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专题17 导数与函数的极值和最值
考点一
函数（导函数）图象与极值（点）的关系
考点二
求函数的极值（点）
考点三
已知极值（点）求参数
考点四
函数最值与极值的关系辨析
考点五
求函数的最值
考点六
由函数的最值求参数
考点七
利用导数解决实际应用问题
一、函数的极值
1.极值的概念：若函数
在点
附近有定义，
如果对
附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极大值，记作
；
如果对
附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极小值，记作
；
极大值与极小值统称为极值，称
为极值点．
2.求可导函数极值的步骤
求导函数
求方程
的根
考查
在方程
的根附近的左右两侧导数值的符号．
如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
二、函数的最值
1.最值的概念：
函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们
有如下结论：一般地，如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大
值与最小值.
2.求可导函数最值的步骤：
求
在
内的极值（极大值或极小值）
将
的各极值与
和
比较，其中最大
的一个为最大值，最小的一个为最小值．
三、函数的最值与极值的关系
1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间
的整体而言；
1
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2.在函数的定义区间
内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没
有）；
3.函数
的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大
( 小
) 值点
或区间端点处取得.
考点一
函数（导函数）图象与极值（点）的关系
例1．（2023 春·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）（多选）已知函数
的导函数
的图象如图所
示，则下列选项中正确的是（ ）
A．函数
在
处取得极大值
B．函数
在
处取得极值
C．
在区间
上单调递减
D．
的图象在
处的切线斜率大于零
【答案】AC
【分析】根据导数的图象判断函数的区间单调性和极值、
处切线斜率符号判断各项正误.
【详解】由题图知：
上
，
上
，
所以
在
上递增，
上递减，即在
处取得极大值，A 对；
在
处函数值不是极值，B 错；
在区间
上单调递减，C 对；
由图知：
，即在
处的切线斜率小于零，D 错.
2
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故选：AC
例2．（2023 春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）设函数
在R 上可导，其导函数为
，
且函数
的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．
有三个极值点
B．
为函数的极大值
C．
有一个极大值
D．
为
的极小值
【答案】C
【分析】根据x 的正负以及
的正负，判断
的正负，得到
单调性并可得到极值点.
【详解】解：
，并结合其图象，可得到如下情况，
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递增；
当
时，
，
在
单调递减；
∴
在
取得极小值，在
处取得极大值，只有两个极值点，
故A、B、D 错，C 正确；
故选: C.
例3．（2022 秋·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）（多选）函数
的导函数是
，下
图所示的是函数
的图象，下列说法错误的是（ ）
3
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A．
是
的零点
B．
是
的极大值点
C．
在区间
上单调递减
D．
在区间
上不存在极小值
【答案】AD
【分析】根据给定的图象，探讨
值的符号，进而判断函数
的性质，再逐项判断作答.
【详解】观察图象知，当
或
时，
，当
时，
，
因此函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
是
的极小值点，而
不一定为0，A 不正确；
是
的极大值点，B 正确；
，即
在区间
上单调递减，C 正确；
是
的极小值点，
在区间
上存在极小值，D 不正确.
故选：AD
例4．（山东省潍坊市2022-2023 学年高三下学期期中数学试题）（多选）已知函数
的导函数
的
图象如图所示，则（ ）
4
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A．
有且仅有两个极值点
B．
在区间
上单调递增
C．若
在区间
上单调递增，则m 的取值范围为
或
D．
可能有四个零点
【答案】AC
【分析】根据
的图象，得出函数
的单调性，结合极值点的概念和单调性，逐项判定.
【详解】根据
的图象，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
当
时，
取得极大值，当
时，
取得极小值，所以A 正确；
而B 错误；
若
在区间
上单调递增，则
，或
，
解得
或
，所以C 正确；
根据函数
的单调性，可知函数
的图象与
轴最多有三个交点，
所以D 错误.
故选：AC
例5．（2023 春·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）下图是函数
的导函数
的图象，
给出下列命题:
5
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①
是函数
的极值点；
②1 是函数
的极值点；
③
在
处切线的斜率小于零；
④
在区间
上单调递增.
则正确的命题序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④
【答案】C
【分析】利用函数极值点的定义可判断命题①②的正误；利用导数的几何意义可判断命题③的正误；利用
函数的单调性与导数的关系可判断命题④的正误.
