教师版高三数学暑假《志高小组课》练习册_2026年暑假《新东方》高三志高班讲义（数学）

01 二次函数
1
巩固练习
考点1：二次函数的概念
A组
1
函数f (x) = x2 −6x + 8，x ∈[1, a] (a > 1)，且f (x)的最大值是f (a)，则实数a的取值范围是 
 ．
[5, +∞)
根据二次函数图像及性质判断函数在x ∈[1, a] (a > 1)上最大值是f (a)，进而确定参数取值范围.
因为f (x) = x2 −6x + 8 = (x −3)2 −1，f (1) = 3,故函数如图所示：
因为当x ∈[1, a] (a > 1)时，f(x)max = f (a)，且f (1) = f (5)，
所以有：a ≥5，
故答案为：[5, +∞).
答案
解析
2
已知函数f (x) = x2 −2ax + 5，其中a > 1，若函数f (x)的定义域和值域均为[1, a]，则实数a的值为 
 ．
2
答案
解析
2
根据一元二次函数f(x) = x2 −2ax + 5(a > 1)的对称轴x = a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求
出值域，即可得到方程组，解得即可．
解：∵f(x) = x2 −2ax + 5，对称轴为x = a，开口向上，所以函数在(−∞, a]上单调递减，
∴f(x) = x2 −2ax + 5在[1, a]上单调递减，
∴f(x)max = f (1) = a且f(x)min = f (a) = 1，
即{
，解得a = 2
故答案为：2
12 −2a × 1 + 5 = a
a2 −2a × a + 5 = 1
B组
1
已知函数y = (m2 + 4m −5)x2 + 4(1 −m)x + 3对任意实数x，函数值恒大于零，则实数m的取值范围是 
 .
{m|1 ≤m < 19}
分类讨论考虑二次项的系数为0和不为0，当二次项的系数为0时，m = 1满足题意；当二次项系数不为0时，
m2 + 4m −5 > 0且Δ < 0，解不等式即可得解.
①当m2 + 4m −5 = 0时，m = −5或m = 1.
若m = −5，则函数化为y = 24x + 3，其对任意实数x不可能恒大于0；
若m = 1，则y = 3 > 0恒成立；
②当m2 + 4m −5 ≠0时，根据题意得{
$\Rightarrow \left\{\begin{array}
{l}m<-5\mathrm{或}m>1\1<19\end{array}\right.$，
综上可知实数m的取值范围是{m|1 ≤m < 19}.
关键点点睛：本题以函数为载体，考虑恒成立问题，解题的关键是分类讨论及利用二次函数的图像求解，考
查学生的分类讨论思想与运算求解能力，属于一般题.
答案
解析
m2 + 4m −5 > 0
Δ < 0
C组
1
已知函数f (x) = −x2 + (m −2)x + 2 −m，x ∈R．若函数y = |f (x)|在[−1，0]上是减函数，则实数m的取值范围是
（       ）
A. 0
B. 1
C. -2
D. 3
答案
3
CD
令f (x) = −x2 + (m −2)x + 2 −m = 0，由y = |f (x)|，要分析f (x) = 0的根的情况，所以分△≤0和△> 0两
种情况，结合函数y = |f (x)|在[−1，0]上是减函数求解.
令f (x) = −x2 + (m −2)x + 2 −m = 0，
则Δ = (m −2)2 −4 (m −2) = (m −2) (m −6)；
当Δ ≤0，即2 ≤m ≤6时，f (x) = −x2 + (m −2)x + 2 −m ≤0恒成立，
所以|f (x)| = x2 −(m −2)x + m −2．
因为y = |f (x)|在[−1，0]上是减函数，
所以m −2
2
≥0，解得m ≥2，
所以2 ≤m ≤6．
当Δ > 0时，解得m < 2<>或m > 6，
当m > 6时，y = |f (x)|的图象对称轴x = m −2
2
> 2，且方程f (x) = 0的两根均为正，
此时y = |f (x)|在[−1，0]为减函数，所以m > 6符合条件．
当m < 2<>时，y = |f (x)|的图象对称轴x = m −2
2
< 0<>，且方程f (x) = 0的根一正一负，
要使y = |f (x)|在[−1，0]单调递减，则m −2
2
≤−1，
解得m ≤0．
综上可得，实数m的取值范围为(−∞，0 ]∪[2，+ ∞)．
故选：CD.
本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系及应用，还考查了分类讨论的思想和数形结合思想，属于中档
题.
解析
考点2：含参最值的分类讨论
B组
1
已知二次函数f(x) = −x2 + 2ax −a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值．
a = −2或 a = 3
答案
4
对二次函数先配方，找出对称轴，针对对称轴在区间[0,1]的不同位置，研究函数的最大值即可．
已知二次函数f(x) = −x2 + 2ax −a = −(x −a)2 + a2 −a的图象开口向下，对称轴为x=a．
当a < 0时，f(x)在[0,1]上是减函数，x = 0时，f(x)取得最大值f(0) = −a = 2, a = −2；
当0 ≤a ≤1时，f(x)在[0, a]上是增函数，f(x)在[a, 1]上是减函数，x=a时，f(x)取得最大值为
f(a) = −a2 + 2a2 −a = 2，a2 −a −2 = 0，a = −1或a = 2，不满足0 ≤a ≤1，故舍去；
当a > 1时，f(x)在[0,1]上是增函数，x = 1时，f(x)取得最大值f(1) = −1 + 2a −a = a −1 = 2, a = 3
综上所述：a = −2或a = 3
解析
2
已知二次函数f(x) = ax2 + (2a −1)x + 1在区间[−3
2 , 2]上的最大值为3，求实数a的值．
a = 1
2 或 a = −2
3
解：（1）令f(−2a −1
2a
) = 3，得a = −1
2 ，此时抛物线开口向下，对称轴为x = −2，且−2 ∉[−3
2 , 2]
故a = −1
2 不合题意；
（2）令f(2) = 3，得a = 1
2 ，此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴远些，故a = 1
2 符合题意；
（3）若f(−2
3 ) = 3，得a = −2
3 ，经检验，符合题意．
综上，a = 1
2 或a = −2
3
本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明
了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法，属于中档题．
答案
解析
3
5
关于x的不等式ax2 −2x + 1 ≤0在(0, 2]上有解，则实数a的取值范围是 
 .
(−∞, 1]
根据题意将不等式转化为a ≤2x −1
x2
在(0, 2]能成立即可，再由二次函数性质求出y = ( 2x −1
x2
)
max
, x ∈(0, 2]
即可得a的取值范围是(−∞, 1].
由不等式ax2 −2x + 1 ≤0以及x ∈(0, 2]可得a ≤2x −1
x2
，
依题意可知a ≤( 2x −1
x2
)
max
, x ∈(0, 2]即可，
令y = 2x −1
x2
, x ∈(0, 2]，
又y = 2x −1
x2
= −( 1
x −1)
2
+ 1，由x ∈(0, 2]可得1
x ∈[ 1
2 , +∞)，
利用二次函数性质可知ymax = −(1 −1)2 + 1 = 1，即可得a ≤1；
即实数a的取值范围是(−∞, 1].
故答案为：(−∞, 1]
答案
解析
考点3：一元二次方程根的分布
A组
1
已知一元二次方程x2 + (a2 −9)x + a2 −5a + 6 = 0一个根小于0，另一根大于2，求a的取值范围．
$2<\dfrac{8}{3}$
答案
6
设f(x) = x2 + (a2 −9)x + a2 −5a + 6，则由题意可得{
，由此求得a的范围．
解：设f(x) = x2 + (a2 −9)x + a2 −5a + 6，则由题意可得{
，
解a2 −5a + 6 < 0得$2<3$；解3a2 −5a −8 < 0得$-1<\dfrac{8}{3}$；
综上可得$2<\dfrac{8}{3}$．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础
题．
解析
f(0) = a2 −5a + 6 < 0
f(2) = 3a2 −5a −8 < 0
f(0) = a2 −5a + 6 < 0
f(2) = 3a2 −5a −8 < 0
2
一元二次方程x2 + (2a −1)x + a −2 = 0的一根比1大，另一根比－1小，则实数a的取值范围是 
 ．
(0, 2
3 )
直接利用方程对应的二次函数零点的分布，推出关系式，求出a的取值范围即可
设f (x) = x2 + (2a −1)x + a −2
一元二次方程x2 + (2a −1)x + a −2 = 0的一根比1大，另一根比－1小，
只需满足{
即{
解得 $0<\dfrac{2}{3}$
故答案为：(0, 2
3 ).
答案
解析
f (1) < 0
f (−1) < 0
1 + (2a −1) + a −2 < 0
1 −(2a −1) + a −2 < 0
C组
1
已知a是实数，函数f (x) = 2ax2 + 2x −3 −a．如果函数y = f (x)在区间[−1, 1]上有零点，求a的取值范围．
7
(−∞, −3 + √7
2
] ∪[1, +∞)
对实数a的取值进行分类讨论，对函数f (x)在区间[−1, 1]上的零点个数进行分类讨论，可得出关于实数a的等
式或不等式（组），综合可得出实数a的取值范围.
解：当a = 0时，f (x) = 2x −3，由f (x) = 0可得x = 3
2 ，不合乎题意；
当a ≠0时，分以下几种情况讨论：
①若f (x) = 0在[−1, 1]上两个相等的实根，则{
，解得a = −3 + √7
2
；
②若函数f (x)在[−1, 1]上只有一个零点（不是两个相等的实根），
则f (−1) ⋅f (1) ≤0，即(a −5) (a −1) ≤0，解得1 ≤a ≤5，
当a = 1时，由f (x) = 2x2 + 2x −4 = 0，解得x = 1或x = −2（舍），合乎题意，
当a = 5时，由f (x) = 10x2 + 2x −8 = 0，解得x = −1或x = 4
5 ，不合乎题意，
此时，1 ≤a < 5；
③若函数f (x)在[−1, 1]有两个不等的零点，
则
或
，解得a ≥5或a < −3 + √7
2
.
综上所述，实数a的取值范围是(−∞, −3 + √7
2
] ∪[1, +∞).
答案
解析
Δ = 4 + 8a (3 + a) = 0
−1 ≤−1
2a ≤1
⎧
⎨
⎩
a > 0
Δ = 4 + 8a (a + 3) > 0
−1 < −1
2a < 1
f (−1) = a −5 ≥0
f (1) = a −1 ≥0
⎧
⎨
⎩
a < 0
Δ = 4 + 8a (a + 3) > 0
−1 < −1
2a < 1
f (−1) = a −5 ≤0
f (1) = a −1 ≤0
2
已知函数f (x) = ax2 −2ax + b (a, b ≥0)在x ∈[1, 3]时有最大值4和最小值0，设g (x) = f (x)
x
.若关于x的方程
g (|2x −1|) +
2m
|2x −1| −3m + 1 = 0有三个不同的实数解，求实数m的取值范围 
 
(1, +∞)
根据题意得a > 0，再根据二次函数单调性列方程求解a, b；再用换元法化简方程
答案
解析
8
g (|2x −1|) +
2m
|2x −1| −3m + 1 = 0为一元二次方程的形式，结合指数型函数的图象、一元二次方程根的分布
的知识求得m的取值范围.
f (x) = ax2 −2ax + b = a(x −1)2 + b −a，(a, b ≥0)
因为，当a = 0时，f (x) = b，为常函数，不满足题意；
所以，a > 0，f (x) = a(x −1)2 + b −a在x ∈[1, 3]上单调递增，
因为函数f (x) = ax2 −2ax + b (a, b ≥0)在x ∈[1, 3]时有最大值4和最小值0，
所以{
，解得a = b = 1，
方程g (|2x −1|) +
2m
|2x −1| −3m + 1 = 0等价于|2x −1| +
1
|2x −1| −2 +
2m
|2x −1| −3m + 1 = 0，
即|2x −1|2 −(1 + 3m) |2x −1| + (1 + 2m) = 0，|2x −1| ≠0，
令|2x −1| = t，则方程化为t2 −(1 + 3m)t + (1 + 2m) = 0，(t ≠0)，
因为方程g (|2x −1|) +
2m
|2x −1| −3m + 1 = 0有三个不同的实数解，
所以，画出t = |2x −1|的图像如下图所示，
所以t2 −(1 + 3m)t + (1 + 2m) = 0，(t ≠0)，有两个根t1､t2，且0 < t1 < 1 < t2或0 < t1 < 1，t2 = 1.
