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第 15 讲 双曲线新定义题型归纳
题型01：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用..........................................................................2
题型02：双曲线的其它定义....................................................................................................................6
题型03：黄金双曲线..............................................................................................................................8
题型04: 双曲线与数列.........................................................................................................................15
题型05：双曲线其它新定义..................................................................................................................26
1、常见圆锥曲线新定义问题处理思路
（1）将新定义问题转化为常规问题.例如“分隔线”问题转化为直线与曲线位置关系的判定.
（2）反客为主：若直接求解困难，可逆向分析.例如黄金椭圆中通过切线斜率之积反推离心率.
（3）新定义曲线建立方程→分类讨论→验证性质
（4）新定义交汇题联立方程→参数法→几何性质转化
（5）几何模型应用题识别模型（如阿基米德三角形）→应用性质（如中线平行、面积最小值）
2、核心原则
（1）定义优先：紧扣新定义的数学表达，避免套用常规套路.
（2）参数为王：复杂问题引入参数简化运算，如双曲线有理参数法.
（3）图形辅助：动态绘制示意图，直观捕捉对称性、范围等关键信息.
3、解题技巧与思想方法
（1）分类讨论与特殊化验证
当新定义涉及范围限制时，需分区间讨论.
特殊点验证：代入特殊点（如原点、顶点）快速判断选项.
（2）数形结合与动态分析
绘制示意图辅助理解.例如“双扭线”（新定义曲线）的对称性分析.
动态轨迹：若问题涉及动点轨迹（如阿基米德三角形顶点轨迹），可结合参数方程与几何性质推导.题型01：与斜率和，差，积，商有关的轨迹问题与应用
【典型例题】（多选）已知 两点的坐标分别为 ，直线 相交于点 ，且直线
的斜率与直线 的斜率之和是2，则下列说法正确的有（ ）
A．点 的轨迹关于 轴对称
B．点 的轨迹关于原点对称
C．若 且 ，则 恒成立
D．若 且 ，则 恒成立
解析：因直线 的斜率存在，故 .由 可得， ，整理可得 ，因
，故得 ，即点M(x,y)的轨迹方程为： .
如上作出函数的图象，由图易得A错误；
对于B，由 ，可得 ，
即函数 为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；
对于C，当 且 时，因 ，即得 恒成立，故C正确；
对于D，当 且 时，设 ，因 ，
，故 在 且 时不能恒大于0，即 不能恒成立,故D错误.故选：
BC.
【变式训练1-1】已知函数 ，则下列说法中不正确的是（ ）
A． 为奇函数B． 在其定义域内为增函数
C．曲线 上任意一点与 两点连线的斜率之和为定值
D．曲线 的切线的斜率的最大值为2
解析：A.函数的定义域是 ，
，所以函数是奇函数，故A正确；
B.设 ，且 ，
，因为 ，所以 ，因为 ， ，所以 ，则 ，即
，
即 ，所以 ，即 ，所以函数 在定义域内是增函数，故B正确；
C.设函数 上任一点 ， ， ，故C正确；
D. ， ，根据导数的几何意义可知，曲线y=f (x)的切线的斜率的范围是 ，故D错
误.故选：D
【变式训练1-2】（多选）已知点 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之和是2．设动
点 的轨迹为曲线 ，则（ ）
A．曲线 关于原点对称
B． 的范围是 的范围是C．曲线 与直线 无限接近，但永不相交
D．曲线 上两动点 ，其中 ，则
解析：设M(x,y)，由题意 ，即 ，化简得 ，
即 且 ，
对于A，将 代入得 ，即 ，所以曲线 关于原点对称，故A正确；
对于B，由A选项知， 的范围是 且 ，故B错误；
对于C，由 ，得 ，当 时， ，即 ，当 时， ，即
，所以曲线 与直线 无限接近，但永不相交，故C正确；
对于D，要使|PQ)最小，则曲线 在 两点的切线平行，由 ，得 ，则 ，所以
，因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，故D正确.