【详解】根据导函数图象可知当
时，
，在
时，
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
在区间
上单调递增，即④正确；
而在
处
，左侧单调递减，右侧单调递增，则
是函数
的极小值点，故①正确；
函数
在
上单调递增，在
上单调递增，
不是函数
极值点，故②不正确；
函数
在
处的导数大于，
在
处切线的斜率大于零，故③不正确.
故选：C
考点二
求函数的极值（点）
6
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例6．（2023 春·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数
，则
的极值点
为________
【答案】
【分析】对
求导，得到
的单调性，进而可得极值.
【详解】
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
的单调减区间为
，单调增区间为
，
所以当
时，
取得极大值，无极小值.
故答案为：
例7．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数
在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求a 的值
(2)求函数
的极值.
【答案】(1)
(2)极小值
，极大值 .
【分析】（1）求导，根据条件求出a；
（2）根据导函数的符号确定单调性，再根据单调性确定极值.
【详解】（1）易得
，
又函数
在点
处的切线与直线
垂直，∴
，得
；
（2）由（1）得
，
，
令
有
或
，可得
7
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x
0
2
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递
减
极小值
单调递增
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
；
综上，极大值
，极小值
.
例8．（2023 春·河北·高三校联考阶段练习）已知函数
，则
的极大值为
（ ）
A．-3
B．1
C．27
D．-5
【答案】C
【分析】求导数，求出
，得到
解析式，利用导数求函数单调区间，得到极值.
【详解】因为
，所以
，
则
，解得
，
故
，
，
当
或
时，
，当
时，
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
取得极大值27.
故选：C
例9．（2023·全国·高三专题练习）函数
．求函数
在
上的极值；
【答案】极大值，
；极小值，
.
【分析】由题可得
，进而可得；
8
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【详解】∵
，
∴
，
，
由
，得
，
可得
或
，
∴当
，
，
在
单调递增，
当
，
，
在
单调递减，
当
，
，
在
单调递增，
∴
时，函数
有极大值
，
时，函数
有极小值
.
例10．（2023 春·福建福州·高三校考期中）已知函数
所有极小值点从小到大排列成
数列
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数求出函数
的极小值点，可得出
，再利用诱导公式可求得
的值.
【详解】因为
，则
，
由
，即
，可得
，
由
，即
，可得
，
所以，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单
9
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调递增，
所以，函数
的极小值点为
，
将函数
所有极小值点从小到大排列成数列
，
则
，
，易知数列
为等差数列，
且数列
的公差为
，则
，
因此，
，
故选：D.
考点三
已知极值（点）求参数
例11．（2023 春·四川乐山·高二四川省峨眉第二中学校校考期中）已知函数
有两个极值点，
求
的范围（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】原问题等价于导函数
有2 个零点，求导，参数分离，构造新函数，根据新函数的值域求解.
【详解】
，
有2 个极值点等价于
有2 个零点，令
，
有
，令
，则
，
当
时，
单调递减，当
时，
单调递增， 在
时，取得极大值也是
最大值
，
当x 趋于
时，
趋于
，当x 趋于
时，
趋于0，函数大致图像如下图：
10
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所以，a 的取值范围是
；
故选：B.
例12．（2023 春·辽宁锦州·高三校考期中）已知函数
的极值点为1，且
（
为
的导函数），则
的极小值为________.
【答案】4
【分析】极值点为1，则有
，又由
，可求出
、
的值，再求出
的单调性即可求解.
【详解】
，
，
，所以
，
解得：
，
，
所以
，
，令
得
，
时，
，
单调递减，
，
，
单调递增.
所以
是函数的极小值点，
.
故答案为：4.
例13．（2023·辽宁抚顺·校联考二模）已知函数
在
处取得极大值4，则
（ ）
A．8
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】先求函数的导数，把极值点代入导数则可等于0，再把极值点代入原函数则可得到极值，解方程
组即可得到
，从而算出
的值.
11
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【详解】因为
，所以
，
所以
，解得
，
经检验，符合题意，所以
.
故选：B
例14．（2023 春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）已知函数
在
时
的极值为
，则函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导函数，利用函数
在
时极值为
可得
，解方程求出
，再令
即可求解.
【详解】由函数
，∴
，
∴
，解得
，∴
，
令
，则
，解得
，令
，则x<0 或x>2，
∴
在x=2 处取极值且函数
的单调递减区间为
.
故选：D.
