试卷一
1
填空题
1
若函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3，x ∈[a, b]的图象关于直线x = 1对称，则b =
.
6
根据给定的二次函数，利用二次函数的性质列式计算作答.
函数f (x) = x2 + (a + 2)x + 3的对称轴为：x = −a + 2
2
，
依题意，−a + 2
2
= 1且a + b = 2，解得a = −4，b = 6，
所以b = 6.
故答案为：6
答案
解析
2
设集合A = {x|1 ≤x ≤10, x ∈N}, B = {y|y = x2 −12x + 36, x ∈A}，则集合A ⋂B = .
{1, 4, 9}
解：因为A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {0, 1, 4, 9, 16, 25}，所以A ⋂B = {1, 4, 9}.
故答案为：{1, 4, 9}.
本题考查集合的交集运算，属于基础题.
答案
解析
3
已知函数y = −x2 + 2ax + 3在区间(−∞, 4)上是y随x增大而增大，则实数a的取值范围是 .
[4, +∞)
答案
2
根据二次函数对称轴与单调区间位置关系列不等式，解得结果.
f(x) = −x2 + 2ax + 3对称轴方程为x = a，
f(x)在区间(−∞, 4)上是增函数，所以a ≥4.
故答案为:[4, +∞).
本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属基础题.
解析
4
若不等式(a −1)x2 + (a −1)x −1 < 0对x ∈R恒成立，则实数a的取值范围是
.
–z −
z
1 + i
先对二次项的系数a −1分类讨论，利用二次函数的性质，即可求出结果．
①当a = 1时，不等式化为−1 < 0对一切x∈R恒成立，因此a = 1满足题意；
②当a ≠1时，要使不等式(a −1)x2 + (a −1)x −1 < 0对一切x ∈R恒成立，
则必有$~\left\{
\right.\therefore -3<1$ ．
综上①②可知：实数a取值的集合是(−3, 1]．
故答案为：(−3, 1]．
答案
解析
a −1 < 0
4(a −1) ⋅(−1) −(a −1)2
4(a −1)
< 0
5
函数f (x) = √mx2 −2mx + 4的x在R上函数恒有意义，则实数m的取值范围是
[0，4]
根据题意，问题化为不等式mx ﹣2mx+4≥0对任意x∈R恒成立，讨论m＝0和m≠0时，求出对应m的取值范围即
可．解：函数f（x）= √mx2 −2mx + 4的定义域为R，
则不等式mx ﹣2mx+4≥0对任意x∈R恒成立，
当m＝0时，不等式为4≥0，显然成立；
答案
解析
2
2
3
当m≠0时，应满足{
，解得0＜m≤4；
综上知，实数m的取值范围是[0，4]．
故答案为[0，4]．
本题利用函数的定义域考查了不等式恒成立应用问题，考查等价转化思想，是基础题．
m＞0
△= 4m2 −4m × 4 ≤0
选择题
1
如图是二次函数y＝ax ＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b >4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.
其中正确的是( )
A. ②④
B. ①④
C. ②③
D. ①③
B
根据二次函数的图像可以得到图像与x轴有两个不同的交点且开口向下，故判别式为正，a < 0，因对称轴为
x = −1，故图像与x轴的另一交点为(1, 0)且b = 2a，从这些信息可判断出正确结论的序号为①④．因为图象与
x轴交于两点，所以b2 −4ac > 0，即b2 > 4ac，①正确．
对称轴为x = −1, −b
2a = −1, 2a −b = 0，②错误．
结合图象，当x = −1时，y > 0，即a −b + c > 0，③错误．
由对称轴为x = −1知，b = 2a.又函数图象开口向下，所以a < 0，所以5a < 2a，即$5a，④正确．故选B．
一般地，给定了二次函数的图像，我们可以从图像中扑捉下列信息：（1）开口方向；（2）判别式的正负；
（3）对称轴；（4）特殊点的函数值的正负．
2
2
答案
解析
2
如图所示，当ab > 0时，函数y = ax2与f(x) = ax + b的图象是 （ ）
4
A.
B.
C.
D.
D
∵ab > 0, ∴a > 0, b > 0或a < 0, b < 0
当a > 0, b > 0时，函数y = ax2开口向上，f(x) = ax + b过第一、二、三象限，无选项；
当a < 0, b < 0时，函数y = ax2开口向下，f(x) = ax + b过第二、三、四象限，D选项正确；
故选：D
本题考查一次函数与二次函数图象，属于基础题.
答案
解析
3
若抛物线y = kx2 −2x −1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（ ）
A. k > −1
B. k ≥−1
C. k > −1且k ≠0
D. k ≥−1且k ≠0
C
∵二次函数y = kx2 −2x −1的图象与x轴有两个交点，
∴ b2 −4ac = (−2)2 −4 × k × (−1) = 4 + 4k > 0
∴ 解得k > −1，
∵抛物线y = kx2 −2x −1为二次函数，
∴k ≠0，
则k的取值范围为k > −1且k ≠0.