故选：ACD
【变式训练1-3】（多选）设 ， 两点的坐标分别为 ， ，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜
率之积为常数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 时，点 的轨迹为焦点在 轴的双曲线（不含与 轴的交点）
B． 时，点 的轨迹为焦点在 轴的椭圆（不含与 轴的交点）
C． 时，点 的轨迹为焦点在 轴的椭圆（不含与 轴的交点）
D． 时，点 的轨迹为椭圆（不含与 轴的交点）
解析：设 ，则 ， ，则 ，
即得 ，整理可得 ，当 时，易知点 的轨迹为焦点在 轴的双
曲线（不含与 轴的交点），故A正确；
当 时，可化为 ，因为 ，以点 的轨迹为焦点在 轴的椭圆（不含与 轴的交点），故B正确；
当 时，可化为 ，因为 ，所以点 的轨迹为焦点在 轴，以 ， 为短轴端点的椭
圆（除去点 ， ），故C错误；
若 ，则 ，表示以原点为圆心， 为半径的圆（除去点 ， ），故D错误；故选：AB．
【变式训练1-4】（多选）已知 的两个顶点 的坐标分别是 ，且 所在直线的斜率
之积等于 且斜率之差等于 ，则正确的是（ ）
A．当 时，点 的轨迹是双曲线.
B．当 时，点 在圆 上运动.
C．当 时，点 所在的椭圆的离心率随着 的增大而增大.
D．无论n如何变化，点 的运动轨迹是轴对称图形.
解析：设 ，则 ，所以 ，
，整理得 ，
所以对于A选项， 时，点 的轨迹是去除了两个点 的双曲线上，故A选项错误；
对于B选项，当 时，点 的轨迹为圆 ，故在圆 上运动，故B选项正确；
对于C选项，当 时，点 的轨迹为 表示焦点在 轴上的椭圆，离心率为
，故当 时，椭圆的离心率随着 的增大而减小，故C选项错误；
对于D选项，由于，点 的运动轨迹 ，对任意的点 与 均在
，故曲线 关于 轴对称，点 的运动轨迹为
，可能为椭圆，双曲线，圆，但均为轴对称图形，故D选项正确.故选：BD
【变式训练1-5】（多选）设 两点的坐标分别是 ，直线 相交于点 ，设直线
的斜率分别为 ，下列说法正确的是（ ）A．当 时，点 的轨迹是椭圆的一部分
B．当 时，点 的轨迹是双曲线的一部分
C．当 时，点 的轨迹是抛物线的一部分
D．当 时，点 的轨迹是椭圆的一部分
解析：设M(x,y)，则 ，当 时，即 ，
有 ，故A正确；
当 时，有 ，故B正确；当 时， ，
即 ，故C正确；
当 时， ，即 显然不是椭圆，故D错误.
故选：ABC
题型02：双曲线的其它定义
【典型例题1】已知直线 与双曲线 的左右两支分别交于 、 两点，与双曲线 的右准线
相交于 点，点 为右焦点，若 ， ，则实数 的值为_________.
解析：记 、 在右准线上的射影分别为点 、 ，由 及双曲线第二定义知： ，又
，所以 ，从而 ，则 .【典型例题2】如图，在矩形 中，把边AB分成n等份．在边 的延长线上， 的n分之一为单位长度
连续取点．过边AB上各分点和 作直线，过 延长线上的对应分点和点A作直线，这两条直线的交点为P，P
在什么曲线上运动？
解析：设 ，取 所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系，设第
组对应直线 与 的交点为 ，且 点在第一象限，
则 ， ， ， ，直线 的方程为 ，①直线
的方程为 ，②
点坐标满足方程①②，①②相乘得 ，即 （ 点在第一象限），所以点 在双曲
线的右支上半部分上运动.
.
【变式训练2-1】如图，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使点D总是落在对边AB上，然后展开纸片，得
到一条折痕l．这样继续下去，得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？解析：设点 折后落到 边上的点 ，则线段 被折痕 垂直平分，在折痕 上取一点 ，且 ，则
可得， ，即折痕围成的轮廓上的任意一点到定直线 的距离与它到定点 的距离相等，∴根据抛物
线的定义可知折痕围成的轮廓曲线是以 为焦点， 为准线的抛物线.
【变式训练2-2】如图，在矩形 中， 分别是矩形四条边的中点，点 在
直线 上，点 在直线 上，
，直线 与直线 相交于点 ，则点 的轨迹方程为_______________.
解析：以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系（见右图）.
因为 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 .
