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专题11 立体几何（Ⅰ）（讲义）
Ⅰ、空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行且全等
多边形
互相平行且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点，但不一
定相等
延长线交于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
(2)旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，
垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
Ⅱ 、简单几何体
㈠ 空间几何体的类型
1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面
的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称
为旋转体的轴。
㈡ 几种空间几何体的结构特征
1 棱柱的结构特征
棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是
四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1
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棱柱的分类
棱柱的性质
⑴ 侧棱都相等，侧面是平行四边形；
⑵ 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
⑶ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
⑷ 直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。
长方体的性质
⑴ 长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和：
AC1
2 = AB2 + AC2 + AA1
2
⑵ 长方体的一条对角线AC1与过定点A 的三条棱所成的角分别是α、β、
γ，那么：
cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2
⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A 的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则：
cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1
棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。
棱柱的面积和体积公式
S 直棱柱侧面 = c·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高)
S 直棱柱全 = c·h+ 2S 底
V 棱柱 = S 底 ·h
2 圆柱的结构特征
2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转
轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆
柱。
2-2 圆柱的性质
⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆；
⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。
2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。
2-4 圆柱的面积和体积公式
S 圆柱侧面 = 2π·r·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)
S 圆柱全 = 2π r h + 2π r2
V 圆柱 = S 底h = πr2h
3 棱锥的结构特征
3-1 棱锥的定义
⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱
锥。
图1-2 长方体
图1-3 圆柱
图1-1 棱柱
2
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⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，
这样的棱锥叫做正棱锥。
3-2 正棱锥的结构特征
⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之
比；
⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的
射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB、SOH、SBH、OBH 均为直角三角
形)。
3-3 正棱锥的侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。
3-4 正棱锥的面积和体积公式
S 正棱锥侧 = c h’ (c 为底面周长，h’为侧面斜高)
S 正棱锥全 = c h’ + S 底面
V棱锥 = 1/3 S 底面·h (h 为棱锥的高)
4 圆锥的结构特征
4-1 圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋
转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
4-2 圆锥的结构特征
⑴ 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离
与顶点到底面的距离之比；
⑵ 轴截面是等腰三角形；
⑶ 母线的平方等于底面半径与高的平方和：
l2 = r2 + h2
4-3 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径
的扇形。
4-4 圆锥的面积和体积的公式
S 圆锥侧 = π r·l (r 为底面半径，l 为母线长)
S 圆锥全 = πr·(r + l)
V 圆锥 = 1/3 πr2·h (h 为圆锥高)
5 棱台的结构特征
棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台。
正棱台的结构特征
⑴ 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
⑵ 正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；
⑶ 正棱台的对角面也是等腰梯形；
⑷ 棱台经常被补成棱锥，然后利用形似三角形进行研究。
5-3 正棱台的面积和体积公式
S 棱台侧= n/2 (a + b)·h’ (a 为上底边长，b 为下底边长，h’为棱
台的斜高，n 为边数)
S 棱台全 = S 上底 + S 下底 + S 侧
图1-5 圆锥
图1-6 棱台
3
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V 棱台
=
6 圆台的结构特征
6-1 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和
底面之间的部分称为圆台。
6-2 圆台的结构特征
⑴ 圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；
⑵ 圆台的截面是等腰梯形；
⑶ 圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。
6-3 圆台的面积和体积公式
S 圆台侧 = π·(R + r)·l (r、R 为上下底面半径)
S 圆台全 = π·r2 + π·R2 + π·(R + r)·l
V 圆台 = 1/3 (π r2 + π R2 + π r R) h (h 为圆台的高)
7 球的结构特征
7-1 球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一
周形成的旋转体叫做球体。空间中，与定点距离等于定长的点的集
合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体。
7-2 球的结构特征
⑴ 球心与截面圆心的连线垂直于截面；
⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2 –
d2
7-3
★
球与其他多面体的组合体的问题
球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是：
⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；
⑵ 找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图；
⑶ 将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题；
⑷ 注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；
球外切正方体，球直径等于正方体的边长。
7-4 球的面积和体积公式
S 球面 = 4 π R2 (R 为球半径)
V 球 = 4/3 π R3
Ⅲ、空间几何体的视图
1 三视图：观察者从三个不同的位置观察同一个空间几何体而画出的图形。
正视图：光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图。
侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图。
俯视图：光线从几何体的上面向右边正投影，得到的投影图。
注意：⑴ 俯视图画在正视图的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在正视图的右方，“高度”与正
视图相等，“宽度”与俯视图相等。(正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽)
⑵ 正视图、侧视图、俯视图都是平面图形，而不是直观图。
2 直观图
2-1 直观图的定义：是观察者站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形，直观图通常是在平行投影下
画出的空间图形。
2-2 斜二测法做空间几何体的直观图
⑴ 在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，即取∠xOy = 90°；
图1-7 圆台
图1-8 球
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⑵ 画直观图时，把它画成对应的轴O’x’、O’y，取∠x’O’y’ = 45°或135°，它们确定的平面表示水平平
面；
⑶ 在坐标系x’o’y’中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平行性不变；平行于x 轴的线段保
持长度不变；平行于y 轴的线段长度减半。
结论：采用斜二测法作出的直观图的面积是原平面图形
的
2-3 解决关于直观图问题的注意事项
⑴ 由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”；
⑵ 由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
Ⅳ、方法归纳：
一、基本立体图形
命题点1 结构特征
例1 下列说法中正确的是（ ）
A．直四棱柱是长方体
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．通过圆台侧面一点，有无数条母线
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥
答案 B
分析 逐项判断即可．
对于A， 直四棱柱底面不一定是长方形；
对于B，根据棱锥定义，侧面一定是三角形；
对于C，通过圆台侧面一点只有一条母线；
对于D，以直角三角形的一条斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体不是圆锥.
