文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题10 三角函数的概念 诱导公式
目录
01
思维导图
02
知识清单
03
核心素养分析
04
方法归纳
一、角的概念
1.角的定义
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的 图形.旋转开始时的射线
叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，射线 的端点叫做角的顶点.
2.角的分类
任意角包括：正角、负角、零角.
正角：一条射线按逆时针方向旋转形成的角.
负角：一条射线按顺时针方向旋转形成的角.
零角：一条射线没有进行任何旋转形成的角.
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
温馨提示：对于角的形成过程，既要有旋转量，又要有旋转方向。
二、终边相同的角
所有与角a 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S={β|β=α+k
360°,k Z},
∈
即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和.
温馨提示：
1.相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的
整数倍；
2.终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍；
3.终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.
三、象限角与轴线角
1.象限角、轴线角的概念
(1)象限角
在平面直角坐标系中，如果角的顶点在原点，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么,角的终边在第几象
限，我们就说这个角是第几象限角.
(2)轴线角
如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限，称这个角为轴线角，
2.象限角的集合表示
锐角为{α|0⁰<a<90°}, 小于90°的角不等同于锐角，锐角不等同于第一象限的角.
3.轴线角的集合表示
(1)终边在x 轴上的角{a|a= k·180°,k Z}.
∈
(2)终边在y 轴上的角{a|a=k·180 °+90°,k Z).
∈
(3)终边在坐标轴上的角{αlα=k·90°,k Z}.
∈
(4)终边在x 轴非负半轴上的角{ala=k·360°,k Z}.
∈
(5)终边在x 轴非正半轴上的角{a|a=k·360°+180°,k Z},
∈
(6)终边在y 轴非负半轴上的角{αla=k·360°+90°,k Z).
∈
(7)终边在y 轴非正半轴上的角{αla=k·360°+270 °,k Z}.
∈
四、角度制与弧度制的概念
1.角度制
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
角可以用度为单位进行度量，1 度的角等于周角的
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
2.弧度制
(1)1 弧度的角
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)弧度制
用+弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.用符号rad 表示，读作弧度.
温馨提示：无论是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值.
(3)弧度数公式
如果半径为r 的圆的圆心角α 所对弧的长为l, 那么,角α 的弧度数的绝对值是
五、角度与弧度的换算
角度与弧度的换算公式
360⁰=2π rad,180°=π rad.
六、弧长公式、扇形面积公式
1.弧长公式
角度制：
为圆心角的角度数，R 为扇形的半径).
弧度制：l=aR(a 为圆心角的弧度，0<a<2π,R 为扇形的半径).
2.扇形面积公式
角度制：
(n 为圆心角的角度数，R 为扇形的半径).
弧度制：
(a 为圆心角的弧度，0<a<2π,R 为扇形的半径，l 为扇形的弧长).
温馨提示：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式
结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.
七、任意角的三角函数
(1)定义：任意角α 的终边与单位圆交于点P(x ，y)时，则sinα=y ，cosα=x ，
tanα= y
x ( x≠0)
．
(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点PP(x ，y)是角α 终边上异于顶点的任一点，设点P 到原点O 的
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
距离为r ，则
sinα= y
r ，
cosα= x
r ，
tanα= y
x ( x≠0)
三角函数的性质如下表：
三角函数
定义域
第一象
限符号
第二象限
符号
第三象
限符号
第四象
限符号
sinα
R
＋
＋
－
－
cosα
R
＋
－
－
＋
tan α
{α| α≠kπ+ π
2 ，k ∈Z}
＋
－
＋
－
记忆口诀:三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦．
(3)三角函数线
当角α 的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α 的正弦值和正切值都为0;
当角α 的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α 的余弦值为0,正切值不存在.
八、同角三角函数基本关系
(1)平方关系：
．
(2)商数关系：
；
九、三角函数诱导公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象限
记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明：
（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作
；
（2）无论有多大，一律视为锐角，判断
所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（3）当
为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当
为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
温馨提示：
1．利用
可以实现角
的正弦、余弦的互化，利用
可以实现角
的弦切互
化．
2．
1.任意角、弧度制的概念，角度与弧度的互化是解三角函数的问题基础.
2.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．
同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些问题，可利用已知条件，结合同角
三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．
3.若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次
幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一
类基本题型．
4.本专题在高考中多以选择题、填空题的形式出现；诱导公式在任意角三角函数的化简中起到重要作用.