因为 ，所以直线 的方程为 ①，
因为 ，所以直线 的方程为 ②.由①可得，代入②化简可得 ，结合图象易知点 可到达 ，但不可
到达 ，所以点 的轨迹方程为 ，
故答案为： .
题型03：黄金双曲线
【典型例题1】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为 ）．
若黄金双曲线 的左右两顶点分别为 ，虚轴上下两端点分别为 ，左右焦点
分别为 ， 为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦， 为 的中点．设 为坐标原点，双曲
线 的离心率为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．过右焦点且斜率为1的直线与双曲线右支有2个交点
D．直线 与双曲线 的一条渐近线垂直
【答案】ABD
【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得 ，即B正确，确定一条渐近线的斜
率为 ，可判断C错误.由斜率之积可判断D.
【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为 ，则较小部分为 ，由题黄金分割比为 ，且
若 为黄金双曲线，
则离心率为 ，即A正确；
对于B，设 ，其中 ，
又 在双曲线线上，所以 ，
两式相减可得 ，
即 ，可得 ，
所以 ，可得B正确；
对于C，由离心率为 可得 ，解得 ，
可得一条渐近线的斜率为 ，因为 ，
根据渐近线性质可知过右焦点且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有1个交点，即C错误.
对于D，易知 ， ，
则 ，双曲线 的一条渐近线的斜率 ，
所以
，所以直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，故D正确.
故选：ABD
【典型例题2】已知双曲线 的渐近线方程为 ，点 在 上．按如下方
式构造点 ：过点 作斜率为 的直线与 的下支交于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，
记 ．
(1)求 ；
(2)求数列 的通项公式，并说明理由；
(3)记 的面积为 ，证明： ．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在 轴，且双曲线的渐近线方程为 ，
则 ，
又点 在 上，则 ，
联立 ，解得 ，则双曲线方程为 ，
由题意得 ， 的斜率 ，
则 ，解得 ，同理，由题意得 ， 的斜率 ，
则 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，
，
.
（2）因为 ，所以 ，因为 ，
所以 ，
于是 ，①
由于 ， ，
所以 ．且 ，
两式作差可得 ，②
把①代入②可得 ，③
由③+① 得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，由（1）知 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ．
（3）由（2）知， ，
又 ，所以 ， ，
，
，
所以
，
即 为定值 ，
所以 .
【变式训练3-1】（多选题）“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大
部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线
的左右两顶点分别为 ，虚轴上下两端点分别为 ， ，左右焦点分别为
为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦， 为 的中点.设双曲线 的离心率为 ，则
（ ）
A．
B．C．直线 与双曲线 的一条渐近线垂直
D．直线 与双曲线 的左支有两个不同的交点
【答案】AC
【分析】根据黄金分割比计算可得A正确，利用点差法计算可得 ，即B错误，由两直线的斜率关系
可判断C正确，易知一条渐近线的斜率为 ，可判断D错误.
【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为 ，则较小部分为 ，
由题黄金分割比为 ，且
若 为黄金双曲线，
则离心率为 ，即A正确；
对于B，设 ，其中 ，
又 在双曲线线上，所以 ，
两式相减可得 ，
即 ，可得 ，
所以 ，可得B错误；对于C，易知 ，所以 ，
易知双曲线的一条渐近线斜率为 ，
则 ，
因此直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，即C正确；
对于D，由离心率为 可得 ，解得 ，
可得一条渐近线的斜率为 ，
而直线 的斜率 ，
根据渐近线性质可知直线 与双曲线 的左右两支各有一个交点，即D错误.
故选：AC
【变式训练3-2】（多选题）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派把 称为黄金数.离
心率等于黄金数的倒数的双曲线称为黄金双曲线.若黄金双曲线 的左，右顶点分别为 ，
虚轴的上端点为 ，左焦点为 ，离心率为 ，则（ ）
A．
B．
C．顶点到渐近线的距离为
D． 的外接圆的面积为
【答案】ABD【分析】利用双曲线的几何性质，结合图形进行计算即可.
【详解】
设双曲线的半焦距为 ，则 ，
由题意知 ，A正确.
，B正确.
对于C，双曲线 的渐近线方程为 ，
所以顶点到渐近线距离 ，C错误.
对于D，因为 ，所以 ，所以 为直角三角形，且 ，
所以 的外接圆半径为 ，故 外接球面积 ，D正确.