解析 直四棱柱不是长方体，底面不一定是长方形，故A 错误；
根据棱锥定义，侧面一定是三角形，故B 正确；
通过圆台侧面一点，只有一条母线，故C 错误；
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥，斜边不行，故
D 错误；
故选：B.
方法归纳： 空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或
增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
命题点2 直观图
例2 如图,直角梯形
满足
,它是水平放置的平面图形的直观图,则
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该平面图形的周长是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
分析 结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形
还原成平面图形,结合勾股定理算出各边长度即
可求解.
解析 由题意
,
,由
可得
,
由
,
可得
,所以
,
而
，
所以
，
结合斜二测画法的规则,将直观图即直角梯形
还原成平面图形，
如图所示：
由勾股定理可得
，
所以满足题意的平面图形的周长是
.
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故选:C.
方法归纳： (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x 轴的线段平行性不变，长度不变；
平行于y 轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图＝
S 原图形．
命题点3 展开图
例3 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，圆锥的高分别为
和
，侧面积
分别为
和
，若
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
答案 D
分析 设出母线长、圆心角及底面半径后计算即可得.
解析 设甲、乙两个圆锥的母线长都为，底面半径分别为
、
，
侧面展开图的圆心角分别为
、
，则
，
则
，故
，
即有
，
，
，即
，
同理
，即
，
故
.
故选：D.
方法归纳： 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的
关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．
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二、表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)在母线长为4，底面直径为6 的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后，得到一个几何体，则该
几何体的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
分析 该几何体的表面包括原圆柱侧面，原圆柱一个底面及圆锥侧面，分别计算出各面面积即可得.
解析 体积最大的圆锥的母线为
，
则
.
故选：C.
(2 已知圆锥的轴截面
是一个正三角形，其中是圆锥顶点，AB 是底面直径．若C 是底面圆O 上一点，
P 是母线SC 上一点，
，
，则三棱锥
外接球的表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 C
分析 取点D 在母线SA 上且
，可证明三棱锥
与三棱锥
外接球相同，再由正弦
定理求出三角形
的外接圆半径即为外接球半径得解.
解析 如图，
设点D 在母线SA 上且
，
因为
是直角三角形，所以三棱锥
外接球的球心E 在SO 上，
由
≌
，可得
，
即三棱锥
外接球的球心E 也是三棱锥
外接球的球心，且两个外接球的表面积相等．
由
，得
的外心即为三棱锥
外接球的球心E．
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在
中，
，
所以
的外接圆的直径
，
所以三棱锥
外接球的表面积是
，
故选：C．
方法归纳： (1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
命题点2 体积
例5 已知圆柱的底面直径为
，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为
的球面上，该圆柱的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
答案 D
分析 求出球的半径以及圆柱的底面半径，在轴截面中，找到二者与圆柱的高之间的关系，即可求出圆柱
的高，从而求得圆柱的体积.
解析 球的表面积为
，可得其半径
，
圆柱的底面直径为
，半径为
，
在轴截面中，可知圆柱的高为
，所以圆柱的体积为
.
故选：D.
方法归纳： 求空间几何体的体积的常用方法
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则
的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
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三、切接问题
1、定义法
例1 (1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC 的外接球(顶点都在球面
上)的体积为( )
A．π B.π C．2π D.
答案 D
解析 如图，取PC 的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC，
又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
在Rt△PBC 中，OB＝PC，
同理OA＝PC，
所以OA＝OB＝OC＝PC，
因此P，A，B，C 四点在以O 为球心的球面上，
在Rt△ABC 中，AC＝＝.
在Rt△PAC 中，PC＝＝，
球O 的半径R＝PC＝，
所以球的体积为π3＝.
方法归纳： 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，
则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
二、补形法
例2 (1)在四面体ABCD 中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD 的外接球的表面积
为( )
A．2π B．4π C．6π D．8π
答案 C
解析 由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD 的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为
x，y，z 的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R 为外接球的半径)，
得2R2＝3，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.
方法归纳： (1)补形法的解题策略
①侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三
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棱锥补成三棱柱求解．
(2)正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
3、截面法
例3 已知正三棱锥
的底面边长为
，若半径为1 的球与该正三棱锥的各棱均相切，则三棱锥
外接球的半径为（ ）
A．
B．2
C．
D．
答案 D
分析 作出图形，根据题意可得棱切球的球心即为底面正三角形的中心
，再求出三棱锥的高
,利用勾股
定理即可求解外接球半径.
解析 因为球与该正三棱锥的各棱均相切，
所以平面
截球得到的截面圆与
的三边均相切，
所以该球的球心在过截面圆圆心且与平面
垂直的直线上，
又因为底面边长为
，所以底面正三角形的内切圆的半径为
，
又因为球的半径为1，
所以棱切球的球心即为底面正三角形的中心点
，
如图，过球心
作
的垂线交
于
，
则
，
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又因为
，所以
，
又
与
相似，所以
，
所以
，
因为
外接圆的半径为
，
正三棱锥
外接球的球心在
上，设半径为
，
所以
，即
，
解得
.
故选：
.
方法归纳： (1)与球截面有关的解题策略
①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为
半径；
②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
(2)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3 1(
∶
a 为该正四面体的棱长)．
12