故选：C.
本题考查二次函数的零点问题，是基础题.
答案
解析
解答题
1
5
求函数y = −x2 + 2x + 3, x ∈[0, 3]的最大值和最小值.
最大值为4；最小值为0.
先求出二次函数的图象的对称轴，再结合函数的图象得解.函数y = −x2 + 2x + 3的对称轴为x = 1，
所以当x = 1时，函数取得最大值−12 + 2 + 3=4，
当x = 3时，函数取得最小值−32 + 6 + 3=0.
所以函数的最大值为4，最小值为0.
本题主要考查二次函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
答案
解析
2
已知函数f (x) = x2 −4x + 5
（1）写出函数y随x增大而增大的x的区间范围
（2）求f (x)在[1，4]上的最值
（3）求f (x)在[3，6]上的最值
（4）求f (x)在[−2，0]上的最值
（1）单调增区间为 [2, +∞)，（2） f(x)min = 1， f(x)max = 5
（3） f(x)min = 2， f(x)max = 17（4） f(x)min = 5， f(x)max = 17
答案
解析
6
（1）因为f (x) = x2 −4x + 5，
对称轴为x = 2，
所以函数的单调增区间为[2, +∞)
（2）当x ∈[1, 4]时，在[2, 4]上为增函数，
所以x = 2时，f(x)min = f(2) = 1，
当x = 4时，f(x)max = f(4) = 5，
（3）由（1）知f (x)在[3，6]上单调递增，
所以f(x)min = f(3) = 2，f(x)max = f(6) = 17，
（4）由（1）知f (x)在[−2，0]上单调递减，，
f(x)min = f(0) = 5，f(x)max = f(−2) = 17
3
已知抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)与x轴有两个不同的交点．
(1)求m的取值范围；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为(3,0)，求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标．
(1)m<4 (2)A的坐标为(－1,0), 顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1
（1）抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)与x轴有两个不同的交点即相应的二次方程有两个不等的实根；
（2）由抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)经过点B(3,0)，可得m值，进而得到A点坐标，从而得到结果.(1)∵抛
物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)与x轴有两个不同的交点，
∴方程x －2(m－1)x＋(m －7)＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝4(m－1) －4(m －7)＝－8m＋32>0，
∴m<4.
(2)∵抛物线y＝x －2(m－1)x＋(m －7)经过点B(3,0)，
∴9－6(m－1)＋m －7＝0，
2
2
答案
解析
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
7
m －6m＋8＝0，解得m＝2或m＝4.
由(1)知m<4，∴m＝2.
∴抛物线的解析式为y＝x －2x－3.
令y＝0，得x －2x－3＝0，
解得x ＝－1，x ＝3，
∴点A的坐标为(－1,0)．
又y＝x －2x－3＝(x－1) －4，
∴顶点坐标为(1，－4)，对称轴为直线x＝1.
本题考查二次函数的图像与性质，抛物线与x轴的交点问题常转化为二次方程的根，属于基础题.
2
2
2
1
2
2
2
试卷二
1
填空题
1
用反证法证明命题“设n ∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”时，应假设
.
已知 n2是偶数，则n是奇数
根据反证法证明命题的原理即可得解.
∵命题“设n ∈Z，已知n2是偶数，则n是偶数”，
可得题设为，“a ⋅b（a，b ∈Z∗）为偶数，
∴反设的内容是：假设已知n2是偶数，则n是奇数.
故答案为：已知n2是偶数，则n是奇数.
答案
解析
2
设全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，集合T = {3，6}，则S ∩T =
．
{2, 4, 7, 8}
由已知得可以求得S和T，再由交集运算即可解决.
∵全集U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S = {1，3，5}，集合T = {3，6}，
∴S = {2, 4, 6, 7, 8}，T = {1, 2, 4, 5, 7, 8}，
∴S ∩T = {2, 4, 7, 8}.
故答案为：{2, 4, 7, 8}.
–
答案
解析
–
–
–
–
3
设集合A = {x, xy, xy −1}，其中x ∈Z，y ∈Z且y ≠0. 若0 ∈A，则用列举法表示集合A = .
答案
2
{−1, 0, 1}
根据y ≠0且0 ∈A,结合集合的互异性原则可知xy −1 = 0,进而求得x和y的值,即可表示集合A.集合
A = {x, xy, xy −1},其中x ∈Z,y ∈Z且y ≠0.
若0 ∈A,则当x = 0时, x = xy = 0由集合的互异性可知不符合要求
所以xy −1 = 0,即xy = 1
则{
或{
当{
时,x = xy = 1, 由集合的互异性可知不符合要求
因而{
,此时x = −1, xy = 1, xy −1 = 0
所以A = {−1, 0, 1}
故答案为: {−1, 0, 1}
本题考查了元素与集合的关系,集合的互异性原则的应用,属于基础题.