记h (t) = t2 −(1 + 3m)t + (1 + 2m)，
所以，{
，即
，此时m > 1
或
得
，此时m无解，
综上，m > 1，即实数m的取值范围(1, +∞).
故答案为：(1, +∞).
关键点点睛：本题关键在于令|2x −1| = t，进而结合题意，数形结合得t2 −(1 + 3m)t + (1 + 2m) = 0，
(t ≠0)，有两个根t1､t2，且0 < t1 < 1 < t2或0 < t1 < 1，t2 = 1，再根据零点存在性定理求解即可.
f (1) = b −a = 0
f (3) = 3a + b = 4
h (0) = 1 + 2m > 0
h (1) = 1 −m < 0
⎧
⎨
⎩
m > −1
2
m > 1
⎧
⎨
⎩
h (0) = 1 + 2m > 0
h (1) = 1 −m = 0
0 < −−(1 + 3m)
2
< 1
⎧
⎨
⎩
m > −1
2
m = 1
−1
3 < m < 1
3
02 幂指对函数
1
巩固练习
考点1：幂函数的图像及其性质
A组
1
已知幂函数y = f (x)的图像过点(2,
√2
2 )，则f (4) = 
 .
1
2
首先将点代入幂函数的解析式，即可求解析式，再求值.
设f (x) = xα，则f (2) = 2α = √2
2 ，则α = −1
2 ，
则f (x) = x−1
2 ，所以f (4) = 4−1
2 = 1
2 .
故答案为：1
2
答案
解析
2
已知α ∈{−2, −1, −1
2 , 1
3 , 1
2 , 1, 2, 3}.若函数f(x) = xα在(0, +∞)上递减且为偶函数，则α = 
 .
−2
解：根据题意，函数f(x) = xα为幂函数，
若函数f(x) = xα在(0, +∞)上递减，必有a < 0，则a = −2、−1或−1
2 ，
当a = −2时，f(x) = x−2 = 1
x2 ，为偶函数，符合题意，
当a = −1时，f(x) = x−1 = 1
x ，为奇函数，不符合题意，
当a = −1
2 时，f(x) =
1
√x ，为非奇非偶函数，不符合题意；
答案
解析
2
则a = −2；
故答案为：−2.
本题考查幂函数的性质，注意幂函数的单调性以及奇偶性的分析，属于基础题．
3
幂函数y = (m2 −5m + 7)xm−3的图像与两条坐标轴均没有公共点，则实数m的取值集合是 
 .
{2, 3}
根据幂函数的定义及性质列方程与不等式求解即可得实数m的取值集合.
解：因为幂函数y = (m2 −5m + 7)xm−3，所以m2 −5m + 7 = 1 ⇒m2 −5m + 6 = 0，
解得m = 2或m = 3，
幂函数y = (m2 −5m + 7)xm−3的图像与两条坐标轴均没有公共点，所以m −3 ≤0，即m ≤3，
所以m = 2或m = 3均符合题意，则实数m的取值集合是{2, 3}.
故答案为：{2, 3}.
答案
解析
B组
1
函数f (x) = x−1
2 ，则不等式f(2x −1) > f(x + 1)的解集为 
 ．
( 1
2 , 2)
根据不等式，结合幂函数的单调性建立不等式组，解之即可求解.
由题意知，幂函数f (x) = x−1
2 在(0, +∞)上单调递减，
由f(2x −1) > f(x + 1)，得
，
解得1
2 < x < 2，即不等式的解集为( 1
2 , 2).
故答案为：( 1
2 , 2)
答案
解析
⎧
⎨
⎩
2x −1 < x + 1
2x −1 > 0
x + 1 > 0
3
2
设k ∈{−2，−1，  1
3 ，  2
3 ， 2}，若x ∈(−1， 0) ⋃(0， 1)，且xk > |x|，则k取值的集合是 
 .
{−2，  2
3 }
若x ∈(−1， 0) ⋃(0， 1)，且xk > |x|，
则幂函数y = xk的图象一定在y = |x|的上方，
故y = xk不可能为奇函数，即k不能取−1和1
3 ，
当k取−2, 2
3 , 2时，y = xk是偶函数，故只需满足x ∈(0， 1)即可，
此时xk > x，即xk−1 > 1，则k −1 < 0，即k < 1，
则k可取−2, 2
3 ，故k取值的集合是{−2，  2
3 }.
故答案为：{−2，  2
3 }.
本题考查幂函数的性质，解题的关键是正确理解幂函数的性质的特点，以及不同幂函数的图象特点.
答案
解析
考点2：对勾函数与飘带函数
A组
已知x < 0，则函数y = x + 1
x 的最大值是 
 .
−2
利用基本不等式求最值，注意“一正二定三相等”，要对式子变形后再使用.
因为x < 0，所以−x > 0，−1
x > 0，
故x + 1
x = −[(−x) + (−1
x )] ≤−2√(−x) (−1
x ) = −2，
当且仅当−x = −1
x ，即x = −1时，等号成立，
所以x < 0时，y = x + 1
x 的最大值是−2.
故答案为：−2.
答案
解析
4
B组
1
若函数f (x) =
的最小值为f (0)，则实数a的取值范围是 
 .
0 ≤a ≤2
由二次函数、分式型函数的性质分别求分段函数两段上的性质，并确定a ≥0且f (0) ≤a + 2，即可求参数范
围.
由y = (x −a)2在(−∞, a)上递减，在(a, +∞)上递增，
若a < 0，则f(x)最小值为f (a) < f(0)，不满足题设，
所以a ≥0，
在x ∈(0, +∞)上，y = x + 1
x + a ≥2√x ⋅1
x + a = a + 2，当且仅当x = 1时等号成立，
所以最小值f (0) = a2 ≤a + 2，则a2 −a −2 = (a + 1)(a −2) ≤0，可得−1 ≤a ≤2.
综上，0 ≤a ≤2.
故答案为：0 ≤a ≤2
⎧
⎨
⎩
(x −a)2, x ≤0
x + 1
x + a, x > 0
答案
解析
2
已知函数f (x) = x + a
x , a ∈R．函数y = f (x)的定义域为D
(1)
当a = 2, D = (−∞, 0)时，求函数y = f (x)的值域．
(2)
当a = −1, D = (0, +∞)时，判断函数y = f (x)的单调性并说明理由．
答案
5
(1) (−∞, −2√2)
(2) 函数 y = f (x)在 (0, +∞)上单调递增，理由见详解
(1) 当a = 2，f (x) = x + 2
x = −(−x +
2
−x )，
因为x < 0，所以−x > 0，所以−x +
2
−x ≥2√(−x) ( 2
−x ) = 2√2，
所以f (x) = −(−x +
2
−x ) ≤−2√2，当且仅当−x =
2
−x ，即x = −√2时，等号成立，
所以函数y = f (x)的值域为(−∞, −2√2).
(2) 当a = −1，f (x) = x −1
x ，函数y = f (x)在(0, +∞)上单调递增，理由如下：
设x1，x2是(0, +∞)上任意两个实数，且x1 < x2，
则
f (x1) −f (x2) = x1 −1
x1
−(x2 −1
x2
) = x1 −x2 −( 1
x1
−1
x2
) = x1 −x2 −x2 −x1
x1x2
=
(x1 −x2) (x1x2 + 1)
x1x2
因为x1 < x2，所以x1 −x2 < 0，
又x1 > 0，x2 > 0，所以x1x2 > 0，x1x2 + 1 > 0，
所以(x1 −x2) (x1x2 + 1)
x1x2
< 0，即f (x1) −f (x2) < 0，f (x1) < f (x2)，
所以函数y = f (x)在(0, +∞)上单调递增.
解析
C组
已知函数f (x) = x + 4
x −1，若存在x1, x2, … ，xn ∈[ 1
4 , 4]，使得f (x1) + f (x2) + … + f (xn−1) = f (xn)，则正整
数n的最大值是 
 .
6
由题意得f (x) = x + 4
x −1 ∈[3, 15 1
4 ].故n尽可能大时的情形为3 + 3 + 3 + 3 + 3 1
4 = 15 1
4 ，此时n = 6.
答案
解析
考点3：指数函数图像与性质
A组
6
某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由p0变化为p，并且满足方程p = p0er⋅n，实验检测，这种微生物经过一
周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率r = 
 .（精确到1）
25
依题意列出方程14.86 = 2.58 × e7r，改为对数式后，利用计算器可解得结果.依题意有14.86 = 2.58 × e7r，所以
e7r = 14.86
2.58 ≈5.76，
所以7r ≈ln 5.76 ≈1.75，所以r = 25.
故答案为：25
本题考查了指数式化对数式，考查了利用计算器求近似值，属于基础题.
答案
解析
B组
已知函数f(x) = ax −b(a > 0且a ≠1, b ∈R)，g(x) = x + 1，若对任意实数x均有f(x) ⋅g(x) ≤0，则1
a + 4
b 的最小
值为 
 .
4
由题意，分别作出函数f(x)和g(x)的图像，如图所示，
函数g(x) = x + 1图象过定点(−1, 0)，
要使得对任意实数x均有f(x) ⋅g(x) ≤0，
则f(x) = ax −b必过点(−1, 0)，所以a−1 −b = 0，即ab = 1，
因为a > 0，所以b > 0，
所以1
a + 4
b = b + 4
b ≥4，当且仅当a = 1
2 , b = 2时取等号，
故1
a + 4
b 的最小值为4.
故答案为4 .
答案
解析
7
利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：
（1）“一正”：就是各项必须为正数；
（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成
积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求
的最值，这也是最容易发生错误的地方.
考点4：对数运算
A组
方程log3 (x2 −1) = 2 + log3(x −1)的解为x = 
 .
8
由对数运算法则化方程为log3(x2 −1) = log3[9(x −1)]．再根据对数函数的性质求解．
由log3 (x2 −1) = 2 + log3(x −1)得log3(x2 −1) = log3[9(x −1)]，
所以{
，解得x = 8．
故答案为：8．
答案
解析
x2 −1 = 9(x −1)
x −1 > 0
B组
1
已知log7 3 = a, 7b = 2，用a、b的代数式表示 log6 14 = 
 .
8
1 + b
a + b
根据指对数互化，即可利用对数的性质求解.
由log7 3 = a, 7b = 2可得log7 3 = a, b = log7 2，
所以log6 14 = log7 14
log7 6 =
1 + log7 2
log7 2 + log7 3 = 1 + b
a + b ，
故答案为：1 + b
a + b
答案
解析
2
记A = 1 × 2 × 3 × ⋯× 100，那么
1
log2A +
1
log3A +
1
log4A + ⋯+
1
log100A = 
 .
