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第23 讲 数列中的新文化、新定义问题
目 录
题型01 数列中的新文化问题
题型02 数列中的新定义问题
强化训练（共10 题）
知识小测（共5 题）
题型精讲
题型1 数列中的新文化问题
题型点拨
解决数列与数学文化相交汇问题的关键
【典例1】（25-26·广东江门）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙
粒或小石子所排列的形状把数分类，如图中第一行1，3，6，10 称为三角形数，第二行的1，4，9，16 称
为正方形数，下列数中既是三角形数，又是正方形数的是（ ）
A．100
B．289
C．1225
D．1378
【变式1】（25-26·河南）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日
自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一
半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过
的时间最少为（ ）
A．3 天
B．4 天
C．5 天
D．6 天
【变式2】高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的
函数
称为高斯函数，其中
表示不超过
的最大整数，如
，
.已知等差数列
的第5 项为5，前10 项和为55，等比数列
的第3 项为4，第6 项为32.若数列
的前
项和为
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 数列中的新定义问题
题型点拨
一、新定义问题的方法和技巧
1、可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2、可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解得较为透彻；
3、发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4、如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
二、与数列有关的新定义问题的策略
1、通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的
情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，
达到灵活解题的目的.
2、遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求
“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
3、类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.
【典例1】（25-26·广东广州）设 m 为正整数，数列 a_1，a_2，…，a_(3m+2) 是公比不为 1 的等比数
列，若从中删去两项 a_i 和 a_j（i<j）后剩余的 3m 项可被平均分为 m 组，且每组的 3 个数都能构成
等比数列，则称数列 a_1，a_2，…，a_(3m+2) 是 (i,j)-可分数列．现有下列 3 个命题：①数列 a_1，
a_2，…，a_5 是 (1,5)-可分数列；②数列 a_1，a_2，…，a_8 是 (2,5)-可分数列；③数列 a_1，
a_2，…，a_(3m+2)（m≥3）是 (6,9)-可分数列．其中是真命题的为（ ）
A．①
B．①②
C．①③
D．②③
【变式1】（25-26·北京石景山）设
为无穷数列，如果对于任意
，都有
，则称数
列
具有性质P.
(1)判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明）
①等差数列A：5，3，1…；②等比数列B：1，2，4，…；
(2)已知数列
具有性质P，
，
，且由该数列所有项组成的集合
，求
的通项
公式.
【变式2】（25-26·安徽宣城）设数列
的前n 项和为
，若
，则称
是
“紧密数列”.
(1)已知数列
是“紧密数列”，前4 项依次为1，
，x，
，求x 的取值范围;
(2)若数列
的前n 项和
，判断
是否是“紧密数列”，并说明理由;
(3)设数列
是公比为q 的等比数列.若数列
与
都是“紧密数列”，求q 的取值范围.
强化训练（共10 题）
1．在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不
同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等
差数列.现有高阶等差数列，其前8 项分别为
，则该数列的第50 项为（ ）
A．1275
B．1596
C．1597
D．1598
2．（25-26·江苏泰州）若
，则称表达式
为n 阶有限连分数，
通常记为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．如图，这是战国时楚国标准度量衡器，于1954 年出土于湖南长沙的木衡铜环权，包括木质秤杆、两个
铜盘和九枚铜环权，为等臂衡秤式样，其中铜环权类似于砝码，用于测量物体质量．已知九枚铜环权中质
量最小的为1 铢，最大的为8 两（古制1 两=24 铢，1 斤=16 两），且按从小到大的顺序排列后前3 项构成
等差数列，后7 项构成公比为2 的等比数列，若某物体的质量恰为第2，5，7 枚铜环权的质量和，则该物
体的质量为（ ）
A．2 两4 铢
B．2 两14 铢
C．3 两2 铢
D．3 两12 铢
4．（25-26·上海奉贤）对于数列
，若存在实数
，使得
对任意正整数
都成立，
则称数列
是线性数列，则对于:
①等差数列一定是线性数列；② 等比数列一定是线性数列，下列说
法正确的是（ ）
A．①正确②正确
B．①正确②错误
C．① 错误②正确
D．①错误②错误
5．对于数列
，若存在实数
，使得对一切正整数
，恒有
成立，则称数列
为有界数
列.设数列
的前
项和为
，则下列选项中，满足数列
为有界数列的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26·上海普陀）定义:对于任意
，满足条件
且
(
是与
无关的常数)的
无穷数列
称为
数列.