解析
x = 1
y = 1
x = −1
y = −1
x = 1
y = 1
x = −1
y = −1
4
设集合T = {∅, {∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅} ∈T，④{∅} ⊆T中正确的是
（写出所有正
确命题对应的序号）.
①②③④.
根据集合T元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号.集合T = {∅, {∅}}，也即集合T的元
素为两个集合，一个是∅，另一个是{∅}.
对于①，空集是集合T的元素，故①正确.
对于②，空集是任何集合的子集，故②正确.
对于③，{∅}是集合T的元素，故③正确.
对于④，{∅}中含有元素∅，故④正确.
故答案为①②③④.
本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题.
答案
解析
5
将图中阴影部分可用交、并、补运算表示为
.
3
(A ∪C) ∩(∁UB)
根据韦恩图所表示的阴影部分的意义直接写出结论即可.
由韦恩图知，阴影部分在集合A中有一部分，另一部分在集合C中，即阴影部分在集合A ∪C中，
而阴影部分不在集合B中，则它必在集合B的补集中，
所以，阴影部分表示为(A ∪C) ∩(∁UB).
故答案为：(A ∪C) ∩(∁UB)
答案
解析
6
满足{1, 2} ⊆A ⊂{1, 2, 3, 4, 5}的集合A有
个．
7
根据非空子集的定义求解.
由题意可知A = {1, 2}与{3, 4, 5}的非空子集的并集，
而{3, 4, 5}的非空子集有有23 −1 = 7个，
所以满足条件的A有7个，
故答案为：7.
答案
解析
7
某年级有60人，有30人参加合唱团，有45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有10人，则参加运动队
而未参加合唱团的人数是 .
25
答案
解析
4
设全年级所有人构成全集U，参加合唱团的构成集合A，参加运动队的构成集合B，
则可用Venn图表示出关系如下：
由题可知集合A中的元素个数为30，
因为参加合唱团而未参加运动队的有10人，
则可得出A ∩B中元素个数为30 −10 = 20，
则可得参加运动队而未参加合唱团的构成的集合的元素个数为45 −20 = 25，
即参加运动队而未参加合唱团的人数为25.
故答案为：25.
选择题
1
陈老师说：“不努力是读不好书的”，陈老师的意思是“努力”是“读好书”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
B
首先求出原命题的逆否命题，根据互为逆否命题同真假的性质即可得到答案.因为命题“不努力是读不好书
的”，逆否命题为：“读好书是因为努力”.
所以“努力”是“读好书”的必要不充分条件.
故选：B
本题主要考查四种命题和充分条件及必要条件，互为逆否命题同真假是解题的关键，属于简单题.
答案
解析
2
已知方程x2 −(p −1)x + q = 0的解集为A，方程x2 + (q −1)x + p = 0的解集为B，A ∩B = {−2}，则（ ）
A. A ∪B = {−2, −1, 1}
B. A ⋂B={2}
C. A ⋂B=∅
D. A ⋂B={1}
–
–
–
5
AD
根据题意，得到{
求出{
，分别求出两集合，再由集合的混合运算，即可得出结果.
因为A ∩B = {−2}，将x = −2代入方程，得{
，解得{
，
则方程x2 −(p −1)x + q = 0为x2 + 3x + 2 = 0，解得x = −1或x = −2，所以A = {−1, −2}；
方程x2 + (q −1)x + p = 0为x2 + x −2 = 0，解得x = 1或x = −2，所以B = {1, −2}；
所以A ∪B = {−2, −1, 1}，A ∩(∁RB) = {−1}，(∁RA) ∩B = {1}．
故选：AD．
本题主要考查由集合的交集求参数，以及集合的混合运算，属于常考题型.
答案
解析
4 + 2p −2 + q = 0
4 −2q + 2 + p = 0
p = −2
q = 2
4 + 2p −2 + q = 0
4 −2q + 2 + p = 0
p = −2
q = 2
解答题
1
已知集合A = {x |1 ≤x < 3}，B = {x |1 ≤x ≤a}.
（1）若A⊂B，求实数a的取值范围；
（2）若B ⊆A，求实数a的取值范围.
