R
C. (−∞, −b
a )
D. ( b
a , +∞)
考点6：一元二次不等式的解法
A组
1
x ∈R ，则 “ x ≥2 ” 是 “ x2 −x > 0 ” 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B组
1
设全集U = R，集合A = {x|x2 −4x + 3 ≤0}, B = {x||x −3| < 1}, C = {x ∣2a ≤x ≤a + 2, a ∈R}.
(1)
求图中阴影部分表示的集合M :
(2)
在①B ∩C = C ; ②B ∪C = B ; ③B ∩C = ∅这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围.
–
34
C组
1
若“x > a”是“x2 −2x −3 < 0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（ ）
A. (−∞−1)
B. (−∞−1]
C. (−1, +∞)
D. [−1, +∞)
2
对x，y定义一种新的运算P，规定：P (x, y) = {
（其中mn ≠0，m，n ∈R），已知P (2, 1) = 7
，P (−1, 1) = −1．
(1)
求m，n的值；
(2)
若a > 0，解不等式组
．
mx + ny, (x ≥y)
nx + my, (x < y)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
P (2a, a −1) < 4
P (−1
2 a −1, −1
3 a) ≤5
考点7：根据不等式的解集求参数
A组
1
已知一元二次不等式x2 + bx + c < 0的解集为(1, 2)，则不等式bx2 −5x + c ≥0的解集是
.
B组
1
若不等式(1 −a)x2 −4x + 6 > 0的解集是{x ∣−3 < x < 1}．
(1)
求实数a的值；
(2)
当(b2 −1)x2 −2 (b −1)x + a −4 > 0的解集为∅时，求实数b的取值范围．
35
C组
1
已知关于x的不等式(k2 −4k −5)x2 + (k + 1)x + 1 > 0 (k ∈R)的解集为M.
(1)
若M = R，求实数k的取值范围；
(2)
若存在两个不相等的负实数a、b，使得M = (−∞, a) ∪(b, +∞)，求实数k的取值范围；
(3)
是否存在实数k，满足：“对于任意正整数n，都有n ∈M；对于任意负整数m，都有m ∉M”，若存在，求出k
的值，若不存在，说明理由.
考点8：含参一元二次不等式的解法
B组
1
求下列关于x的不等式的解集：
(1)
5
x −7 ≥−1；
(2)
2a2x2 −3ax −2 > 0.
36
C组
1
已知关于x的不等式(kx −k2 −4) (x −4) > 0，其中k ∈R.
（1）当k = 2时，求不等式的解集A；
（2）当k ≠2时，求不等式的解集A；
（3）对于k ∈R时，不等式的解集A，若满足A ⋂Z = B（其中Z为整数集）.试探究集合B能否为有限集？若能，求
出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由.
考点9：一元二次不等式在实数集上恒成立问题
A组
1
若关于x的不等式2kx2 + kx + 1
8 > 0对于一切实数x都成立，求实数k的取值范围．
37
B组
1
已知函数h(x) = ax2 + ax + 2．
(1)
若对于任意x ∈R，不等式h(x) > −1恒成立，求实数a的取值范围；
(2)
当a < 0时，解关于x的不等式h(x) < (1 −a)x + 4．
C组
1
对于两个实数a，b，规定a ∗b = |a −b|，
(1)
若x ∗2 + x ∗3 = |2x −5|，求x的取值范围；
(2)
若关于x的不等式x∗1 −x∗(2a) > 1的解集非空，求实数a的取值范围；
(3)
设关于x的不等式x ∗a < −ax2 + 20
2
的解集为A，试探究是否存在自然数a，使得不等式x2 + x −2 < 0与
x ∗1
2 < x + 2
2
的解集都包含于A，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的a的所有值．
38
考点10：一元二次不等式在某区间上恒成立问题
B组
1
若对关于x的不等式2kx2 + kx + 1
8 > 0对一切任意x ∈(−1
8 , +∞)都成立，则实数k的取值范围是
.
C组
1
若不等式x2 −kx −m ≤1对所有x ∈[a, b]恒成立，则b −a的取值范围为
.
∣∣
2
已知关于x的不等式kx2 −2x + 6k < 0 (k > 0)．
(1)
若不等式的解集为A = (2, 3)，求实数k的值；
(2)
若不等式在x ∈(2, 3)时恒成立，求实数k的取值范围．
39
07 其他不等式的求解
巩固练习
考点1：不含参分式不等式的解法
A组
1
不等式2x −1
x
< 0的解集是
.