1.
根据对数运算法则
1
logab = logba，化简原式，求值.
1
log2A +
1
log3A +
1
log4A + ⋯+
1
log100A
= logA2 + logA3 + logA4+. . . . . . +logA100
= logA2 × 3 × 4×. . . . . . ×100 = 1.
故答案为：1
本题考查对数运算法则，意在考查基本公式，属于基础题型.
答案
解析
考点5：对数函数图像与性质
A组
1
已知函数f (x) =
，则不等式f(x) > 1的解集为 
 .
(−∞, 0) ∪(2, +∞)
⎧
⎨
⎩
( 1
2 )
x
, x ≤0
log2 x, x > 0
答案
9
根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性分段解不等式即得.
函数f (x) =
，则不等式f(x) > 1化为：
或{
，
解得x < 0或x > 2，
所以不等式f(x) > 1的解集为(−∞, 0) ∪(2, +∞).
故答案为：(−∞, 0) ∪(2, +∞)
解析
⎧
⎨
⎩
( 1
2 )
x
, x ≤0
log2 x, x > 0
⎧
⎨
⎩
x ≤0
( 1
2 )
x
> 1
x > 0
log2 x > 1
2
函数f(x) = loga(2x + 1)（a＞0且a≠1）必过定点 
 ．
(0, 0)
根据函数y＝log x过定点（1，0），得函数f(x) = loga(2x + 1)必过定点(0, 0)．由于函数y＝log x过定点（1，
0），则在函数f(x) = loga(2x + 1)中，
令2x+1＝1，可得x＝0，此时f(x) = loga(2x + 1)＝0，
故函数f(x) = loga(2x + 1)（a＞0且a≠1）必过定点（0，0）．
故答案为（0，0）．
本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
答案
解析
a
a
B组
1
若函数y = log2 (ax2 + 3x + a)的定义域是R，则a的取值范围是 
 .
( 3
2 , +∞)
由二次不等式恒成立解Δ < 0对应的不等式即可.
当x ∈R时，要满足ax2 + 3x + a > 0恒成立，即{
，解得a ∈( 3
2 , +∞)，
答案
解析
a > 0
Δ = 9 −4a2 < 0
10
故答案为：( 3
2 , +∞)
2
已知y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，则实数a的取值范围是 
 .
1 < a < 3
2
利用一次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出a的范围.
由y = loga (3 −ax)，得a > 0且a ≠1，因此函数u = 3 −ax单调递减，而x ∈[0, 2]，则umin = 3 −2a，
由y = loga (3 −ax)在[0, 2]上是关于x的减函数，得函数y = loga u在(0, +∞)上单调递增，且3 −2a > 0，
因此{
，解得1 < a < 3
2 ，
所以实数a的取值范围是1 < a < 3
2 .
故答案为：1 < a < 3
2
答案
解析
a > 1
3 −2a > 0
C组
已知a = 2
3
4 , b = 3
1
2 , c = log34, d = log45，则a, b, c, d的大小关系为（       ）
A. b > a > d > c
B. b > c > a > d
C. b > a > c > d
D. a > b > d > c
C
对给定的幂或对数变形，借助幂函数和对数函数单调性并结合“媒介”数即可判断作答.
依题意，a = 2
3
4 = (2√2)
1
2 ，函数y = √x在[0, +∞)上单调递增，而9
4 < 2√2 < 3，于是得
3
2 < (2√2)
1
2 < 3
1
2 ，即b > a > 3
2 ，
函数y = log4x在(0, +∞)单调递增，并且有log43 > 0, log45 > 0，
则2 = log416 > log415 = log43 + log45 =(√log4 3 −√log4 5)2 + 2√log4 3 ⋅√log4 5 > 2√log4 3 ⋅√log4 5，
于是得log43 × log45 < 1，即log45 <
1
log43 = log34，则c > d，
又函数y = log3x在(0, +∞)单调递增，且4 < 3√3，则有log34 < log33√3 = 3
2 ，
答案
解析
11
所以b > a > 3
2 > c > d.
故选：C
思路点睛：同指数的幂或同底数的幂，同底数的对数大小比较可分别利用幂函数、指数函数、对数函数单调
性进行比较，
如果既有幂，又有对数，一般是选取适当的“媒介”数，分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的
数的大小.
03 函数概念
1
巩固练习
考点1：函数的定义
A组
1
下列同组的两个函数是相同函数的是（       ）
A. y = x, y = √x2
B. y = x, y = eln x
C. y = x, y = ( 1
x )
−1
D. y = x + 1, y = t + 1
D
判断两函数是否为同一函数，只需要判断两者的定义域与对应法则是否相同即可.
对于A，y = √x2 = |x|，显然与y = x的对应法则不同，故A错误；
对于B，因为y = x的定义域为R，y = eln x的定义域为(0, +∞)，故B错误；
对于C，因为y = x的定义域为R，y = ( 1
x )
−1
的定义域为{x|x ≠0}，故C错误；
对于D，显然y = x + 1, y = t + 1的解析式一样，则其定义域与对应法则相同，故D正确.
故选：D.
答案
解析
2
以下图形中，不是函数图象的是（     ）
A.
B.
C.
D.
A
答案
2
利用函数定义逐一判断选项中自变量与函数值的对应关系即可得出结论.
根据函数定义，对于每一个自变量都有唯一确定的函数值与之对应，
A选项中存在一个自变量对应两个函数值，所以A不是函数图象.
故选：A
解析
C组
1
将函数y =
1
2 x −1
+
1
2 x −2
+ 1的图像绕原点顺时针方向旋转角θ（0 ≤θ ≤π
2 ）得到曲线C.若对于每一个旋
转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则
的取值范围是 
 .
试题分析:画出函数y =
1
2 x −1
+
1
2 x −2
+ 1的图象如图,结合图象可以看出当该函数的图象绕原点
顺
时针旋转的角大于等于
时曲线都是同一个函数的图象,故应填
.
考点：函数的图象和性质的运用.
答案
解析
考点2：函数的定义域
A组
1
设集合A = {x
y = lg (x2 −4x + 5)}，则A = 
 .
3
R
要使函数y = lg (x2 −4x + 5)有意义，则只需x2 −4x + 5 > 0，又Δ < 0,
所以不等式x2 −4x + 5 > 0的解集为R，故A = R.
故答案为：R.
求解有关对数型复合函数的定义域时，只需满足真数部分大于零，然后求解关于x的不等式得到答案.
答案
解析
B组
1
已知函数y = f (x)的定义域为[−1, 3]，则函数y = f (2x −1)
lg (x −1) 的定义域为（     ）
A. (1, 2]
B. (1, 2)
C. (1, 5]
D. (1, 2) ∪(2, 5]
B
由抽象函数定义域及对数型函数定义域构造不等式求解即可.
因为y = f (x)中−1 ≤x ≤3，
所以函数y = f (2x −1)
lg (x −1) 中{
，即1 < x < 2，
所以y = f (2x −1)
lg (x −1) 的定义域为(1, 2)，
故选：B．
答案
解析
−1 ≤2x −1 ≤3
x −1 > 0且x −1 ≠1
2
若函数f (x) = lg [(a2 −1)x2 + (a + 1)x + 1]的定义域为R，则实数a的取值范围是 
 ．
a > 5
3 或 a ≤−1．
根据对数函数的定义域为R，转化为不等式恒成立进行求解即可．
答案
解析
4
∵f (x)的定义域为R，
∴(a2 −1)x2 + (a + 1)x + 1 > 0恒成立，
当a2 −1 = 0，即a = 1或a = −1，
若a = 1，不等式等价为2x + 1 > 0，此时x > −1
2 ，不恒成立，不满足条件．
若a = −1，不等式等价为1 > 0，恒成立，满足条件．
当a ≠±1时，要使不等式恒成立，
则{
，
即{
或{
，
解得a > 5
3 或a < −1，
综上可知，实数a的取值范围是a > 5
3 或a ≤−1．
故答案为：a > 5
3 或a ≤−1．
a2 −1＞0
Δ = (a + 1)2 −4 (a2 −1)＜0
a > 1
(a + 1) (−3a + 5)＜0
a < −1
(a + 1) (−3a + 5)＜0
3
设函数f (x) = |2x −1| + |2x −3|，x ∈R.
（1）解不等式f (x) ≤5；
（2）若g (x) =
2
f (x) −m 的定义域为R，求实数m的取值范围.
（1） {x
−1
4 ≤x ≤9
4 }；（2） (−∞, 2).
（1）根据x的范围写出f(x)，即可判断出解集；
（2）求出f(x)的最小值，令m小于最小值即可.
（1）$f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 4x-4,x\ge \dfrac{3}{2} \ 2,\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2} \ 4-
4x,x\le \dfrac{1}{2} \ \end{array} \right.$，
答案
解析
5
令4x −4 = 5得x = 9
4 ；令4 −4x = 5得x = −1
4 ，
所以原不等式的解集是{x
−1
4 ≤x ≤9
4 }；
（2）由（1）得f (x)的最小值是2，要使函数有意义，只需m < 2，
即实数m的取值范围是(−∞, 2).
本题考查含绝对值不等式的解法，属于基础题.
C组
1
关于x的不等式mx2 −nx + p > 0(m, n, p ∈R)的解集为(−1, 2)，则函数f(x) = log2
nx −p
nx −m 的定义域是 
 
(−∞, −2) ∪(1, +∞)
先由不等式的解集得到m, n, p满足的关系和条件，然后得到函数的表达式的具体形式，再根据对数函数的定
义域，解分式不等式求得.
由于关于x的不等式mx2 −nx + p > 0(m, n, p ∈R)的解集为(−1, 2)，
∴m < 0, n
m = −1 + 2 = 1, p
m = −1 × 2 = −2，
∴f(x) = log2
nx −p
nx −m = log2
n
m x −p
m
n
m x −1
= log2
x + 2
x −1 ,
由x + 2
x −1 > 0，解得x < −2或x > 1,
∴函数f (x)的定义域为(−∞, −2) ∪(1, +∞)，
故答案为：(−∞, −2) ∪(1, +∞).
答案
解析
考点3：函数解析式的求解
A组
1
求下列函数的解析式.
(1)
已知函数f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3(x ≥1)，求f(x)；
(2)
已知f(x)是一次函数，且f[f(x)] = 9x + 8，求f(x).
6
(1) f(x) = 2x2 + 1(x ≥2)
(2) f(x) = 3x + 2或 f(x) = −3x −4
(1) 因为函数f(x + 1) = 2x2 + 4x + 3，
令t = x + 1,则f(t) = 2(t −1)2 + 4(t −1) + 3 = 2t2 + 1，
因为x ≥1，所以t ≥2，
所以f(x) = 2x2 + 1(x ≥2).
(2) 设f(x) = ax + b(a ≠0)，
则有f[f(x)] = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a2x + ab + b，
因为f[f(x)] = 9x + 8，
所以{
，
解得{
或{
，
所以f(x) = 3x + 2或f(x) = −3x −4
答案
解析
a2 = 9
ab + b = 8
a = 3
b = 2
a = −3
b = −4
B组
1
（1）已知f(x + 1
x ) = x2 + 1
x2 ，求f(x)的解析式．
（2）已知f(x)满足2f(x) + f( 1
x ) = 3x，求f(x)的解析式．
（3）已知f(x) + 2f(−x) = x2 + 2x，求f(x)的解析式．
答案
7
（1） f(x) = x2 −2（ x ≥2或 x ≤−2）；（2） f(x) = 2x −1
x (x ≠0)；（3） f(x) = 1
3 x2 −2x.