（1） [3, +∞)（2） (−∞, 3)
（1）根据A⫋B，结合集合的包含关系，即可求得a的取值范围．
（2）根据B ⊆A，结合集合的包含关系，即可求得a的取值范围．
答案
解析
6
（1）由题意，集合A = {x |1 ≤x < 3}，B = {x |1 ≤x ≤a}，
又由A⫋B，可得a ≥3，
所以实数a的取值范围是[3, +∞)；
(2) 由集合A = {x |1 ≤x < 3}，B = {x |1 ≤x ≤a}，
又由B ⊆A，
当B = ∅时，a < 1，满足题意；
当B ≠∅时，{
，
所以1 ≤a < 3，
综上可知：a < 3，
即实数a的取值范围是(−∞, 3).
a ≥1
a < 3
2
已知全集为R，集合A = {x ∣x2 −5x + 6 = 0}；
(1)
若集合B = {x|ax ≤1}，存在x ∈A，使得x ∈B，求实数a的取值范围；
(2)
若集合C = {x|x2 −(m + 3)x + m2 = 0}, A ∪C = R，求实数m的取值范围；
(1) a ≤1
2 ；
(2) m < −1或 m ≥3.
(1) 由题设A = {2, 3}，
因为存在x ∈A，使得x ∈B，
当2 ∈B时2a ≤1，可得a ≤1
2 ；
当3 ∈B时3a ≤1，可得a ≤1
3 ；
当2, 3 ∈B时，可得a ≤1
3 .
–
答案
解析
7
综上，a ≤1
2 .
(2) 由A ∪C = R知：x2 −(m + 3)x + m2 = 0的有一个根或两个根或无解，
当方程有一个根2或3时，Δ = (m + 3)2 −4m2 = 9 + 6m −3m2 = 0，得m = −1或m = 3，
若m = −1时x2 −2x + 1 = (x −1)2 = 0，此时方程根为x = 1，不合要求；
若m = 3时x2 −6x + 9 = (x −3)2 = 0，此时方程根为x = 3，满足；
所以m = 3；
当方程有两根2和3时，{
且Δ > 0，无解；
当方程无解时，Δ = (m + 3)2 −4m2 = 9 + 6m −3m2 < 0，得m < −1或m > 3.
综上，m < −1或m ≥3.
–
m + 3 = 5
m2 = 6
3
证明：√2是无理数．（我们知道任意一个有理数都可以写成形如m
n （m，n互质，m ∈z, n ∈z）的形式）
详见解析
利用反证法，即可推得矛盾.
假设√2有理数，则√2 = m
n ，则m2 = 2n2，
m为整数，m2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，n2的尾数只能是0,1,4,5,6,9，
则2m2的尾数是0,2,8，由n2 = 2m2得，尾数为0，则n2的尾数是0，而m2的尾数为0或5，
这与m
n 为最简分数，m, n的最大公约数是1，相矛盾，
所以假设不正确，√2是无理数.
答案
解析
试卷三
1
填空题
1
不等式1 −
7
2x −1 ≤0的解集是
.
{x
1
2 < x ≤4}
原不等式即为{
或{
，分别解出，再求交集即可．不等式1−
7
2x −1 ≤0
即为2x −8
2x −1 ≤0，
即为{
或{
，
即有x∈∅或1
2 ＜x≤4，
则解集为{x
1
2 < x ≤4}．
故答案为{x
1
2 < x ≤4}．
本题考查分式不等式的解法，考查转化为一次不等式组求解，考查运算能力，属于基础题．
答案
解析
2x −8 ≥0
2x −1＜0
2x −8 ≤0
2x −1＞0
2x −8 ≥0
2x −1＜0
2x −8 ≤0
2x −1＞0
2
不等式 |2x −1| −|x −2| < 0 的解集为
．
(−1, 1)
解: 因为 |2x −1| −|x −2| < 0 ⇔|2x −1| < |x −2| ⇔(2x −1)2 < (x −2)2 ⇔3x2 < 3 ⇔−1 < x < 1
答案
解析
3
关于x的不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集为{x| −2 < x < 3}，则a + b =
．
2
0
根据一元二次不等式的解集求得a, b，进而求得a + b.
由于不等式ax2 + bx + 2 > 0的解集为{x| −2 < x < 3}，
所以
，解得a = −1
3 , b = 1
3 ，
所以a + b = 0.
故答案为：0
答案
解析
⎧
⎨
⎩
−2 + 3 = 1 = −b
a
−2 × 3 = −6 = 2
a
4
已知关于x的不等式2x −5
x2 −a ≤1的解集为M，若3 ∉M，则实数a的取值范围是
．
8 < a ≤9
若3 ∈M，则将3代入不等式求解即可得到a的范围，根据题意求其补集即可.
∵关于x的不等式2x −5
x2 −a ≤1的解集为M，
若3 ∈M，则有6 −5
9 −a ≤1，即a −8
a −9 ≥0，所以{
，
解得a ≤8或a > 9．
因此若3 ∉M，则8 < a ≤9
故答案为：8 < a ≤9
答案
解析
(a −8)(a −9) ≥0
a −9 ≠0
5
若关于x的不等式x2 −mx + 1 > 0的解集为R，则实数m的取值范围是
.
