目录
第1 讲
集合·······································1
第2 讲
函数······································17
第3 讲
三角函数·································31
第4 讲
函数综合与导数·························45
第5 讲
不等式基础······························65
第6 讲
不等式应用······························81
第7 讲
数列1···································97
第
讲
1
1
集合
Part 1
经典真题
Part 2
元素与子集
Part 3
简易逻辑
Part 4
容斥原理
Part 5
集合中计数问题
Part 6
集合中数论问题
Part 7
条件子集与子集族
Part 8
其他新定义问题
2
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
集合
元素与子集
集合的概念
集合的三要素
集合的关系
集合的运算
简易逻辑
命题的概念
复合命题
充要条件
集合关系的应用
容斥原理
条件子集
子集族
集合背景问题
函数值域
数列
不等式最值
计数
数论
新定义
模块分析
集合是高中数学乃至于数学的基础，也是高中联赛一试常考的模块之一. 集合的重要性在于它是数学学习的
基础语言，理解集合开启了对抽象对象的研究，也是在对集合的研究开创了数学的历史. 集合在一试中基本只会考
察到小题，其中集合考察的比较多的是元素与子集的问题和条件子集问题，主要在于集合在数学中开宗明义而本
身的内容不够充实，但是集合由于本身作为基础语言的缘故，非常容易和其他模块一同考察，比如求函数的值域问
题，将数列视作集合，求不等式的最值问题，甚至考察到简易逻辑中借助命题的判断可以考到多个模块，不过由于
选择题退出一试舞台，命题难以在填空题的场景中考察到。特别需要注意的是，一试明面上讲考察范围与高考大
纲相同，不过也会借机会考察到竞赛内容，比如借集合为背景容易考察到数论性质，借计数考察到组合知识，甚至
条件子集本身需要借助组合知识进行分析。
第1 讲
3
精讲精练
【真题1】
设集合A = {2,0,1,3}，集合B =
{
x
−x ∈A,2−x2̸ ∈A
}
．则集合B 中所有元素的和为
．
【真题2】
设集合A = {a1,a2,a3,a4}，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为B = {−1,3,5,8}，则集合A =
．
【真题3】
已知集合A = {x|5x−a ⩽0}，B = {x|6x−b > 0},a,b ∈N，且A∩B∩N = {2,3,4}，则整数对(a,b) 的个数为( )
A. 20
B. 25
C. 30
D. 42
4
【真题4】
若非空集合A = {x|2a+1 ⩽x ⩽3a−5}，B = {x|3 ⩽x ⩽22} ，则能使A ⊆A∩B 成立的所有a 的集合是( )
A. {a|1 ⩽a ⩽9}
B. {a|6 ⩽a ⩽9}
C. {a|a ⩽9}
D. ∅
【真题5】
设a1,a2,a3,a4 为四个有理数，使得：
{
aia j |1 ⩽i < j ⩽4
}
=
{
−24,−2,−3
2,−1
8,1,3
}
，求a1 +a2 +a3 +a4 的值．
【真题6】
已知a 为给定的实数，那么集合M = {x|x2 −3x−a2 +2 = 0,x ∈R} 的子集的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 不确定
第1 讲
5
【真题7】
设命题P : 关于x 的不等式a1x2 +b1x2 +c1 > 0 与a2x2 +b2x+c2 > 0 的解集相同; 命题Q : a1
a2
= b1
b2
= c1
c2
．则命
题Q( )
A. 是命题P 的充分必要条件
B. 是命题P 的充分条件但不是必要条件
C. 是命题P 的必要条件但不是充分条件
D. 既不是是命题P 的充分条件也不是命题P 的必要条件
【真题8】
已知三个平面α,β,γ，每两个之间的夹角都是θ，且α ∩β = a,β ∩γ = b,γ ∩α = c．若有命题甲：θ > π
3 ；命题乙：
a,b,c 相交于一点．则( )
A. 甲是乙的充分条件但不必要
B. 甲是乙的必要条件但不充分
C. 甲是乙的充分必要条件
D. A、B、C 都不对
【真题9】
设M = {1,2,3,...,1995},A 是M 的子集且满足条件: 当x ∈A 时, 15x /∈A , 则A 中元素的个数最多是
．
6
【真题10】
对于整数n ⩾4, 求出最小的整数f (n), 使得对于任何正整数m, 集合{m,m+1,...,m+n−1} 的任一个f (n) 元子
集中, 均至少有3 个两两互素的元素.
【真题11】
已知A 与B 是集合{1,2,3,...,100} 的两个子集，满足A 与B 的元素个数相同，且为A∩B 空集．若n ∈A 时总有
2n+2 ∈B，则集合A∪B 的元素个数最多为( )
A. 62
B. 66
C. 68
D. 74
【真题12】
集合A,B 的并集A∪B = {a1,a2,a3}，当A̸ = B 时，(A,B) 与(B,A) 视为不同的对，则这样的(A,B) 对的个数是( )
A. 8
B. 9
C. 26
D. 27
第1 讲
7
Part 2
元素与子集
精讲精练
【例1】
设集合A = {1,3,5,7,9}，B = {2,4,6,18}，若C = {a+b|a ∈A,b ∈B}，则集合C 的所有元素之和为
．
【例2】
设集合A =
{
x
x2 −3x−10 ⩽0
}
，B = {x|m+1 ⩽x ⩽2m−1}，若A∩B = B，则实数m 的取值范围为
．
【例3】
已知集合P = {1,|a|}，Q =
{
2,b2}
为全集U =
{
1,2,3,a2 +b2 +a+b
}
的子集，且∁U {P∪Q} = {6}，则下面结论正
确的是( )
A. a = 3，b = 1
B. a = 3，b = −1
C. a = −3，b = −1
D. a = −3，b = −1
8
Part 3
简易逻辑
精讲精练
【例4】
已知两个命题，命题p：函数f (x) = logax(x > 0) 单调递增；命题q：函数g(x) = x2 +ax+1 > 0(x ∈R)．若p∨q 为
真命题，p∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为
．
Part 4
容斥原理
精讲精练
【例5】
已知31 位学生参加了某次考试，考试共有10 道题，每位学生解出了至少6 道题．求证：存在两位学生，他们解出
的题目中至少有5 道相同．
【例6】
设A、B 是两个非空的有限集，全集U = A∪B，且U 中含有m 个元素．若
(
∁UA
)
∪
(
∁UB
)
中含有n 个元素，则A∩B
中所含元素的个数为
．
第1 讲
9
Part 5
集合中计数问题
精讲精练
【例7】
已知非空集合A，B 满足以下四个条件：
(1) A∪B = {1,2,3,··· ,12}；
(2) A∩B = ∅；
(3) A 中的元素的个数不是A 中的元素；
(4) B 中的元素的个数不是B 中的元素．
则有序集合对(A,B) 的个数为
．
【例8】
盒中装有红色和蓝色纸牌各100 张，每色纸牌都含标数为1,3,32,··· ,399 的牌各一张，两色纸牌的标数总和记为S；
对于给定的正整数n，若能从盒中取出若干张牌，使其标数之和恰为n，便称为一种取牌n−方案，不同的n−方案
种数记为f (n)；试求f (1)+ f (2)+···+ f (S) 之值．
10
Part 6
集合中数论问题
精讲精练
【例9】