B组
1
不等式
x
x2 −4x + 6 ≥1的解集为
．
考点2：含参分式不等式的解法
A组
1
已知
ax
x −1 < 1的解集是{x ∣x < 1或x > 2}，求实数a的值．
40
B组
1
已知不等式ax2 + bx + 1 > 0的解集为{x −1
2 < x < 1
3 }，则a + b =
，此时不等式ax + 3
x −b ≤0的解集为
．
∣
2
命题P：|x| < |y|的是命题Q：x + 2y
y −x < 2的（ ）条件
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
C组
1
定义区间(c, d)、[c, d)、(c, d]、[c, d]的长度均为d −c (d > c)，已知实数a > b，则满足
1
x −a +
1
x −b ≥1的x构成
的区间的长度之和为（ ）
A. a −b
B. a + b
C. 4
D. 2
2
设实数a, b, m ∈R，若满足(a −m)2 < (b −m)2，则称a比b更接近m.
(1)
设2x比x + 1更接近0，求x的取值范围；
(2)
判断“ x + y −2m
x −y
< −1”是“x比y更接近m”的什么条件？并说明理由；
(3)
设x > 0且x ≠√2，y = x + 2
x + 1 ，试判断x与y哪一个更接近√2.
41
考点3：单绝对值不等式的解法
A组
1
下列不等式中，与|x −2|＜3的解集相同的是(
)
A. x2 −4x −5＜0
B. x + 1
x −5 ≤0
C. (5 −x)(x + 1)＜0
D. x2 + 4x −5＜0
B组
1
不等式x2 −5 |x| −6 < 0的解集是_____________.
A. (−1, 6)
B. (−6, 1).
C. (−1, 1)
D. (−6, 6)
C组
1
解下列绝对值不等式
(1)
|x −1| > 4；
(2)
|x2 −5x + 5| ⩾1；
(3)
|x −2| > 3x；
(4)
|x2 −2x −6| < 3x；
42
考点4：双绝对值不等式的解法
A组
1
解下列不等式：
(1)|2x −1| −|x −2| < 0； (2)|x −1 |+|x −3| ≥4.
B组
1
解下列不等式：
(1)
2
x < x + 1；
(2)
|x| +
1
x + 1
> x +
1
x + 1 ．
∣∣∣
43
考点5：含参绝对值不等式的解法
B组
1
关于 x 的不等式 |x + 3| −|x −1| ⩽a2 −5a 的解集不是 ∅，则实数 a 的取值范围为
．
C组
1
完成下列试题
(1)
解不等式：|x −1| −|x −2| > 1
2 ；
(2)
设集合 P 表示不等式|x −1| + |x −2a| > 1 对任意 x ∈R 恒成立的 a 的集合，求集合 P；
(3)
设关于 x 的不等式 ax2 + 2|x −a| −20 < 0 的解集为 A，试探究是否存在 a ∈N ，使得不等式 x2 + x −2 < 0
与 |2x −1| < x + 2 的解都属于 A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的 a 的所有值．
2
设关于x的方程|x −2| + |2x −3| = |ax + b|(a, b ∈R)解集为M，关于x的不等式(x −2)(2x −3) ≥0的解集为N，若
集合M = N，则a ⋅b = .
44
08 基本不等式
巩固练习
考点1：积定和最小(积为定值时和有最小值)
A组
1
已知x > 1，则x +
4
x −1 的取值范围是
.
B组
1
《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算
术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两
个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形
进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许
多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作AF⊥BC
于点F，则下列推理正确的是（ ）
A. 由题图（1）和题图（2）面积相等得d =
2ab
a + b
B. 由AE ≥AF可得√a2 + b2
2
≥a + b
2
C. 由AD ≥AE可得√a2 + b2
2
≥
2
1
a + 1
b
D. 由AD ≥AF可得a2 + b2 ≥2ab
45
考点2：一正二定三相等
A组
1
x ∈R，且使代数式有意义，则下列代数式中最小值为2的是（ ）
A. x + 1
x
B. 2x + 2−x
C. x2 + 4
x2
D. √x2 + 2 +
1
√x2 + 2
C组
1
（1）a > b > 0，比较b(a −b)与a2
4 的大小；
（2）已知a > b > 0，求代数式a2 +
25
b(a −b) 的最小值及取最小值时a, b的值.
考点3：和定积最大(和为定值时积有最大值)
A组
1
已知正实数x，y满足x + 2y = 3，则xy的最大值为
.