故选：ABD.
【变式训练3-3】（多选题） “黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（“黄金分割比”为
）．若黄金双曲线 的左右两顶点分别为 ，虚轴上下两端点分别为 ，
左右焦点分别为 ， 为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦， 为 的中点．设 为坐标
原点，双曲线 的离心率为 ，则下列说法正确的有（ ）
A． B．C．直线 与双曲线 的一条渐近线垂直 D．
【答案】ACD
【分析】A由黄金分割比定义可判断选项正误；B由点差法可判断选项正误；C判断 是否等于 可判断选项
正误；D由 ，计算 ， ，可判断选项正误.
【详解】对于 A，由题得离心率 ，故A正确；
对于B，设 ， ，则点 ，
则 ， ，两式作差得 ，
则 ，故B不正确；
对于C，易知 ， ，则 ，双曲线 的一条渐近线的斜率 ，
所以 ，
所以直线 与双曲线 的一条渐近线垂直，故C正确；
对于D， ， ，
由C选项可知有 ，所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
.
【变式训练3-4】我们把离心率为 的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则 的虚轴长为 ．
【答案】
【分析】根据条件及离心率的定义，得到 ，即可求解.
【详解】因为 ，即 ，解得 ，所以 的虚轴长为 ，
故答案为： .
题型04:双曲线与数列
【典型例题】已知双曲线 （ ， ）的渐近线方程为 ，且过点 .按照如下方式依
次构造点 ：过 作斜率为 （ 为常数且 ）的直线与 的下支交于点 ，令 为 关于 轴的
对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 的坐标 ；
(2)证明：数列 是等比数列，并求其公比（用 表示）；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， 为定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析，公比为 ；
(3)证明见解析.
【详解】（1）∵渐近线为 ．又过点 ，
代入双曲线的方程得， ，即双曲线的方程为 ，若 ，则过 对应的直线方程为 ，与双曲线联立得：
或 （舍去）．
代入直线方程求得该直线与双曲线得另一个交点 ．
（2）过 斜率为 直线为： ，
与双曲线 联立得： ，
因为 ，则 ，
由韦达定理得 ，
.
将 代入直线方程，并取相反数得
，
①，
②，
得 ，由条件可知首项为 ，
所以数列 是公比为 的等比数列．（3）要证明 为定值，只需证明 ．
与 求面积时，都看作以 为底，
则原问题转化为高相等，即需证明两点 到直线 的距离相等，
进而转化为证明 ，即只需证明 ，以下为其证明.
将点 的坐标代入双曲线方程得到 两式作差并整理得：
，由合比的性质得， ③，
同理可得 ④，
由第（2）问的①②可知数列 是公比为 的等比数列；
数列 是公比为 的等比数列.
④式可化为 ⑤，
由③⑤两式得到： .
故 ，所以 为定值.
【变式训练4-1】双曲线冷却塔模型的外形如图1，是由双曲线 的右支的一部分 绕其虚轴旋转所成的曲面（如图2），其中双曲线冷却塔模型的上、下口是分别由 的右支上的点 、点 旋转成的圆， 的右顶点 旋
转成的圆半径为 ，上口圆的半径为 ，下口圆的半径为 ，高为 .
(1)如图3所示，在 所在的平面内，以 的实轴所在的直线为 轴，虚轴所在的直线为 轴，建立直角坐标系
，求 的方程；
(2)按照如下方式依次构造点 ， 为点 关于 轴的对称点，过 作与 平行的直线与 的
右支交于点 ，记 的坐标为 .
①求证：数列 为等比数列.
②求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）设 的方程为 ,
因 的右顶点 旋转成的圆半径为 ，上口圆的半径为 ，下口圆的半径为 ，
则 ，设 ， ，则
代入方程可得 ，且 ，解得 ，
故该双曲线的标准方程为 .（2）（i）因为 ，可得 ， ， ，
则 ,直线 ，即 ，
联立方程组 ，整理得 ，
则 恒成立
所以 ，即 ①
又因为 满足直线方程 ，
所以 ，即 ②
设 ，
由①、②得 ，所以 ，解得 ，
当 时， ，
所以数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列.
（ii）由（i）知 ③
当 时， ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
又由 ④
由③减去④整理得到 ，
所以 ，整理得 .
