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第 43 讲 抛物线
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦
点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 O(0,0)
对称轴 y=0 x=0
焦点
离心率 e=1
准线方程
范围
开口方向 向右 向左 向上 向下
焦半径(其中
P(x,y))
0 0
3.常用结论：与焦点弦有关的常用结论
设 ．
(1) ， .
(2) (θ为AB的倾斜角)．
(3) .
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．考点一 抛物线方程问题
考点二 求焦半径、焦点弦
考点三 定义转化法求距离的最值问题
考点四 抛物线的应用
考点一：抛物线方程问题
例1．（2023·北京西城·统考二模）已知抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则 的准线方程是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两个抛物线的对称性，即可求抛物线 的准线方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，因为抛物线 与抛物线 关于 轴对称，所以两个抛
物线的准线也关于 轴对称，所以 的准线方程是 .
故选：D
例2．（2023·陕西渭南·统考二模）抛物线 绕其顶点顺时针旋转 之后，得到的图象正好对应抛
物线 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转关系确定原抛物线所在位置，及旋转过程中图形形状不变得出原解析式，从而得结论．
【详解】抛物线 的焦点在 轴上，顶点为坐标原点，
其图象绕其顶点顺时针旋转 之后，焦点在 轴上，
因为形状不变，因此新图象解析式为 ，
变形 为 ，所以 ，
故选：C．
考点二：求焦半径、焦点弦例3．（2023届山东省滨州市高三二模数学试题）已知抛物线 上一点 到其焦点
的距离为5，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义即可求解.
【详解】设抛物线的焦点为 ,则 ，
由抛物线的定义知， ，解得 .
故选：D.
考点三：定义转化法求距离的最值问题
例4．（2023·江西南昌·南昌十中校考一模）抛物线 的焦点为 ， 为抛物线 上一动点，定
点 ，则 的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．9
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义结合几何图形求解.
【详解】如图，
设抛物线 的准线为 ，过 作 于 ，过 作 于 ，
因为 ，所以当 ， ， 三点共线时，
取得最小值，故 的最小值为 ．
故选:A.
考点四：抛物线的应用
例5．（2022秋·福建莆田·高二莆田二中校考阶段练习）一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到信号装
置（信号装置安装在抛物线的焦点处）．已知接收天线的口径（直径）为 ，深度为 ，则信号装置与
卫星接收天线中心 的距离为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先设出抛物线的方程，将点 代入抛物线方程求得 ，即可得出结果.
【详解】如图建立直角坐标系：
设抛物线的方程为 ，
利用已知条件可得：点 在抛物线上，
所以 ，则 ，
所以信号装置与卫星接收天线中心 的距离为 .故选：A.
一、单选题
1．（2023·天津南开·统考二模）已知拋物线 的准线过双曲线 的左焦点，点
为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若 到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的标准方程求出准线方程即可求出双曲线的左焦点，即可求 ；由 为双曲线的渐近线
和拋物线的一个公共点， 到抛物线焦点的距离为5，可求出点 的坐标，把点 代入双曲线的渐近线方
程即可得出 与 相等，再根据 即可求解.
【详解】
由题意知，拋物线 的准线方程为 ，所以双曲线的左焦点坐标为 ，所以双曲线的 .
又因为点 为双曲线的渐近线和拋物线的一个公共点，若 到抛物线焦点的距离为5，所以 ，所
以 ，代入抛物线方程即可得 .
因为 在双曲线的渐近线方程 上，所以 ，又因为双曲线中， ，所以
，
所以双曲线的方程为： .故选：D
2．（2023·陕西商洛·统考三模）设 为坐标原点，直线 与抛物线C: 交于 两点，
若 正三角形，则点 到抛物线 的焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设点 ，由对称性求出点 ，进一步求出 的值，再利用定义求解即可.
【详解】设 ，由对称性可知， ，
则 ，解得 ，
故点A到抛物线C的焦点的距离为 ．
故选：B.
3．（2023·河南新乡·统考三模）已知抛物线 的焦点为F，C上一点 满
足 ，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】点 代入抛物线方程，得 ，再利用 等于点 到准线距离求值.
【详解】依题意得 ，因为 ，所以 .
由 ，解得 .
故选：D
4．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）已知 为抛物线 上第一象限的一点，以点B
为圆心且半径为12的圆经过C的焦点F，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的定义列式求解.【详解】由题意可得：抛物线 的焦点坐标 ，准线 ，
则 ，解得 .
故选：D.
5．（2023·北京海淀·一模）过抛物线 的焦点F的直线交该抛物线于点A，B，线段 的中点M的
横坐标为4，则 长为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【分析】由梯形中位线长度得到上底和下底长度之和，通过抛物线的定义，转化为到焦点的距离，然后得
到 的长度.
【详解】设 中点为 ，则 ，过 分别做准线 的垂线，垂足分别为
因为 为 中点，则易知 为梯形 的中位线，而 ，
所以 .
根据抛物线定义可知
所以 .
故选：A.
6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）已知抛物线C： ，（ ）的焦点为F， 为C上一动点，若曲线C在点M处的切线的斜率为 ，则直线FM的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用导数几何意义表示出M坐标，结合斜率公式计算即可.
【详解】∵ ，∴ ， ，∴ ，
由题意知， ，解得： ，
又∵M在 上，∴ ，解得： ，
∴ ，∴ .
故选：B.