例15．（2023·全国·模拟预测）已知函数
的极值点为1 和2，且
在
上
单调递增，则
的最小值为（ ）
12
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A．4
B．
C．5
D．
【答案】D
【分析】对函数求导，由极值点建立方程组找出
间的关系，利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为
，
所以
由题函数
的极值点为1 和2，且在
上单调递增，
所以
，
所以
，解得
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
故选：D．
考点四
函数最值与极值的关系辨析
例16．（2022 秋·上海嘉定·高三校考期中）下列说法正确的是( ).
A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值.
B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值.
C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值.
D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值.
【答案】B
【分析】根据极值和最值的联系与区别即可判断．
【详解】如图为函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象：
13
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对于选项A：极大值
极小值
，故A 错误；
对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B 正确；
如图所示，函数f(x)在区间[a，b]上的极大值
，而不是最大大值，故C 错误；同时，最大值
不
是极大值，故D 也错误．
故选：B.
例17．（2023 春·福建南平·高三校考阶段练习）函数
的导函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
为函数
的零点
B．函数
在
上单调递减
C．
为函数
的极大值点
D．
是函数
的最小值
【答案】B
【详解】根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值
与导数的关系可判断C，D.
由
的图象可知
，当
时，
，
14
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当
时，
，故
为函数
的极大值点，A 错误；
当
时，
，故函数
在
上单调递减，B 正确；
当
时，
，当
时，
，
故
为函数
的极小值点，C 错误；
当
时，
，当
时，
，
故
为函数
的极小值点，而
也为函数
的极小值点，
与
的大小不定，故
不一定是函数
的最小值，D 错误,
故选：B
例18．（2022·高三课时练习）连续函数
在
上有最大值是有极大值的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据函数的最值、极值及充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】解：因为函数的最值是整体概念，而函数的极值是局部概念，这两者之间没有必然关系，
所以连续函数
在
上有最大值是有极大值的既不充分也不必要条件，
故选：D.
例19．（2023·全国·高二专题练习）（多选）函数
的定义域为
，导函数
在
内的图象
如图所示，则（ ）
15
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A．函数
在
内一定不存在最小值
B．函数
在
内只有一个极小值点
C．函数
在
内有两个极大值点
D．函数
在
内可能没有零点
【答案】BCD
【分析】由导函数图像得导函数的符号，确定原函数的单调性，再依次判断.
【详解】设
的根为
，且
，则
由图可知，函数
在
内单调增，在
内单调减，在
内单调增，在
内单调减；
函数
在区间
内有极小值
，当
，
时，
是函数
在区间
内的最小值，所以A 错，B 正确；
函数
在区间
内有极大值
、
，所以C 正确；
当
，
，
时，函数
在
内没有零点，所以D 正确.
故选：BCD.
例20．（2023 春·陕西汉中·高三校联考期中）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，
则下列说法正确的有（ ）个.
（1）函数一定有三个零点
（2）函数一定有三个极值点
（3）函数有最小值
（4）函数有最大值
（5）函数图像一定经过坐标原点
16
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A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用导函数
图象的正负即可判断原函数
的单调性，可得
分别是函数
的三个极值点，且最小值为
中的较小者，无最大值；原函数
图象与
轴的位置关系无
法确定，也不一定过原点，即可得出正确选项.
【详解】根据导函数的函数图象可知，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
当
时，
，所以函数
在
上单调递减，
当
时，
，所以函数
在
上单调递增，
所以，
分别是函数
的极值点，因此（2）说法正确；
函数
的图象可能都在
轴上方，其零点个数可能是0 个，即（1）说法错误；
图象也不一定过原点，即即（5）错误；
由单调性可知，
和
都是函数
的极小值点，所以
都是函数
的极小值，
因此函数有最小值，且为
中的较小者，无最大值，所以（3）正确，（4）错误；
综上可得，只有（2）（3）说法正确.
故选：B
考点五
求函数的最值
17
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例21．（2023 春·北京·高二清华附中校考期中）已知函数
，则
的最小值为
________.
【答案】
【分析】根据二次函数单调性可求得当
时，
；利用导数可求得当
时，
的单调性，
由此可求得最小值.
【详解】当
时，
单调递减，则
；
当
时，
，则
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递减，在
上单调递增，
；
综上所述：
的最小值为
.
故答案为：
.
例22．（2022·陕西咸阳·校考三模）已知
，
，若
，且
的最小值
为，则实数
的值为__________.
【答案】
/
【分析】根据题意，可得
，从而构造
，
利用导数求得
即可得到结果.