B组
1
已知x< 5
4 ，求y＝4x－2＋
1
4x −5 的最大值；
46
考点4：三角不等式及其取等条件
A组
1
对于任意的实数a、b，有不等式|a + b| ≤|a| + |b|，等号当且仅当（ ）时成立
A. a、b同号
B. a、b异号
C. a = b
D. ab ≥0
B组
1
若x ，x 都满足方程|2x −1 |+|2x + 3| = 4 且x1 < x2 ，则x2 −x1 的取值范围是
．
1
2
考点5：三角不等式求最值
B组
1
已知函数f(x) = |x −k| + |x −3k|
(k > 0)，若当3 ≤x ≤4时，f(x)都能取到最小值，则实数k的取值范围是
.
2
已知关于x的不等式|x −1| −1 ≤2a −|x + 1|有实数解，则实数a的取值范围为
.
C组
1
（1）证明：|x −1| + |x −2| ≥1对所有实数x恒成立，并求等号成立的条件；
（2）若不等式|x −1| −|x −2a| > 1的解集非空，求a的取值范围；
（3）设关于x的不等式ax2 + 2 |x −a| −20 < 0的解集为A，试探究是否存在a ∈N，使得不等式x2 + x −2 < 0与
|2x −1| < x + 2的解都属于A，若不存在，说明理由，若存在，请求出满足条件的a的所有值.
47
考点6：三角不等式的其他应用
C组
1
对于两个实数a，b，规定a ∗b = |a −b|，
(1)
若x ∗2 + x ∗3 = |2x −5|，求x的取值范围；
(2)
若关于x的不等式x∗1 −x∗(2a) > 1的解集非空，求实数a的取值范围；
(3)
设关于x的不等式x ∗a < −ax2 + 20
2
的解集为A，试探究是否存在自然数a，使得不等式x2 + x −2 < 0与
x ∗1
2 < x + 2
2
的解集都包含于A，若不存在，请说明理由，若存在，请求出满足条件的a的所有值．
考点7：“1“的代换的直接运用
A组
1
已知正数x, y满足x + y = 1，则1
x + 4
y 的最小值为
．
B组
1
已知x > 0，y > 0，若不等式(2x + y) ( m
x + 2
y ) ≥18恒成立，则正实数m的最小值是
.
C组
1
若两个正实数x，y满足4x + y = 2xy，且不等式 x + y
4 < m2 −m有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. (−1, 2)
B. (−∞, −2) ∪(1, +∞)
C. (−2, 1)
D. (−∞, −1) ∪(2, +∞)
48
考点8：“1“的代换的变形
B组
1
设0 < m < 1
2 ，若2
m +
2
1 −2m ≥k恒成立，则k的取值范围为
.
C组
1
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，
知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题､新结论的重要方法.
阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方
法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等.
例如，ab = 1，求证：
1
1 + a +
1
1 + b = 1.
证明：原式=
ab
ab + a +
1
1 + b =
b
1 + b +
1
1 + b = 1.
波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似
问题，我们有更多的式子满足以上特征.
阅读材料二：基本不等式√ab ≤a + b
2
(a > 0, b > 0)，当且仅当a = b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具.
例如：在x > 0的条件下，当x为何值时，x + 1
x 有最小值，最小值是多少？
解：∵x > 0, 1
x > 0，∴
x + 1
x
2
≥√x ⋅1
x ，即x + 1
x ≥2√x ⋅1
x ，∴x + 1
x ≥2，
当且仅当x = 1
x ，即x = 1时，x + 1
x 有最小值，最小值为2.
请根据阅读材料解答下列问题
（1）已知如ab = 1，求下列各式的值：
①
1
1 + a2 +
1
1 + b2 =___________.
②
1
1 + an +
1
1 + bn =___________.
（2）若abc = 1，解方程
5ax
ab + a + 1 +
5bx
bc + b + 1 +
5cx
ca + c + 1 = 1.
（3）若正数a､b满足ab = 1，求M =
1
1 + a +
1
1 + 2b 的最小值.
49
考点9：基本不等式的实际应用（填选）
A组
1
已知a > b > 0，那么，当代数式a2 +
16
b(a −b) 取最小值时，点P(a, b)的坐标为
B组
1
三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作
为“（ ）”的几何解释.