（1）先把x2 + 1
x2 转化为(x + 1
x )
2
−2，利用配凑法可得f(x)的解析式；
（2）用1
x 代换x，构造新方程，与原方程联立，即可解得f(x)的解析式；
（3）用－x代换x，构造新方程，与原方程联立，即可解得f(x)的解析式.
（1）∵f(x + 1
x ) = x2 + 1
x2 = (x + 1
x )
2
−2，且x + 1
x ≥2或x + 1
x ≤−2，
∴f(x) = x2 −2 （x ≥2或x ≤−2）．
（2）∵2f(x) + f( 1
x ) = 3x①，把①中的x换成1
x ，得2f( 1
x )＋f(x)＝3
x (x ≠0)②， ①×2－②得3f(x)＝6x－3
x ，
∴f(x) = 2x −1
x (x ≠0)．
（3）∵f(x) + 2f(−x) = x2 + 2x，用－x代x得：f(－x)＋2f(x)＝x －2x，
两式联立得：f(x) = 1
3 x2 −2x.
本题考查函数解析式的求法，易错点为容易忽略定义域，属中档题.
求解析式常见题型有以下几种：
（1）换元法求解析式，需注意换元后参数的范围；
（2）待定系数法求解析式，适用于已知函数类型求解析式；
（3）方程组法求解析式，适用于方程中自变量互为倒数、相反数等情况；
（4）根据实际情况求解析式.
解析
2
2
为了抗击新型冠状病毒肺炎保障师生安全，我校决定每天对教室进行消毒工作，已知药物释放过程中，室内空气中
的含药量y（mg/m3）与时间t（h）成正比（0 < t < 1
2 ）；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y = ( 1
4 )
t−a
（a
为常数，t ≥1
2 ），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5（mg/m3）以下时，学生方可进教室，则学校应
安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作
A. 30
B. 40
C. 60
D. 90
C
答案
8
根据图像：函数过点( 1
2 , 1)，故y = f (t) =
，
当t ≥1
2 时，取f (t) = ( 1
4 )
t−1
2 = 1
2 ，解得t = 1小时= 60分钟.
故选：C.
本题考查了分段函数的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.
解析
⎧
⎨
⎩
2x, 0 < t < 1
2
( 1
4 )
t−1
2 , t ≥1
2
考点4：函数值域的求解
A组
1
下列函数中，值域为[0，+∞）的是（       ）
A. y = x
1
2
B. y = 3x
C. y = log2 (x −1)
D. y =
x
x −1
A
根据幂函数，指数函数，对数函数及反比例函数的性质对选项进行判断即可．由幂函数的性质可知,y=x
1
2
≥0；由指数函数的性质可知,y=3 ＞0；
y=log （x-1）的值域为R；y =
x
x −1 =1+
1
x −1 ≠1.
故选A
本题主要考查了基本初等函数的值域的求解，属于基础试题．
答案
解析
x
2
2
若函数y＝
1
x −2 的定义域为A，函数y＝√2x + 6的值域是B，则A∩B＝ 
 .
9
 [0，2) ∪(2，＋∞)
函数有意义，有x −2 ≠0 ，则A = {x|x ≠2} ； B = {y|y ≥0} ，所以$$A ∩B＝[0，2) ∪(2，＋∞)   
答案
解析
B组
1
若函数y = f (x)的值域为[1, 2]，则函数F (x) = f (2x + 1) −1的值域是（       ）
A. [1, 2]
B. [0, 1]
C. [−1, 0]
D. [2, 3]
B
因为y = f (x)的值域是［1，2］，
而y = f (2x + 1)与函数y = f (x)定义不同，值域相同，
所以y = f (2x + 1)的值域是［1，2］，
所以F (x) = f (2x + 1) −1的值域为[0, 1].
故选：B
本题主要考查了函数图象的变换及其特征，函数的值域，属于基础题．
答案
解析
2
函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数，当x > 0时，f(x) = 4x + 2x + 1，则当x ∈R时，f(x)的值域为 
 ．
(−∞, −3) ⋃{0} ⋃(3, +∞)
根据奇函数在x = 0时有定义可得f(0) = 0，根据当x > 0时，f(x) = 4x + 2x + 1在(0, +∞)上为增函数，可得
f(x) > 3，根据奇函数的图象关于原点对称可得当x < 0时，f(x) < −3，由此可得结果.
因为函数f(x)是定义在(−∞, +∞)上的奇函数，所以f(0) = 0，
当x > 0时，f(x) = 4x + 2x + 1在(0, +∞)上为增函数，所以f(x) > 40 + 20 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3，
根据奇函数的图象关于原点对称可知，当x < 0时，f(x) < −3，
答案
解析
10
故当x ∈R时，f(x)的值域为(−∞, −3) ⋃{0} ⋃(3, +∞).
故答案为：(−∞, −3) ⋃{0} ⋃(3, +∞)
3
记y = log0.7 (1 −16x2)的减区间D，则y = 8x2 −6x + 4
2x −1
在x ∈D上的值域为 
 ．
[−4, 1 −2√6]
由复合函数的单调性判断方法求出区间D，由对勾函数的单调性求出函数y = 8x2 −6x + 4
2x −1
的值域.
y = log0.7 (1 −16x2)的定义域为x ∈(−1
4 , 1
4 )，y = log0.7 x在定义域上为减函数，且当x ∈(−1
4 , 0]时，
y = 1 −16x2为增函数，由复合函数的单调性判断方法知y = log0.7 (1 −16x2)的减区间为(−1
4 , 0]，
y = 8x2 −6x + 4
2x −1
= 2(2x −1)2 + (2x −1) + 3
2x −1
= 2 (2x −1) +
3
2x −1 + 1，
令t = 2x −1，由x ∈(−1
4 , 0]得t ∈(−3
2 , −1]，则y = 2t + 3
t + 1，
因为y = 2t + 3
t + 1在t ∈(−3
2 , −√6
2 ]时为增函数，t ∈[−√6
2 , −1]为减函数，
所以当t = −√6
2 即x = 2 −√6
4
时，函数取得最大值1 −2√6，当 t = −1即x = 0时，函数取得最小值−4.
故答案为：[−4, 1 −2√6]
答案
解析
4
如果|x + 1| + |x + 9| > a对任意实数x总成立，那么a的取值范围是 
 .
(−∞, 8)
先利用绝对值三角不等式求出|x + 1| + |x + 9|的最小值，进而求出a的取值范围.
|x + 1| + |x + 9| ≥|x + 1 −(x + 9)| = 8，当且仅当−9 ≤x ≤−1时等号成立，故a < 8，所以a的取值范围是
(−∞, 8).
故答案为：(−∞, 8)
答案
解析
11
C组
1
函数f (x)满足f (x) = f (
1
1 + x )对任意x ∈[0, +∞)都成立，其值域是Af，已知对任何满足上述条件的f (x)都有
{y |y = f (x), 0 ≤x ≤a} = Af，则a的取值范围为 
 .
[ √5 −1
2
, +∞)
由题可得{y |y =f (x), 0 ≤x ≤√5 −1
2
} = Af，然后可得当a < √5 −1
2
时不合题意，进而即得；或等价于
1
1 + x + a ≤a恒成立，即1
a −(1 + a) ≤x恒成立，进而即得.
法一：令x =
1
x + 1 ，解得x = √5 −1
2
（负值舍去），
当x1 ∈[0, √5 −1
2
]时，x2 =
1
x1 + 1 ∈[ √5 −1
2
, 1]，
当x1 ∈( √5 −1
2
, +∞)时，x2 =
1
x1 + 1 ∈(0, √5 −1
2
)，
且当x1 ∈( √5 −1
2
, +∞)时，总存在x2 =
1
x1 + 1 ∈(0, √5 −1
2
)，使得f (x1) = f (x2)，
故{y |y =f (x), 0 ≤x ≤√5 −1
2
} = Af，
若a < √5 −1
2
，易得f ( √5 −1
2
) ∉{y |y =f (x), 0 ≤x ≤a}，
所以a ≥√5 −1
2
，
即实数a的取值范围为[ √5 −1
2
, +∞)；
法二：原命题等价于任意a > 0, f (x + a) = f (
1
1 + x + a )，
所以
1
1 + x + a ≤a ⇒x ≥1
a −(1 + a)恒成立，
即1
a −(1 + a) ≤0恒成立，又a > 0，
所以a ≥√5 −1
2
，
即实数a的取值范围为[ √5 −1
2
, +∞).
故答案为：[ √5 −1
2
, +∞).
答案
解析
12
数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
04奇偶性和单调性
1
巩固练习
考点1：函数奇偶性的判定
A组
练1
1
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=√9 −x2 + √x2 −9；
(2)f(x)=(x + 1)√1 −x
1 + x ；
(3)f (x)＝
√4 −x2
|x + 3| −3
（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
（1）求得定义域可得f (x) = ±f (−x)，所以f (x)既是奇函数，又是偶函数.
（2）求出函数定义域，由定义域不关于原点对称可得函数非奇非偶；
（3）先求解函数的定义域，再判断f (x)＝－f (－x)，可得f(x)是奇函数．
（1）由{
 ，得x = ±3 ，
所以f (x)的定义域为{−3, 3}，关于原点对称.
又f (3) + f (−3) = 0，即f (x) = ±f (−x).
所以f (x)既是奇函数，又是偶函数.
（2）由 { 
 ，得$－\text{1}．
答案
解析
9 −x2 ≥0
x2 −9 ≥0
1 −x
1 + x ≥0,
1 + x ≠0,
2
∵f(x)的定义域(－1, 1]不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)由 { 
 ，得－2 ≤x ≤2且x ≠0．∴f(x)的定义域为[－2, 0) ∪(0, 2]，关于原点对称．
∴f (x) = √4 −x2
x + 3 −x = √4 −x2
x
．∴f (x)＝－f (－x)，∴f(x)是奇函数．
判断函数的奇偶性时要注意两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，所以首先考虑定义域对解决问题是有利的；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式
(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
4 −x2 ≥0,
|x + 3| −3 ≠0,
练2
1
下面五个命题中，正确命题的个数是（       ）
①偶函数的图像一定与y轴相交；
②奇函数图像一定过原点；
③偶函数图像一定关于y轴对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f (x) = 0 (x ∈R)；
⑤偶函数与x轴若有交点，则交点横坐标之和为0.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
A
根据函数奇偶性的性质逐项判断.
①错误：偶函数只有在原点处有定义才与y轴相交；
②错误：奇函数图像关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点；
③正确：偶函数的图像关于y轴对称；
④错误：若y = f (x)既是奇函数，又是偶函数，则f (−x) = −f (x)且f (−x) = f (x)，则f (x) = 0，但不一定
x ∈R，只要定义域关于原点对称即可；
⑤正确：因为偶函数的图像关于y轴对称.故正确命题个数是2.
故选：A
本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
答案
解析
练3
1
3
已知集合A = {−1, −1
2 , −1
3 , 0, 2
3 , 2, 3}，B = {y = f(x)|f(x) = xk, k ∈A且y = f(x)图象关于y轴对称}，则集合B
中的元素个数为 
 ．
3
分别研究k取集合A中的各个元素时所对应的幂函数的奇偶性即可.
因为y = f(x)图象关于y轴对称，所以y = f(x)为偶函数.