【详解】因为
，所以
， 所以
，
设
，所以
，令
，则
，
所以当
时，
时，即
，
，
所以
时，
取极小值，即由
，
18
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解得
.
故答案为:
例23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
．求函数
在区间
上的最小值.
【答案】
【分析】先对函数求导得
，令
，求导后判断其
单调性，结合零点存在性定理可求出原函数的单调性，从而可求出其最小值.
【详解】解：因为
，所以
．
记
，
则
，在
上
，所以
为
上的单调减函数．
又
，
，
所以存在唯一的实数
，使得
．
所以当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
单调递增，在
单调递减，所以最小值在区间端点处取到.
因为
，
，
所以
.
例24．（2023 春·北京昌平·高三北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数
.求：
(1)曲线
在点
处的切线方程；
(2)函数
在区间
上的最值.
19
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【答案】(1)
(2)最大值为1，最小值为
.
【分析】（1）求出函数的导数，结合切点和斜率求出切线方程；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，求出函数的极值，最值.
【详解】（1）
，则
，
，
切点是
，
故切线方程是
，即
；
（2）令
，解得：
或
，
，
，
在
的变化如下：
0
2
3
0
0
单调递增
极大值1
单调递减
极小值
单调递增
1
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
最大值是
，又
，
，
在
的最大值是
，
在
在最小值是
.
例25．（2023 春·安徽合肥·高三合肥一中校考期中）函数
在
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
20
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【分析】利用导数分析函数
在
上的单调性，即可求得函数
在
上的最小值.
【详解】因为
，则
，因为
，由
可得
，
当
时，
；当
时，
.
所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，函数
在
上的最小值为
.
故选：C.
考点六
由函数的最值求参数
例26．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
的最小值为
．求
的值；
【答案】
【分析】利用导数求得函数的单调区间可得
，计算可得结果.
【详解】由题可知
,
令
，解得
；令
，解得
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，解得
.
例27．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数
在区间
上存在最小值，
则整数
的取值可以是______．
【答案】（答案不唯一，
、均可）
【分析】利用导数分析函数
的单调性与极值，作出图形，求出使得
的
的值，根
据函数
在区间
上有最小值可得出关于实数
的不等式组，解之即可.
21
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【详解】因为
，则
.
由
可得
，由
可得
或
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
、
，
所以，函数
的极大值为
，极小值为
，
令
，其中
，则
，解得
，
因为函数
在区间
上存在最小值，则
，解得
，
所以，整数
的取值集合为
.
故答案为：（答案不唯一，
、均可）.
例28．（2023 春·北京海淀·高三101 中学校考期中）已知函数
在区间
的极小
值也是最小值，则n 的取值范围是________．
【答案】
【分析】利用导数求出函数
的单调性，可得
的极小值为
，又
，数形结合即可求解.
【详解】
，
当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，当
时
22
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，函数
单调递增.
所以
的极小值为
，又
，
作出
的大致图象如图所示：
因为函数
在区间
的极小值也是最小值，
由图可知
.
故n 的取值范围是
.
故答案为:
.
例29．（2023·四川宜宾·统考三模）若函数
的最小值是
，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数求出函数
在
上的极小值，然后对实数
的取值进行分类讨论，结合
可求得实数
的取值范围.
【详解】当
时，
，则
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
23
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当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，函数
的极小值为
，
因为函数
的最小值为
，当
时，函数
在
上单调递减，
此时，函数
在
上无最小值，不合乎题意；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
此时，函数
在
上的极小值为
，且
，则
，
综上所述，
.
故选：A.
例30．（2023 春·山东聊城·高三山东省聊城第三中学校考期中）若函数
在区间(
,
)内存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．[－5,1)
B．(－5,1)
C．[－2,1)
D．(－2,1)
【答案】C
【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区(
,
)内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在
端点处的函数值不能超过极小值．
【详解】由
，令
，可得
或
，
由
得：
或
，由
得：
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以函数在
处取得极小值
，
令
，解得
或
，
若函数
在(
,
)内存在最小值，则
，得
．
故选：C
24
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考点七
利用导数解决实际应用问题
例31．（2023 春·天津南开·高三南开中学校考期中）将一个边长为3cm 的正方形铁片的四角截去四个边长
均为
cm 的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意方盒的底面边长为
的正方形，高为
，即可求出
的取值范围，则无盖方盒
的容积为
，
，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值.
【详解】依题意方盒的底面边长为
的正方形，高为
，
则
，即
，
所以无盖方盒的容积为
，
，
则
，
令
，解得
或
；
令
，解得
．
函数
的定义域为
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值即最大值，所以
，
即该方盒容积最大为
.
