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知识点63：电场线等势线与带电粒子运动轨迹的综合问题
【知识思维方法技巧】
带电粒子在电场中运动轨迹问题的分析方法：
（1）“运动与电场力两线法”：
①判断速度方向：画出带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向。
②判断电场力(或电场强度)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨
迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断电场强度的方向。
③判断电势高低：沿着电场线方向，电势越来越低；正电荷在电势能大处，电势高；负电
荷在电势能大处，电势低．等势线总是和电场线垂直，并且从电势高的等势面指向电势低
的等势面。
④判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功
电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
（2）“三不知时要假设”：
电荷的正负、场强的方向或等势面电势的高低、电荷运动的方向，是题意中相互制约的三
个方面。若已知其中的任一个，可顺次向下分析判定各待求量；若三个都不知，则要用
“假设法”分别讨论各种情况。
考点一：场源电荷模型+带电粒子运动轨迹
题型一：场源是一个点电荷模型
【典例1 提高题】（多选）在固定的带负电点电荷Q 产生的电场中，一带电粒子q(不计重
力)绕Q 做椭圆运动，轨迹如图中虚线所示，轨迹上有a、b 两点，a 点离Q 最近，b 点离Q
最远。下列说法正确的是( )
A．a 点的电势高于b 点的电势
B．a 点的电场强度大于b 点的电场强度
C．粒子q 过a 点时，粒子所受电场力做功的功率最大
D．粒子q 由a 运动到b 的过程中，电势能增大
【典例1 提高题】【答案】BD
【解析】根据“电场线与等势面垂直”和“沿电场线方向电势逐渐降低”可知，a 点的电
势低于b 点的电势，故A 错误；由E＝k 可知，a 点的电场强度大于b 点的电场强度，故B
正确；粒子q 经过a 点时所受电场力的方向与速度方向垂直，电场力做功的功率为零，故
C 错误；粒子q 由a 点运动到b 点的过程中所受电场力的方向与速度方向的夹角为钝角，
电场力做负功，电势能增大，故D 正确。
【典例1 提高题对应练习】(多选)如图所示，一带电荷量为Q 的点电荷固定在椭圆的焦点F
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处，另一质量为m，电荷量为q 的试探电荷仅在彼此间的库仑引力作用下绕Q 做椭圆运动。
MN 是椭圆的长轴，SL 是椭圆的短轴，则( )
A.从M 点到N 点电势逐渐减小
B.试探电荷从M 点到N 点电势能增大
C.试探电荷在M 点时的加速度比在N 点时的加速度大
D.试探电荷从S 点经过N 到L 点与从L 点经过M 到S 点时间相等
【典例1 提高题对应练习】【答案】BC
【解析】由于无法确定Q 带何种电荷，因此从M 点到N 点电势如何变化不能确定，A 错误；
从M 到N 电场力做负功，因此电势能增大，B 正确；由库仑定律可知，在M 点受电场力
比N 点大，根据牛顿第二定律，可知试探电荷在M 点时的加速度比在N 点时的加速度大，
C 正确；从S 点经过N 到L 点先减速运动再加速运动；而从L 点经过M 到S 点先加速运动
再减速运动，S 点与L 点速度大小相同，因此两段平均速率不同，虽然路程相同，但所用
时间不同，D 错误。
题型二：场源是等量异种点电荷模型
【典例2 提高题】如图，两个带等量正电的点电荷，分别固定在绝缘水平桌面上的A、B
两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B 两点间，且圆形细管圆心O 位于A、B 连线