当k = −1时，f (x) = x−1 = 1
x ，定义域为{x|x ≠0}，f (−x) =
1
−x = −f (x)，所以y = f(x)为奇函数，故
k = −1不符合题意；
当k = −1
2 时，f (x) = x
−1
2 =
1
x
1
2
=
1
√x ，定义域为{x|x > 0}，所以y = f(x)为非奇非偶函数，故k = −1
2
不符合题意；
当k = −1
3 时，f (x) = x
−1
3 =
1
x
1
3
=
1
3√x
，定义域为{x|x ≠0}，f (−x) =
1
3√−x
= −1
3√x = −f (x)，所以
y = f(x)为奇函数，故k = −1
3 不符合题意；
当k = 0时，f(x) = x0，定义域为{x|x ≠0}，f(−x) = (−x)0 = f(x)，所以y = f(x)为偶函数，故k = 0符合题
意；
当k = 2
3 时，f (x) = x
2
3 =
3√x2，定义域为R，f (−x) =
3√(−x)2 =
3√x2 = f (x)，所以y = f(x)为偶函数，故
k = 2
3 符合题意；
当k = 2时，f(x) = x2，定义域为R，f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x)，所以y = f(x)为偶函数，故k = 2符合题
意；
当k = 3时，f(x) = x3，定义域为R，f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x)，所以y = f(x)为奇函数，故k = 3不符
合题意；
综述：当k = 0或k = 2
3 或k = 2时，符合题意.
所以集合B中的元素个数为3.
故答案为：3.
答案
解析
B组
练1
1
已知函数f (x) = {
，下列命题是真命题的是__________（只填命题序号）.
1, x是有理数
0, x是无理数
4
①函数f (x)是偶函数；②对任意x ∈R, f (x + √2) = f (x)；
③对任意x ∈R, f (x + 2) = f (x)；
④对任意x, y ∈R, f (x + y) = 1
2 (f (x) + f (x))；
⑤若存在x, y ∈R,使得
，则x，y都为无理数.
①③⑤
试题分析：
，
，
，
，故
均有
①
正确；当
时，
，②错；当
时，
，
当
时，
，故对任意x ∈R, f (x + 2) = f (x)，③正确；当
，
时，
，
，④错；当
，
时，
，
，不符合，当x，y中有一个有理数，一个为无理数时，
，
不
符合，故x，y均为有理数.
考点：分段函数及其应用
答案
解析
练2
1
函数f (x) = 2 sin x sin ( π
2 + x)的奇偶性为 
 .
奇函数
答案
解析
5
化简f(x)，由函数的奇偶性结合诱导公式即可得出答案.
f (x) = 2 sin x sin ( π
2 + x) = 2 sin x cos x = sin 2x，
因为f(x)的定义域为R，
f(−x) = sin (−2x) = −sin 2x = −f (x)，
所以函数f (x) = 2 sin x sin ( π
2 + x)是奇函数
故答案为：奇函数.
考点2：利用函数奇偶性求值/求参/求解析式
A组
练1
1
若函数f(x) = log3(9x + 1) + kx（k ∈R）为偶函数，则k的值为 
 
−1
根据题意，由函数奇偶性的定义可得f（﹣x）＝f（x），即log （9 +1）+kx＝log （9
+1）+k（﹣x），变形
可得k的值，即可得答案．根据题意，函数f (x) = log3 (9x + 1) + kx（k∈R）为偶函数，
则有f（﹣x）＝f（x），
即log （9 +1）+kx＝log （9
+1）+k（﹣x），
变形可得：2kx＝log （9
+1）﹣log （9 +1）＝﹣2x，
则有k＝﹣1；
故答案为﹣1
本题考查函数的奇偶性的应用以及对数的运算性质，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．
答案
解析
3
x
3
﹣x
3
x
3
﹣x
3
﹣x
3
x
练2
1
已知函数f (x)是R上的偶函数，f (x + 2)为奇函数，若f (0) = 1，则f (1) + f (2) + … + f (2023) = 
 .
答案
6
−1
根据函数的奇偶性确定函数周期为8，计算f (1) + f (2) + ⋯+ f (8) = 0，根据周期性计算得到答案.
f (x + 2)是奇函数，故f (x + 2) = −f (−x + 2)，且f (2) = 0，
f (x)偶函数，故f (x + 2) = −f (−x + 2) = −f (x −2)，
则f (x + 4) = −f (x)， f (x + 8) = −f (x + 4) = f (x)，函数周期为8，
f (x + 2) = −f (−x + 2)，故f (3) + f (1) = 0，f (4) + f (0) = 0，即f (4) = −1，
f (5) = −f (1)，f (6) = −f (2) = 0，f (7) = −f (3)，f (8) = f (0) = 1，
故f (1) + f (2) + ⋯+ f (8) = 0，f (1) + f (2) + … + f (2023) = −f (8) = −1.
故答案为：−1.
教法备注
【考点】奇偶运算
【教法】让学生掌握奇偶运算的应用
解析
B组
练1
1
设a为实常数，y = f(x)是定义在R上的奇函数，且当x < 0时，f(x) = 9x + a2
x + 7．若f(x) ≥a + 1对一切x ≥0成
立，则a的取值范围是 
 .
a ≤−8
7
试题分析：∵y = f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x > 0时，f(x) = −f(−x) = 9x + a2
x −7，
而9x + a2
x −7 ≥2√9x ⋅a2
x −7 = 6|a| −7，当些仅当x = 3|a|时，“=”成立，∴当x > 0时，要使f(x) ≥a + 1
恒成立，只需6|a| −7 ≥a + 1 ⇒a ≤−8
7 或a ≥8
5 ，又∵x = 0时，f(0) = 0 ≥a + 1，∴a ≤−1，
综上，故实数a的取值范围是(−∞, −8
7 ].
考点：1.奇函数的性质；2.恒成立问题的处理方法.
答案
解析
7
练2
1
定义在R上的函数f (x) = a −
1
2x + 1 是奇函数，则实数a = 
 .
1
2 | 0.5
根据题意，利用f (0) = 0，求得a = 1
2 ，结合函数奇偶性的定义及判定，即可求解.
由函数f (x) = a −
1
2x + 1 为R上的奇函数，则f (0) = a −
1
20 + 1 = 0，解得a = 1
2 ，
经检验，当a = 1
2 时，f (x) = 1
2 −
1
2x + 1 = 1
2 ⋅2x −1
2x + 1 ，
此时f (−x) = 1
2 ⋅2−x −1
2−x + 1 = −1
2 ⋅2x −1
2x + 1 = −f (x)，此时函数f (x)为奇函数，
所以a = 1
2 .
故答案为：1
2 .
答案
解析
练3
1
已知函数y = f(x)是定义域为R的偶函数，且当x > 0时，其表达式为f(x) = x2 + 2x，则当x < 0时，其表达式为
f(x) = 
 ．
x2 + 2−x
利用偶函数性质求解析式即可.
令x < 0，则−x > 0，故f(−x) = (−x)2 + 2−x = x2 + 2−x，
又f(x) = f(−x) =x2 + 2−x，
所以当x < 0时，f(x) =x2 + 2−x.
故答案为：x2 + 2−x
答案
解析
练4
1
8
已知函数y = f (x)的表达式为f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 ，且在[−1, c]上为奇函数，则f (c)的值为 
 .
1
2 | 0.5
根据题意，由奇函数的性质求出c的值，结合函数f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 求出a，b的值，可得函数解析式，计算
可得答案.
根据题意，函数f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 在[−1, c]上为奇函数，
所以有−1 + c = 0 ⇒c = 1，
即f (x) =
x + a
x2 + bx + 1 在[−1, 1]上为奇函数，
所以f (0) = a = 0，即a = 0，
故f (x) =
x
x2 + bx + 1 ，
则f (−x) =
−x
x2 −bx + 1 =
−x
x2 + bx + 1 = −f (x)，
所以x2 −bx + 1 = x2 + bx + 1 ⇒b = 0，
所以f (x) =
x
x2 + 1 ，则f (c) = f (1) = 1
2 .
故答案为：1
2
教法备注
【考点】奇偶运算
【教法】让学生掌握奇偶运算的应用
答案
解析
考点3：函数单调性的判定
A组
练1
1
函数y = lg (x2 −2x −3)的单调递增区间为（       ）
A. (−∞, −1)
B. (1, +∞)
C. (3, +∞)
D. (−1, 3)
答案
9
C
根据二次函数与对数函数的性质，结合据复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
设g (x) = x2 −2x −3，可得函数g (x)在(−∞, 1)单调递减，在(1, +∞)单调递增，
又由函数y = lg (x2 −2x −3)，满足x2 −2x −3 > 0，解得x < −1或x > 3，
根据复合函数的单调性，可得函数f (x)的单调递增区间为(3, +∞).
故选：C.
本题主要考查对数函数的性质，二次函数图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，其中解答中熟记对数
函数和二次函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
解析
练2
1
函数f (x) =
1
x + 1 中，有（       ）
A. f (x)在(−1, +∞)上严格增
B. f (x)在(−∞, −1) ∪(−1, +∞)上严格减
C. f (x)在(1, +∞)上严格增
D. f (x)在(−1, +∞)上严格减
D
函数f (x) =
1
x + 1 是由函数y = 1
x 向左平移得到的，函数为单调递减函数，单调减区间只要将原来的单调减
区间向左平移一个单位即可
函数y = 1
x 的图象向左平移1个单位可得函数y =
1
x + 1 的图象，
因为函数y = 1
x 在(−∞, 0)和(0, +∞)上严格减，
则函数y =
1
x + 1 在(−∞, −1)和(−1, +∞)上严格减，
而在(−∞, −1) ∪(−1, +∞)不具备单调性．
故选：D．
教法备注
【考点】函数单调性
答案
解析
10
【教法】让学生通过画图掌握函数单调的应用
B组
练1
1
当x > 0时，函数f (x) = (2a −1)x (a > 0, a ≠1
2 )的函数值总大于1，则函数y = loga (2x −x2)在区间________上
是严格增函数
(0, 1]
根据指数函数的性质和复合函数的单调性求解.
当x > 0时，函数f (x) = (2a −1)x (a > 0, a ≠1
2 )的函数值总大于1，
且f (0) = 1，所以f (x) = (2a −1)x单调递增，
所以2a −1 > 1，所以a > 1，
由2x −x2 > 0解得0 < x < 2，
函数y = −x2 + 2x在(0, 1]单调递增，(1, 2)单调递减，
所以y = loga (2x −x2)在区间(0, 1]上是严格增函数.
故答案为：(0, 1].
答案
解析
练2
1
11
已知函数f (x) = 2x −a
2x (a > 0).
（1）判断f (x)在其定义域上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（2）讨论函数f (x)的奇偶性，并说明理由.
（1） f (x)在其定义域上是增函数，证明见解析（2）当 a = 1时，函数 f (x)是奇函数，当 a ≠1时，函数
f (x)既不是奇函数也不是偶函数，见解析
（1）设x1 < x2，计算f (x2) −f (x1) = (2x2 −2x1) (1 +
a
2x1+x2 ) > 0，得到答案.
（2）讨论a = 1和a ≠1两种情况，根据函数奇偶性的定义判断得到答案.
（1）函数单调递增，
设x1 < x2，则f (x2) −f (x1) = (2x2 −
a
2x2 ) −(2x1 −
a
2x1 ) = (2x2 −2x1) (1 +
a
2x1+x2 )，
易知2x2 −2x1 > 0，1 +
a
2x1+x2 > 0，故f (x2) −f (x1) > 0，f (x2) > f (x1)，函数单调递增.