故选：B
例32．（2023 春·安徽合肥·高二合肥工业大学附属中学校联考期中）如图所示，AB 为沿海岸的高速路，
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海岛上码头O 离高速路最近点B 的距离是120km，在距离B 点300km 的A 处有一批药品要尽快送达海岛．
现要用海陆联运的方式运送这批药品，设登船点C 到B 的距离为x，已知汽车速度为100km/h，快艇速度
为50km/h．（参考数据：
．）
(1)写出运输时间
关于x 的函数；
(2)当C 选在何处时运输时间最短？
【答案】(1)
(2)当点C 选在距B 点68km 时运输时间最短
【分析】（1）由题意知，OB⊥AB，可求得OC，AC，进而得出
；
（2）求出
的导数，结合函数的单调性求得结果．
【详解】（1）
由题意知，OB⊥AB，则
，
∴
.
（2）
，
令
，得
，
26
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当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
时，
取最小值.
所以当点C 选在距B 点68km 时运输时间最短.
例33．（2023 春·山东菏泽·高三统考期中）经过市场调查，某小微企业计划生产一款小型电子产品已知生
产该产品需投入固定成本2 万元，每生产x 万件，需另投入流动成本P(x)万元当年产量小于9 万件时，
(万元)；当年产量不小于9 万件时，
(万元)每件产品售价为6 元，
假若该企业生产的电子产品当年能全部售完
(1)写出年利润Q(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注:年利润=年销售收入
固定成本
流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时，该企业的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(参考数据:
)
【答案】(1)
(2)20 万件，16 万元
【分析】（1）因为每件产品售价为6 元，则x 万件商品销售收入为
，根据年利润=年销售收入
固定成
本
流动成本可得答案；
（2）当
时，利用配方法可得
的最大值；当
时，利用导数可得最大值，从而得到答案.
【详解】（1）因为每件产品售价为6 元，则x 万件商品销售收入为
，
由题意可得，当
时，
，
当
时，
，
；
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（2）由（1）可知，当
时，
，
当且仅当
时，等号成立，
当
时，
，则
，
所以，当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
所以当
时，
取得最大值
，
综上，当
时，
取得最大值16 万元；
即当年产量约为20 万件时，该小微企业的这一产品所获年利润最大，最大年利润是16 万元.
例34．（2023 春·山东泰安·高三统考期中）某工厂计划投资一定数额的资金生产甲，乙两种新产品.甲产品
的平均成本利润
（单位：万元）与投资成本
（单位：万元）满足：
（
，
为
常数，
，
）；乙产品的平均成本利润
（单位：万元）与投资成本
（单位：万元）满足：
.已知投资甲产品为1 万元，10 万元时，获得的利润分别为5 万元，16.515 万元.
(1)求
，
的值；
(2)若该工厂计划投入50 万元用于甲，乙两种新产品的生产，每种产品投资不少于10 万元，问怎样分配这
50 万元，才能使该工厂获得最大利润？最大利润为多少万元？
（参考数据：
，
）
【答案】(1)
，
(2)甲，乙两种产品各投资25 万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09 万元
【分析】（1）根据投资甲产品为1 万元，10 万元时，获得的利润列出方程，即可求得答案；
（2）设甲产品投资
万元，乙产品投资
万元，由此列出获得利润的表达式，利用导数求得最大值，
28
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可得答案.
【详解】（1）由题意知，
，
整理得
，解得
，
；
（2）设甲产品投资
万元，乙产品投资
万元，且
，
则该公司获得的利润
，
；
则
在
上单调递减，
令
，解得
或
（舍去），
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
∴
，
∴当甲，乙两种产品各投资25 万元时，公司取得最大利润，最大利润为31.09 万元.
例35．（2023 春·北京·高一清华附中校考期中）为了丰富社区居民文化生活，某小区准备在一块空地上建
一个社区活动中心.如图，该小区内有两条互相垂直的道路与
，有一块空地
.以O 为坐标原点，直
线与
为坐标轴建立坐标系，曲线
是函数
图像的一部分，线段
是函数
图像的
一部分.社区活动中心的平面图是梯形
（其中，点M 在曲线
上，点N 在线段
上，
和
为两底边）.设梯形的高为x 米，梯形的面积是
平方米.
29
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(1)求函数
的解析式和定义域；
(2)为使得社区活动中心的占地面积
最大，x 等于多少米?并求出最大面积
.