设合数k 满足：1 < k < 100，而k 的数组和为质数，就称合数k 为“山寨质数”，则这种“山寨质数”的个数是
．
【例10】
设M = {1,2,··· ,12}，三元集A = {a,b,c} 满足：A ⊂M，且a+b+c 为平方数，则这种集合A 的个数是
．
【例11】
设M =
{
a
a = x2 −y2,x,y ∈Z
}
，则对任意的整数n，形如4n、4n+1、4n+2、4n+3 的数中，不是M 中的元素的数
为( )
A. 4n
B. 4n+1
C. 4n+2
D. 4n+3
【例12】
已知集合=
{
x
x = a0 +a1 ×8+a2 ×82 +a3 ×83 }
，其中ai ∈{0,1,2,3,4,5,6,7}，i = 0，1，2，3 且a3̸ = 0，若正整数
m，n ∈A，满足m+n = 2018，且m > n，则符合条件的正整数m 有
个．
第1 讲
11
Part 7
条件子集与子集族
精讲精练
【例13】
若整数a、b 既不互质，又不存在整除关系，则称a、b 是一个“联盟”数对；设A 是集M = {1,2,...,2014} 的n 元子
集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，求n 的最大值．
【例14】
设M 是由有限个正整数构成的集合，且M = A1 ∪A2 ∪··· ∪A10 = B1 ∪B2 ∪··· ∪B20，这里A1̸ = ∅，B1̸ = ∅，
i = 1,2,··· ,20，并对任意的1 ⩽i < j ⩽20，都有Ai ∩Aj = ∅，Bi ∩Bj = ∅．
已知对任意的1 ⩽i ⩽20，1 ⩽j ⩽20，若Ai ∩Bj = ∅，则
Ai ∪Bj
⩾18，求集合M 的元素个数的最小值．
（这里，|X|
表示集合X 的元素个数）
12
Part 8
其他新定义问题
精讲精练
【例15】
已知集合A 的元素都是整数，其中最小的为1，最大的为200．且除1 以外，A 中每一个数都等于A 中某两个数(可
以相同) 的和．则|A| 的最小值为
．(符号|A| 表示集合A 中元素的个数)
【例16】
设A 是由任意100 个互不相同的正整数组成的集合，令B =
{
a
b |a,b ∈A且a̸ = b
}
，f (A) 表示集合B 中元素的个
数，则f (A) 的最大值与最小值之和为
．
【例17】
已知集合Ak =
{
2k−1 +ak−22ak−2+k−2 +ak−32ak−3+k−3 +···+a12a1+1 +a02a0 |ai ∈{0,1},i = 0,1,2,··· ,k −2
}
，用nk
表示集合Ak 中所有元素的和，则
2016
∑
k=1
nk =
．
第1 讲
13
【例18】
证明对所有的正整数n ⩾4，存在一个集合S，满足如下条件：
（1）S 由都小于2n−1 的n 个正整数组成；
（2）对S 的任意两个不同非空子集A、B，集合A 中所有元素之和不等于集合B 中所有元素之和．
14
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
设集合A = {−1,0,2}，集合B = {−x|x ∈A且2−x /∈A}，则B =( )
A. {1}
B. {−2}
C. {−1,−2}
D. {−1,0}
【测试2】
若实数集合A = {31x,65y} 与B = {5xy,403} 仅有一个公共元素，则集合A∪B 中所有元素之积
的值是
．
第1 讲
15
拍摄区
【测试3】
设an = 2n，bn = 5n−1(n ∈N∗)，S = {a1,a2,··· ,a2015}∩
{
b1,b2,··· ,ba2015
}
，则集合S 中的元素的
个数为
．
【测试4】
若集合A =
{
(m,n)
(m+1)+(m+2)+···+(m+n) = 102015,m ∈Z,n ∈N∗}
，则集合A 中的元
素个数为( )
A. 4030
B. 4032
C. 20152
D. 20162
16
拍摄区
【测试5】
已知集合
P =x
x = 73 +a×72 +b×7 +c，其中a，b，c 为不超过6 的正整数．
x1,x2,x3,··· ,xn 为集合P 中构成等差数列的n 个元素．求n 的最大值．
第
讲
2
17
函数
Part 1
经典真题
Part 2
函数的性质
Part 3
常用函数
Part 4
函数最值问题
Part 5
函数迭代和函数方程
18
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
函数
函数三要素
定义域
值域
对应法则
分段函数
反函数
复合函数
常用函数
二次函数
幂指对函数
对勾函数
三角函数
函数的性质
单调性
对称性（奇偶性）
周期性
凹凸性
其他问题
函数迭代
抽象函数
函数方程
综合问题
函数的图像
函数与方程
函数与数列
函数与不等式
模块分析
函数是高中代数中最重要的一块内容，也是高中联赛一试考察最多的部分之一. 函数的重要性在于它和后面
代数学习中三角函数，数列，不等式，导数都有很大的相关性，其他部分都可以利用函数的思想来思考. 函数在一试
中考察的比较多的是函数值域问题，其中多为复合函数或者二次函数的含参问题；另外考察的比较多的是函数的
各个性质，经常会考察多个性质的结合，其中单调性的考察也会与函数的最值和值域问题相关。函数中也会有较难
的内容，比如函数迭代，函数方程，特别是函数方程，在联赛层次考察较少，一般出现在CMO 及以上层次的考试中。
第2 讲
19
精讲精练
【真题1】
设不等式|2x −a| < |5−2x| 对所有x ∈[1,2] 成立，求实数a 的取值范围．
【真题2】
设k、m 为实数，不等式
x2 −kx−m
⩽1 对所有x ∈[a,b] 成立．证明：b−a ⩽2
√
2．
【真题3】
设f (x) 是定义在R 上的函数，若f (x)+x2 是奇函数，f (x)+2x 是偶函数，则f (1) 的值为
．
20
【真题4】
设f (x) 是定义在R 上的以2 为周期的偶函数，在区间[0,1] 上严格递减，且满足f (π) = 1，f (2π) = 2，则不等式组
1 ⩽x ⩽2
1 ⩽f (x) ⩽2
的解集为
．
【真题5】
若实数x，y 满足x−4√y = 2√x−y，则x 的取值范围是
．
【真题6】
若正数a、b 满足2+log2a = 3+log3b = log6 (a+b)，则1
a + 1
b 的值为
．
第2 讲
21
【真题7】
已知定义在R+ 上的函数f (x) =
|log3x−1|,0 < x ⩽9,
4−√x,x > 9
．设a，b，c 是三个互不相同的实数，满足f (a) = f (b) =
f (c)，求abc 的取值范围．
【真题8】
正实数u，v，w 均不等于1，若loguvw+logvw = 5，logvu+logwv = 3，则logwu 的值为
．
【真题9】
若实数a、b、c 满足2a +4b = 2c，4a +2b = 4c，求c 的最小值．
22
【真题10】
设f (x) 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有f (x+3)· f (x−4) = −1．
又当0 ⩽x < 7 时，f (x) = log2 (9−x)，则f (−100) 的值为
/
．
【真题11】
已知f (x) 是R 上的奇函数，f (1) = 1，且对任意x < 0，均有f
(
x
x−1
)
= x f (x)．
求f (1) f
(
1
100
)
+ f
(
1
2
)
f
(
1
99
)
+ f
(
1
3
)
f
(
1
98
)
+···+ f
(
1
50
)
f
(
1
51
)
的值．
【真题12】
求所有的正实数对(a,b), 使得函数f (x) = ax2 +b 满足: 对任意实数x,y, 有f (xy)+ f (x+y) ⩾f (x) f (y).