（2）f (x) = 2x −a
2x ，f (−x) = 2−x −
a
2−x ，
当a = 1时，f (−x) = 2−x −
1
2−x = −f (x)，函数为奇函数；
当a ≠1时，f (0) = 1 −a ≠0，函数不是奇函数，
f (1) = 2 −a
2 ，f (−1) = 1
2 −2a，f (1) ≠f (−1)，函数不是偶函数，故为非奇非偶函数.
综上所述：当a = 1时，函数f (x)是奇函数，当a ≠1时，函数f (x)既不是奇函数也不是偶函数.
本题考查了函数的单调性和奇偶性，意在考查学生对于函数性质的综合应用.
教法备注
【考点】函数奇偶单调性
【教法】让学生通过画图掌握函数单调的应用
答案
解析
考点4：利用函数单调性求参/解不等式
12
A组
练1
1
已知函数f (x) = {
在其定义域上单调递减，则实数a的取值范围为（       ）
A. a ≥0
B. a ≤1
C. 0 < a < 1
D. 0 ≤a ≤1
D
利用分段函数的单调性，列出不等式即可求解
因为y = x2 −ax + 1 = (x −a
2 )
2
+ 1 −a2
4 的对称轴为x = a
2 ，
所以y = x2 −ax + 1在(−∞, a
2 )上单调递减，在( a
2 , +∞)上单调递增，
因为函数f (x) = {
在其定义域上单调递减，
所以{
，解得0 ≤a ≤1
故选：D
x2 −ax + 1, x < 0
−x + a, x ≥0
答案
解析
x2 −ax + 1, x < 0
−x + a, x ≥0
a
2 ≥0
1 ≥a
练2
1
若函数f (x) = x2 −a |x −1|是区间[0, +∞)上的严格增函数，则实数a的取值范围是 
 ．
[0, 2]
【分析】
首先将函数写成分段函数的形式，再分解函数的单调性，列不等式求解.
【详解】
f (x) = {
，要使函数f (x)在[0, +∞)单调递增，则y = x2 −ax + a在[1, +∞)单调递增，且
答案
解析
x2 −ax + a, x ≥1
x2 + ax −a, x < 1
13
y = x2 + ax −a在[0, 1)单调递增，以及在分界点处−a ≤a，即得
 ，解得：0 ≤a ≤2.
故答案为：[0, 2]
【点睛】
关键点点睛：本题的第一个关键是去绝对值，第二个关键是根据分段函数的单调性列不等式，每段都是增函
数，以及在分界点处的不等式.
⎧
⎨
⎩
a
2 ≤1
−a
2 ≤0
−a ≤a
B组
练1
1
已知g (x) = x + b
x ，若对任意的x1，x2 ∈(1, 2)，都有g (x1) −g (x2)
x2 −x1
> 1（x1 ≠x2），则实数b的取值范围为
（       ）
A. b ≥2
B. b ≤2
C. b ≥8
D. b ≤8
C
化简不等式可得b > 2x1x2对任意的x1，x2 ∈(1, 2)都成立，分析2x1x2的范围即可得解.
由g (x) = x + b
x 可知，g (x1) −g (x2)
x2 −x1
=
x1 −x2 + b(x2 −x1)
x1x2
x2 −x1
=
b
x1x2
−1 > 1，
即b > 2x1x2对任意的x1，x2 ∈(1, 2)都成立，
而2x1x2 < 2 × 2 × 2 = 8，
所以b ≥8，
故选：C
教法备注
【考点】函数单调性
【教法】让学生通过画图掌握函数单调的应用
答案
解析
练2
14
1
已知函数f(x) = x−k2+k+2在区间(0, +∞)上是严格增函数，则实数k的取值范围是 
 ．
(−1, 2)
根据函数的单调性列不等式来求得k的取值范围.
由于f (x)在区间(0, +∞)上是严格增函数，
所以−k2 + k + 2 > 0, k2 −k −2 = (k −2) (k + 1) < 0，
解得−1 < k < 2，所以k的取值范围是(−1, 2).
故答案为：(−1, 2)
答案
解析
练3
1
若f (x)是偶函数，且当x ∈[0, +∞)时，f (x) = x −2，则不等式f
x
1
3 −1
> 1的解集是 
 ．
{x |x < −8或 x > 64}
根据条件知，f (3) = 1，不等式f
x
1
3 −1
> 1可转化为f
x
1
3 −1
> f (3)，再由f (x)的单调性和奇偶性可
得，x
1
3 −1
> 3，从而得到不等式的解集.
当x ∈[0, +∞)时，f (x) = x −2单调递增，且f (x)是偶函数，
所以f (x)在(−∞, 0]上单调递减，且f (3) = 1
不等式f
x
1
3 −1
> 1等价于f
x
1
3 −1
> f (3)，即x
1
3 −1
> 3
解得{x |x < −8或x > 64}.
故答案为：{x |x < −8或x > 64}
教法备注
答案
解析
15
【考点】函数奇偶
【教法】让学生通过画图和函数性质解决不等式的应用
练4
1
已知函数f (x) = 2023x + log2023 (x + √x2 + 1) −2023−x + 2，若f (5a −6) + f (a2) ≤4，则实数a的取值范围是
 .
[−6, 1]
首项确定函数的定义域为x ∈R ，然后可得f (−x) ，观察可得f (x) + f (−x) = 4 ，故不等式
f (5a −6) + f (a2) ≤4可转换为f (5a −6) ≤f (−a2)；再利用指数函数、对数函数、函数定义证明可判断
f (x)在x ∈R上的单调性，故不等式解f (5a −6) ≤f (−a2)，即5a −6 ≤−a2，解不等式可得实数a的取值范
围.
解：因为f (x) = 2023x + log2023 (x + √x2 + 1) −2023−x + 2，定义域满足x + √x2 + 1 > 0，解得x ∈R，
所以
f (−x) = 2023−x + log2023 (−x + √x2 + 1) −2023x + 2 = −2023x + log2023 (
1
x + √x2 + 1
) + 2023−x + 2
= −2023x −log2023 (x + √x2 + 1) + 2023−x + 2，
故f (x) + f (−x) = 4，所以f (a2) + f (−a2) = 4，
则不等式f (5a −6) + f (a2) ≤4，转化为f (5a −6) + f (a2) ≤f (a2) + f (−a2)，即f (5a −6) ≤f (−a2)，
又函数y = 2023x在x ∈R上单调递增，y = 2023−x在x ∈R上单调递减，
∀x1, x2 ∈R，且设x1 < x2，
所以
(x1 + √x2
1 + 1) −(x2 + √x2
2 + 1) = (x1 −x2) + (√x2
1 + 1 −√x2
2 + 1) = (x1 −x2) +
(x2
1 + 1) −(x2
2 + 1)
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
= (x1 −x2) + (x2
1 + 1) −(x2
2 + 1)
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
= (x1 −x2) 1 +
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
= (x1 −x2)
x1 + √x2
1 + 1 + x2 + √x2
2 + 1
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
又x1 + √x2
1 + 1 > 0，x2 + √x2
2 + 1 > 0，因为x1 < x2，所以x1 −x2 < 0，
所以x1 + √x2
1 + 1 < x2 + √x2
2 + 1，由于函数y = log2023 x在x ∈(0, +∞)上单调递增，
答案
解析
16
所以log2023 (x1 + √x2
1 + 1) < log2023 (x2 + √x2
2 + 1)，故函数y = log2023 (x + √x2 + 1)在x ∈R上单调递
增，
所以由函数单调性的性质可得f (x) = 2023x + log2023 (x + √x2 + 1) −2023−x + 2在x ∈R上单调递增，
故f (5a −6) ≤f (−a2)，可得5a −6 ≤−a2 ⇒a2 + 5a −6 ≤0 ⇒(a + 6) (a −1) ≤0，解得−6 ≤a ≤1，
所以实数a的取值范围是[−6, 1].
故答案为：[−6, 1].
教法备注
【考点】函数奇偶
【教法】让学生通过画图和函数性质解决不等式的应用
练5
1
已知函数f (x) = √x2 + 1 −ax，其中a > 0.
(1)
若2f (1) = f (−1)，求a的值；
(2)
证明：函数f (x)在区间(0, +∞)上为单调函数的充要条件是a ≥1；
(3)
若函数f (x)在区间[1, +∞)上是严格增函数，求a的取值范围.
(1) √2
3
(2) 证明见解析
(3) (0, √2
2 ]
答案
解析
17
(1) 由2f (1) = f (−1)可得：2 (√12 + 1 −a) = √(−1)2 + 1 + a，
解得：a = √2
3 .
(2) 证明：任取0 < x1 < x2，
则f (x1) −f (x2) = √x2
1 + 1 −ax1 −√x2
2 + 1 + ax2，
= √x2
1 + 1 −√x2
2 + 1 −a (x1 −x2)，
=
x2
1 −x2
2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−a (x1 −x2)，
= (x1 −x2)
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−a ，
∵0 < x1 < √x2
1 + 1，0 < x2 < √x2
2 + 1，
∴0 <
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
< 1，
∵x1 < x2，
∴x1 −x2 < 0，
若a ≥1，则f (x1) −f (x2) < 0，即函数f (x)在区间(0, +∞)上为单调递减函数，
则条件可以推出结论；
若函数f (x)在区间(0, +∞)上为单调函数，则要使
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−a对于一切满足条件的x1，x2都
恒为正或恒为负，
又∵a > 0，
∴
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−a必定恒为负，
∵0 <
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
< 1，
∴a ≥1，
则结论可以推出条件；
综上所述：函数f (x)在区间(0, +∞)上为单调函数的充要条件是a ≥1.
(3) 任取1 ≤x1 < x2，
由第二问可得：f (x1) −f (x2) = (x1 −x2)
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−a ，
∵函数f (x)在区间[1, +∞)上是严格增函数，
∴f (x1) −f (x2) < 0，
∵x1 −x2 < 0，
∵
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
−a > 0，
∵1 ≤x1 < √x2
1 + 1，1 < x2 < √x2
2 + 1，且√2x1 ≥√x2
1 + 1，√2x2 > √x2
2 + 1
18
∴√2
2
<
x1 + x2
√x2
1 + 1 + √x2
2 + 1
< 1，
∴0 < a ≤√2
2 .
教法备注
【考点】函数单调性
【教法】让学生通过画图掌握函数单调的应用
05 函数周期性与对称性
1
巩固练习
考点1：函数对称性的判断
A组
练1
1
已知定义在R上的函数y = f (x)的图像关于点(1, 0)对称，则下列结论成立的是（       ）
A. f (x + 1)为偶函数
B. f (1 + x) = f (1 −x)
C. f (2 + x) + f (−x) = 0
D. f (1) = 0
CD
由题意可得f (2 −x) = −f (x)，根据函数图像的对称性和函数性质，对选项进行判断.
定义在R上的函数y = f (x)的图像关于点(1, 0)对称，则函数图像上的点(x, f (x))关于点(1, 0)的对称点
(2 −x, −f (x))也在函数图像上，所以f (2 −x) = −f (x).
函数f (x + 1)的图像由函数y = f (x)的图像向左平移一个单位得到，则函数f (x + 1)的图像关于点(0, 0)对称，
不能得到函数为偶函数，所以A选项错误；
由f (2 −x) = −f (x)，令x = 1 −t，则有f (1 + t) = −f (1 −t)，故B选项错误；
由f (2 −x) = −f (x)，令x = −t，则有f (2 + t) = −f (−t)，故C选项正确；
由f (2 −x) = −f (x)，令x = 1，则有f (1) = −f (1)，∴f (1) = 0，故D选项正确.