【答案】(1)
，定义域为
(2)当
(米)时，
的最大值为
.
【分析】（1）联立方程求得
点坐标，根据题意得出
，
，利用梯形面积公式求解
；
（2）利用导数，结合函数的单调性求解最值.
【详解】（1）由
，解得
，∴
，
∵
，
∴
，又
，
∴
，定义域为
.
（2）
，
，
30
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当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以，当
(米)时，
取极大值也是最大值，最大值为
.
一、单选题
1．（2023 春·北京海淀·高二101 中学校考期中）已知函数
，则函数
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数求出
的单调区间，从而可得函数
的最小值.
【详解】函数
的定义域为
，且
，令
,可得
.
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
故
.
故选:B.
2．（2023·四川凉山·三模）已知函数
的导函数
，若1 不是函数
的极值
点，则实数a 的值为（ ）．
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据极值点的定义即可求解.
【详解】由题意可知
，若1 不是函数
的极值点，则
，即
，
31
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当
时，
，故当
，当
，因此
是
的极值点，1 不是极值点，故
满足题意，
故选：D
3．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若
在
和
处有极值，则函数
的单
调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数的导函数，依题意
且
，即可得到方程组，从而求出
、
的值，再利
用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】因为
，所以
，
由已知得
，解得
，
所以
，所以
，
由
，解得
，所以函数
的单调递增区间是
.
故选：C．
4．（2023 春·北京·高三北京师大附中校考期中）已知
和
是定义在R 上的函数，且
，则“
有极值点”是“
和
中至少有一个函数有极值点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用特殊函数证明两命题“
有极值点”和“
和
中至少有一个函数有极值点”之间
32
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的逻辑关系，进而得出二者间为既不充分也不必要条件.
【详解】令
，则
，
则当
或
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
则
有极值点
或
；
此时
均为R 上的单调函数，均无极值点.
则“
有极值点”不是“
和
中至少有一个函数有极值点”的充分条件.
令
，则
均有极值点，且极值点均为
，
此时
为常函数，无极值点.
则“
有极值点”不是“
和
中至少有一个函数有极值点”的必要条件.
综上，“
有极值点”是“
和
中至少有一个函数有极值点”的既不充分也不必要条件.
故选：D
5．（2022 秋·福建福州·高三校考阶段练习）已知函数
，以下结论中错误的是（ ）
A．
是偶函数
B．
有无数个零点
C．
的最小值为
D．
的最大值为
【答案】C
【分析】由奇偶性定义可判断出A 正确；令
可确定B 正确；根据
定义域为
，
，
可知若最小值为
，则
是
的一个极小值点，根据
可知C 错误；由
时，
取
得最大值，
取得最小值可确定D 正确.
33
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【详解】对于A，
定义域为
，
，
为偶函数，A 正确；
对于B，令
，即
，
，解得：
，
有无数个零点，B 正确；
对于C，
，
若
的最小值为
，则
是
的一个极小值点，则
；
，
，
不是
的极小值点，C 错误；
对于D，
，
；
则当
，
，即
时，
取得最大值，D 正确.
故选：C.
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知函数
的最小值为2，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先分析出
，然后求导得
，得到
，解出
值，得到函数解析式，
代入即可得到答案.
【详解】显然
，若
，则
，不合题意，故
，则定义域为
，
，令
，解得
，
34
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当
时，
，此时
单调递减，
当
时，
，此时
单调递增，
故当
时，
，
解得
，则
，
则
.
故选：B.
7．（2023·江西抚州·金溪一中统考模拟预测）已知函数
，且
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．e
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
展开得到
的解析式，根据导数求出解析式单调性继而判断解析式的取值
范围，即可得到答案.
【详解】由
，得
，化简整理得
，
因为g（x）的值域，f（x），g（x）的定义域均为R，所以
的取值范围也是R，
令
，令
，解得
.
当
时，
，即h（x）在（-∞，0）上单调递减；
当
时，
，即（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以
，故
故选：A.
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8．（2023 春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）对于函数
的描述，下列说法正确的是（ ）
A．函数
存在唯一的零点
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
在区间
上单调递增
D．函数
的值域为R
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，利用导数研究函数的性质，得到函数
的零点及单调性即可判断选项A，
B，C 选项，利用最值以及函数值即可判断选项D．
【详解】对于A，由题意函数
，定义域为
，
，
，
无解,A 错误；
又因为
，当
或
时，
，故函数
单调递减，
当
时，
，故函数
单调递增，B 错误C 正确；
当
又
,
,且当
时，
，所以
，故函数
的值域不
为R .