A. 如果a > b > 0，那么√a > √b
B. 如果a > b > 0，那么a2 > b2
C. 对任意实数a和b，有a2 + b2 ≥2ab，当且仅当a = b时等号成立
D. 对任意正实数a和b，有a + b ≥2√ab，当且仅当a = b时等号成立
C组
1
设二次函数f (x) = ax2 + bx + c（a，b，c为常数）．若不等式f (x) ≥2ax + b的解集为R，则
b2
3a2 + c2 的最大值为
．
50
考点10：基本不等式的实际应用（解答）
B组
1
某企业在现有设备下每日生产原先成本y（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式：
y = 2x2 + (15 −4k)x + 120k + 8，近年来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该
企业引进了除尘设备，每吨产品的除尘费用为k万元，引进除尘设备后，当日产量x = 1时，总成本（总成本为原先
成本和除尘费用之和）为142万元．
(1)
求k的值：
(2)
求引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的成本最小，并求出最小值．
C组
1
已知集合 A = {a1, a2, ⋯, an}中的元素都是正整数，且 a1 < a2 < ⋯< an．若对任意x, y ∈A， 且x ≠y， 都有
|x −y| ≥xy
25 成立，则称集合A具有性质M．
(1)
判断集合{1, 2, 3}是否具有性质 M；
(2)
已知集合{2, 3, a3, 10}具有性质 M， 且正整数 a3 ∈(3, 10),求证： 1
3 −1
a3
≥1
25 且 1
a3
−1
10 ≥1
25 ,并求出a3
的值；
(3)
已知集合A具有性质M，求证： 1
ai
−1
an
≥n −i
25
(i = 1, 2, ⋯, n), 并写出n的最大值(猜想即可，无需证明)．
51
09 幂、指数与对数
巩固练习
考点1：幂指数的运算性质
A组
1
当x < 0时，x +
4√x4 +
3√x3
x
=
．
B组
1
下列结论中，正确的是（ ）
A. 设a > 0,则a
4
3 ⋅a
3
4 = a
B. 若m8 = 2，则m =±
8√2
C. 若a + a−1 = 3，则a
1
2 + a
−1
2 = ±√5
D.
4√(2 −π)4 = 2 −π
考点2：幂的基本不等式
A组
1
（1）已知0 < a < 1，s > 0，求证：0 < as < 1；
（2）已知a > 1，s < 0，利用（1）求证：0 < as < 1．
52
考点3：特殊分数指数幂的关系运用
A组
1
设a > 0，下列计算中正确的是（ ）
A. a
2
3 ⋅a
3
2 = a
B. a
2
3 ÷ a
3
2 = a
C. a−4 ⋅a4 = 0
D. (a
2
3 )
3
2 = a
B组
1
先化简再求值：(
a2
a2 + 2ab + b2 −
a
a + b ) ÷ (
a2
a2 −b2 −
b
a −b −1)，其中a = √3 + 2, b = √3 −2.
2
若a > 0，b > 0，化简(a2−√3b)2+√3 ⋅b2−√3 =
．
考点4：对数的概念
A组
1
下列各式：①lg (lg 10) = 0；②lg (lne) = 0；③若10 = lg x ，则x = 10；④若log25 x = 1
2 ，则x = ±5；⑤
3log3(−5) = −5．其中正确的序号是
．
B组
1
方程log(x−1) (3x2 −7x −2) = 2的解是
.
53
考点5：对数运算法则
A组
1
计算：2log22 + log2 24 −log2 3 =
．
B组
1
计算：(√2)
log2(√7−3)
2
+ 5log25(√7+2)
2
=
.
2
已知方程x ＋xlog 6＋log 3＝0的两根为α、β，则( 1
4 )
α
( 1
4 )
β
＝( )
A.
1
36
B. 36
C. －6
D. 6
2
2
2
C组
1
地震是常见的自然灾害，我国政府投入了大量的人力、财力、物力来监测预防.根据中国地震台网统计数据，把5级
以上的地震定为大震，目前为止，2019年全年，我国共发生32次大震，其中震级最大的为发生在4月18日的台湾花
莲的6.7级地震.有记录以来我国震级最大的为1950年的8.5级的西藏墨脱地震.人类有记录以来震级最大的为1920年的
9.5级的智利大地震.地震是地壳释放能量的结果，设释放的能量为E，地震级数为M，有如下经验公式：
lg E = a + 1.5M（a为某常数）.
（1）假设1级地震产生约2 × 106焦耳的能量，请问5级地震产生的能量为多少？（用科学记数法表示）
（2）设题设中台湾花莲地震、西藏墨脱地震、智利大地震释放的能量分别为E1、E2、E3，试判断E1 + E2与E3的
大小关系，并说明理由.
54
55
考点6：对数运算法则
A组
1
若10x −10y = 10，其中x, y ∈R，则2x −y的最小值为 .
B组
1
1
log2 3 + lg 13.5
lg 3
=
C组
1
（1）当a = −1时，解关于x的方程log2 ( 1
x + a) = 1；
（2）当a = 5时，要使对数log2 ( 1
x + a)有意义，求实数x的取值范围；
（3）若关于x的方程log2 ( 1
x + a) −log2 [(a −4)x + 2a −5] = 0有且仅有一个解，求实数a的取值范围
考点7：换底公式
A组
1
已知logax = 2 ， logbx = 3，则logabx =
.