故选：CD
答案
解析
练2
1
已知函数y = −
x −a
x −a −1 的反函数的图像关于点(−1, 3)成中心对称图形．则实数a等于．
A. 2
B. 3
C. −2
D. −3
答案
2
A
在原函数图像上取点(1, 1
a −1)，则点( 1
a −1, 1)在其反函数图像上，它关于点(−1, 3)的对称点为
(−1 −1
a , 5)．
从而，点(5, −1 −1
a )在原函数图像上．所以，−1 −1
a = −
5 −a
5 −a −1 ⇒a = 2.
故答案为A
解析
B组
练1
1
若函数f (x) = 2x + 3 ⋅2−x的图像关于直线x = m成轴对称图形，则m = 
 .
1
2 log23
因为函数f (x) = 2x + 3 ⋅2−x的图像关于直线x = m成轴对称图形，
所以f (m −x) = f (m + x)恒成立，
即2m−x + 3 ⋅2x−m = 2m+x + 3 ⋅2−x−m, x ∈R恒成立，
即(2m −3 ⋅2−m) (2x −2−x) = 0, x ∈R恒成立，
所以2m −3 ⋅2−m = 0，即2m = √3，
解得m = 1
2 log23，
故答案为：1
2 log23
答案
解析
练2
1
已知函数f(x) =
1
4 −2x 的图象关于点P对称，则点P的坐标是 
 .
(2 , 1
8 )
答案
3
设P(m, n)，任意给点M(x, y)关于P(m, n)的对称点为N(2m −x, 2n −y)，
由y = f(x) =
1
4 −2x , 2n −y = f(2m −x) =
1
4 −22m−x ，
∴y = 2n −
1
4 −22m−x = 2n −
2x
2x+2 −22m = (8n −1)2x −n ⋅22m+1
2x+2 −22m
= n ⋅22m−1 −(8n −1)2x−2
22m−2 −2x
又y =
1
4 −2x ，观察系数可得：
，解这个方程组得到m = 2, n = 1
8 ，
故答案为：(2, 1
8 ).
本题考查函数对称中心的求解，属基础题.
解析
⎧
⎨
⎩
2m −2 = 2
8n −1 = 0
n ⋅22m−1 = 1
练3
1
已知函数f (x)的定义域为R，且y = f (x + 1)的图象关于点(−1, 0)成中心对称.当x > 0时，f (x) =
3
x + 1 ，则
f (−2) =（       ）
A. 1
B. 3
C. −1
D. −3
C
根据题意和抽象函数图象的对称性可得y = f (x)的图象关于原点中心对称，为奇函数，结合奇函数的性质即
可求解.
因为将y = f (x + 1)的图象向右平移1个单位长度后
得到函数y = f (x)的图象且y = f (x + 1)的图象关于点(−1, 0)成中心对称，
所以y = f (x)的图象关于原点成中心对称，则y = f (x)在R上是奇函数，
所以f (−2) = −f (2) = −
3
2 + 1 = −1.
故选：C.
答案
解析
练4
1
下列函数中，其图象与函数y=ln(x+1)的图象关于直线x=1对称的是（       ）
A. y=ln(1-x)
B. y=ln(3-x)
C. y=ln(1+x)
D. y=ln(3+x)
4
B
设A(x, y)为所求曲线上一点，
A关于x = 1对称点A′(2 −x, y)，
∴y = ln(2 −x + 1) = ln(3 −x)，
∴y = ln(3 −x)与y = ln(x + 1)关于x = 1对称，
故选：B.
本题考查利用相关点代入法求曲线方程，属于基础题.
答案
解析
考点2：函数对称性的应用
A组
练1
1
已知定义域为R上的偶函数f(x)在[0, +∞)上单调递增，且f ( 1
2 ) = 0，则不等式f(x −2) > 0的解集是 
 ．
{x
x < 3
2 或 x > 5
2 }
∵f (x)是偶函数且f ( 1
2 ) = 0，
∴不等式f(x −2) > 0等价于f(|x −2|) > f ( 1
2 )，
又∵f(x)在[0, +∞)上单调递增，
∴|x −2| > 1
2 ，解得x < 3
2 或x > 5
2 ，
故不等式的解集为{x
x < 3
2 或x > 5
2 }.
故答案为：{x
x < 3
2 或x > 5
2 }.
本题考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.
答案
解析
5
B组
练1
1
已知定义域为R的函数y = f (x)是奇函数，在(0, +∞)上是严格增函数，且f (3) = 0，则不等式(x −1)f (x) < 0的解
集是 
 .
(−3, 0) ∪(1, 3)
根据题意分别讨论x < 0，$0<1$和x > 1三种情况，由奇函数的性质以及单调性即可求解.
因为f (x)是奇函数，且在(0, +∞)是严格增函数，f (3) = 0，
所以f (x)在(−∞, 0)也是严格增函数，f (−3) = 0，
当x < 0时，不等式化为f (x) > 0 = f (−3)，解得x > −3，所以$-3<0$；
当$0<1$时，不等式化为f (x) > 0 = f (3)，解得x > 3，此时无解；
当x > 1时，不等式化为f (x) < 0 = f (3)，解得x < 3，所以$1<3$，
综上，不等式的解集为(−3, 0) ∪(1, 3).
故答案为：(−3, 0) ∪(1, 3).
答案
解析
练2
1
若函数y = f (x)满足：①f (x)的图象是中心对称图形；②若x ∈D时，f (x)图象上的点到其对称中心的距离不超过
一个正数M，则称f (x)是区间D上的“M对称函数”.若函数f (x) = (x + 1)3 + m (m > 0)是区间[−4, 2]上的“M对称函
数”，则实数M的取值范围是
A. [3√82, +∞)
B. [√82, +∞)
C. (0, 3√82]
D. (3√82, +∞)
A
分析：由图象变换知识明确函数f (x)的对称中心，结合新定义问题转化为求端点值到中心的最值问题.
答案
解析
6
详解：函数f (x) = (x + 1)3 + m (m > 0)的图象可由y = x3的图象向左平移1个单位，
再向上平移m个单位得到，故函数f (x)的图象关于点Q (−1，m)对称.
由图可知，当x ∈(−4，m −27)或点(2，m + 27)的距离最大，
最大值为d = √9 + (m −27 −m)2 = 3√82，根据条件只需M≥3√82.
故选A
点睛：三次函数具有良好的对称性，其对称中心的横坐标是三次函数二阶导数的零点，把零点代入f (x)即可
得到对称中心的纵坐标.
练3
1
已知函数f (x) = (x2 −1) (x2 + ax + b)，若对于任意的x ∈R，都有f (x) = f (4 −x)，则f (x)的最小值是 
 .
−16
根据f (1) = f (−1) = 0及f (x) = f (4 −x)可得f (3) = f (5) = 0即可求出函数解析式，令t = x2 −4x + 4，将
函数转化为二次函数，求出函数的最小值.解：对任意的x ∈R，都有f (x) = f (4 −x)
∵f (1) = f (−1) = 0
∴f (3) = f (5) = 0
∴f (x) = (x2 −1) (x −3) (x −5) = (x2 −4x + 3) (x2 −4x −5)
令t = x2 −4x + 4 ≥0
则∴g (t) = (t −1) (t −9) = (t −5)2 −16
∴g(t)min = −16
所以f (x)的最小值为−16
故答案为：−16
本题考查函数的最值，利用换元法将函数转化为二次函数，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题.
答案
解析
考点3：函数周期性的判断
B组
练1
1
7
函数f (x)对于任意实数x满足条件f (x + 2) =
1
f (x) ，若f (1) = −5,则f (f (5)) = 
 ．
−1
5
解：由f (x + 2) =
1
f (x) 得f (x + 4) =
1
f (x + 2) = f(x)，所以f(5) = f(1) = −5，则
．
答案
解析
练2
1
已知函数y = f (x)，对任意x ∈R，都有f (x + 2) ⋅f (x) = k（k为常数），且当x ∈[0, 2]时，f (x) = x2 + 1，则
f (2023) = 
 .
5
2
根据k = f (0) ⋅f (2)可得出k的值，推导出函数f (x)是周期为4的周期函数，结合周期性可求得f (2023)的值.
对任意x ∈R，都有f (x + 2) ⋅f (x) = k（k为常数），当x ∈[0, 2]时，f (x) = x2 + 1，
则f (0) = 1，f (2) = 5，则k = f (0) ⋅f (2) = 5，所以，f (1)f (−1) = 5，
所以，f (x + 2) ⋅f (x + 4) = 5且f (x + 2) ⋅f (x) = 5，
所以，f (x + 4) = f (x)，故函数f (x)是周期为4的周期函数，
则f (2023) = f (4 × 506 −1) = f (−1) =
5
f (1) = 5
2 ，
故答案为：5
2 .
答案
解析
考点4：函数周期性的应用
A组
8
练1
1
若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x + 2) = f(x)且x ∈[0, 1]时，f(x) = x，则方程f(x) = log3|x|的解有（       ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 多于4个
C
由题意可得函数周期为2，问题转化为f(x)与y = log3|x|图象的交点个数，作图可得．
解：由f(x + 2) = f(x)可得函数的周期为2，
又函数为偶函数且当x ∈[0，1]时，f(x) = x，
故可作出函数f(x)得图象．
∴方程f(x) = log3|x|的解个数等价于f(x)与y = log3|x|图象的交点，
由图象可得它们有4个交点，故方程f(x) = log3|x|的解个数为4.
故选：C．
答案
解析
练2
1
函数y = f(x), x ∈R满足f (x + 2) = f (x)，当0 < x ≤2时，f (x) = log2 (x + 1)，则f (−2023) = 
 .
1
由f (x + 2) = f (x)得函数的周期，然后通过周期性和对数的运算性质即可求出f (−2023)的值.
答案
解析
9
由f (x + 2) = f (x)得函数y = f(x), x ∈R的最小正周期为2.
由周期性可得，f (−2023) = f [1 + 2 × (−1012)] = f (1)，
当0 < x ≤2时，f (x) = log2 (x + 1)，则f (1) = log2 (1 + 1) = log2 2 = 1.
所以f (−2023) = 1.
故答案为：1.
B组
练1
1
设函数f(x) = √2
2 cos(2x + π
4 ) + sin2x
（1）求函数f(x)的最小正周期；
（2）设函数g(x)对任意x ∈R，有g(x + π
2 ) = g(x)，且当x ∈[0, π
2 ]时，g(x) = 1
2 −f(x)；求函数g(x)在[−π, 0]上
的解析式．
（I） T = π；（II） g(x) = {
f(x) = √2
2 cos(2x + π
4 ) + sin2x = 1
2 cos 2x −1
2 sin 2x + 1
2 (1 −cos 2x)= 1
2 −1
2 sin 2x
（I）函数f(x)的最小正周期T = 2π
2 = π
（2）当x ∈[0, π
2 ]时，g(x) = 1
2 −f(x) = 1
2 sin 2x
答案
−1
2 sin 2x(−π
2 ≤x ≤0)
1
2 sin 2x(−π ≤x < −π
2 )
解析
10
当x ∈[−π
2 , 0]时，(x + π
2 ) ∈[0, π
2 ]
当x ∈[−π, −π
2 )时，(x + π) ∈[0, π
2 )g(x) = g(x + π) = 1
2 sin 2(x + π) = 1
2 sin 2x
得：函数g(x)在[−π, 0]上的解析式为g(x) = {
 
−1
2 sin 2x(−π
2 ≤x ≤0)
1
2 sin 2x(−π ≤x < −π
2 )
练2
1
设函数y = f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x + 3) = −f (x)，若f (1) ≥−2，f (2021) = 3
m ，则实数m的取值范
围是 
 .
m < 0或 m ≥3
2
根据给定条件，探讨函数f(x)的性质，并求出f(2021)与f(1)的关系，列出不等式求解即得.