7．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知点 是抛物线 ： 的焦点， 是抛物线 上的一点，若
， ，则点 的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由抛物线方程得出焦点 的坐标，由两点之间距离公式得出 ，即 ，再由抛物线的
焦半径公式得出点 的横坐标，代入抛物线方程即可得出纵坐标．
【详解】设点 的坐标为 ，
由题意，得 ，所以 ，
根据抛物线的定义，知 ，
所以 ，代入抛物线方程得， ，则 ，
故选：C．
8．（2023·天津·校联考一模）已知双曲线 的焦点为 ， ，抛物线
的准线与 交于M，N两点，且 为正三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出抛物线准线方程，进而得到 ，由等边三角形得到边长之间的比例关系，得到齐次
式，化为 ，求出离心率.
【详解】 的准线方程为 ，经过点 ，
中，令 得 ，解得 ，
故 ，
因为 为正三角形，所以 ，
即 ，联立 ，解得 ，
方程两边同时除以 得 ，解得 或 （舍去），
故双曲线 的离心率为 .
故选：A
9．（2023·河南新乡·统考二模）已知抛物线 的焦点为F，点P在抛物线C上， ，若
的面积为 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．5 D．2【答案】A
【分析】根据三角形面积公式，结合抛物线定义进行求解即可.
【详解】由题意知 ,准线方程为 ，
设 ．因为 ， 的面积为 ，
所以 ，则 ，所以 ．
故选：A
10．（2023·天津和平·统考一模）抛物线 的焦点为 ，其准线与双曲线 的渐近线
相交于 两点，若 的周长为 ，则 （ ）
A．2 B． C．8 D．4
【答案】A
【分析】利用双曲线的渐近线、抛物线的焦点和准线以及两点的距离公式进行计算求解.
【详解】由题知，双曲线 的渐近线为 ，
抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
由 得 两点坐标为 ， ，
所以 ，因为 的周长为 ，
所以 ，解得 .故B，C，D错误.
故选：A.
11．（2022·江西·校联考二模）已知抛物线C： 的焦点为F，点M在C上，O为坐标原点，若 ， ，则p＝（ ）
A．2 B．4
C．2或 D．2或
【答案】D
【分析】由抛物线的定义设 点坐标，由题意列方程求解
【详解】依题意，设 ，则 ，
，解得 或 ，
故选：D
12．图中是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，
拱顶与水面之间的距离为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为 ，根据抛物线
过点 ，求出 的值，即可得到抛物线方程，再令 ，求出 的值，即可得解.
【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，可设拱桥所在抛物线的方程为 ，
又抛物线过点 ，则 ，解得 ，
则抛物线的方程为 ，当 时， ，
故当水面宽度为 米时，拱顶与水面之间的距离为 米.
故选：D
13．图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m口径抛物面射电望远镜，
反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差
约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系
xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则点P到该抛物线焦点F的距离为（
）
A．225m B．275m C．300m D．350m
【答案】A
【分析】设抛物线为 且 ，根据 在抛物线上求p，利用抛物线定义求P到该抛物线
焦点F的距离.
【详解】令抛物线方程为 且 ，
由题设， 在抛物线上，则 ，得 ，
又 且 ，则P到该抛物线焦点F的距离为 米.
故选：A
14．（2023·四川乐山·统考三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于P，Q两点， 于H，若 ，O为坐标原点，则 与 的面积之比为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根据给定的条件，求出直线 的方程，与抛物线方程联立求出PF，QF的长即可求解作答.
【详解】依题意，由 于H，得 ，即 是正三角形， ，
而 ，则直线 的方程为 ，
由 ，消去y并整理，得 ，
令 ，解得 ，又准线 ，
因此 ，
所以 与 的面积之比 .
故选：C.
二、填空题
15．（2022·山西太原·统考三模）已知点 为抛物线 上一点，则A到其焦点F的距离
为_________.
【答案】 /1.5
【分析】将 代入抛物线方程解出 ，得到抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求解.【详解】解：因为点 在抛物线上，故 ，则 ，抛物线方程为 ，焦点坐标为
，准线方程为 ，
所以点 到准线的距离为 .
所以 .
故答案为： .
16．（2023·江西鹰潭·二模）已知直线 ，定点 ， 是直线 上的动点，若经过点
， 的圆与直线 相切，则这个圆的面积的最小值为_________．
【答案】
【分析】确定 的轨迹为抛物线，抛物线方程为 ，当 点与原点重合时，半径最小为 ，计算
得到面积.
【详解】根据题意，设圆的圆心为 ，则圆心到 的距离等于到直线 的距离，
故 的轨迹为抛物线，抛物线方程为 ，
当 点与原点重合时，半径最小为 ，
此时，圆心到直线 的距离为 ，
直线与圆有交点，满足，圆的面积的最小值为 .
故答案为：
17．（2023·山东潍坊·统考一模）已知抛物线 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个
满足条件的 的标准方程__________.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】设抛物线的标准方程为 ，由题意得出 ，即可得出抛物线的方程.
【详解】设抛物线的标准方程为 .由已知可得，焦点到准线的距离 .
可取 ，则抛物线的标准方程为 .
故答案为： .
18．（2023·山西临汾·统考二模）设抛物线 焦点为 ，从 发出的光线经过抛物线上的点
反射， 为反射光线上一点，则 的面积为___________.
【答案】4
【分析】根据题意可得 轴，进而得到 轴，由 在抛物线上，可得 ，进而求解.
【详解】由题意， 轴，
由 可得 ，
因为 ，所以 轴，
所以 ，即 ，
即 ，
所以 .
故答案为：4.
19．（2023·河南安阳·统考二模）已知抛物线 的焦点为F，点A，B在C上，且 ，
，则 ______．
【答案】 或
【分析】求出焦点坐标，由焦半径公式求出A，B两点坐标，求出 .
【详解】由题意知 ，设 ， ，则由 ，得 ，得 ，代入C： ，得 ，所以 或 ．
由 ，得 ，得 ，代入C： ，得 ，
所以 或 ．
根据抛物线的对称性可得 或 ．
故答案为：或