故选：C．
二、多选题
9．（2023 秋·吉林松原·高三校考期末）已知函数
在
处取得极大值，则
（ ）．
A．3
B．1
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据函数
在
处取得极大值，求出导数并令导数等于0，求得a 的值，
验证可得答案.
【详解】因为
，故
，
由函数
在
处取得极大值，
可得
，解得
或
，
36
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当
时，
，
此时当
时，
，当
时，
，
则函数
在
处取得极大值，符合题意；
当
时，
，
此时当
时，
，当
时，
，
则函数
在
处取得极大值，符合题意，
故
或
，
故选：
10．（2023·全国·高三专题练习）若函数
在
上有最小值，则实数a 的值可能是
（ ）.
A．
B．
C．0
D．1
【答案】ABC
【分析】利用导数研究函数的性质可得
为函数的极小值点，
为极大值点.
根据题意可知函数的极小值点必在区间
内，即
且
，
解不等式组即可.
【详解】令
，解得
，
所以当
时
，
当
时
，
所以
为函数的极小值点，
为函数的极大值点.
因为函数
在区间
上有最小值，
所以函数
的极小值点必在区间
内，
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即实数a 满足
，且
.
由
，解得
.
不等
，即
，
有
，
，
所以
，即
.
故实数a 的取值范围是
.
故选：ABC.
11．（2023·全国·高三专题练习）设函数
在
上可导，其导函数为
，且函数
的图
像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数
有极大值
B．函数
有极大值
C．函数
有极小值
D．函数
有极小值
【答案】BD
【分析】根据函数
的图像判断导数
在各个区间上的符号，再根据极值的定义即可求解.
【详解】由图可知，当
时，
，
，则
，
当
时，
，
，则
，
当
时，
，
，则
，
38
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当
时，
，
，则
，
综上当
时
，当
时
，当
时
，
所以函数
有极大值
，有极小值
，
故选：BD
12．（2023·山西运城·统考三模）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线
在
处的切线与直线
垂直
B．
在
上单调递增
C．
的极小值为
D．
在
上的最小值为
【答案】BC
【分析】求出函数的导函数，求出
，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.
【详解】因为
，所以
，
所以
，故A 错误；
令
，解得
，所以
的单调递增区间为
，
而
，所以
在
上单调递增，故B 正确；
当
时
，所以
的单调递减区间为
，
所以
的极小值为
，故C 正确；
在
上单调递减，所以最小值为
，故D 错误；
故选：BC
三、填空题
39
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13．（2023·高三单元测试）设函数
，
，其中a 为实数．
在
上是单
调减函数，且
在
上有最小值，则a 的取值范围是______．
【答案】
【分析】由
在
上恒成立求得
的范围，由
在
上有解求得
的范围，并验证此
时
取得的是最小值，然后两者取交集可得．
【详解】
，
在
上是单调减函数，则
在
上恒成立，
，而
，所以
，
，
在
上有最小值，首先
在
上有解，
，
，此时
，
时，
，
递减，
时，
，
递增，所以
时，
取得极小
值也是最小值，满足题意．
综上，
．
故答案为：
．
14．（2023 春·湖北·高三校联考期中）设函数
在区间[
上有零点，则实数
的取值范
围是___________.
【答案】
【分析】参数分离，构造新函数，根据所构造的新函数的值域求解.
【详解】令
，则
，函数
在区间[
，3]上有零点等价于直线
与曲线
在
上有交点，
40
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则
，当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
，
，显然
，
，
即当
时，函数
在
上有零点；
故答案为：
.
15．（2023 春·湖北襄阳·高二宜城市第一中学校联考期中）已知函数
的导函数为
，对
，
都有
，且
，若
在
上有极值点，则实数
的取值范围是
_________．
【答案】
【分析】由已知等式变形可得
，可得出
，根据
可求得
的值，然后求出方程
的根，根据
在
上有极值点可得出关于实数
的不等式，解出
的
取值范围，再结合极值点的定义验证即可.