【变式训练4-2】已知双曲线 ，点 在 上.按如下方式构造点 ：过点 作斜率
为 的直线与 的下支交于点 ，点 关于 轴的对称点为 ，记点 的坐标为 .
(1)求点 ， 的坐标；
(2)记 ，证明：数列 为等比数列；
(3) 为坐标原点， ， 分别为线段 ， 的中点，记 ， 的面积分别为 ， ，求
的值.
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题知 ，所以双曲线 ，
又过点 斜率为 的直线方程为 ，
由双曲线与直线的对称性可知 ，所以 ，
又过 ，且斜率为 的直线方程为 ，
即 ，
由 ，解得 或 ，
当 时， ，
所以 ，所以 ；（2）
设 ，
则过 ，且斜率为 的直线方程为 ，
联立 ，
消 得到 ，
由题有 ，得到 ，
由题知点 在直线 上，
即有 ，所以 ，
因为 ，
则
，
由（1）知 ，
所以数列 是以3为首项， 为公比的等比数列；
（3）由（2）知 ，由 ，即 ，
即 ，
则 ，
，
故 ， ，
， ，
从而 ，
，
即 ，则 ，
则 ，
，
从而 .
【变式训练4-3】在矩形 中， ，以 所在直线为 轴，线段 的中垂线为 轴，建立如
图所示平面直角坐标系 ，点 、 满足 ，直线 与直线 交于点 ，记
点 及其关于 轴、 轴和原点 的对称点的轨迹为 ．(1)求 的方程；
(2)点 在 上，按照如下方式依次构造点 ，过 作斜率为
的直线与 交于另一点 为 关于 轴对称点．
（Ⅰ）证明 为等比数列；
（Ⅱ）记 为 的面积，求数列 的通项公式．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
【详解】（1）由题意可知， ，
则 ，
因为 ，所以 ，
故 ，即 ①，
，即 ②，
则①式乘以 得 ，将②式代入得 ，即 ，
由 结合图形可知，点 的轨迹在第一象限，
又双曲线 关于 轴、 轴和原点 对称，故 的方程为 ；
（2）（Ⅰ）因为 , 且 关于 轴对称，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
则
，
又 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，
又 ，所以 ，
得 ，
则 ，
，
则 ，
，先证明一个结论：对平面上三个点 ，若 ， ，则 .（若 在同
一条直线上，约定 ）
证明：
.
因为 ，
故
故数列 的通项公式为 .
【变式训练4-4】已知双曲线 的离心率为 ，且过点 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支交于另一点 ，当 （ 为坐标原点）的面积为1时，求直线 的方程；
(3)若对 ，点 都在双曲线 上，且 ，设 .证明：数列 是等
比数列，并求数列 的通项公式.
【答案】(1)(2) 或 .
(3)证明见解析，
【详解】（1）由题意知： ，且 ，求解可得： ，
所以双曲线 的标准方程为： .
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为： ，
此时 ， 点的坐标分别为 ， ，
则 的面积为 ，满足题意，
故此时直线 的方程为： ；
当直线 的斜率存在时，设其为 ，则直线 的方程为： ，
由（1）可知双曲线 的渐近线方程为 ，而直线 与双曲线 交右支于点 ， ，
则直线 的斜率应满足： 或 ，联立直线 与双曲线 的方程： ，
消去 得： .
设点 ， ，则有：
，
而点 到直线 的距离为： .
，因此： ，化简得： ，
即： ，其中： 或 ，且 .
当 时，解得 不满足题意，舍去；
当 时，解得 （舍去）或 ，
此时直线 的方程为： ，
综上可得直线 的方程为： 或 .
（3）证明：由题意有 ，作差得： ，
即有： .
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
由 ，
且 ，所以数列 是首项 ， 的等比数列，
故 .题型05：双曲线其它新定义
【典型例题】在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离之和相等，则称
为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 的
离心率为2，点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与 的渐近线交于 两点，当
轴时，直线 为 的等线.
(1)求 的方程;
(2)若 是四边形 的等线，求四边形 的面积;
(3)设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明: 在点 处的切线 为 的等线
【答案】(1)
(2)12
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知 ，显然点 在直线 的上方，
因为直线 为 的等线，所以 ，
解得 ，所以 的方程为
（2）设 ，切线 ，代入 得:
故 ，
该式可以看作关于 的一元二次方程 ，所以 ，即 方程为
当 的斜率不存在时，也成立
渐近线方程为 ，不妨设 在 上方，
联立得 ，故 ，
所以 是线段 的中点，因为 到过 的直线距离相等，
则过 点的等线必定满足: 到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点 ，即 的方程为 ，
由 ，解得 ，故 .