56
B组
1
法国数学家弗朗索瓦⋅韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引
入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请
解决下列问题:
(1)
关于x的方程x2 −3x + m = 0的一个实数根为2，求另一实数根及实数m的值
(2)
已知α, β是方程ln2 x −ln x3 −2 = 0的两个根，求logα β + logβ α的值.
C组
1
以下条件，①a > b > 1；②b > a > 1；③1 > a > b > 0；④1 > b > a > 0；⑤a > 1，1 > b > 0；⑥b > 1，
1 > a > 0.能够使得：loga2 < logb2(a > 0, a ≠1, b > 0, b ≠1)成立的有
.
考点8：常用结论
A组
1
求下列各式的值：
(1)
log8
1
4 ；
(2)
loga b ⋅logb c ⋅logc a（a、b、c均为不等于1的正数）；
(3)
32+log84；
(4)
log5 2 × log7 9
log5
1
3 × log7 2
.
57
B组
1
已知函数y = |lg x|，x = a与x = b时的y的值相等，且a > b > 0，则a2 + b2
a −b 的最小值为
．
2
已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a > 1，b > 1，c > 1，有以下2个命题：
①以√a、√b、√c为边长的三角形一定存在；
②以log2 a、log2 b、log2 c为边长的三角形一定存在；
则下列选项正确的是（ ）
A. ①成立，②不成立；
B. ①不成立，②成立；
C. ①②都成立；
D. ①②都不成立.
C组
1
设实数a、b、c满足a≥1，b≥1，c≥1，且abc＝10，a
•b
•c
≥10，则a+b+c＝
lga
lgb
lgc
58
10 幂函数
巩固练习
考点1：幂函数的定义
A组
1
已知函数f(x)是幂函数，且2f(4) = f(16)，则f(x)的解析式为
2
若幂函数y = (m2 + m −1) ⋅x
m2+4m+3
5
的定义域为R，求实数m的值.
B组
1
下列叙述正确的个数为（ ）
①对于任何一个集合A，总有∅⊆A；
②m ∈R，集合A = {2, 3, m + 6}，B = {0, 7}，则“m = 1”是“M ∩N = {7}”的充要条件；
③设a、b ∈R，关于x的方程ax = b的解集是{ b
a }；
④在周长为常数的所有矩形中，正方形的面积最大；
⑤若函数f(x)是幂函数，且满足f (8) ⋅f ( 1
2 ) = 16，则f(4)的值为8.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
59
C组
1
对于函数f (x)，若其定义域内存在实数x满足f (−x) = −f (x)，则称f (x)为“伪奇函数”．
（1）已知函数f (x) = x −2
x + 1 ，试问f (x)是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数g (x) = (n −1)x3−n (n ∈R)使得f (x) = 2g(x) + m为定义在[−1, 1]上的“伪奇函数”，试求实数m的取
值范围；
（3）是否存在实数m，使得f (x) = 4x −m ⋅2x+1 + m2 −3是定义在R上的“伪奇函数”，若存在，试求实数m的取
值范围；若不存在，请说明理由．
考点2：幂函数的图像
A组
1
下列幂函数在区间(0, +∞)上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是
（请填入全部正确的序号）
（1）y = x
1
2 ；（2）y = x
1
3 ；（3）y = x
2
3 ；（4）y = x
−1
3 ；（5）y = x3.
60
B组
1
幂函数y=x ，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连
接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x ，y=x 的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=
.
a
a
b
C组
1
若函数y = f (x)满足：①f (x)的图象是中心对称图形；②若x ∈D时，f (x)图象上的点到其对称中心的距离不超过
一个正数M，则称f (x)是区间D上的“M对称函数”．若函数f (x) = (x + 1)3 + m (m > 0)是区间[−4, 2]上的“3m对
称函数”，则实数m的取值范围是
.
考点3：幂函数的定义域和值域
A组
1
下列关于幂函数y = xα的描述中，正确的是（ ）
A. 幂函数的图象都经过点(0, 0)和(1, 1)；
B. 幂函数的图象不经过第三象限；
C. 若幂函数的图象过点( 1
4 , 8)，则它的图象也经过点(9, 1
18 ).
