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专题13 空间向量与立体几何（讲义）
一、空间向量及其线性运算
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
相等向量
大小相等、方向相同的向量
相反向量
大小相等、方向相反的向量
共线向量
(或平行向量)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共
线)
共面向量
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在
同一平面内，则称这些向量共面
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0 且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，则向量a，b，c 共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，
y)，使c＝x a ＋
y b .
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C 三点不共线，则点P 在平面ABC 内
的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使AP＝xAB＋yAC.
(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯
一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a ＋
y b ＋
z c .其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.
二、空间向量的数量积与坐标表示
1.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量a
与b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b 的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
2.空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
1
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向量表示
坐标表示
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
共线
b＝λa(a≠0，λ∈R)
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
4.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果l 是空间中的一条直线，v 是空间中的一个非零向量，且表示v 的有向线段所在的
直线与l 平行或重合，则称v 为直线l 的一个方向向量.
(2)平面的法向量：如果α 是空间中的一个平面，n 是空间的一个非零向量，且表示n 的有向线段所在的直
线与平面α 垂直，则称n 为平面α 的一个法向量，此时也称n 与平面α 垂直，记作n⊥α.
温馨提示：
1.在平面中A，B，C 三点共线的充要条件是：OA＝xOB＋yOC(其中x＋y＝1)，O 为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C 四点共面的充要条件是：OP＝xOA＋yOB＋zOC(其中x＋y＋z＝1)，O 为空间任意
一点.
三、法向量的求解与空间向量的应用
（1）求平面的法向量：
第一步：写出平面内两个不平行的向
；
第二步：那么平面法向量
，满足
．
（2）判定直线、平面间的位置关系
①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线
，
的方向向量分别为
，
．
若
∥
，即
，则
；
若
，即
，则
．
②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为
，平面
的法向量为
，且
．
若
∥
，即
，则
；
若
，即
，则
．
（3）平面与平面的位置关系
平面
的法向量为
，平面
的法向量为
．
2
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若
∥
，即
，则
；若
⊥
，即
，则
⊥
．
空间位置关系的向量表示小结：
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2
l1∥l2
u1∥u2⇔u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2⇔u1· u 2＝
0
直线l 的方向向量为u，平面α 的法向量
为n
l∥α
u⊥n⇔u · n ＝
0
l⊥α
u∥n⇔u＝λn
平面α，β 的法向量分别为n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1· n 2＝
0
四、空间角公式
（1）异面直线所成角公式：设
，
分别为异面直线
，
上的方向向量，
为异面直线所成角的大小，
则
．
（2）线面角公式：设为平面
的斜线，
为的方向向量，
为平面
的法向量，
为
与
所成角的大小，则
．
（3）二面角公式：
设
，
分别为平面
，
的法向量，二面角的大小为
，则
或
（需要根据具体情
况判断相等或互补），其中
．
五、空间中的距离
（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接
计算．
3
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如图，设两条异面直线
的公垂线的方向向量为
，这时分别在
上任取
两点，则向量在
上
的正射影长就是两条异面直线
的距离．则
即两异面直线间的距离，等于两异面
直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．
（2）点到平面的距离
为平面
外一点（如图），
为平面
的法向量，过
作平面
的斜线
及垂线
．
，
方法归纳：
一、空间向量的线性运算
例1 四棱柱
的六个面都是平行四边形，点
在对角线
上，且
，点
在对角线
上，且
．
(1)设向量
，
，
，用
、
、
表示向量
、
；
(2)求证：
、
、
三点共线．
4
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答案 (1)
，
(2)证明见解析
分析 （1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明
即可得.
解析 （1）因为
，则
，
所以
，
又因为
，则
，
所以
；
（2）因为
，且
，
所以
，即
、
、
三点共线．
方法归纳： 用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形．
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．
二、空间向量基本定理及其应用
例2 已知
为空间9 个点(如图)，并且
，
，
5
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．
，求证：
(1)
四点共面；
(2)
；
答案 (1)证明见解析
(2)证明见解析
分析 （1）根据共面向量的基本定理，由
可得
是共面向量，又因为
有公共点A，从而可得证；
（2）结合图形，利用向量的线性运算证明即可.
解析 （1）因为
，
由共面向量的基本定理，可得
是共面向量，
又因为
有公共点A，所以
四点共面．
（2）因为
,
则
,
所以
.
三、空间向量数量积及其应用
6
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例3 如图所示，已知空间四边形
的每条边和对角线长都等于1，点
，
，
分别是
的中点．
(1)计算：
；
(2)求证：
；
(3)求异面直线
和
所成角的余弦值．
答案 (1)
(2)证明见解析
(3)
分析 （1）设
，
，
，则可得
，
，即可求出
；
（2）用
表示
，根据数量积的运算律及定义求出
，即可得证；
（3）利用向量计算可得
，
，即可求出
，进而可求出异面直线
与
所成角的余弦值.
解析 （1）设
，
，
，
则
，
．
，
，
则
；
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（2）因为
所以
.
所以
，即
.
（3）
，
，
，
，
，
，
由于异面直线所成角的范围是
，
所以异面直线
与
所成角的余弦值为
.
