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专题13 三角函数图象、性质及其应用
（精选高考模拟题）
目录
一、三角函数图形和性质..............................................1
二、三角函数中图象的变化............................................6
三、根据图象求解析式................................................9
四、结合三角函数图象变化求三角函数性质.............................16
一、三角函数图形和性质
1．（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知
，
是函数
图象上两条相邻的对称轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得：
，故
，
则当
时，
，
又
，故
.
故选：A.
2．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）已知函数
为奇函数，则参数
的一个可能值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
1
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【详解】
是奇函数，并在
时有意义，
，
对于A 项，
，故A 项错误；
对于B 项，
，故B 项错误；
对于C 项，
，
又
，
即
，
所以
，即
，
所以
是奇函数，故C 项正确；
对于D 项，
，故D 项错误.
故选：C.
3．（2023·四川成都·校联考二模）将函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来
的
，纵坐标不变，得到函数
的图象．若
在
上有且仅有3 个极值点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题可知，
，当
时，
．
因为
在
上有且仅有3 个极值点，所以
，解得
，
所以
的取值范围为：
．
故选：C.
2
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4．（2023·江西九江·统考一模）已知函数
(
)的最小正周期为
，
的图像关于
点
对称，
．若
在
上存在最大值
，则实数
的最小值是 ．
【答案】
【详解】
，
，
，即
，
又
，
，
，
当
时，
，因为
在
上存在最大值
，
所以
，解得
，即
．
故答案为：
5．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知函数
，现将该函数图
象先向左平移
个应位长度，再将图象上各点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，得到函数
的
图象，已知函数
在区间
上是单调的，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，
由题意，
，
当
时，由
，则
，
由
在
上单调，
则
，可得不等式组
，解得
；
3
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或
，可得不等式组
，解得
，
由
，解得
，由
，则
，则
.
综上，
的取值范围为
.
故答案为：
.
6．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数
的图象关于直线
对称，将
函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，则下列判断正确的是 .（请将所
有正确答案的序号写在横线上）
①
的图象关于点
对称；②
的图象关于点
对称；③
在
上单调递增；④
的图象关于直线
对称.
【答案】①②④
【详解】因为函数
的图象关于直线
对称，所以
，所以
，又
，所以
，所以
，所以
，所以
的图象关于点
对称，故①正确；
将函数
的图象向左平移
个单位长度得到函数
的图象，所以
，
所以
的图象关于点
对称，故②正确；
令
，得
，当
时，得函数
在
上单调递增，所以函数
在
上不单调递增，故③错误；
令
，得
，当
时，得函数
的图象关于直线
对称，故④
4
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正确.综上，正确的结论有①②④.
故答案为：①②④.
7．（2023·北京海淀·统考二模）设函数
，
①若
，则不等式
的解集为 ；
②若
，且不等式
的解集中恰有一个正整数，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】①当
时，
和
的图象如图所示，
由图象可得当
时，
；
②当
时，
的图象如图所示，
若不等式
的解集中恰有一个正整数，
则由图象可得
，即
，解得
，
故答案为：
；
5
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8．（2023·广东湛江·统考二模）若函数
在
上具有单调性，且
为
的一个零点，则
在
上单调递 （填增或减），函数
的零点个数
为 ．
【答案】 增 9
【详解】因为
在
上具有单调性，
所以
，即
，
．
又因为
，
所以
，即
，
只有
，
符合要求，此时
．
当
时，
，
所以
在
上单调递增．
因为
的最大值为1，而
，
，
作出函数
与
的图象，由图可知，这两个函数的图像共有9 个交点，所以函数
的零点个数为9．
故答案为：增；9.
二、三角函数中图象的变化
1．（2023·甘肃陇南·统考一模）将函数
图像上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不
6
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变，再将图像向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，以下方程是函数
图像的对称轴
方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】将函数
的图像上各点的横坐标缩短到原来的
，
纵坐标不变，得到函数
的图像，
再将图像向右平移
个单位长度，
得到
，
其图像的对称轴满足
，
即
，
令
时，有
，
故选：C.
2．（2023·四川南充·统考三模）已知点
是函数
的一个对称中心，则为
了得到函数
的图像，可以将
图像（ ）
A．向右平移
个单位，再向上移动1 个单位
B．向左平移
个单位，再向上移动1 个单位
C．向右平移
个单位，再向下移动1 个单位
D．向右平移
个单位，再向下移动1 个单位
【答案】A
【详解】因为点
是函数
的一个对称中心，
所以
，
所以
，
7
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又
，所以
，
所以
所以要得到函数
的图像则只需将
图像：
向右平移
个单位，再向上移动1 个单位，
故选：A.