$-2<2$
结合对应二次函数的性质分析可得，函数图象恒在x轴上方，与x轴无交点，即Δ = m2 −4 < 0，求解即可
答案
解析
3
由题意，关于x的不等式x2 −mx + 1 > 0的解集为R
根据二次函数性质，对应的二次函数y = x2 −mx + 1开口向上，要保证x2 −mx + 1 > 0恒成立，即函数图象
恒在x轴上方，与x轴无交点
即Δ = m2 −4 < 0
解得：$-2<2$
故实数m的取值范围是$-2<2$
故答案为：$-2<2$
6
已知函数f(x) = x2 + 2x + 3 + m，若f(x) ≥0对任意的x ∈[1, 2]恒成立，则实数m的取值范围是
.
[−6, +∞)
对任意x ∈[1, 2]，f(x) ≥0恒成立，等价于x2 + 2x + 3 ≥−m在[1, 2]上恒成立，令g(x) = x2 + 2x + 3，求其在
[1, 2]上的最小值即可.
对任意x ∈[1, 2]，f(x) ≥0恒成立，
等价于x2 + 2x + 3 ≥−m在[1, 2]上恒成立，
令g(x) = x2 + 2x + 3，
则其在[1, 2]上的最小值为g(1) = 6，所以6 ≥−m，得m ≥−6.
故答案为：[−6, +∞)
答案
解析
7
若0 < a < 1，则关于x的不等式(x −a) (x −1
a ) > 0的解集为
．
{x
x < a或x > 1
a }
根据一元二次不等式的解法计算即可.
方程(x −a) (x −1
a ) = 0的解为x = a或1
a ，
因为0 < a < 1，所以a < 1
a ，
所以关于x的不等式(x −a) (x −1
a ) > 0的解集为{x
x < a或x > 1
a }.
答案
解析
4
故答案为：{x
x < a或x > 1
a }.
选择题
1
已知集合M = {x
x + 3
x −3 ≤0, x ∈Z}, N = {x |1 < x ≤4}，则M ∩N =（ ）
A. {x |1 < x < 3}
B. {1, 2}
C. {2}
D. {2, 3, 4}
C
求出集合M后可求M ∩N.
M = {x| −3 ≤x < 3, x ∈Z} = {−3, −2, −1, 0, 1, 2},
故M ∩N = {2}，
故选：C.
答案
解析
2
当0 < a < 1时，关于x的不等式(x −3) [(1 −a)x + (a −3)] < 0的解集为（ ）
A. (−∞, a −3
a −1 ) ∪(3, +∞)
B. (−∞, 3) ∪( a −3
a −1 , +∞)
C. (3, a −3
a −1 )
D. ( a −3
a −1 , 3)
C
将原不等式转换为(x −3) [x −a −3
a −1 ] < 0，在0 < a < 1的前提下，比较3, a −3
a −1 的大小即可得解.
0 < a < 1时，1 −a > 0，不等式(x −3) [(1 −a)x + (a −3)] < 0可化为(x −3) [x −a −3
a −1 ] < 0，
答案
解析
5
因为a −3
a −1 −3 = a −3 −3a + 3
a −1
= −2a
a −1 ，且0 < a < 1，
所以−2a
a −1 > 0，a −3
a −1 > 3，
解原不等式，得3 < x < a −3
a −1 ，
所以原不等式的解集为{x|3 < x < a −3
a −1 }.
故选：C.
解答题
1
解下列不等式:
(1)
2x2 + 3x −7
x2 −x −2
≥1
(2)
x|x −1| ≤|x|
(1) (1)(−∞, −5] ∪(−1, 1] ∪(2, +∞)
(2) (−∞, 2]
(1) 首先将1移到不等号左边并通分化简，然后根据分式不等式，并运用穿根法即可求出不等式的解集；
(1) 根据不等式 2x2 + 3x −7
x2 −x −2
≥1 ，可得 2x2 + 3x −7
x2 −x −2
−1 ≥0 ，
通分化简可得: 2x2 + 3x −7 −x2 + x + 2
x2 −x −2
= x2 + 4x −5
x2 −x −2 = (x + 5)(x −1)
(x −2)(x + 1) ≥0
不等式等价于 (x + 5)(x −1)(x −2)(x + 1) ≥0 且 x ≠2 且 x ≠−1.
根据穿根法，解得原不等式的解集为 (−∞, −5] ∪(−1, 1] ∪(2, +∞)
(2) 分别讨论 x ≥0 与 x < 0 两种情况，然后分别根据绝对值不等式即可求出不等式的解集.
当 x ≥0 时，原不等式等价为 x|x −1| ≤x ，
即 |x −1| ≤1，−1 ≤x −1 ≤1 ，解得 0 ≤x ≤2 ；
当 x < 0 时，原不等式等价为 x|x −1| ≤−x ，
因为 |x −1| ≥−1 恒成立，所以解得 x < 0.
综上所述: 原不等式的解集为 (−∞, 2].