D. 当指数α取1，3，1
2 时，幂函数y = xα是其定义域上的严格增函数；
B组
1
设集合A = {y |y = ax, x > 0}（其中常数a > 0，a ≠1），B = {y y = xk, x ∈A}（其中k是常数），则“k < 0”是“
A ∩B = ∅”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分又非必要条件
∣
61
考点4：幂函数的单调性与对称性及其应用
B组
1
设函数的定义域为D，如果存在[a, b] ∈D，使得f(x)在[a, b]上的值域也为[a, b]，则称f(x)为“A佳”函数.已知幂函数
f (x) = (p2 + p −1)x
p−1
2 在(0, +∞)上是单调增函数.
(1)
求函数f(x)的解析式:
(2)
g (x) = f (x) −2
9 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.
(3)
若函数h(x) = n −f(x + 1)，且h(x)是“A佳”函数，试求出实数n的取值范围.
C组
1
已知幂函数f (x) = (n2 −n −5)x
n −2
2
(n > 0)．
(1)
求函数f (x)的解析式；
(2)
若函数g (x) = mf (2x −1) + 2x −5，x ∈[ 5
2 , 13]，是否存在实数m使得g (x)的最小值为−13，若存在，求
出实数m的值．
62
考点5：幂函数的单调性与对称性及其应用
B组
1
已知函数f(x) = x + 1
x −5 .
（1）判断点(3, 14)是否在f(x)的图象上，并说明理由；
（2）当f(x) = 2时，求x的值；
（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心.
C组
1
已知函数f（x）= 2 −x
x + 1 ；
（1）用定义证明：函数f（x）在(−1, +∞)上为减函数；
（2）是否存在负数x0，使得f(x0) = 3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
63
考点6：耐克函数的图象及性质
B组
1
提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v和车流密度x满
足关系式：v =
(k > 0)．研究表明：当隧道内的车流密度x = 120时造成堵塞，此时
车流速度v = 0．
(1)
若车流速度v ≥40，求车流密度x的取值范围；
(2)
定义隧道内的车流量为y = x ⋅v，求隧道内的车流量y的最大值，并指出当车流量最大时的车流密度x．
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
50 −x
6 , 0 < x ≤30
65 −
k
160 −x , 30 < x ≤120
考点7：飘带函数与耐克函数的综合
B组
1
某电动摩托车企业计划在2024年投资生产一款高端的电动摩托车.经市场调研测算，生产该款电动摩托车需投入设
备改造费1000万元，生产该款电动摩托车x(x ≥1)万台需投入资金P (x)万元，且P (x) = 5001x2 −5010x + 25
x
，
(x ≥1).已知该款电动摩托车售价为5000（单位：元/台），并且当年内生产的该款摩托车能全部部售完.
(1)
求2024年该款摩托车的年利润F (x)（单位：万元）关于年产量x(x ≥1)（单位：万台）的函数解析式；（年
利润=销售所得-投入资金-设备改造费）；
(2)
当2024年该款摩托车的年产量x(x ≥1)为多少时，年利润F (x)最大？最大年利润的多少？
64
11 指数函数
巩固练习
考点1：指数函数的定义
A组
1
若函数f(x) = (a2 −3a + 3)( 1
2 )
x
+ a −2是指数函数，则实数a的值为
．
B组
1
已知函数f (x) = ax，g (x) = bx，若f (1) + g (1) = 5，f (1) −g (1) = 1．
(1)
求f (x)，g (x)的解析式；
(2)
若f (m) = g (n)，试比较m，n的大小．
考点2：指数函数过定点问题
A组
1
函数f (x) = ax+1 −2（a > 0且a ≠1）的图像恒过的点A是
；
B组
1
已知函数f(x) = ax+2 −3（a > 0且a ≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数y = mx −n的图象上，其中实数
m，n满足mn > 0，则1
m + 2
n 的最小值为
．
65
考点3：指数函数的图像
A组
1
在同一直角坐标系中，函数y = ax与y = x −a
x −1 的图像可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
2
如图的曲线C 、C 、C 、C 是指数函数y = ax的图象，而a ∈{ 1
2 ,
√2
2 , √3, π}，则图象C 、C 、C 、C 对应的函
数的底数依次是
、
、
、
．
1
2
3
4
1
2
3
4
考点4：指数函数单调性比大小问题
A组
1
不等式2x2−2x−3 < ( 1
2 )
3x−3
与不等式x2 + ax + b < 0 解集相同，则a + b =
.
66
2
已知a，b ∈R且ab ≠0，则“2a > 2b”是“ 1
a < 1
b ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B组
1
除了直接作差以外，利用函数，基本不等式，反证法比大小也是解决不等关系的主要方法
(1)
已知实数x1, x2, x3, x4, x5，满足x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5. 求证：x1, x2, x3, x4, x5中至少有一个实数不小于1
(2)
已知a = √0.3，b = 20.3，c = 0.30.2，试比较：a，b，c三者的大小关系
(3)
若实数a，b，x，y满足x2
a2 −y2
b2 = 1，试比较：a2 −b2和(x −y)2的大小，并指明等号成立的条件
考点5：指数函数单调性求最值问题
A组
1
函数f(x) = ax (a > 0, a ≠1)在区间[1, 2]上的最大值比最小值大a
3 ，则a的值为
.