【详解】第
，
，可得
，
即
，其中为常数，所以，
，
故
，其中为常数，
因为
，故
，
所以，
，
41
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令
可得
或
，
因为函数
在
上有极值点，则
，解得
，
此时，由
可得
，由
可得
或
，
所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，函数
在
上有唯一的极小值点，
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
16．（2023 春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）若方程
有三个不同实根，则
实数
的取值范围是__________．
【答案】
【分析】将问题转化为函数
与函数
的图象有三个不同的交点，利用导数讨论
函数
的单调性和极值，数形结合求解.
【详解】由
，可得
，
则关于
的方程
有三个不同实根，
即函数
与函数
的图象有三个不同的交点，
，
令
解得
或
，令
解得
，
所以函数
在
单调递增，
单调递减，
单调递增，
，
42
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作出函数
的图象如下，
由图可知
，解得
，
故答案为:
.
四、解答题
17．（2023 春·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期中）已知函数
在
处取得极值
2.
(1)求a，b 的值：
(2)求函数
在
上的最值.
【答案】(1)
的值为
，
的值为2；
(2)最小值为2，最大值为
.
【分析】（1）利用极值的定义列方程求解；
（2）利用导数讨论函数在
的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.
【详解】（1）
，
，
在
处取得极值2，
且
，
43
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即
，解得
，
此时
，
由
，可得
，
在
上单调递减，
由
，可得
，
在
上单调递增，
所以
在
处取得极值，符合题意，
所以
的值为
，
的值为2；
（2）由（1）有
，
，
由
，可得
，
在
上单调递减，
由
，可得
，
在
上单调递增，
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
在
处取得极小值
，即为最小值，
，
，
，
，
在
处取得最大值
，
综上所述，
在
上的最小值为2，最大值为
.
18．已知函数
的两个极值点
满足
.
(1)求
的值；
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(2)求
在区间
上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为36，最小值为-16
【分析】（1）
有2 个极值点等价于导函数
有2 个零点，根据条件运用韦达定理求解；
（2）根据导函数求出
的单调区间，根据单调性以及闭区间两端的函数值求解.
【详解】（1）
，令
，则
有2 个零点
，显然
，
由韦达定理得
，又
代入①得：
，
再代入②得：
，
，符合题意，
；
（2）
，得下表：
-1
2
0
0
单调递减
极小值-16
单调递增
极大值11
单调递减
又
，
，
所以
在区间
上的最大值为36，最小值为-16；
综上，
，
在区间
上的最大值为36，最小值为-16.
19．（2023 春·重庆万州·高二重庆市万州第二高级中学校考期中）已知函数
是
的极大值点.
(1)求
的值；
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(2)求函数
的极值.
【答案】(1)1
(2)极大值
，极小值
【分析】（1）由极值点的定义可得
，解方程求
，验证所得结果是否满足要求；
（2）由（1）可得
，结合极值的定义可求函数的极值.
【详解】（1）函数
的定义域为
，
导函数为
∵
是函数
的极大值点，
，即
，
解得
或
，
当
时，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，函数
取得极大值，符合题意；
当
时，
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递減，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
46
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当
时，函数
取得极小值，不符合题意；
综上，
，
（2）当a=1 时，
，
由（1）可得当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以当
时，函数
取得极大值
，
当
时，函数
取得极小值
.
20．（2023·全国·高三专题练习）已知
．
(1)求函数
在
内的极值点；
(2)求函数
在
上的最值．
【答案】(1)极大值点为
，极小值点为
(2)最小值为0，最大值为
【分析】（1）利用导数讨论
的单调区间，然后可得；
（2）利用二次导数讨论单调性即可求解.
【详解】（1）由
得
．
令
，解得
，
，即
，
．
又
，所以
，
．
，
随x 变化而变化的情况如下表所示：
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x
+
0
-
0
+
↑
极大值
↓
极小值
↑
所以函数
在
内的极大值点为
，极小值点为
．
（2）由题知
．
，
记
，
则
．
因为
，所以
，又
，
所以
，所以函数
单调递增，
，
所以当
时，
，即
，函数
单调递减；
当
时，
，即
，函数
单调递增．
，
，
，
显然
，所以函数
在
上的最小值为
，最大值为
．
21．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
.求证：函数
存在唯一的极大值点.
【答案】证明见解析
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【分析】求导可得
，再令
，根据
的单调性与零点存在性
定理证明即可.
【详解】由题意可得：
的定义域为
，
，
令
，易得
在
上为减函数，
且
，
，
故
在
内有唯一零点
，
当
时，则
；当
时，则
；
即当
时，则
；当
时，则
；
所以
在
上单调递增；
在
上单调递减，
故函数
存在唯一的极大值点
.
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