答案
解析
2
已知关于x的不等式kx2 −2x + 6k < 0 (k > 0)．
(1)
若不等式的解集为A = (2, 3)，求实数k的值；
6
(2)
若不等式在x ∈(2, 3)时恒成立，求实数k的取值范围．
(1) k = 2
5 ；
(2) $0.
(1) 由题设知：2, 3是方程kx2 −2x + 6k = 0 (k > 0)的两个根，
所以2
k = 2 + 3 = 5，即k = 2
5 ，经检验满足题设，
所以k = 2
5 .
(2) 令f (x) = x2 −2
k x + 6，则f(x) < 0在x ∈(2, 3)上恒成立，
而f(x)开口向上且对称轴x = 1
k > 0，故Δ = 4
k2 −24 > 0，
所以0 < k <
√6
6 ，此时对称轴x = 1
k ∈(√6, +∞)，
当√6 < 1
k < 3 ⇒1
3 < k < √6
6 时，
⇒k ≤2
5 ，此时$\dfrac13；
当1
k ≥3 ⇒0 < k ≤1
3 时，只需f(2) = 10 −4
k ≤0 ⇒k ≤2
5 ，此时0 < k ≤1
3 ；
综上，$0.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
f(2) = 10 −4
k ≤0
f(3) = 15 −6
k ≤0
3
（1）若不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 ≥−2对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
（2）已知实数m < 0，解关于x的不等式mx2 + (1 −m)x + m −2 < m −1.
7
（1） {m|m ≥1
3 }；（2）答案见解析
（1）由题设mx2 + (1 −m)x + m ≥0对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成
立列不等式组求范围即可．
（2）讨论m = 0、m ≠0，结合一元二次不等式的解法求解集．
（1）由mx2 + (1 −m)x + m −2 ≥−2得mx2 + (1 −m)x + m ≥0对一切实数x恒成立，
当m = 0时，mx2 + (1 −m)x + m = x ≥0不恒成立，故不符合题意；
当m ≠0时，要使得对一切实数x，不等式mx2 + (1 −m)x + m ≥0恒成立，
则{
，可得m ≥1
3 ；
综上，m的范围为{m|m ≥1
3 }．
（2）当m = 0时，mx2 + (1 −m)x + m −2 < m −1，
即x −2 < −1，可得x < 1，解集为{x|x < 1}；
当m ≠0时，mx2 + (1 −m)x −1 = m (x + 1
m ) (x −1) < 0，
当m < 0，则(x + 1
m ) (x −1) > 0，
若−1
m > 1，即−1 < m < 0时，可得x > −1
m 或x < 1，解集为{x|x < 1或x > −1
m }；
若−1
m = 1，即m = −1时，可得x ≠1，解集为{x|x < 1或x > 1}；
若−1
m < 1，即m < −1时，可得x > 1或x < −1
m ，解集为{x|x < −1
m 或x > 1}；
当m > 0，则(x + 1
m ) (x −1) < 0，可得−1
m < x < 1，解集为{x| −1
m < x < 1}，
综上，当m = 0时，解集为{x|x < 1}；
当−1 < m < 0时，解集为{x|x < 1或x > −1
m }；
当m = −1时，解集为{x|x < 1或x > 1}；
当m < −1时，解集为{x|x < −1
m 或x > 1}；
当m > 0时，解集为{x| −1
m < x < 1}．
答案
解析
m > 0
Δ = (1 −m)2 −4m2 ≤0
试卷四
1
填空题
1
已知正实数x, y满足xy = 1，则x + y的最小值是
.
2
根据基本不等式直接求解即可.
解：因为正实数x, y满足xy = 1，
所以，由基本不等式可知，x + y ≥2√xy = 2，当且仅当x = y = 1时等号成立，
所以，x + y的最小值是2.
故答案为：2
答案
解析
2
设实数x < 1，当代数式2x +
1
x −1 取最大值时，x的值为
．
1 −√2
2
由基本不等式求最大值可得结论．
因为x < 1，所以−(x −1) > 0，
所以2x +
1
x −1 = −[−2 (x −1) +
1
−(x −1) ] + 2 ≤−2√2 (x −1) ⋅
1
x −1 + 2 = −2√2 + 2，
当且仅当2 (x −1) =
1
x −1 ，即x = 1 −√2
2 时等号成立．
故答案为：1 −√2
2 ．
答案
解析
3
设x, y ∈(0, +∞)，且x + 2y = 1，则1
x + 1
y 的最小值为（ ）
2
A. 7
B. 6
C. 3 + 2√2
D. 3 + √2
C
根据题意，化简1
x + 1
y = (x + 2y) ( 1
x + 1
y ) = 3 + 2y
x + x
y ，结合基本不等式，即可求解.