第2 讲
23
Part 2
函数的性质
精讲精练
【例1】
函数y =
1
√
x2 −6x+8
+log2
(
x+3
x−1 −2
)
的定义域为
．
【例2】
如图放置的边长为1 的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，即先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B
为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该定点为中心顺时针旋转．设顶点
C 滚动的曲线为y = f (x)，则f (x) 在[2017,2018] 上的表达式为
．
【例3】
设t1、t2 是方程t2 −(5a−2)t −3a2 −7a+1 = 0 的两个不等的实根．求实数a 的值，使得对于任何非零实数m，函
数f (x) = cos(mπx)cos
[(
t3
1 +t3
2
)
·πx
]
是周期函数．
24
Part 3
常用函数
精讲精练
【例4】
已知a、b ∈Z，且a+b 是方程x2 +ax+b = 0 的一个根，则b 的最大可能值为
．
【例5】
对任意的实数x，恒有loga(sinx+cosx)2 ⩾−2 成立，则a 的取值范围是
．
【例6】
如果x ∈[0,1]，且log2log2 (2x+2)+22x+2 为整数，则满足此条件的实数x 有( )
A. 12 个
B. 13 个
C. 14 个
D. 15 个
第2 讲
25
Part 4
函数最值问题
精讲精练
【例7】
若定义在R 上的函数f (x) 满足f ′ (x)−2 f (x)−4 > 0，f (0) = −1，则不等式f (x) > e2x −2 的解为
．
【例8】
函数y =
√
2x2 −2x+1+
√
2x2 −
(√
3−1
)
x+1+
√
2x2 +
(√
3+1
)
x+1 的最小值为
．
【例9】
已知奇函数f (x) 在(−∞,0)∪(0,+∞) 上有定义，且在(0,+∞) 上是增函数，f (1) = 0．又知函数g(θ) = sin2θ
+mcosθ −2m,θ ∈
[
0, π
2
]
，集合M,N 满足M = {m|∀θ,g(θ) < 0}，N = {m|∀θ, f [g(θ)] < 0}．求M ∩N．
26
Part 5
函数迭代和函数方程
精讲精练
【例10】
设f1 (x) =
√
x2 +32，fn+1 (x) =
√
x2 + 16
3 fn (x)，n = 1,2,···．对每个n，求fn (x) = 3x 的实数解．
【例11】
已知函数f (x) 满足：对任意实数x，y，都有f (x+y) = f (x)+ f (y)+6xy 成立，且f (−1)· f (1) ⩾9，
则f
(
2
3
)
=
/
．
【例12】
设f : N →N，且对所有正整数n，有f (n+1) > f (n), f (f (n)) = 3n．则f (1997) 的值为
．
第2 讲
27
【例13】
已知函数f (x) 满足：f (1) = 1
4，4 f (x) f (y) = f (x+y)+ f (x−y)(x，y ∈R)，则f (2019) =( )
A. 1
2
B. −1
2
C. 1
4
D. −1
4
【例14】
对任意正整数m，n，定义函数f (m,n) 如下：
①f (1,1) = 1；
②f (m+1,n) = f (m,n)+2(m+n)；
③f (m,n+1) = f (m,n)+2(m+n−1)．
（1）求f (m,n) 的解析式；
（2）设an =
√
f (n,n)
2n−1
(n ∈N∗)，Sn 是数列{an} 的前n 项和，证明：Sn < 6．
28
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
已知f (x) = (2x +1)2
2x ·x
+1 在[−2018,0)∪(0,2018] 上的最大值为M，最小值为N，则M +N =( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
【测试2】
设f (x) 是定义在(0,+∞) 上的单调函数，若对任意的x ∈(0,+∞)，都有f [f (x)−2log2x] = 4，则
不等式f (x) < 6 的解集为
．
第2 讲
29
拍摄区
【测试3】
已知函数y = 3x+
√
x2 −2x，求该函数的值域．
【测试4】
定义在x > 0 上的函数f (x) 满足：
(1) 存在a > 1，使f (a)̸ = 0．
对任意的实数b，有f
(
xb)
= b f (x)．
求证：对于x > 2，有不等式f (x−1) f (x+1) < [f (x)]2
第
讲
3
31
三角函数
Part 1
经典真题
Part 2
三角函数基本性质与三角
方程
Part 3
三角恒等变形
Part 4
解三角形
Part 5
三角函数综合
32
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
函数
三角函数的定义
角的扩充
弧度制
定义，三角函数线
三角函数图象
三角函数的性质
复合型三角函数与三角函数图象变换
三角函数公式
同角三角函数关系
诱导公式
和差公式
倍角公式
辅助角公式
和差化积与积化和差
万能公式
解三角形
正弦定理
余弦定理
反三角函数
三角代换
模块分析
三角函数在高中联赛中考察一般为一个小题，主要以考察基本性质和三角公式为主，三角函数具有明显的单
调性，对称性，周期性，另外三角恒等变形是三角函数的难点，主要要掌握一些降次的想法，角度之间的联系，以及
一些经典的模型，解三角形也会和三角恒等变形相关。三角代换的内容比较综合，数列，不等式，解析几何，函数，
复数等模块三角代换都是其中的重要方法.
第3 讲
33
精讲精练
【真题1】
设sin α > 0，cosα < 0，且sin α
3 > cos α
3 ，则α
3 的取值范围是( )
A.
(
2kπ + π
6 ,2kπ + π
3
)
，k ∈Z
B.
(
2kπ
3
+ π
6 , 2kπ
3
+ π
3
)
，k ∈Z
C.
(
2kπ + 5π
6 ,2kπ +π
)
，k ∈Z
D.
(
2kπ + π
4 ,2kπ + π
3
)
∪
(
2kπ + 5π
6 ,2kπ +π
)
，k ∈Z
【真题2】
设函数f (x) =
(
sin kx
10
)4
+
(
cos kx
10
)4
，其中k 是一个正整数．若对任意实数a，均有{ f (x)|a < x < a+1} =
{ f (x)|x ∈R}，则k 的最小值为
．
【真题3】
设ω 为正实数，若存在a、b(π ⩽a < b ⩽2π)，使得sinωa+sinωb = 2，则ω 的取值范围是
．
34
【真题4】
数列{an} 满足a1 = π
6 ，an+1 = arctan(secan)(n ∈N∗)．求正整数m，使得sina1 ·sina2 ·····sinam =
1
100．
【真题5】
设f(x) = sin2x+sinxcosx−2cos2x，则f(x) 的值域是
．
【真题6】
函数y = tan2013x+tan2015x−tan2014x 在[0,π] 中的零点个数是
．
第3 讲
35
【真题7】
设函数f (x) 对所有的实数x 都满足f (x+2π) = f (x)，求证：存在4 个函数fi (x)(i = 1,2,3,4) 满足：
(1) 对i = 1,2,3,4，fi (x) 是偶函数，且对任意的实数x，有fi (x+π) = fi (x)；
(2) 对任意的实数x，有f (x) = f1 (x)+ f2 (x)cosx+ f3 (x)sinx+ f4 (x)sin2x．
【真题8】
若实数α 满足cosα = tanα，则
1
sinα +cos4α 的值为
．
36
【真题9】
设x ⩾y ⩾z ⩾π
12，且x+y+z = π
2 ，求乘积cos xsin ycos z 的最大值和最小值
【真题10】
在△ABC 中，若sinA = 2sinC，且三条边a、b、c 成等比数列，则cosA 的值为
．
【真题11】
在△ABC 中，已知sinA = 10sinBsinC，cosA = 10cosBcosC，则tanA 的值为