的中点。细管与A、B 连线及中垂线交点分别为C、E、D、F。一个带负电的小球在细管
中按顺时针方向做完整的圆周运动。不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A.小球从C 运动到D 的过程中，速度先减小后增大
B.在两个带正电的点电荷产生的电场中，C 点的电势比F 点的电势低
C.小球在C、E 两点的速度大小相等，有相同的电势能
D.小球在D、F 两点所受的电场力相同
【典例2 提高题】【答案】C
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【解析】由两正点电荷电场线的分布特点知，φC＝φE>φD＝φF，B 错误；因φC＝φE，故小球
在C、E 两点的电势能相等，动能相等，速度大小相等，C 正确；小球从C 点运动到D 点
的过程中，电势能增加，动能减小，A 错误；小球在D、F 两点所受的电场力方向相反，D
错误。
考点二：电场线模型+带电粒子运动轨迹
题型一：某电场的电场线模型
【典例1 提高题】如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的
粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M 点和N 点的电势分别为φM、φN，粒子在M 和N
时加速度大小分别为aM、aN，速度大小分别为vM、vN，电势能分别为EpM、EpN。下列判断
正确的是( )
A．vM<vN，aM<aN
B．vM<vN，φM<φN
C．φM<φN，EpM<EpN
D．aM<aN，EpM<EpN
【典例1 提高题】【答案】D
【解析】由粒子的轨迹知电场力的方向偏向右，因粒子带负电，故电场线方向偏向左，由
沿电场线方向电势降低，可知φN<φM，EpM<EpN。N 点电场线比M 点的密，故场强EM<EN，
由加速度a＝知aM<aN。粒子若从N 点运动到M 点，电场力做正功，动能增加，故vM>vN。
综上所述，选项D 正确。
【典例1 提高题对应练习】如图所示，虚线1、2、3，为某电场中的三条电场线，实线表
示某带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b 是轨迹上的两点，则下列说法正确的是(
)
A．粒子在a 点的加速度大于在b 点的加速度
B．粒子在a 点的电势能大于在b 点的电势能
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C．粒子在a 点的速度大于在b 点的速度
D．a 点的电势高于b 点的电势
【典例1 提高题对应练习】【答案】B
【解析】利用电场线的疏密可比较各点电场强度的大小，a 点处的电场线相对b 点较为稀
疏，所以Ea<Eb，根据牛顿第二定律可知aa＜ab，选项A 错误；假设粒子从a 点向b 点运动，
在a 点，粒子速度方向与受力方向如图所示，所以粒子从a 点到b 点，电场力做正功，电
势能减小，同理，若粒子从b 点向a 点运动，电场力做负功，电势能增加，所以粒子在a
点的电势能大于在b 点的电势能，选项B 正确；粒子运动过程中仅受电场力，则电势能和
动能相互转化，因为粒子在a 点的电势能大于在b 点的电势能，则Eka＜Ekb，根据Ek＝mv2
可知va＜vb，选项C 错误；粒子的电性和电场线的方向均未知，所以无法比较a、b 两点电
势的高低，选项D 错误。
【典例1 拔尖题对应练习】空间某区域内存着电场，电场线在竖直平面上的分布如图6324
所示．一个质量为m、电荷量为q 的带电小球在该电场中运动，小球经过A 点时的速度大
小为v1，方向水平向右；运动至B 点时的速度大小为v2，运动方向与水平方向之间的夹角
为α，A、B 两点间的高度差为h、水平距离为s，则以下判断正确的是( )
A．A、B 两点的电场强度和电势关系为EA<EB、φA<φB