因为x > 0，y > 0，x + 2y = 1，
则1
x + 1
y = (x + 2y) ( 1
x + 1
y ) = 3 + 2y
x + x
y ≥3 + 2√2y
x × x
y = 3 + 2√2，
当且仅当2y
x = x
y 时，即x = 2√2 −2
2
, y = 2 −√2
2
时，等号成立，
所以1
x + 1
y 的最小值为3 + 2√2.
故选：C.
答案
解析
4
若|x −2| + |x + 4| ≥6对所有实数x都成立，则等号成立时x的取值范围为
．
[−4, 2]
根据绝对值三角不等式关系即可求解.
因为|x −2| + |x + 4| ≥|x −2 −x −4| = 6，当且仅当(x −2) (−x −4) ≥0时，即−4 ≤x ≤2时等号成立．
故答案为：[−4, 2]
答案
解析
5
若x ∈(0, 2)，则1
x +
1
2 −x 的最小值是
.
2
由基本不等式的乘“1”法求解即可；
因为x ∈(0, 2)，所以2 −x ∈(0, 2)，
答案
解析
3
所以
1
x +
1
2 −x = 1
2 [x + (2 −x)] ( 1
x +
1
2 −x ) = 1
2 (2 + 2 −x
x
+
x
2 −x ) ≥1
2 (2 + 2√2 −x
x
⋅
x
2 −x ) = 2，
当且仅当2 −x
x
=
x
2 −x ，即x = 1时取等号，所以1
x +
1
2 −x 的最小值是2.
故答案为：2.
6
若关于x的不等式|x + 1| + |x −2| > a2 + a + 1对于一切实数x都成立，则实数a的取值范围是
.
−2 < a < 1
利用绝对值三角不等式求左侧最小值，结合恒成立有a2 + a + 1 < 3，即可求参数范围.
由|x + 1| + |x −2| ≥|x + 1 −x + 2| = 3，当且仅当−1 ≤x ≤2时取等号，
所以a2 + a + 1 < 3 ⇒(a + 2)(a −1) < 0 ⇒−2 < a < 1.
故答案为：−2 < a < 1
答案
解析
7
某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在
P1 + P2为定值的情况下，P的最大值为
（用P1､P1表示）
P1 + P2
2
根据题意列出(1 + P1)(1 + P2) = (1 + P)2，再根据基本不等式可求出结果.
设第一年的产值为1，则第二年的产值为1 + P1，第三年的产值为(1 + P1)(1 + P2)，
又这两年的平均增长率为P，所以(1 + P1)(1 + P2) = (1 + P)2，
因为P1 + P2为定值，所以(1 + P)2 = (1 + P1)(1 + P2) ≤( 1 + P1 + 1 + P2
2
)
2
= (1 + P1 + P2
2
)
2
，当且仅当
P1 = P2时，等号成立，
所以1 + P ≤1 + P1 + P2
2
，所以P ≤P1 + P2
2
，
所以P的最大值为P1 + P2
2
.
故答案为：P1 + P2
2
答案
解析
4
选择题
1
已知a、b ∈R，若ab ≠0，则下列不等式：
①a2 + b2
2
≥ab；②
b
a
+
a
b
≥2；
③b
a + a
b ≥2；④a + b ≥2√ab．
其中恒成立的不等式序号是
A. ①、③
B. ①、②
C. ②、③
D. ②、④
B
根据基本不等式和作差比较法，即可判定，得到答案.对于①中，因为
a2 + b2
2
−ab = a2 + b2 −2ab
2
= 1
2 (a −b)2 ≥0，所以a2 + b2
2
≥ab是正确的；
对于②中，由ab ≠0，则
b
a
> 0,
a
b
> 0，所以
b
a
+
a
b
≥2√
b
a
⋅
a
b
= 2，当且仅当
b
a
=
a
b
时，即a = ±b是等号成立，所以
b
a
+
a
b
≥2是正确的；
对于③中，当ab < 0时，b
a + a
b < 0，所以b
a + a
b ≥2不正确；
对于④中，当a < 0, b < 0时，a + b < 0, 2√ab > 0，所以a + b ≥2√ab不正确，
故选B.
本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”，以及熟练应用基本
不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
答案
解析
2
设非负实数x，y满足2x + y = 1，则下列说法正确的是（ ）
A. xy的最大值是1
4
B.
1
2x + 1
y 的最小值是8
C. 4x2 + y2的最小值是1
2
D. y + x2的最小值是0
C
对于ABC：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于D：根据题设条件反推即可.