(1)若
，试举反例说明数列
不是
数列；
(2)若
，证明:数列
是
数列；
(3)设数列
的通项为
，且数列
是
数列，求常数
的取值范围.
7．（25-26·广东深圳）已知数列
，
，
，
，且
，
，若
是一
个非零常数列，则称
是一阶等差数列；若
是一个非零常数列，则称
是二阶等差数列.
(1)若
，
，
，试写出二阶等差数列
的前4 项，并求
；
(2)若
，且满足
，
（i）判断
是否为二阶等差数列，并证明你的结论；
（ii）记数列
的前n 项和为
，若不等式
对于
恒成立，求实数
的取值范
围.
8．（25-26·四川宜宾）如图，曲线
下有一系列正三角形，设第n 个正三角形
（
为
坐标原点）的边长为
．
(1)求
的值；
(2)记
为数列
的前n 项和，探究
与
的关系，并求数列
的通项公式；
(3)定义：若数列
满足①
是单调数列；②存在
，使得
，则称数列
收敛．令
，记
的前n 项和为
，证明：数列
收敛．
9．（25-26·湖南长沙）卷积运算在图像处理、人工智能、通信系统等领域有广泛的应用.一般地，对无穷数
列 {a_n}，{b_n}，定义无穷数列 c_n=∑_(k=1)^n a_k b_(n+1-k)（n 为正整数），记作“c_n=a_n＊b_n”（这里
＊ 表示卷积记号），称为 {a_n} 与 {b_n} 的卷积.卷积运算有如图所示的直观含义，即 {c_n} 中的项依次
为所列数阵从左上角开始各条对角线上元素的和，易知有交换律.
(1)若
，
，
，求
，
，
，
；
(2)对
，定义
如下：①当
时，
；②当
时，
为满足通项
的数列
，即将
的每一项向后平移
项，前
项都取为0.试找到数列
，
使得
；
(3)若
，
，证明：当
时，
.
10．（25-26·浙江宁波）若数列
满足：
（
，且
），则称数列
为“差
增数列”；若对于差增数列
，存在整数k，同时满足以下两个条件：①对任意
，都有
成
立；②存在
，使得
成立，则称数列
为差增数列
的“下限数列”.
(1)已知数列
是差增数列，若
，试写出项数为5 的差增数列
；
(2)已知等差数列
是公差为d 的正项数列，其前n 项和为
，等比数列
是公比为
的非常数
数列，且
；
（ⅰ）试判断数列
是否为“差增数列”，并说明理由；
（ⅱ）若
，且
，
，
成等比数列，则是否存在以数列
为“下限数列”的差增数列
？若存在，求q 的值；若不存在，请说明理由.
知识小测（共5 题）
1．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太
极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中
隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，⋯，则
此数列的第20 项为（ ）
A．162
B．180
C．200
D．220
2．（25-26·天津滨海新）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除
以 2.冰雹猜想认为：反复进行上述运算，经过有限次步骤后最终会进入循环圈 1→4→2→1，这就是数
学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列 {an} 满足：a1=1；当 an 为偶数时，
an+1= an
2 ；当 an 为奇数时，an+1=3an+1，则a2025=（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
3．（25-26·天津滨海新）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道“今有女善织，日益功疾”
的题．若从第2 天开始，每天比前一天多织相同量的布，第16 天织布量为13 尺（市制长度单位），则1
个月（按31 天计）织布总量为（ ）
A．13
B．26
C．208
D．403
4．定义数列
的“匀称值”为
，若
的匀称值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26·江西上饶）若数列
满足
，则称
为“对奇数列”.已知
为“对奇数
列”，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