B．如果v2>v1，则电场力一定做正功
C．A、B 两点间的电势差为(v－v)
D．小球从A 点运动到B 点的过程中电场力做的功为mv－mv－mgh
【典例1 拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】由电场线的方向和疏密可知A 点电场强度小于B 点，但A 点电势高于B 点，A 错
误．若v2>v1说明合外力对小球做正功，但电场力不一定做正功，B 错误．由于有重力做功，
A、B 两点间电势差不是(v－v)，C 错误．小球从A 点运动到B 点过程中由动能定理得W 电
＋mgh＝mv－mv，所以W 电＝mv－mv－mgh，D 正确．
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题型二：一个点电荷的电场线模型
【典例2 提高题】如图所示，MN 是由一个正点电荷Q 产生的电场中的一条电场线，一个
带正电的粒子＋q 飞入电场后，在电场力的作用下沿一条曲线运动，先后通过a、b 两点，
不计粒子的重力，则( )
A．粒子在a 点的加速度小于在b 点的加速度
B．a 点电势φa小于b 点电势φb
C．粒子在a 点的动能Eka小于在b 点的动能Ekb
D．粒子在a 点的电势能Epa小于在b 点的电势能Epb
【典例2 提高题】【答案】C
【解析】由题图可知粒子受力应向左方，因粒子带正电，故电场线的方向应向左，故正点
电荷Q 应在N 一侧，故a 处的场强大于b 处的场强，故粒子在a 处的电场力大于b 处电场
力，故a 点的加速度大于b 处的加速度，故A 错误；沿电场线的方向电势降低，故a 点的
电势大于b 点的电势，故B 错误；粒子由a 到b 过程中，电场力做正功，故动能增大，故a
点的动能小于b 点的动能，故C 正确；电场力做正功，故电势能减小，故a 点的电势能Epa
大于在b 点的电势能Epb，故D 错误。
【典例2 提高题对应练习】（多选）如图所示，在点电荷Q 产生的电场中，实线MN 是一
条方向未标出的电场线，虚线AB 是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在
A、B 两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是(
)
A．电子一定从A 向B 运动
B．若aA>aB，则Q 靠近M 端且为正电荷
C．无论Q 为正电荷还是负电荷一定有EpA<EpB
D．B 点电势可能高于A 点电势
【典例2 提高题对应练习】【答案】BC
【解析】若Q 在M 端，由电子运动的轨迹可知Q 为正电荷，电子从A 向B 运动或从B 向
A 运动均可，由于rA<rB，故EA>EB，FA>FB，aA>aB，φA>φB，EpA<EpB；若Q 在N 端，由电
子运动的轨迹可知Q 为负电荷，且电子从A 向B 运动或从B 向A 运动均可，由rA>rB，故
φA>φB，EpA<EpB。综上所述选项A、D 错误，选项B、C 正确。
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题型三：两个（多个）点电荷的电场线模型
【典例3 提高题】真空中某静电场电场线的分布如图所示，图中P、Q 两点关于点电荷q1
水平对称。P、Q 两点电场强度的大小分别为EP、EQ，电势分别为φP、φQ。一个带电粒子
沿虚线轨迹从M 移动至N。以下选项正确的是( )
A．φP＜φQ
B．EQ＞EP
C．此带电粒子带负电，它的电势能先变大后变小
D．此带电粒子带正电，它的电势能先变大后变小
【典例3 提高题】【答案】C
【解析】根据电场线的分布情况，可知φP＞φQ，A 错误；根据电场线的疏密比较电场强度
的大小，可知P 点电场线密，电场强度大，EP＞EQ，B 错误；根据电场线的特点，可知此
电场是由不等量的异种电荷产生的，其中q1带负电，q2带正电，粒子从M 点运动到N 点，
轨迹向左弯曲，受到了库仑斥力，所以此带电粒子带负电，电势先降低后升高，所以负电