．
【真题12】
△ABC 内接于单位圆，三个内角A,B,C 的平分线延长后分别交此圆于A1,B1,C1．
则
AA1 ·cos A
2 +BB1 ·cos B
2 +CC1 ·cos C
2
sinA+sinB+sinC
的值为( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
第3 讲
37
Part 2
三角函数基本性质与三角方程
精讲精练
【例1】
方程sin(3cosx)−2
√
sin(3cosx)·sin(2cosy)+1 = 0 的实数解(x,y) =
．
【例2】
满足sin(x+sinx) = cos(x−cosx) 的锐角x =
．
【例3】
若sinα +sinβ = sinγ，cosα +cosβ = −cosγ，则cos2α +cos2β +cos2γ =
．
【例4】
设x，y ∈R，且sin2x−cos2x+cos2xcos2y−sin2xsin2y
sin(x+y)
= 1，则x−y =
．
38
Part 3
三角恒等变形
精讲精练
【例5】
A,B,C 为△ABC 的三个内角，且cotA
2 +cotB
2 +cotC
2 −2(cotA+cotB+cotC) ⩾T．则Tmax =
．
【例6】
已知
sin3α
sin
(
π
6 −3α
) =
cos3α
cos
(
π
6 −3α
) =
√
3
(
α̸ = kπ
4 ,k ∈Z
)
．则tan 2α 的值是
．
【例7】
若0 < x < π
2 ．则tan x+cotx+
1
sinx −
1
cosx 的取值范围是
．
【例8】
已知f (x) = (sinx+4sinθ +4)2 +(cosx−5cosθ)2 的最小值为g(θ)．则g(θ) 的最大值是
．
【例9】
已知
cosα cos β
2
cos
(
α −β
2
) +
cosβ cos α
2
cos
(
β −α
2
) = 1，则cosα +cosβ 的值等于
．
第3 讲
39
Part 4
解三角形
精讲精练
【例10】
设△ABC 的内角A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且2acosC = 2b−c．
（1）求角A 的大小．
（2）若a = 1，求b+c 的取值范围．
40
【例11】
在△ABC 中，sin2A+sin2C = 2018sin2B，则(tanA+tanC)tan2B
tanA+tanB+tanC =
．
【例12】
平面上有四点A,B,C,D，其中A、B 为定点，且|AB| =
√
3，C、D 为动点，且|AD| = |DC| = |BC| = 1，记S△ABD = S 为
△ABD 的面积，S△BCD = T 为△BCD 的面积．则S2 +T 2 的取值范围是
．
【例13】
设M，N 是线段AB 上两点，AM
MB = 1
4，AN
NB = 3
2，以AB 为斜边任作Rt△ABC．再作MD⊥BC 于D，ME⊥AC 于
E,NF⊥BC 于F，NG⊥AG 于G，则比值y = MD+ME +NF +NG
AB+BC +AC
之最大可能值为
．
第3 讲
41
Part 5
三角函数综合
精讲精练
【例14】
设x，y ∈R 满足x−6√y−4√x−y+12 = 0，则x 的取值范围是
．
【例15】
若在△ABC 中A < B < C 且sinA+sinB+sinC
cosA+cosB+cosC =
√
3，则B =
．
【例16】
与三角式2
(
cos2θ +cosθ + 1
2
)(
cos4θ −cos3θ +cosθ −1
2
)
恒等的是( )
A. cos6θ +cos3θ + 1
2
B. cos6θ +cos3θ −1
2
C. cos5θ +cos4θ + 1
2
D. cos5θ +cos 4θ −1
2
42
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
设sinx+cosx = 1
2，则sin3x+cos2x =
．
【测试2】
在△ABC 中，内角A、B、C 所对的边分别是a、b、c．若a = 2，b = 3，C = 2A，则cosC =
．
第3 讲
43
拍摄区
【测试3】
设t ∈[0,2π)，并且满足(1+sint)(1+cost) = 5
4 +
√
6
2 ，则t 的值为
．
【测试4】
已知函数f (x) = sin4x．
（1）记g(x) = f (x)+ f
(
π
2 −x
)
，求g(x) 在
[
π
6 , 3π
8
]
上最大值与最小值．
（2）求f
(
π
180
)
+ f
(
2π
180
)
+ f
(
3π
180
)
+···+ f
(
88π
180
)
+ f
(
89π
180
)
的值．
第
讲
4
45
函数综合与导数
Part 1
经典真题
Part 2
不动点
Part 3
导数的定义与最值
Part 4
导数与不等式
Part 5
导数与数列
Part 6
一元微分学顶峰——泰勒
展开
Part 7
抽象函数与函数方程
46
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
函数综合
二次函数不动点
函数与数列综合
函数与不等式综合
导数（重点）
函数方程（难点）
模块分析
函数是高中代数中最重要的一块内容，这一讲主要是一些函数的综合问题，包括了：二次函数不动点、函数与
数列综合、函数与不等式综合。函数的综合问题一般都会结合导数来考察，通过导数来发现函数的单调性、值域等，
在通过放缩法、数学归纳法等方法来解决问题。最后一个模块是函数方程，这是一个难点，通常都是从赋值法入手，
代入特殊值、函数不动点、函数零点等，通过赋值发现函数单调性、奇偶性等性质，来解决问题。
精讲精练
【真题1】
若函数f (x) = x2 +a|x−1| 在[0,+∞) 上单调递增，则实数a 的取值范围是
．
【真题2】
设a，b 为实数，函数f (x) = ax+b 满足：对任意x ∈[0,1]，有|f (x)| ⩽1．则ab 的最大值为
．
第4 讲
47
【真题3】
设a、b 为不相等的实数，若二次函数f (x) = x2 +ax+b 满足f (a) = f (b)，则f (2) 的值为
．
【真题4】
已知α,β 是方程4x2 −4tx−1 = 0(t ∈R) 的两个不等实根，函数f(x) = 2x−t
x2 +1 的定义域为[α,β]．
（1）求g(t) = max f(x)−min f(x)；
（2）证明：对于ui ∈
(
0, π
2
)
(i = 1,2,3)，若sinu1 +sinu2 +sinu3 = 1，则
1
g(tanu1) +
1
g(tanu2) +
1
g(tanu3) < 3
4
√
6．
48
【真题5】
求证不等式：−1 <
( n
∑
k=1
k
k2 +1
)
−lnn ⩽1
2，n = 1,2…
【真题6】
设二次函数f (x) = ax2 +bx+c(a,b,c ∈R，a̸ = 0) 满足条件：
①当x ∈R 时，f (x−4) = f (2−x)，且f (x) ⩾x；
②当x ∈(0,2) 时，f (x) ⩽
(
x+1
2
)2
③f (x) 在R 上的最小值为0．
求最大的m(m > 1)，使得存在t ∈R，只要x ∈[1,m]，就有f (x+t) ⩽x．
第4 讲
49
【真题7】
设函数f (x) = ax2 +8x +3(a < 0)，对于给定的负数a，有一个最大的正数l (a)，使得在整个区间[0,l (a)] 上，不等
式|f (x)| ⩽5 都成立．
问：a 为何值时l (a) 最大？求出这个最大的l (a)，证明你的结论．
【真题8】
设f(x) = x2 +a．记f 1(x) = f(x)，f n(x) = f(f n−1(x))，n = 2,3,···，M = {a ∈R|∀n ∈N∗,|f n(0)| ⩽2}．
证明：M =
[
−2, 1
4
]
．
50
Part 2
不动点
精讲精练
【例1】
已知f (x) = x2 + px+q，且方程f (f (x)) = 0 有且只有一个解．求证p ⩾0,q ⩾0．
【例2】