方法归纳： 由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a 与b 的夹角与方
向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b 计算准确．
四、向量法证明平行、垂直
例4 如图，在四棱锥P－ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E
为棱PC 的中点．证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
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(3)平面PCD⊥平面PAD.
证明 依题意，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E(1,1,1)．
(1)BE＝(0,1,1)，
DC＝(2,0,0)，
故BE·DC＝0，
所以BE⊥DC.
(2)因为AB⊥AD，又PA⊥平面ABCD，
AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
所以AB⊥平面PAD，
所以AB＝(1,0,0)为平面PAD 的一个法向量，
而BE·AB＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，
所以BE⊥AB，
又BE⊄平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)由(2)知平面PAD 的法向量AB＝(1,0,0)，
PD＝(0,2，－2)，
DC＝(2,0,0)，
设平面PCD 的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令y＝1，可得n＝(0,1,1)为平面PCD 的一个法向量．
且n·AB＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，
所以n⊥AB.
所以平面PAD⊥平面PCD.
方法归纳： (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确
写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．
五、异面直线所成的角
例5 已知平行六面体
的底面
是边长为1 的正方形，
，
.
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(1)求对角线
的长；
(2)求直线
与
所成角的余弦值.
答案 (1)
(2)
分析 （1）方法一：求出
、
，对
两边平方化简计算可得答案；方法二：以
为
原点，
，
分别为
、
轴正方向，过
点且垂直于平面
的直线为轴的正方向建立空间直角
坐标系，求出
的坐标，再求
即可；
（2）方法一： 设直线
与
所成角为
，利用
计算可得答案；方法二：以
为原点，
，
分别为
、
轴正方向，过
点且垂直于平面
的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
求出
、
，设直线
与
所成角为
，利用
计算可得答案.
解析 （1）方法一：因为
，
又底面
是正方形，
，
，
，
所以
，
所以
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；
方法二：
如图所示，以
为原点，
，
分别为
、
轴正方向，
过
点且垂直于平面
的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，所以
；
（2）方法一：因为
，
所以
，
又
，
设直线
与
所成角为
，
所以
，
即直线
与
所成角的余弦值为
；
方法二：
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与（1）中的方法二，以
为原点，
，
分别为
、
轴正方向，
过
点且垂直于平面
的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
设直线
与
所成角为
，所以
，
即直线
与
所成角的余弦值为
.
方法归纳： 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
六、直线与平面所成的角
例6 已知平行四边形
中，
是线段
的中点.沿直线
将
翻折成
，使得平面
平面
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
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答案 (1)证明见解析；
(2)
.
分析 （1）利用翻折的特性，结合勾股定理逆定理证得
，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判
定推理即得.
（2）由（1）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解
即得.
解析 （1）在
中，
，
翻折后，
，则
，
于是
，而平面
⊥平面
，平面
平面
=
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）知
平面
，且
，显然直线
两两垂直，
如图，以D 为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
由E 是线段
的中点，得
，
，
在平面
中，
，
，
设平面
的法向量为
，则
，令
，得
，
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设直线
与平面
所成的角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
方法归纳： 利用空间向量求线面角的解题步骤
七、平面与平面的夹角
例7 如图，在四棱锥
中，底面矩形
垂直于侧面
，且
分别是棱
的中点，
．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求二面角
的正弦值．
答案 (1)证明见解析
(2)
分析 （1）由面面垂直可得
平面
，则
，由几何知识可得
，
，结合线
面垂直的判定定理分析证明；
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（2）建系标点，可得平面
、平面
的法向量，利用空间向量求二面角.
解析 （1）因为
为矩形，则
，
且平面
平面
，平面
平面
平面
，
则
平面
，且
平面
，所以
．
连接
．
在
和
中，
，
可知
全等于
．则
，
且
是
的中点，则
．
在
中，
，
而
是
的中点，则
．
且
，
平面
，所以
平面
．
（2）以A 为坐标原点，
所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，可得
，
由（1）知，
是平面
的法向量，
且平面
的法向量是
．
可得
．
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所以二面角
的正弦值为
．
方法归纳： 利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤
八、空间距离
例8 如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1 的正方形，
，
，
，E，F 分别是
AB，BC 的中点．
(1)求点D 到平面PEF 的距离；
(2)求直线AC 到平面PEF 的距离．
答案 (1)
(2)
分析 （1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，
即可求解；
（2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解.
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解析 （1）
，
，
．
又
，
，
平面
，
面ABCD，
故建立如图所示的空间直角坐标系．
则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设
为面PEF 的法向量，
，
令
，则
，
，
，
，
设点D 到平面PEF 的距离为d，则
．
（2）因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，所以直线AC 到平面PEF 的距离等于点A 到平面PEF 的距离，
设点A 到平面PEF 的距离为
，
，则
．
方法归纳： 点到直线的距离
(1)设过点P 的直线l 的单位方向向量为n，A 为直线l 外一点，点A 到直线l 的距离d＝
.
(2)若能求出点在直线上的射影坐标，可以直接利用两点间距离公式求距离.
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