荷的电势能先变大后变小，C 正确，D 错误。
题型四：带电体的电场线模型
【典例4 提高题】某静电除尘设备集尘板的内壁带正电，设备中心位置有一个带负电的放
电极，它们之间的电场线分布如图所示，虚线为某带电烟尘颗粒(重力不计)的运动轨迹，
A、B 是轨迹上的两点，C 点与B 点关于放电极对称，下列说法正确的是( )
A．A 点电势低于B 点电势
B．A 点电场强度小于C 点电场强度
C．烟尘颗粒在A 点的动能小于在B 点的动能
D．烟尘颗粒在A 点的电势能小于在B 点的电势能
【典例4 提高题】【答案】AC
【解析】由沿电场线方向电势降低可知，A 点电势低于B 点电势，A 正确；由图可知，A
点处电场线比C 点处密集，因此A 点的场强大于C 点场强，B 错误；烟尘颗粒带负电，从
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A 到B 的过程中，电场力做正功，动能增加，烟尘颗粒在A 点的动能小于在B 点的动能，
电势能减小，烟尘颗粒在A 点的电势能大于在B 点的电势能，C 正确，D 错误．
【典例4 提高题对应练习】如图所示为某静电除尘装置的原理图，废气先经过机械过滤装
置再进入静电除尘区。图中虚线是某一带负电的尘埃(不计重力)仅在电场力作用下向集尘
极迁移并沉积的轨迹，A、B 两点是轨迹与电场线的交点．若不考虑尘埃在迁移过程中的相
互作用和电荷量变化，则以下说法正确的是( )
A．A 点电势高于B 点电势
B．尘埃在A 点的加速度大于在B 点的加速度
C．尘埃在迁移过程中做匀变速运动
D．尘埃在迁移过程中电势能始终在增大
【典例4 提高题对应练习】【答案】B
【解析】沿电场线方向电势降低，由图可知，B 点的电势高于A 点的电势，A 错误；由图
可知，A 点电场线比B 点密集，因此A 点的场强大于B 点的场强，故尘埃在A 点受到的电
场力大于在B 点受到的电场力，则尘埃在A 点的加速度大于在B 点的加速度，B 正确；放
电极与集尘极间建立非匀强电场，尘埃所受的电场力是变化的，故尘埃不可能做匀变速运
动，C 错误；由图可知，尘埃进入静电除尘区时，速度方向与电场力方向的夹角为钝角，
电场力做负功，电势能增大；后来变为锐角，电场力做正功，电势能减小；对于全过程而
言，根据电势的变化可知，电势能减小，D 错误。
题型五：匀强电场的电场线模型
【典例5 提高题】如图所示，实线表示一匀强电场的电场线，电场方向未知．一电子以一
定的初速度由A 点射入电场，虚线为电子的运动轨迹，B 点是运动轨迹上的一点，则(
)
A．A 点电势高于B 点电势
B．电子在B 点的电势能大于在A 点的电势能
C．电子在A 点的速度大于在B 点的速度
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D．电子由A 到B，电场力先做负功后做正功
【典例5 提高题】【答案】D
【解析】由曲线运动的知识可知：电子所受的电场力向左，由于电子的受力与场强方向相
反，可知电场线向右，结合沿着电场线电势逐渐降低得φB>φA，故A 错误；电子从A 到B
点过程中，电场力先与速度方向成钝角做负功，后与速度方向成锐角力做正功，D 项正确；
由A 到B，电场力做的总功为正功，则电子的电势能减小，即B 点的电势能小于A 点的电
势能，动能增大，则B 点的速度大于A 点速度，故B、C 错误．
【典例5 提高题对应练习】如图所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，
在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹。M 和N 是轨迹上的两点，其中M 点是轨迹的最
右点，不计粒子受到的重力，下列说法正确的是( )
A．粒子在电场中的加速度先增大后减小
B．粒子所受电场力的方向沿轨迹方向
C．粒子在M 点的速率最大
D．粒子在电场中的电势能先增大后减小