已知函数f (x) = x2 +bx+c，方程f (x) = x 的两个根为x1,x2，且x1 −x2 > 2．
（1）求证：x1,x2 也是方程f (f (x)) = x 的根；
（2）设f (f (x)) = x 的另两个根是x3,x4，且x3 > x4，试判断x1,x2,x3,x4 大小
第4 讲
51
【例3】
已知函数f (x) = ax2 +(b+1)x+(b−1)(a̸ = 0)
（1）当a = 1,b = −2 时，求f (x) 不动点；
（2）对任意实数b，函数f (x) 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）在(2) 的条件下，若y = f (x) 的图象上A,B 两点的横坐标是f (x) 的不动点，且A,B 两点关于直线
y = kx+
1
2a2 +1 对称，求b 的最小值
52
【例4】
已知函数f (x) = ax，g(x) = lnx，其中a ∈R．
（1）若函数F (x) = f (x)−g(x) 有极值1，求a 的值．
（2）若函数G(x) = f [sin(1−x)]+g(x) 在区间(0,1) 上为增函数，求a 的取值范围．
（3）证明：
n
∑
k=1
sin
1
(k +1)2 < ln2．
第4 讲
53
Part 3
导数的定义与最值
精讲精练
【例5】
设点P，Q 分别在函数y = 2x 和y = log2x 的图象上，则|PQ| 的最小值=
．
【例6】
已知函数f (x) =
(
a−1
2
)
e2x +x(a ∈R)．
（1）若f (x) 在区间(−∞,0) 上单调递增，求实数a 的取值范围．
（2）若在区间(0,+∞) 上，函数f (x) 的图象恒在曲线y = 2aex 下方，求a 的取值范围．
54
【例7】
已知曲线C1 : f (x) = 1
2 (ex +e−x)，曲线C2 : g(x) = 1
2 (ex −e−x)，直线x = a 与曲线C1、C2 分别交于点A、B，曲线
C1 在点A 处的切线为l1，曲线C2 在点B 处的切线为l2．
（1）证明：直线l1 与l2 必相交，且交点到直线AB 的距离为定值．
（2）设a < 0，直线l1 与l2 的交点为P．若△PAB 为钝角三角形，求a 的取值范围．
第4 讲
55
Part 4
导数与不等式
精讲精练
【例8】
已知函数f (x) = mx−n
x
−lnx，m，n ∈R．
（1）若函数f (x) 在(2, f (2)) 处的切线与直线x−y = 0 平行，求实数n 的值；
（2）试讨论函数f (x) 在区间[1,+∞) 上最大值；
（3）若n = 1 时，函数f (x) 恰有两个零点x1，x2 (0 < x1 < x2)，求证：x1 +x2 > 2．
56
【例9】
已知函数f (x) = x
lnx，g(x) = k(x−1)，k ∈R．
（1）证明：对任意k ∈R，直线y = g(x) 都不可能是曲线y = f (x) 的切线；
（2）若存在x ∈
[
e,e2]
，使f (x) ⩽g(x)+ 1
2，求k 的取值范围．
第4 讲
57
【例10】
设函数f (x) = px−p
x −2lnx．
（1）若f (x) 在其定义域内为单调递增函数，求实数p 的取值范围；
（2）设g(x) = 2e
x ，且p > 0，若在[1,e] 上至少存在一点x0，使得f (x0) > g(x0) 成立，求实数p 的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数n，都有
n
∑
k=1
ln2
(
1+ 2
k
)
< 3 成立．
58
Part 5
导数与数列
精讲精练
【例11】
设f (x) = ex −cosx，x > 0．正数列{an} 满足a1 = 1，且当n ⩾2 时f (an) = an−1．求证：
（1）当n ⩾2 时，an−1 > an +a2
n；
（2）
n
∑
k=1
ak < 2√n．
【例12】
设函数f (x) = ex −1−x，
（1）求f (x) 在区间
[
0, 1
n
]
(n 为正整数) 的最大值bn；
（2）令an = e
1
n −1−bn，pk =
a2a4 ···a2k
a1a3 ···a2k−1
(n，k 为正整数)，求证：p1 + p2 +··· pn <
√2
an
+1−1．
第4 讲
59
【例13】
已知函数f (x) = 2cosx
(
cosx+
√
3sinx
)
−1，x ∈R．
（1）求函数f (x) 的单调递增区间；
（2）设点P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，···，Pn (xn,yn)，··· 都在函数y = f (x) 的图象上，且满足x1 = π
6 ，xn+1 −xn = π
2 (n ∈N∗)．
求y1 +y2 +···+y2018 的值．
Part 6
一元微分学顶峰——泰勒展开
精讲精练
【例14】
记函数fn(x) = 1+x+ x2
2! +···+ xn
n!，n = 1,2,···，证明：当n 是偶数时，方程fn(x) = 0 没有实根：当n 是奇数时，方
程fn(x) = 0 有唯一的实根θn，且θn > θn+2，
60
Part 7
抽象函数与函数方程
精讲精练
【例15】
证明：
（1）(f ◦g)−1 (x) =
(
g−1 ◦f −1)
(x)；
（2）设F (x) = f (−x),G(x) = f −1 (−x)，若F,G 互为反函数，则f (x) 为奇函数
【例16】
已知f (x) 为R 上的可导函数，且对任意的x0 ∈R，有0 < f ′ (x+x0)−f ′ (x0) < 4x(x > 0)．
（1）对任意的x0 ∈R，证明：f ′ (x0) < f (x+x0)−f (x0)
x
(x > 0)；
（2）若|f (x)| ⩽1,x ∈R，证明：|f ′ (x)| ⩽4．
第4 讲
61
【例17】
试求一切函数f : R →R，使得对一切实数x,y，均有f (f (x+y)) = f (x+y)+ f (x) f (y)−xy
【例18】
已知在R 上可导的非常数函数f (x) 与g(x) 满足：对任意的实数x,y，都有f (x+y) = f (x) f (y) −g(x)g(y)，
g(x+y) = f (x)g(y)+g(x) f (y)，且f ′ (0) = 0，求证：f 2 (x)+g2 (x) = 1
62
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
已知f (x) = m · 2x + x2 + nx，若{x|f (x) = 0} = {x|f (f (x)) = 0}̸ = ∅，则m + n 的取值范围
是
．
【测试2】
设函数f (x) = 1−e−x．
（1）证明：当x > 0 时，f (x) >
x
x+1．
（2）数列{an} 满足a1 = 1
3，ane−an+1 = f (an)，证明：数列{an} 递减且an < 1
2n ．
第4 讲
63
拍摄区
【测试3】
已知a 为常数，函数f (x) = ln
(
1−x
1+x
)
−ax．
（1）求函数f (x) 的单调递减区间．
（2）若a = −8
3，求f (x) 的极值．
64
拍摄区
【测试4】
若实数x0 满足f (x0) = x0，则称x = x0 为f (x) 的不动点．已知函数f (x) = x3 +ax2 +bx+3，其
中a、b 为常数．
（1）若a = 0，求函数f (x) 的单调递增区间．
（2）若a = 0 时，存在一个实数x0，使得x = x0 既是f (x) 的不动点，又是f (x) 的极值点．求实数
b 的值．
（3）求证：不存在实数组(a,b)，使得f (x) 互异的两个极值点皆为不动点．
第
讲
5
65
不等式基础
Part 1
经典真题
Part 2
常用的不等式解法
Part 3
均值不等式
Part 4
柯西不等式
66
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
不等式
基本的不等式方法
作差作商
分析法
放缩法
归纳法
均值不等式
添减项
配系数
换元（换分母、轮换换元）
增量代换（加法、乘法代换）
柯西不等式
方法与均值类似