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以
（3）
设 ，由 ，所以 ，
故曲线 的方程为由（*）知切线为 ，也为 ，即 ，即
易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 到 的距离为 ，
由（2）知 ，
所以
由 得
因为 ，
所以直线 为 的等线 .
【变式训练5-1】已知 为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量 ，点A绕着点 逆时针旋
转 角后得到点 ，则 ，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一
点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称该二次曲
线为“反比例曲线”．
(1)证明曲线 是“反比例曲线”，并求出旋转后的反比例函数图象的表达式．
(2)证明：“双曲线 是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．(3)若存在双曲线 是“反比例曲线”，过原点 的直线 交该双曲线
于点 ，将 绕点 旋转至能在双曲线 的渐近线上找到点 ，点 满足 ，以此类推，过点
作斜率为 的直线交双曲线 于点 ，将 绕点 旋转至能在双曲线 的渐近线上找到点 ，
点 满足 ．在 中，设底边 上的高为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析， （或 ）．
(2)证明见解析
(3) ．
【详解】（1）由题，在旋转变换公式中取 ，旋转变换后的坐标为 ．
得
则 ，将其代入 ，得 ，
化简得 ，
故曲线 是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为 ；
或在旋转变换公式中取 ，旋转变换后的坐标为 ．
得则 ，将其代入 ，得 ，
化简得 ，
故曲线 是“反比例曲线”，所求反比例函数图象的表达式为 ，
综上，反比例函数图象的表达式为 或 .
（2）必要性：根据旋转的坐标变换公式，得 ，所以 ，
代入 得 ，
化简得 ，
“双曲线 是‘反比例曲线’”，
所以 ，解得 ，故该双曲线是等轴双曲线，必要性成立；
充分性：由等轴双曲线定义可知 ，即 ，
代入（1）中的旋转变换公式，得 ，化简得 ，
故该双曲线是“反比例曲线”．
综上所述，“双曲线 是‘反比例曲线’”的充要条件是“该双曲线是等轴双曲线”．
（3）由（2）可知，双曲线 的方程可进一步表示为 ，
因为旋转变换的角度 不影响最终的结果，故本题取 ，
且旋转变换后得到的反比例函数图象的表达式为 ，即 ．设经过旋转变换后 ，
因为 是等腰三角形，所以 ，
根据反比例函数定义可得 ．
故 且 ．
从点 向 轴作垂线交于点 ，向 轴作垂线交于点 ，
设矩形 的面积为 ，因为 ，
当 时， ．
由于 ， ，故当 时，
，
因为 ，所以 ，从而 ．
以此类推，
，
因为 ，所以 ，可得 ．
【变式训练5-2】已知双曲线 的两条渐近线分别为 ， ，若点 ，
分别在 ， 上（ ， 不同于原点 ），且直线 是 的切线，则称 是 的“渐切三角形”．已知 在点
处的切线方程为 ．
(1)写出 的一个“渐切三角形”的顶点 ， 的坐标及切线 的方程，并求出其面积；
(2)已知点 ， 分别在 ， 上， 的面积为 ，试问 是否是 的“渐切三
角形”？并说明理由；
(3)若 是 的“渐切三角形”， 与 相切的切点 的横坐标大于0， 为 的左焦点，证明： 为定
值．
【答案】(1) ， ， （答案不唯一）；
(2)是，理由见解析；
(3)证明过程见解析.
【分析】（1）先根据渐近线方程得出 ，再取切点为 即可根据条件求出；
（2）分直线 斜率不存在，和斜率存在两种情况讨论，设直线 方程，联立方程组，求 ，进而利用
的面积为 ，即可发现直线 与曲线相切；
（3）切点为 容易求出 ，切点不为 时，先根据直线 与曲线 相切得出 ，再将直
线 与 联立得出韦达定理，进而求出 、 ，即可求出 ，进而得
出 为定值.