【典例5 提高题对应练习】【答案】D
【解析】粒子在匀强电场中所受的电场力不变，则加速度不变，选项A 错误；带负电的粒
子所受电场力的方向水平向左，选项B 错误；从N 到M 电场力做负功，则粒子在M 点的
速率最小，选项C 错误；粒子从N 到M 电场力做负功，电势能增加；然后从M 向左下方
运动，电场力做正功，电势能减小，所以粒子在电场中的电势能先增大后减小，选项D 正
确。
考点三：等势线模型+带电粒子运动轨迹
题型一：某电场的等势线模型
【典例1 提高题】
如图所示，图中虚线为某静电场中的等差等势线，实线为某带电粒
子在该静电场中的运动轨迹，a、b、c 为粒子的运动轨迹和等势线的交点，粒子只受静电
力作用，以下说法正确的是( )
A．a 点的电场强度大于b 点的电场强度
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B．粒子在a 点的动能比在b 点的动能小
C．粒子在a 点和c 点的速度相同
D．粒子在b 点的电势能比在c 点的电势能大
【典例1 提高题】
【答案】D
【解析】根据等差等势线越密，场强越强的特点，则a 点的电场强度小于b 点的电场强度，
所以A 错误；由曲线运动的特点知合外力指向轨迹弯曲的一面，所以粒子从a 到b 过程中，
静电力做负功，则粒子在a 点的动能比在b 点的动能大，所以B 错误；a 点与c 点处于同一
等势线上，粒子在a 点和c 点的速度大小相等，但是方向不同，所以C 错误；粒子从b 到
c，静电力做正功，粒子在b 点的电势能比在c 点的电势能大，所以D 正确．
【典例1 提高题对应练习】
如图所示，虚线a、b、c 代表电场中的三个等势面，相邻
等势面之间的电势差相等，即Uab＝Ubc，实线为一带负电的质点仅在电场力的作用下通过
该区域时的运动轨迹，P、Q 是这条轨迹上的两点，据此可知( )
A．三个等势面中，c 的电势最高
B．带电质点通过P 点的电势能比Q 点大
C．带电质点通过P 点的动能比Q 点大
D．带电质点通过P 点时的加速度比Q 点小
【典例1 提高题对应练习】
【答案】B
【解析】电荷所受电场力指向轨迹内侧，由于电荷带负电，因此电场线指向左上方，沿电
场线方向电势降低，故c 等势面的电势最低，a 等势面的电势最高，故A 错误；P 点电势小
于Q 点电势，粒子带负电，则带电质点通过P 点的电势能比Q 点的电势能大，根据能量守
恒可知，带电质点通过P 点的动能比Q 点的动能小，故B 正确，C 错误；等势线密的地方
电场强度大，加速度大，故质点通过P 点时的加速度较大，故D 错误。
题型二：一个点电荷的等势线模型
【典例2 提高题】如图所示，虚线为位于O 位置的点电荷形成电场中的等势面，已知三个
等势面的电势差关系为φ1－φ2＝φ2－φ3，图中的实线为一带负电的粒子进入该电场后的运
动轨迹，与等势面相交于图中的a、b、c、d 四点，已知该粒子仅受电场力的作用，则下列
说法正确的是( )
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A.该粒子只有在a、d 两点的动能与电势能之和相等
B.场源电荷是正电荷
C.φ1＞φ2＞φ3
D.电场力对该粒子先做负功后做正功
【典例2 提高题】【答案】D
【解析】该粒子仅受电场力的作用，粒子的动能与电势能之和始终不变，故A 项错误；据
粒子轨迹可知，粒子受到场源电荷的排斥力，则场源电荷是负电荷，故B 项错误；场源电
荷是负电荷，电场线指向负电荷，则φ1＜φ2＜φ3，故C 项错误；粒子受到场源电荷的排斥
力，粒子运动方向先与排斥力成钝角后与排斥力成锐角，则电场力对该粒子先做负功后做
正功，故D 项正确。
题型三：两个点电荷的等势线模型
【典例3 提高题】如图所示，在两等量异种点电荷连线上有D、E、F 三点，且DE＝
EF.K、M、L 分别为过D、E、F 三点的等势面．一不计重力的带负电粒子，从a 点射入电
场，运动轨迹如图中实线所示，以|Wab|表示该粒子从a 点到b 点电场力做功的数值，以|Wbc|