2
已知函数f (x) = 4x −2 ⋅2x+1 −6，其中x ∈[0, 3].
(1)
求函数f (x)的最大值和最小值；
(2)
若实数a满足：f (x) −a ≥0恒成立，求a的取值范围.
67
B组
1
已知f(x) = 2x(x ∈R)．
(1)
解不等式：f(2x) + f(x) ≤12；
(2)
记g(x) = f(x) + f(−x)，求函数y = g(2x) −2g(x)的最小值．
考点6：指数函数的图像变换
A组
1
设函数f(x) = (a2 + a −5)ax是指数函数
（1）求f(x)的解析式
（2）若将函数f(x)的图像向左平移1个单位再向上平移2个单位，得到y = g(x)，若对于任意x ∈[−1, 2]时，
g(x) ≥3 + b
2 −b2
2 恒成立，求实数b的取值范围.
68
B组
1
已知函数f (x) = |3x −2025| −a有两个不同的零点，则实数a的取值范围为
．
C组
1
已知函数f (x) = {
，若方程f 2(x) + bf(x) + 2 = 0有8个相异的实数根，则实数b的取值范围是
．
e|x−1|, x > 0
−x2 −2x + 1, x ≤0
考点7：复合指数函数的单调性
B组
1
函数f(x) = ( 1
2 )
√x2−3x−10
的递增区间是
．
C组
1
已知对任意正数a、b、c，当a + b + c = 1时，都有2a + 2b + 2c < m成立，则实数m的取值范围是（ ）．
A. [3
3√2, +∞)
B. (3
3√2, +∞)
C. [4, +∞)
D. (4, +∞)
考点8：复合指数函数的值域
A组
1
存在实数a使不等式a ≤2−x+1 在[−1, 2] 成立，则a的范围为
．
69
B组
1
已知函数f (x) = b ⋅ax（其中a, b为常数，且a > 0, a ≠1）的图象经过点A (1, 6), B (3, 24)．
(1)
求f (x)的表达式；
(2)
若不等式( 1
a )
x
+ ( 1
b )
x
−m ≥0在x ∈(−∞, 1]上恒成立，求实数m的取值范围．
C组
1
设A是符合以下性质的函数f(x)组成的集合，对任意的x ≥0, f (x) ∈(1, 4]且f(x)在[0, +∞)上是减函数。
（Ⅰ）判断函数f1(x) = 2 −√x及f2(x) = 1 + 3 ⋅( 1
2 )
x
(x ≥0)是否属于集合A，并简要说明理由；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中你认为是集合A中的一个函数记为g (x)，若不等式g (x) + g (x + 2) ≤k对任意的x ≥0总成立，求实
数k的取值范围。
70
考点9：指数函数的实际应用问题
A组
1
某车间产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)之间的关系为P = P02−kt
（其中P0表示初始废气中污染物数量）.经过5个小时后，经测试，消除了20%的污染物.问：
（1）15小时后还剩百分之几的污染物？
（2）污染物减少36%需要花多长时间？
B组
1
已知函数f (x) = a ⋅2x + b，幂函数g (x) = (m2 −3)x
m
3 ，且函数f (x)的图像过点(0, 0)，当x趋向于负无穷大时，
f (x)的图像无限接近于直线y = −1但又不与该直线相交：函数g (x)在区间(0, +∞)上单调递增.
(1)
分别求出f (x)，g (x)的解析式，并在同一直角坐标系中作出两函数的草图；
(2)
定义∀x ∈R，m (x)表示f (x)，g (x)中的最小者，记为m (x) = min {f (x), g (x)}，例如，当x = 2时m (2)表
示f (2)，g (2)中的最小者.请结合（1）中的两个函数图像分别用图像法（草图）与解析法表示m (x).
71
C组
1
给机器人输入一个指令(m, 2m + 48)（其中常数m > 0）后，该机器人在坐标平面上先面向x轴正方向行走m个单位
距离，接着原地逆时针旋转90∘后再面向y轴正方向行走2m + 48个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的
安全活动区域满足{
，若开始时机器人在函数f(x) = 2x图象上的点P处面向x轴正方向，经过一次操作后该机
器人落在安全区域内的一点Q处，且点Q恰好也在函数y = f(x)图象上，则m =
.
x ≤6
y ∈R
72
12 对数函数
巩固练习
考点1：对数函数的定义
A组
1
函数f (x) = lg √2x + 1的定义域为
.