特殊的权方和不等式
模块分析
不等式是代数中的经典，联赛对不等式的考察十分重视，早年二试的代数题，基本都是不等式，国内外的比赛
里也有很多经典的不等式题目，近些年单纯的不等式考察越来越少，但不等式仍然是联赛中十分重要的一个模块。
一试对于不等式的考察比较基础，用到的知识点很少，主要是一些技巧的灵活运用。一试的不等式题目大概有三
个方向：1. 数列函数综合题目中用到不等式放缩，这类一般是大题的最后一问，需要根据具体的题目式子做出不同
的处理；2. 均值不等式，均值不等式是最基本的一个不等式，联赛对于均值不等式的考察十分灵活，相当于一个工
具，很少有单独拎出来作为题目考察，需要同学们掌握均值不等式几个基本的技巧：添减项、调整系数、整体换元、
增量代换等等。而且如果能注意到取等条件，通常可以帮助我们找到式子变形的方向；3. 柯西不等式，柯西不等式
的技巧和均值不等式差不多，两者也有很多关联，这里不再赘述。
第5 讲
67
精讲精练
【真题1】
设实数a 满足a < 9a3 −11a < |a|，则a 的取值范围是
．
【真题2】
求证：16 <
80
∑
i=1
1
√
k
< 17．
【真题3】
使关于x 的不等式√x−3+
√
6−x ⩾k 有解的实数k 的最大值是
．
【真题4】
设a,b 为正实数，1
a + 1
b ⩽2
√
2，(a−b)2 = 4(ab)3，则logab =
．
68
【真题5】
已知a,b 为正实数，且1
a + 1
b = 1．试证：对每一个n ∈N∗，(a+b)n −an −bn ⩾22n −2n+1．
【真题6】
已知a1,a2,··· ,an 是n 个正数，满足a1 ·a2 ···an = 1．求证：(2+a1)(2+a2)···(2+an) ⩾3n．
【真题7】
方程(x2006 +1)(1+x2 +x4 +···+x2004) = 2006x2005 的实数解的个数为
．
第5 讲
69
【真题8】
设x1、x2、x3 是非负实数，满足x1 +x2 +x3 = 1，求(x1 +3x2 +5x3)
(
x1 + x2
3 + x3
5
)
的最小值和最大值．
【真题9】
求函数f (x) = √2x−7+√12−x+√44−x 的最大值．
【真题10】
设x,y,z ∈[0,1]，则M =
√
|x−y|+
√
|y−z|+
√
|z−x| 的最大值是
．
70
【真题11】
将2006 表示成5 个正整数x1,x2,x3,x4,x5 之和．记S =
∑
1⩽i<j⩽5
xixj．问：
（1）当x1,x2,x3,x4,x5 取何值时，S 取到最大值．
（2）进一步地，对任意1 ≤i, j ≤5 有
xi −xj
≤2，当x1,x2,x3,x4,x5 取何值时，S 取到最小值．说明理由．
【真题12】
用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1 > a2 > a3 > a4 > a5 > a6) 电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选
取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．
第5 讲
71
Part 2
常用的不等式解法
精讲精练
【例1】
设a+b = 1，b > 0，a̸ = 0，则1
|a| + 2|a|
b
的最小值为
．
【例2】
设a,b,c ∈R+，试证：对任意实数x,y,z 有x2+y2+z2 ⩾2
√
abc
(a+b)(b+c)(c+a)
(√
a+b
c
xy+
√
b+c
a
yz+
√
c+a
b
xz
)
．
【例3】
设0 < a < b，证明：lnb−lna
b−a
<
1
√
ab
．
72
【例4】
设α、β 为实数，n 为正整数，且0 ⩽β ⩽α ⩽π
4 ，n > 1．
（1）证明tanα −tanβ
1+tan2α
⩽α −β，并判断等号成立的条件．
（2）证明
n
∑
k=1
1
n2 +k2 < π
4n．
【例5】
设实数x1,x2,···,x2018 满足x2
n+1 ⩽xnxn+2 (n = 1,2,···,2016) 和
2018
∏
n=1
xn = 1，证明：x1009x1010 ⩽1．
第5 讲
73
【例6】
设a1,a2,··· ,an 为非负数．求证：
√a1 +a2 +···+an +√a2 +a3 +···+an +√a3 +···+an +···+√an ⩾
√
a1 +4a2 +9a3 +···+n2an．
【例7】
将2n(n ⩾2) 个不同整数分成两组a1,a2,···,an；b1,b2,···,bn．证明
∑
1⩽i⩽n
1⩽j⩽n
ai −bj
−
∑
1⩽i<j⩽n
( aj −ai
+
bj −bi
)
⩾n．
74
Part 3
均值不等式
精讲精练
【例8】
已知a1，a2，···，a9 为1，2，···，9 的任意一个排列，则a1a2a3 +a4a5a6 +a7a8a9 的最小值为
．
【例9】
设x，y，z ∈R∗，满足x+y+z = xyz，则函数f (x,y,z) = x2 (yz−1)+y2 (zx−1)+z2 (xy−1) 的最小值是
．
【例10】
求证：对于任意实数x，y，z 都有x2 +2y2 +3z2 ⩾
√
3(xy+yz+zx)．
第5 讲
75
【例11】
设x，y，z 为正实数，求
(
x+ 1
y +
√
2
)(
y+ 1
z +
√
2
)(
z+ 1
x +
√
2
)
的最小值．
【例12】
设x、y、z 是三角形的三边长且x+y+z = 1，求实数λ 的最小值使λ (xy+yz+zx) ⩾3(λ +1)xyz+1 恒成立．
76
【例13】
设x1,x2,...,xn 是正实数，求证：
(1+x1)(1+x1 +x2)(1+x1 +x2 +x3)...(1+x1 +...+xn) ⩾
√
(n+1)n+1x1x2...xn．
【例14】
设x,y,z > 0,xyz ⩾1，求证27 ⩽(1+x+y)2 +(1+y+z)2 +(1+z+x)2 ⩽3(x+y+z)2．
第5 讲
77
Part 4
柯西不等式
精讲精练
【例15】
已知正数a，b 满足a+b = 1，求M =
√
1+2a2 +2
√(
5
12
)2
+b2 的最小值．
【例16】
设a1,a2,··· ,an 均为正整数，n ∈N∗．证明：
n
∑
k=1
k2
a1 +a2 +···+ak
< 4
n
∑
k=1
k
ak
．
78
【例17】
设a,b,c 是正实数，证明：bc
a2 +bc +
ca
b2 +ca +
ab
c2 +ab ⩽
a
b+c +
b
c+a +
c
a+b．
【例18】
正实数x，y，z 满足x2 +y2 +z2 = 1．求
x
1−x2 +
y
1−y2 +
z
1−z2 的最小值．
【例19】
设xi ⩾0(i = 1,2,...,n)，且
n
∑
i=1
x2
i +2
∑
1⩽k<j⩽n
√k
jxkxj = 1，求
n
∑
i=1
xi 的最大值和最小值．
第5 讲
79
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
设a,b ∈[0,1]，则S =
a
1+b +
b
1+a +(1−a)(1−b) 的最大值和最小值为？
【测试2】
已知x1，x2，...，x57 都是正整数，且x1 +x2 +...+x57 = 100．则x2
1 +x2
2 +...+x2
57 的最大值是
．
80
拍摄区
【测试3】
设正实数a,b,c 满足：abc = 1，求证：对于整数k ⩾2，有
ak
a+b +
bk
b+c +
ck
c+a ⩾3
2．
【测试4】
已知数列{an} 中，a1 = 1，a2 = 1
4，且an+1 = (n−1)an
n−an
，n = 2，3，4，···．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）求证：对一切n ∈N∗，有
n
∑
k=1
a2
k < 7
6．
第
讲
6
81
不等式应用
Part 1
经典真题
Part 2
函数与不等式
Part 3
三角与不等式
Part 4
数列与不等式
Part 5
图形与不等式
Part 6
基本不等式应用
82