表示该粒子从b 点到c 点电场力做功的数值，则( )
A．|Wab|＝|Wbc|
B．|Wab|＜|Wbc|
C．粒子由a 点到b 点，动能减少
D．a 点的电势较b 点的电势低
【典例3 提高题】【答案】C
【解析】由等量异种点电荷的电场线特点可知靠近电荷处电场强度大，类比公式U＝Ed 知|
Uab|＞|Ubc|，而W＝qU，所以|Wab|＞|Wbc|，则A、B 均错误；从带负电粒子的运动轨迹可知
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该粒子从a 点到c 点受到大体向左的作用力，故左侧为正电荷，从左向右电势降低，则D
错误；粒子由a 点到b 点，电场力做负功，电势能增加，动能减少，则C 正确．
题型四：匀强电场的等势线模型
【典例4 提高题】(多选)图中虚线1、2、3、4 表示匀强电场的等势面．一带正电的粒子只
在电场力的作用下从a 点运动到b 点，轨迹如图中实线所示．下列说法中正确的是( )
A．等势面1 电势最低
B．粒子从a 运动到b，动能减小
C．粒子从a 运动到b，电势能减小
D．粒子从a 运动到b 的过程中电势能与动能之和不变
【典例4 提高题】【答案】CD
【解析】电场线与等势面垂直，正电荷所受电场力的方向与场强方向相同，曲线运动所受
合力指向曲线的凹侧；带正电的粒子只在电场力的作用下，从a 点运动到b 点，轨迹如图
中实线所示，可画出速度和电场线及受力方向如图所示，则电场力的方向向右，电场线的
方向向右，顺着电场线电势降低，等势面1 电势最高，故选项A 错误；粒子从a 运动到
b，只受电场力作用，电场力的方向与运动方向成锐角，电场力做正功，粒子的动能增大，
电势能减小，故选项B 错误，C 正确；粒子从a 运动到b 的过程中，只受电场力作用，粒
子的电势能与动能之和不变，故选项D 正确．
【典例4 提高题对应练习】如图所示，三条平行等间距的虚线表示电场中的三个等势面，
电势值分别为10 V、20 V、30 V，实线是一带电粒子(不计重力)在该区域内的运动轨迹，
a、b、c 是轨迹上的三个点，下列说法正确的是( )
A．粒子在三点所受的电场力不相等
B．粒子必先过a，再到b，然后到c
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C．粒子在三点所具有的动能大小关系为Ekb>Eka>Ekc
D．粒子在三点的电势能大小关系为Epc<Epa<Epb
【典例4 提高题对应练习】【答案】D
【解析】根据电场线与等势面垂直，沿着电场线电势逐渐降低，可知粒子带负电，电场为
匀强电场，则粒子在三点所受的电场力相等．因速度方向未知，则粒子不一定必先过a，
再到b，然后到c，也可以反之；粒子无论是先从a 到b 再到c，还是先从c 到b 再到a，电
场力均先做负功，再做正功，动能先减少后增加，电势能先增加后减少，故D 正确．
题型五：电场线+等势线模型+带电粒子运动轨迹
【典例5 提高题】（多选）如图所示是阴极射线示波管的聚焦电场，实线为电场线，虚线
为等差等势线，a、b、c 为一个从左侧进入聚焦电场的电子运动轨迹上的三点，不计电子
的重力，则( )
A．电场中a 点的电势高于c 点的电势
B．电子在a 点的动能大于在c 点的动能
C．电子在b 点的加速度大于在c 点的加速度
D．电子在b 点的电势能大于在c 点的电势能
【典例5 提高题】【答案】CD
【解析】沿电场线方向电势降低，由图中电场线方向可知c 点电势高，A 错误，电子带负
电，受电场力方向与电场线方向相反，速度方向沿轨迹切线方向，从a 到c 电场力与速度
方向夹角小于90°，电场力做正功，动能增大，电势能减小，B 错误，D 正确；电场线越
密集处电场强度越大，由题图可知b 点场强大于c 点，则电子在b 点受电场力大，加速度
大，C 正确．
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