【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为 ，故 ，
则 ，且 在点 处的切线方程为 ，不妨取切点为 ，则切线方程为 ，此时 ，
则 .
（2）若直线 斜率不存在，不妨设 ，则 ，
则 ，得 ，
此时直线 与曲线 相切，即 是 的“渐切三角形”，
若直线 斜率存在，设 ，
联立 ，得 ，
则 ，即 ，
则 ，
又点 到直线 的距离 ，
则 ，
得 ，
联立 ，得 ，
则 ，
则直线 与曲线 相切，即 是 的“渐切三角形”，
综上可得，若 的面积为 ，则 是 的“渐切三角形”.
（3）若切点为 时，直线 的方程为 ，此时 ，
因 ，则 ，即 ，利用对称性可知 ；
若切点不为 ，可设切点为 ，则直线 ，
联立 ，得 ，
则 由 ，可得 ，
联立 ，得 ，即 ，
设点 ， ，则 ，
则 ，
，
则
，
（说明：由图知， 与 始终同号，故 成立）
，
则
，因 ，则 ，故 为定值.
【变式训练5-3】定义：在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离之和相
等，则称 为多边形的一条“等线”．双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，实轴长为2，
且点 为双曲线 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与 的渐近线交于 、 两点，且点 在点
上方．当 轴时，直线 为 的等线．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 是四边形 的等线，求四边形 的面积；
(3)已知 为坐标原点，设 ，点 的轨迹为曲线 ，判断： 在点 处的切线 是否为 的等线，
并说明理由．
【答案】(1)
(2)12
(3)直线 为 的等线，理由见解析
【分析】（1）在双曲线的方程中，令 ，结合已知条件求出点 的坐标，根据“等线”的定义可得出关于 的
方程组，解出 的值，即可得出双曲线 的方程；
（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可.
（3）利用给定条件和新定义证明即可.
【详解】（1）在双曲线 的方程中，令 ，解得 ，因为直线 为 的等线，显然点 在直线 的上方，故有 ，
又 、 ，有 ， ，解得 ， ，所以 的方程为 ；
（2）设 ，由题意有 方程为 ①，
双曲线渐近线方程为 ，联立得 ， ，
故 ，所以 是线段 的中点，
因为 、 到过原点 的直线距离相等，则过原点 点的等线必定满足： 、 到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点 ，即直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，故 ．
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
（3）设 ，由 ，所以 ， ，
故曲线 的方程为 ，由①知切线为 ，也为 ，
即 ，易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 、 ， 到 的距离为 、 、 ，
由（2）知 ， ，
所以 ，
由 得 ， ，
因为 ，
所以直线 为 的等线．
【点睛】关键点点睛：理解“等线”的定义，利用过双曲线上一点的切线方程，求出相关点的坐标，再结合定义求解
即可．
【变式训练5-4】在平面直角坐标系中，让任意一点A绕一固定点旋转一个定角，变成另一点 ，如此产生的变
换称为平面上的旋转变换，已知点 绕原点逆时针旋转 后得点 ，且旋转变换的表达式为
，曲线的旋转变换也如此．
(1)将点 绕原点逆时针旋转 得到点 ，求点 坐标；
(2)已知曲线 ，绕原点逆时针旋转 得到曲线 ．
（ⅰ）求曲线 的方程；
（ⅱ）P为曲线 上一点，P不在x轴上，过P作 交曲线 于B，D两点，求证：BD与曲线 在P点处的
切线垂直．
【答案】(1)(2)（ⅰ） ；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）由题意可得， ，则 ；
（2）（ⅰ）设曲线 上任意一点为 ，且 ，将其绕原点逆时针旋转 得到点 ，
则 ，得 ，
则 ，即 ，
故曲线 的方程为 ；
（ⅱ）设 ，且 ， ，
由题意可知，过点 的切线斜率存在，故设切线方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ，
即
，
则 ，
当直线 的斜率存在时，设直线 ， ，
联立 ，得 ，则 ，
则 ，
，
因为 ，所以
，
则 ，
即 ，即 ，
因为直线 不过点 ，所以 ，
则 ，得 ，
则 ，此时BD与曲线 在P点处的切线垂直；
当直线 的斜率不存在时，设直线 ，其中 或 ， ，
联立 ，得 ，则 ，
则，不符合题意.
综上，BD与曲线 在P点处的切线垂直．