一、角及其表示
例1 (1)(多选)下列命题正确的是( )
A．终边落在x 轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在y 轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
答案 AD
解析 B 项，终边落在y 轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；
C 项，第三象限角的集合为，故错误；
D 项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，
解得－≤k≤－(k∈Z)，
从而当k＝－2 时，β＝－675°；
当k＝－1 时，β＝－315°，故正确．
(2)已知α 为第三象限角，则是第______象限角，2α 是________的角．
答案 二、四 第一、二象限或y 轴的非负半轴上
解析 ∵α 是第三象限角，
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
即2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋<<kπ＋π，k∈Z，
4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
当k 为偶数时，为第二象限角；当k 为奇数时，为第四象限角，而2α 的终边落在第一、二象限或y 轴的非
负半轴上．
方法归纳： (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的
所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα 或的范围，然后根据k 的可能取值确定kα 或的终边所在位置．
二、弧度制及其应用
例2 一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，求该扇形的面积．
解 由已知得α＝，R＝10 cm，
∴S 扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)．
延伸探究
1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解 l＝α·R＝×10＝(cm)，
S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝－·R2·sin
＝－×102×＝(cm2)．
2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α 为多少弧度时，这个扇形的面积
最大？
解 由已知得，l＋2R＝20，
则l＝20－2R(0<R<10)．
所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2
＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
方法归纳： 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
三、三角函数的概念
例3 (1)若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ 是( )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
答案 D
解析 由>0，得>0，
所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，
所以sin θ<0，所以θ 为第四象限角．
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
(2)已知α 的终边在直线y＝2x 上，则sin α＝________.
答案 ±
解析 由题意可知，α 终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α 终边上任取一点
(1,2)，
sin
∴
α＝＝，若在第三象限，可在α 终边上任取一点(－1，－2)，
sin
∴
α＝＝－.
(3)已知α 的终边过点(x,4)，且cos α＝－，则tan α＝________.
答案 －
解析 ∵α 的终边过点(x,4)，且cos α＝－，
∴x<0.
cos
∵
α＝＝－，
∴x＝－3，
tan
∴
α＝－.
方法归纳： (1)利用三角函数的定义，已知角α 终边上一点P 的坐标可求α 的三角函数值；已知角α 的三
角函数值，也可以求出角α 终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所
求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
四、同角三角函数基本关系
例4 (1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
答案 0
解析 ∵cos α＝－<0 且cos α≠－1，
∴α 是第二或第三象限角．
①若α 是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
tan
∴
α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α 是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
tan
∴
α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(2)已知tan α＝，则＝ ；sin2α＋sin αcos α＋2＝ .
答案 －
解析 已知tan α＝，
所以＝＝－.
sin2α＋sin αcos α＋2
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ (0
∈
，π)，则tan θ＝ .
答案 －
解析 由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
因为θ (0
∈
，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得
所以tan θ＝－.
方法归纳： (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式
子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
五、诱导公式
例5 （1）已知
，则
.
答案
分析 利用诱导公式化简，然后弦化切可得.
解析 因为
，
所以，原式
.
故答案为：
（2）点
在角
终边上，则
．
答案
分析 根据三角函数的定义和诱导公式求解.
解析 ∵点
在角
终边上，
∴
，
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴
，
故答案为：
.
方法归纳： (1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数――――――→任意正角的三角函数――――――→0 ～2π 内的角的三角函
数――――――→锐角三角函数．
六、同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例6 若
，则
的值为 ．
答案
分析 根据条件求出
，再将所求式子弦化切代入运算得解.
解析 因为
，所以
，
.
故答案为：
.
拓展
1．（1）求值：
；
（2）已知
，求
的值．
答案 （1）
（2）
分析 （1）由三角函数的诱导公式计算即可；（2）利用三角恒等变换化简后分子分母同时除以
，再
计算即可.
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解析 （1）原式
（2）
分子分母同时除以
得：
．
2．已知函数
，其中
为第三象限角且
(1)求
的值；
(2)求
的值.
答案 (1)
(2)
分析（1）根据题意结合同角三角关系分析可得
，进而可得
，结合齐次式问题分析求
解；
（2）根据同角三角关系结合齐次式问题分析求解.
解析 （1）由题意可得：
，
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
为第三象限角，则
，即
，
所以原式
.
（2）由（1）可知：
，
由题意可得：
.
方法归纳： (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵
活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
11