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
不等式
基本的不等式方法
作差作商
分析法
放缩法
归纳法
均值不等式
添减项
配系数
换元（换分母、轮换换元）
增量代换（加法、乘法代换）
柯西不等式
方法与均值类似
特殊的权方和不等式
模块分析
不等式是代数中的经典，联赛对不等式的考察十分重视，早年二试的代数题，基本都是不等式，国内外的比赛
里也有很多经典的不等式题目，近些年单纯的不等式考察越来越少，但不等式仍然是联赛中十分重要的一个模块。
一试对于不等式的考察比较基础，用到的知识点很少，主要是一些技巧的灵活运用。一试的不等式题目大概有三
个方向：1. 数列函数综合题目中用到不等式放缩，这类一般是大题的最后一问，需要根据具体的题目式子做出不同
的处理；2. 均值不等式，均值不等式是最基本的一个不等式，联赛对于均值不等式的考察十分灵活，相当于一个工
具，很少有单独拎出来作为题目考察，需要同学们掌握均值不等式几个基本的技巧：添减项、调整系数、整体换元、
增量代换等等。而且如果能注意到取等条件，通常可以帮助我们找到式子变形的方向；3. 柯西不等式，柯西不等式
的技巧和均值不等式差不多，两者也有很多关联，这里不再赘述。
第6 讲
83
精讲精练
【真题1】
不等式|x|3 −2x2 −4|x|+3 < 0 的解集是
．
【真题2】
若对于任意实数x，|x+a|−|x+1| ⩽2a 恒成立，则实数a 的最小值为
．
【真题3】
若实数a，b 满足条件
a+b−2 ⩾0
b−a−1 ⩽0
a ⩽1
，则a+2b
2a+b 的最大值等于
．
84
【真题4】
已知实数x，y 满足：1+cos2 (x+y−1) = x2 +y2 +2(x+1)(1−y)
x−y+1
，求xy 的最小值．
【真题5】
若a，b，c > 0，1
a + 2
b + 3
c = 1，则a+2b+3c 的最小值为
．
【真题6】
若2a +2b = 2a+b，2a +2b +2c = 2a+b+c，则2c 的最大值是
．
第6 讲
85
【真题7】
当0⩽x⩽1 时，存在正数β，使得代数式√1+x +√1−x + xa
2β 的最大值为2 的最小正数α，此时最小的正数为β，
则α +β =
．
【真题8】
若正实数x，y 满足y > 2x，则y2 −2xy+x2
xy−2x2
的最小值是
．
【真题9】
设3
2 ⩽x ⩽5，证明：2√x+1+√2x−3+
√
15−3x < 2
√
19．
86
【真题10】
x，y，z 是正实数，且满足x+y+z = 1，求
x4
y
(
1−y2) +
y4
z
(
1−z2) +
z4
x
(
1−x2) 的最小值．
【真题11】
给定正数a，b，c，d，试证明a3 +b3 +c2
a+b+c
+ b3 +c3 +d3
b+c+d
+ c3 +d3 +a3
c+d +a
+ d3 +a3 +b3
d +a+b
⩾a2 +b2 +c2 +d2．
第6 讲
87
Part 2
函数与不等式
精讲精练
【例1】
设函数f (x) = ax2 +bx+c(a̸ = 0) 满足|f (0)| ⩽2，|f (2)| ⩽2，|f (−2)| ⩽2，求当x ∈[−2,2] 时y = |f (x)| 的最大值．
【例2】
设f (x) 是定义在R 上的函数，满足
f (x)+cos2x
⩽3
4，
f (x)−sin2x
⩽1
4，则函数f (x) =
．
【例3】
如果关于x 的不等式|x+a| < |x|+|x+1| 的解集是R，则a 的取值范围是
．
88
【例4】
当|x| ⩽1 时，不等式2px2 +qx−p+1 ⩾0 恒成立，试求p+q 的最大值为
．
【例5】
已知f (x) = 2ln(x+1)+
1
x(x+1) −1．
（1）求f (x) 在区间[1,+∞) 上的最小值．
（2）利用函数f (x) 的性质，求证：ln1+ln2+ln3+···+lnn > (n−1)2
2n
(n ∈N∗，且n ⩾2)；
第6 讲
89
Part 3
三角与不等式
精讲精练
【例6】
已知∠A 为锐角，则
√
sin4A+1+
√
cos4A+4 的最小值为
．
【例7】
已知实数x、y 满足17
(
x2 +y2)
−30xy−16 = 0，则
√
16x2 +4y2 −16xy−12x+6y+9 的最大值是( )
A. 7
B.
√
29
C.
√
19
D. 3
【例8】
设a，b > 0 且a2 +b2 = 1．已知sinα +sinβ +sinγ ⩾3a
(
0 < α,β,γ < π
2
)
．求证：cosα +cosβ +cosγ ⩽3b，并求
不等式取等号的条件．
90
Part 4
数列与不等式
精讲精练
【例9】
已知数列{an} 满足：a1 = 1，an+1 = 1
8a2
n +m(n ∈N∗)，若对任意正整数n，都有an < 4，求实数m 的最大值．
【例10】
已知数列{an} 满足：a1 = π
3 ，0 < an < π
3 ，sinan+1 ⩽1
3 sin3an (n ⩾2)，求证：sinan < 1
√n．
第6 讲
91
Part 5
图形与不等式
精讲精练
【例11】
非空集合A =
(x,y)
ax−2y+8 ⩾0
x−y−1 ⩽0
2x+ay−2 ⩽0
，当(x,y) ∈A 时，目标函数z = y−x 既存在最大值，又存在最小值，则
实数a 的取值范围是
．
【例12】
已知复数z 满足|z| = 1，则
z2 −z+1
的最大值为
．
【例13】
已知平面凸四边形ABCD 的面积为1．求证：|AB|+|AC|+|AD|+|BC|+|BD|+|CD| ⩾4+2
√
2．
92
Part 6
基本不等式应用
精讲精练
【例14】
已知a > 0，b > 0．求证：(a+b)2
2
+ a+b
4
⩾a
√
b+b√a(等号成立当且仅当a = b = 1
4)．
【例15】
已知a，b，c > 0 且a+3b+c = 9，则a+b2 +c3 的最小值的整数部分为
．
第6 讲
93
【例16】
已知数组(a1,a2,··· ,an) 与(b1,b2,··· ,bn) 都是1,2,··· ,n 的一个排列，则
n
∑
i=1
aibi 的最大值为
．
【例17】
设a,b,c ≥0，求证：
a
√
a+b +
b
√
b+c +
c
√c+a ≥
√a+
√
b+√c
√
2
【例18】
设a,b,c > 0，证明：∑
√
a3
a2 +ab+b2 ≥
√a+
√
b+√c
√
3
94
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
已知不等式lnx−a
(
1−1
x
)
⩾0 对任意的x ⩾1 均成立，求实数a 的取值范围．
【测试2】
在非钝角三角形ABC 中，证明：sinA+sinB+sinC > 2．
第6 讲
95
拍摄区
【测试3】
已知数列{an} 满足：a1 = 2，a2 = 3，2an+1 = 3an −an−1 (n ⩾2)．
（1）求数列{an} 的通项公式an．
（2）求使不等式
an −m
an+1 −m < 2
3 成立的所有正整数m、n 的值．
【测试4】
已知a、b、c 为正实数，求证：
√
a2 +3bc
a
+
√
b2 +3ac
b
+
√
c2 +3ab
c
⩾6．
第
讲
7
97
数列1
Part 1
经典真题
Part 2
等差数列与等比数列
Part 3
数列求和
Part 4
数列递推
98
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
数列
数列的定义
等差数列与等比数列
数列求和
倒序相加法
错位相减法
裂项相消法
递推数列
叠加法
待定系数法
整体代换
迭代相减法
不动点
特征方程
归纳法
数学归纳法
数列与不等式
极限
模块分析
数列可看作是一个定义域为正整数集的函数，因此通常会与函数和数论联系起来。联赛一试中考察数列的基
本性质时，往往会结合一些简单的数论来考，而考察数列求和与数列递推时，与高考题的差距通常只有一步恒等变
形或是不等式放缩，因此需要多注重平时的方法积累。此外归纳法的应用也是考察的重中之重，需要熟练掌握。
第7 讲
99
精讲精练
【真题1】
在等比数列{an} 中，a2 =
√
2，a3 =