答案
解析
5
因为非负实数x，y满足2x + y = 1，
对于选项A：因为xy = 1
2 (2x) ⋅y ≤1
2 × (2x + y)2
4
= 1
8 ，
当且仅当2x = y = 1
2 时，等号成立，
所以xy的最大值是1
8 ，故A错误；
对于选项B：因为1
2x + 1
y = (2x + y) ( 1
2x + 1
y ) = 2 + y
2x + 2x
y ≥2 + 2√y
2x ⋅2x
y = 4，
当且仅当y
2x = 2x
y ，即2x = y = 1
2 时，等号成立，
所以1
2x + 1
y 的最小值是4，故B错误；
对于选项C：因为4x2 + y2 = (2x)2 + y2 ≥(2x + y)2
2
= 1
2 ，
当且仅当2x = y = 1
2 时，等号成立，
所以4x2 + y2的最小值是1
2 ，故C正确；
对于选项D：因为x，y为非负实数，
若y + x2的最小值是0，当且仅当x = y = 0时成立，
但此时不满足2x + y = 1，所以0不是y + x2的最小值，故D错误；
故选：C.
解答题
1
已知函数 y = f(x) 满足 f(x) = |x −a2| + |x −2a + 1|．
(1)
当 a = 2 时，求不等式 f(x) ⩾4 的解集；
(2)
若 f(x) ⩾4 恒成立，求实数 a 的取值范围．
答案
6
(1) (1) {x
x ≤3
2 或 x ≥11
2 }
(2) (2) (−∞, −1] ∪[3, +∞)
(1) （1）当 a = 2 时, f(x) = |x −4| + |x −3|,
f(x) ≥4 等价为 {
或 {
或 {
解得 x ≤3
2 或 x ∈∅ 或 x ≥11
2 ,
则不等式 f(x) ≥4 的解集为 {x
x ≤3
2 或 x ≥11
2 };
(2) (2) f(x) ≥4 恒成立等价为 f(x)min ≥4.
由 f(x) =
x −a2
+ |x −2a + 1| ≥
x −a2 −x + 2a −1
= a2 −2a + 1,当 (x −a2)(x −2a + 1) ≤0 时,
上式取得等号,则 a2 −2a + 1 ≥4, 解得 a ≥3 或 a ≤−1.
所以实数 a 的取值范围为 (−∞, −1] ∪[3, +∞).
解析
x ≤3
4 −x + 3 −x ≥4
3 < x < 4
4 −x + x −3 ≥4
x ≥4
x −4 + x −3 ≥4
2
2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见，令游客驻足欣
赏；据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格=固定价格+浮动价格，其中固定价格为60元，
浮动价格=
5
销售量（浮动价格单位：元，销售量单位：万件），假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售
价不超过100元时，销售量为10万件：当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减小0.2万件，总
利润=（售价-供货价格）×销售量；
(1)
当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元？
(2)
每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元？
(1) 245万元
(2) 每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元
答案
7
(1) 由题意，当单价售价为85元时，销售量为10万件，浮动价格为0.5元，供货价格为60 + 0.5 = 60.5元，
故总利润为：10 × (85 −60.5) = 245万元；
(2) 当x ≤100时，销售量为10万件，供货价为60.5元，
则60.5 < x ≤100，且x ∈N，
因而，当x ≤100时，单价利润x −60.5 ≤39.5，
即单价利润最大为39.5元；
当x > 100时，销售量为10 −0.2(x −100) = 30 −0.2x（万件），
同时，30 −0.2x > 0，解得100 < x < 150，且x ∈N，
此时单价利润为：x −60 −
5
30 −0.2x = x −60 −
25
150 −x
= −[(150 −x) +
25
150 −x ] + 90 ≤−2√(150 −x) ⋅
25
150 −x + 90 = 80，
当且仅当150 −x =
25
150 −x ，即x = 145时，取等号
因为80 > 39.5，
故当每件吉祥物的售价为145元时，单件吉祥物的利润最大，最大为80元．
解析
3
厦门市杏南中学一年一度的校运动会将在十月份举行.学校各单门已经开始各项准备工作，其中宣传报道组制作了
各式各样的宣传海报供各个单位使用.如图，一份矩形宣传海报的排版面积（矩形ABCD）为P，根据设计要求，它
的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为2a的空白.
(1)
若AB = 20cm，BC = 30cm，且该海报的面积不超过1000cm2，求a的取值范围；
(2)
若a = 2cm，P = 800cm2，则当AB长多少时，才能使纸的用量最少？
8
(1) {a |0 < a ≤2.5}
(2) 20cm
(1) 依题意可得(20 + 2a) (30 + 4a) ≤1000，
即2a2 + 35a −100 ≤0，
解得−20 ≤a ≤2.5，
又∵a > 0，
∴0 < a ≤2.5，
故a的取值范围为{a |0 < a ≤2.5}.
(2) 记宣传单的面积为S，设AB = xcm，则BC = 800
x cm，
∴S = (x + 4) ⋅( 800
x
+ 8) = 8x + 3200
x
+ 832 ≥2√8x ⋅3200
x
+ 832 = 1152，
当且仅当8x = 3200
x
，即x = 20，等号成立，
∴当AB长为20cm时，宣传单面积最小，最小值为1152cm2.
答案
解析