考点2：对数函数过定点问题
A组
1
若函数y = loga (x + 1) + 1 (a > 0, a ≠1)的图像恒过一定点，则此定点坐标为
．
考点3：对数函数的图像
A组
1
函数f(x) = 1 + log2x与g(x) = 2−x+1在同一直角坐标系下的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
73
B组
1
对于函数y = f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(−x) = −kf(x)，其中为k整数，则称函数y = f(x)为定义域上
的“阶k局部奇函数”．
(1)
已知函数f(x) = x2 + 2x，试判断y = f(x)是否为(−1, 1)上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；
(2)
若f(x) = log3(x + m)是[−2, 2]上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
(3)
若f(x) = x2 −2x + t，对任意的实数t ∈(−∞, 2]，函数y = f(x)恒为R上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值
的集合．
考点4：对数函数的单调性
A组
1
已知loga
1
3 > logb
1
3 > 0，则a、b之间的大小关系是（ ）
A. 1 < b < a
B. 1 < a < b
C. 0 < a < b < 1
D. 0 < b < a < 1
B组
1
已知a > 0，且a ≠1．若函数f(x) = ax2−2x+3有最大值，则关于x的不等式loga (x2 −5x + 7) > 0的解集为
．
74
考点5：对数函数的实际应用
A组
1
大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为
v = 1
2 log3
O
100 ，其中O表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为U，游速为3m/s时
耗氧量的单位数为W，则W
U =
.
B组
1
我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米
(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 表示，它们满足以下公式：L1 = 10 lg I
I0
(单位为分贝，
L1 ≥0，其中I0 = 1 × 10−12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题.
(1)
树叶沙沙声的强度是1 × 10−12W/m2，耳语的强度是1 × 10−10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1 × 10−8
W/m2，试分别求出它们的强度水平；
(2)
某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围
为多少？
2
1
考点6：复合对数函数的值域问题
A组
1
函数 y = lg(ax2 + ax + 1) 的值域是 R，则 a 的取值范围是
．
75
B组
1
已知函数f (x) = {
有最小值，则f (2a)的取值范围为
．
x2 −2x + 3, x ≤2
a + log2 x, x > 2
C组
1
已知f (x) = log2 ( 1
x + a), a ∈R．
(1)
当a = 1时，解不等式f (x) > 1；
(2)
若关于x的方程f (x) + log2 x2 = 0的解集中恰好有一个元素，求实数a的值；
(3)
若对任意t ∈[ 1
2 , 3
2 ]，函数f (x)在区间[t, 2t]上总有意义，且最大值与最小值的差等于2，求a的取值范围．
考点7：复合对数函数的单调性问题
A组
1
函数y = ln (−x2 + 2x + 3)的单调增区间为
.
76
B组
1
已知函数f (x) = log2 (x + a)(a > 0)，设g (x) = 1
2 f (4x).
(1)
当a = 1时，解关于x的不等式f (x) < −1；
(2)
对任意的x ∈(0, 2)，函数y = f (x)的图像总在函数y = g (x)的图像的下方，求正数a的范围；
(3)
设函数F (x) = f (x) −g (x), x ∈(0, 2).当a = 1时，求|F (x)|的最大值.
C组
1
已知a ∈R，函数f (x) = log2 ( 1
x + a).
(1)
当a = 1时，求不等式f (2x) > 1的解集；
(2)
若a = 1，当x ∈[2, 3]时，F (x) = f (2x) + log2 (2x + 1)，求函数y = F (x)的最小值；
(3)
当a ≠3且a ≠4时，关于x的方程f (x) −log2 [(a −4)x + 2a −5] = 0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范
围.
77
考点8：指数方程
A组
1
解方程：（1）4x + 2x+3 −48 = 0
（2）log2(x + 14) −log 1
2
(x + 2) = 3 + log2(x + 6)；
考点8：对数方程
A组
1
方程log2(x + 2) = 1 + log4(6 −x)的解为x =
2
解方程：lg2 x −lg x2 −3 = 0．
78
B组
1
已知a ∈R，函数f (x) = log2 ( 1
x + a)．
(1)
当a = 3时，解不等式f (x) > 0；
(2)
若关于x的方程f (x) −log2 [(a −4)x + 2a −5] = 0的解集中恰好有一个元素，求实数a的取值范围．
2
设a > 0, a ≠1，解关于x的不等式：loga (4 + 3x −x2) −loga(2x −1) > loga2.
79