3√
3，则a1 +a2011
a7 +a2017
的值为
．
【真题2】
公差为4 的有限项的等差数列，它的首项的平方与其余所有项之和不超过100．这个等差数列最多可以有
项．
【真题3】
各项均为实数的等比数列{an} 的前n 项之和为Sn，若S10 = 10，S30 = 70 求S40．
100
【真题4】
已知等差数列{an} 的公差d 不为0，等比数列{bn} 的公比q 是小于1 的正有理数．若a1 = d，b1 = d2，且
a2
1 +a2
2 +a2
3
b1 +b2 +b3
是正整数，则q 等于
．
【真题5】
给定正数p,q,a,b,c，其中p̸ = q，若p,a,q 是等比数列，p,b,c,q 是等差数列，则一元二次方程bx2−2ax+c = 0( )
A. 无实根
B. 有两个相等实根
C. 有两个同号相异实根
D. 有两个异号实根
【真题6】
已知{an} 是公差不为0 的等差数列，{bn} 是等比数列，其中a1 = 3,b1 = 1,a2 = b2,3a5 = b3，且存在常数α,β 使得
对每一个正整数n 都有an = logαbn +β，则α +β =
．
第7 讲
101
【真题7】
设{an} 为等差数列，{bn} 为等比数列，且b1 = a12，b2 = a22，b3 = a32a1 < a2，又lim
n→+∞(b1 +b2 +···+bn) =
√
2+1，
试求{an} 的首项与公差．
【真题8】
数列{an} 满足a1 = 2，an+1 = 2(n+2)
n+1
an (n ∈N∗)，则
a2014
a1 +a2 +···+a2013
=
．
【真题9】
设两个严格递增的正整数数列{an}、{bn} 满足：a10 = b10 < 2017，对任意正整数n，有an+2 = an+1 +an，bn+1 = 2bn，
则a1 +b1 的所有可能值为
．
102
【真题10】
已知数列a0,a1,a2,···,an,··· 满足关系式(3−an+1)(6+an) = 18，且a0 = 3，则
n
∑
i=0
1
ai
的值是
．
【真题11】
设数列{an} 的前n 项和Sn 满足：Sn +an =
n−1
n(n+1)，n = 1,2,···，则通项an =
．
【真题12】
已知数列{an} 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有(a1 +a2 +···+an)2 = a3
1 +a3
2 +···+a3
n
（1）当n = 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3；
（2）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013 = −2012？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不
存在，说明理由
第7 讲
103
Part 2
等差数列与等比数列
精讲精练
【例1】
等比数列{an} 的前n 项和为Sn，并且对任意正整数n 成立Sn+2 = 4Sn +3，则a2 的值是( )
A. 2
B. 6
C. 2 或6
D. 2 或−6
【例2】
等差数列{an} 前n 项的和为Sn，已知S25
a23
= 5，S45
a33
= 25，则S65
a43
的值是( )
A. 125
B. 85
C. 45
D. 35
【例3】
设等差数列{an} 满足：sin2a3 −cos2a3 +cos2a3cos2a6 −sin2a3sin2a6
sin(a4 +a5)
= 1，公差d ∈(−1,0)．若当且仅当n = 9 时，
数列{an} 的前n 项和Sn 取得最大值，则首项a1 的取值范围是( )
A.
(
7π
6 , 4π
3
)
B.
(
4π
3 , 3π
2
)
C.
[
7π
6 , 4π
3
]
D.
[
4π
3 , 3π
2
]
104
【例4】
在等比数列{an} 中，a2 = 2，q 是公比．记Sn 为数列{an} 的前n 项和，Tn 为数列
{
a2
n
}
的前n 项和．若S2n = 2Tn，
求q 的值．
【例5】
{an} 是公差为d 的等差数列，证明数列中任(不同) 两项之和仍是这个数列中一项的充分必要条件是，存在整数
m ⩾−1，使得a1 = md.
【例6】
设正整数列a1,a2,a3,a4 是等比数列，其公比r 不是整数而且r > 1．这样的数列中a4 可取到最小值是
．
第7 讲
105
Part 3
数列求和
精讲精练
【例7】
已知Sn = |n−1|+2|n−2|+3|n−3|+···+10|n−10|，n ∈N∗，则Sn 的最小值为
．
【例8】
若Sn = n!·
(
1
2! + 2
3! + 3
4! +···+
n
(n+1)! −1
)
，则S2013 =
．
【例9】
计算
2014
∑
k=1
[
−3+
√
8k +1
4
]
=
．
106
【例10】
数列{xn}：x1 = 1,xn+1 = 3x3
n +2x2
n +xn；数列{yn}：yn =
1
1+2xn +3x2
n
；数列{zn}：zn =
2+3xn
1+2xn +3x2
n
．若{yn} 前n
项乘积为P，{zn} 前n 项和为S．求证：S+P = 1．
Part 4
数列递推
精讲精练
【例11】
已知{an} 是非负整数组成的数列，满足a1 = 0，a2 = 3，且an+1an = (an−1 +2)(an−2 +2)(n ⩾3)．
若Sn 是数列{an} 的前n 项和，求证：Sn ⩽n(n+1)
2
，并指出等号成立的条件．
第7 讲
107
【例12】
设x1 = 1，xn = xn−1 −1
2xn−1 +4，n ⩾2，则数列{xn} 的通项公式是xn =
．
【例13】
已知数列{an} 满足a1 = 1，an+1 = 3an +2
√
2a2n −1，n ∈N∗．
（1）证明：数列{an} 是正整数数列．
（2）是否存在m ∈N∗，使得2015|am ，并说明理由．
108
【例14】
已知正数数列{an} 的前n 项和为Sn，且满足：a2
n +an −2Sn = 0，cn = anbn，
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）若b1 = 1，2bn −bn−1 = 0(n ⩾2，n ∈N∗)，求：数列{cn} 的前n 项和Tn．
（3）是否存在整数m、M，使得m < Tn < M 对任意正整数n 恒成立，且M −m = 4？说明理由．
第7 讲
109
【例15】
数列{an}，适合条件a1 = 1，a2 = 2，a3 = 3，a4 = 4，a5 = 5，a6 = 119，
当n ⩾5 时，an+1 = a1a2 ...an −1．证明：a2
1 +a2
2 +...+a2
70 = a1a2 ...a70．
【例16】
数列{an},{bn} 满足：a0 = b0 = 1，an = 5an−1 +7bn−1,bn = 7an−1 +10bn−1 (n = 1,2,···)，
证明：∀m,n ∈N，am+n +bm+n = aman +bmbn．
【例17】
设σ = {a1,a2,··· ,an} 为(1,2,··· ,n) 的一个排列，记F (σ) =
n
∑
i=1
aiai+1，an+1 = a1，求minF (σ)．
110
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
数列{an} 定义如下：a1 = 1 且当n ⩾2 时，an =
a n
2 +1,n为偶数
1
an−1
,n为奇数
若an = 29
11，则正整数
n =
．
【测试2】
数列{an} 满足a1 = p，an+1 = a2
n +2an，则通项an =
．
第7 讲
111
拍摄区
【测试3】
已知递推式an+1 =
(
an +2−
√
2−a2n
2
) 1
2
(n ∈N)，a0 =
√
2
2 ．则通项公式an =
．
【测试4】
已知数列{an} 满足a1 = 1
3，an−1
an
= 2nan−1 +1
1−an
(n ⩾2)．试求
∞
∑
n=2
n(an −an+1) 的值．
1119092614293