3．（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）要得到函数
图象，只需把函数
的
图象（ ）
A．向右平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移
个单位
D．向左平移
个单位
【答案】A
【详解】因为
，
为了得到函数
图象，只需把函数
的图象向右平移
个单位，
故选：A.
4．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）函数
（其中
）的图像如图
所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期是
B．
C．为了得到
的图像，只需将
的图像向左平移
个单位长度
D．为了得到
的图像，只需将
的图像向左平移
个单位长度
8
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【答案】BD
【详解】对A，由图可知，
，最小正周期
满足
，所以
，
所以函数
的最小正周期是
，故A 错误；
对B，
，即
，将
代入可得
，得
，
又
，所以
，故B 正确；
对C，由上述结论可知
，为了得到
，应将函数
向左平移
个单位长度.故C
错误，D 正确.
故选：BD.
5．（2023·河北·模拟预测）把函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变），再
把所得图象上所有点的纵坐标缩短到原来的
倍（横坐标不变），最后把所得图象向右平移
个单位长
度，得到函数
的图象，则
的解析式可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】把函数
的图象,向左平移
个单位长度,
得到
的图象,
再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变),得到
的图象,
最后把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的3 倍(纵坐标不变),
得到
的图象.
9
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.
故选：BD.
三、根据图象求解析式
1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）.函数
的部分图
象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
在
上单调递增
D．将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象
【答案】D
【详解】对于A，由图象得函数
的周期
，A 错误；
对于B，由图象得
，
，即有
，
又图象过点
，则
，即
，
又
，于是
，因此
，B 错误；
对于C，因为
，所以
，
，
而
，即有
，即
，则
，
在
上不单调，C 错误；
对于D，因为
，将函数
的图象向左平移
个单位，
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得
的图象，D 正确.
故选：D
2．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）函数
的部分图象如
图所示，将
的图象向右平移
个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到
的图象，给出下列说法：
①
；
②
图象的一条对称轴为直线
；
③
在区间
上单调递增；
④若
在区间
上恰有12 个零点，则的取值范围为
．
其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①
B．②④
C．①③
D．②③④
【答案】B
【详解】当
时，
，则
．
由题图可知，0 在单调递增区间内，
所以
，
，又
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
，解得
．
由题图可知，
，所以
，所以
，
11
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又因为
，所以
，所以
，所以
，故①错误；
因为
，所以
图象的一条对称轴为直线
，故②正确；
当
时，
，
因为
在区间
上先增后减，所以
在区间
上先增后减，故③错误；
将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
的图象，
再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数
的图象，
当
时，
，若
在
上恰有12 个零点，
则
，解得
，即t 的取值范围为
，故④正确．
故说法正确的是②④.
故选：B．
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
的部分
图象如图，则（ ）
A．
B．
C．点
为曲线
的一个对称中心
D．将曲线
向右平移
个单位长度得到曲线
【答案】D
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【详解】由图象知：
，解得
，
将点
的坐标代入
得
，
由图象可知，点
在
的下降部分上，且
，
所以
，所以A 不正确；
将点
的坐标代入
，得
，
即
，所以
，
所以
，所以B 不正确；
令
，解得
，
取
，则
,所以对称中心为
，所以C 不正确；
将曲线向右平移
个单位长度得到曲线
，所以D 正确；
故选：D.
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，
则下列说法正确的是（ ）
A．
的最小值是
B．
的最小正周期为
C．
在区间
上单调递增
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D．将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象
【答案】A
【详解】由图象可得：函数
的最小正周期
满足
，
即函数
的最小正周期
，所以B 选项错误；
因为
，且
，所以
，即
，
又知图象过
和
，
则有
，即
，则
，其中
，
又
，
，所以取
，即
，
，
所以函数
，
即
，则
的最小值为
，所以A 选项正确；
当
时，
，
又
，
取得最小值，
所以
在
不是单调函数，所以C 选项错误；
将
的图象向右平移
个单位长度后得到
，所以D 选项错误，
故选：A.
5．（多选）（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）函数
的部分图
象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
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A．
B．
在区间
上单调递减
C．将
的图象向左平移
个单位所得函数为奇函数
D．方程
在区间
内有4 个根
【答案】BCD
【详解】由图可得：
，又
，
所以
，
因为
，
所以
，
故
，又
，
所以
故
，所以A 错误；
因为
，所以
，
所以
在区间
上单调递减，故B 正确；
的图象向左平移
个单位所得函数为
，该函数为奇函数，故C 正确；
因为
，所以
，由
得：
或
或
或
，
解得
或
或
或
，
故有4 个根，所以D 正确.
故选：BCD.
6．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知函数
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的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，若方程
在
上有解，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数的图象知：
，则
，
所以
，
，
因为
，
所以
，则
，
又因为
，则
，
所以
；
（2）由题意得：
，
令
，
则
化为：
，
即
在
上有解，
由对勾函数的性质得：
，
16
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所以
.
四、结合三角函数图象变化求三角函数性质
1．（多选）（2023·黑龙江大庆·统考二模）（多选）函数
（
，
，
）
的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数
的周期是
B．函数
的图象关于直线
对称
C．函数
在
上单调递减
D．该函数的图象可由
的图象向左平行移动
个单位长度得到
【答案】AC
【详解】观察图象可得函数
，
，的最小值为
，故
设函数
的最小正周期为
，由图象知
，
则
，故
，故A 正确；
由
可得
，又
，
所以
，
所以
，
因为
，故B 错误；
由
，
可得
，
，
17
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所以
的单调递减区间为
，
取
知，函数
在
上单调递减，
，故C 正确；
的图像向左平移
个单位后得到
，故D 错误．
故选：AC．
2．（2023·江苏南京·南京师大附中校考一模）已知函数
在一个周期内的图象如图所示．
(1)求函数
的表达式；
(2)把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
纵坐标不变，再把得到的图象向下平移一个单
位，再向左平移
个单位，得到函数
的图象，若
，求函数
的值域．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据函数图象可得
，
，
，
，
，得
，
，
又
，
，
，
18
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，
，得
，
，
又
，
，
；
（2）把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
纵坐标不变得到
，
再向下平移一个单位得到
，
再向左平移
个单位得到
，
，
当
时，
，
又函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，即
值域为
3．（2023·陕西安康·统考一模）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数
的解析式；
(2)将函数
图象上所有的点向右平移
个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的
2 倍（纵坐标不变），得到函数
的图象.当
时，方程
恰有三个不相等的实数
根，
，求实数a 的取值范围以及
的值.
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【答案】(1)
(2)
，
【详解】（1）由图示得：
，解得：
，
又
，所以
，所以
，
所以
.
又因为
过点
，所以
，即
，
所以
，解得
，
又
，所以
，所以
.
（2）
图象上所有的点向右平移
个单位长度，得到
，
将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），得到
，
当
时，
，
令
，则
，
令
，在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递增，
且
，
,
所以
时，.当
时，方程
恰有三个不相等的实数根.
因为
有三个不同的实数根
，
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且
关于
对称，
关于
对称，
则
，
两式相加得：
，
即
，所以
.
4．（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知函数
的部分图象如图所
示，若将函数
图象上所有的点向右平移
个单位长度得到函数
的图象，则
的值为 ．
【答案】
/
【详解】由
的图象可知
，
故
，则
，
则
,即
，
而
，故
，所以
，
则
，
故
，
故答案为：
5．（2023·宁夏吴忠·统考模拟预测）已知函数
，如图是
的部分图象，则
在区间
上的值域是 .
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【答案】
【详解】
，
由题图可知
，即
，得
，
所以
或
，
解得：
或
，
因为
，所以
或
，
所以
或
，
根据图象可得
，则
，则
，
解得：
，
当
时，由图象过点
，则
0，
所以
，解得：
，结合
无解；
当
时，由图象过点
，则
0，
所以
，解得：
，
结合
，得：
，
所以
.
当
时，
，
，
则
，
，
22
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即
.
故答案为：
.
6．（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知函数
（
，
）的部分图象如图
所示，将函数
图象上所有的点向左平移
个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的
2 倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．
【答案】
【详解】由题知，函数
（
，
）的部分图象如图所示，
所以
，即
所以
，
所以
，
因为图象经过点
，
所以
，
所以
，
因为
，
23
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所以
，
所以
，
将函数
图象上所有的点向左平移
个单位长度，
得
，
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），
得
，
所以所得函数图象的解析式为
，
故答案为：
24