由函数y = f (x)是R上的奇函数，且f (x + 3) = −f (x)，得f (x + 6) = −f (x + 3) = f(x)，
因此函数f(x)是以6为周期的周期函数，f(2021) = f(−1 + 6 × 337) = f(−1) = −f(1)，
而f (1) ≥−2，于是f(2021) ≤2，又f (2021) = 3
m ，则3
m ≤2，解得m < 0或m ≥3
2 ，
所以实数m的取值范围是m < 0或m ≥3
2 .
故答案为：m < 0或m ≥3
2
答案
解析
06 函数图像与函数零点
1
巩固练习
考点1：函数图像及其变换
A组
练1
1
已知函数f (x) = 1 + |x| −x
2
（−2 < x ⩽2）．
(1)
用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)
请在方格坐标系中画出函数f(x)的图像．
(1) f (x) = {
(2) 作图见解析
答案
1, 0 ⩽x ⩽2
1 −x, −2 < x < 0
2
(1) 当0 ⩽x ⩽2时，f (x) = 1 + x −x
2
= 1；
当−2 < x < 0时，f (x) = 1 + −x −x
2
= 1 −x．
∴f (x) = {
．
(2) 函数f(x)的图像如下图所示．
解析
1, 0 ⩽x ⩽2
1 −x, −2 < x < 0
B组
练1
1
函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像如图1和图2，则函数y=f(x)∙g(x)的图像可能是（       ）
A.
B.
C.
D.
3
A
先根据定义域排除部分选项，再利用奇偶性判断.
解：因为函数y=g(x)的图像与y轴没有公共点，
所以函数y=f(x)∙g(x)的图象与y轴没有公共点，排除CD；
由函数y=f(x)与函数y=g(x)的图像可知：
函数y=f(x)是偶函数，函数y=g(x)是奇函数，
所以函数y=f(x)∙g(x)是奇函数，故排除B,
故选：A
答案
解析
练2
1
已知曲线C1：y = sin x，曲线C2：y = sin (ωx + φ) (ω > 0, |φ| < π
2 )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（       ）
A. 将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
B. 将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线C2
C. 将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C2
D. 将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线C2
B
根据图象求出曲线C2对应的函数解析式，再根据正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.
设y = g(x) = sin (ωx + φ)，由图象可知：g (0) = 1
2 , g ( π
12 ) = 0，
g (0) = 1
2 ⇒sin φ = 1
2 ，因为|φ| < π
2 ，所以φ = π
6 ，
g ( π
12 ) = 0 ⇒5π
12 ω + φ = kπ (k ∈Z) ⇒ω = 12k −2
5
(k ∈Z)，
1
2
1
2
答案
解析
4
设y = g(x) = sin (ωx + φ)的最小正周期为T，因为ω > 0，
所以由图象可知中：T
2 > 5π
12 ⇒2π
ω > 5π
6 ⇒0 < ω < 12
5 ，
而ω = 12k −2
5
(k ∈Z)，所以令k = 1，则ω = 2，
因此y = g (x) = sin (2x + π
6 )，
选项A，将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线对应的函数解析
式为：y = sin ( 1
2 x + π
6 )，故本选项不正确；
选项B，将曲线C1先向左平移π
6 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线对应的函数解析
式为：y = sin (2x + π
6 )，故本选项正确；
选项C，将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到曲线对应的函数解析
式为：y = sin ( 1
2 x + π
3 )，故本选项不正确；
选项D，将曲线C1先向左平移π
3 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来的
倍，得到曲线对应的函数解析
式为：y = sin (2x + π
3 )，故本选项不正确，
故选：B.
1
2
1
2
练3
1
设函数f (x)在(−∞, +∞)内有定义，对于给定的正数K，若定义函数fK (x) = {
，取函数f (x) = 2−|x|
，当K = 1
4 时，函数fK (x)的单调递增区间为 
 ．
(−∞, −2)
根据题意，将函数f (x)写成分段函数的形式，分析f (x) > k，即2−|x| > 1
4 的解集，据此可得fK (x)的解析
式，进而分析可得答案．解：根据题意，函数f (x) = 2−|x| =  { 
 ，K = 1
4 ，
若f (x) > k，即2−|x| > 1
4 ，也即( 1
2 )
|x|
> ( 1
2 )
2
 进而|x| < 2解可得$-2<2$，
则此时${{f}_{K}}\left( x \right)=\text{ }\!\!\{\!\!\text{ }\begin{matrix} {{2}^{x}},x\le -2 \ \dfrac{1}{4},-2<2 \
{{2}^{-x}},x\ge 2 \ \end{matrix}\text{ }$，其单调递增区间为(−∞, −2)；
故答案为(−∞, −2)．
本题考查分段函数的应用，注意分析fk (x)的含义，属于中档题．
f(x),f(x)≤K
K, f (x) > K
答案
解析
2x,x≤0
2−x, x > 0
练4
5
1
设实数a > 0，且a ≠1，b ∈R，函数f (x) = ax + b (x > 0)．若f (x)的图像与x轴没有交点，则（     ）
A. {
或{
B. {
或{
C. {
或{
D. {
或{
A
分a > 1和0 < a < 1，根据题意结合指数函数性质运算求解即可.
①当a > 1时，f (x) = ax + b (x > 0)单调递增，则f (x) > f (0) = b + 1，
为使f (x)的图象与x轴没有交点，则b + 1 ≥0 ⇒b ≥−1；
②当0 < a < 1时，f (x) = ax + b (x > 0)单调递减，
且x > 0，则0 < ax < 1，可得b < ax + b < b + 1，
若f(x)的图象与x轴没有交点，则b ≥0或b + 1 ≤0，解得b ≥0或b ≤−1；
综上所述：{
或{
.
故选：A.
a > 1
b ≥−1
0 < a < 1
b ≤−1或b ≥0
a > 1
b < −1
0 < a < 1
−1 < b < 0
a > 1
b ≤−2
0 < a < 1
−0.5 < b < 0
a > 1
−2 < b < −1
0 < a < 1
−1 < b < −0.5
答案
解析
a > 1
b ≥−1
0 < a < 1
b ≤−1或b ≥0
考点2：已知零点个数求参 
A组
练1
1
已知函数f (x) = {
，若函数f (x)存在零点，则实数t的取值范围是 
 .
(0, +∞).
根据题意，利用指数函数和一次函数的图象与性质，结合函数零点的概念，列出关系式，即可求解.
3x, x ≥t
−x, x < t
答案
解析
6
由题意，当x ≥t时，f (x) = 3x，根据指数函数的性质，可得f (x) > 0，
所以函数y = f (x)在x ∈[t, +∞)上没有零点；
要使得函数y = f (x)存在零点，即x ∈(−∞, t)上函数存在零点，
当x < t时，f (x) = −x为单调递减函数，
要使得函数y = f (x)存在零点，则满足t > 0，
即实数t的取值范围为(0, +∞).
故答案为：(0, +∞).
练2
1
函数f (x) = x2 + 1
2x −3的零点个数为 
 .
2
将问题转化为函数y = 1
2x 与y = 3 −x2的交点个数，作出函数图象即可得到结果.
函数f (x) = x2 + 1
2x −3的零点个数等价于方程1
2x = 3 −x2的解得个数，
即函数y = 1
2x 与y = 3 −x2的交点个数，
作出函数y = 1
2x 与y = 3 −x2的图象如下图所示，
   
由图象可知：函数y = 1
2x 与y = 3 −x2有且仅有两个不同交点，
∴函数f (x) = x2 + 1
2x −3的零点个数为2.
故答案为：2.
答案
解析
B组
练1
1
7
若函数f(x) = {
有且仅有1个零点，则实数a的取值范围 
 
(−∞, −3) ⋃[−2, 1)
把函数y = −(x + 3)(x −1)，y = 2x −0.25的图象画在同一直角坐标系中，直线x = a在平移过程中，可得到
函数f(x)与x轴的不同交点个数，从而即可求解.
解：把函数y = −(x + 3)(x −1)，y = 2x −1
4 的图象画在同一直角坐标系中，如图所示：
直线x = a在平移过程中，可得到函数f(x)图象与x轴的不同交点个数，
当a ∈(−∞, −3) ⋃[−2, 1)时，函数f(x) = {
与x轴有且只有一个交点，
所以实数a的取值范围是(−∞, −3) ⋃[−2, 1)，
故答案为：(−∞, −3) ⋃[−2, 1)．
−(x + 3)(x −1), x ≤a
2x −0.25, x > a
答案
解析
−(x + 3)(x −1), x ≤a
2x −0.25, x > a
练2
1
若存在区间[a, b](a, b ∈R)使得函数f (x) = sin x −1
2 在此区间上仅有两个零点，则b −a的取值范围是 
 ．
[ 2π
3 , 10π
3 )
由f (x) = sin x −1
2 = 0得sin x = 1
2 ，所以x = π
6 + 2k1π或x = 5π
6 + 2k2π，k1, k2 ∈Z，根据正弦图象结合条
件即可求解结果．
答案
解析
8
由f (x) = sin x −1
2 = 0得sin x = 1
2 ，所以x = π
6 + 2k1π或x = 5π
6 + 2k2π，k1, k2 ∈Z
当a = π
6 + 2kπ, b = 5π
6 + 2kπ, k ∈Z，b −a = 2π
3 ；
当a = 5π
6 + 2kπ, b = π
6 + 2 (k + 2)π, k ∈Z，b −a = 10π
3
因为在区间[a, b](a, b ∈R)上函数f (x) = sin x −1
2 仅有两个零点，
所以2π
3 ≤b −a < 10π
3
故答案为：[ 2π
3 , 10π
3 )
   
练3
1
设min {A, B}表示A，B中的较小数.若函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则实数a的取值
范围是 
 .
[6, +∞)
设g(x) = x2 −ax + 2a −3，h(x) = |x| −2，根据函数h(x)的图象得出a ≥6或a ≤2.然后根据a的取值讨论即
可求解.
设g(x) = x2 −ax + 2a −3，h(x) = |x| −2，
由|x| −2 = 0可得：x = ±2.
要使函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则函数g(x)至少有1个零点，则
Δ = a2 −4(2a −3) ≥0，解得：a ≥6或a ≤2.
(1)当a = 2时，g(x) = x2 −2x + 1，作出函数g(x), h(x)的图象如下图所示：
此时函数f(x)只有两个零点，不满足题意；
答案
解析
9
(2)当a < 2时，设函数g(x)的两个零点分别为x1, x2(x1 < x2)，
要使得函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则x2 ≤−2，
所以{
，解得：a ∈∅；
(3)当a = 6时，g(x) = x2 −6x + 9，作出函数g(x), h(x)的图象如下图所示：
由图可知，函数f(x)的零点个数为3，满足题意；
(4)当a > 6时，设函数g(x)的两个零点分别为x3, x4(x3 < x4)，
要使得函数f (x) = min {|x| −2, x2 −ax + 2a −3}至少有3个零点，则x3 > 2，
所以{
，解得：a > 2，此时a > 6，
综上所述，实数a的取值范围是[6, +∞)，
故答案为：[6, +∞).
a
2 < −2
g(−2) = 4a −1 ≥0
a
2 > 2
g(2) = 4 −3 = 1 > 0
练4
1
设f (x)是定义在R上的偶函数，对任意的x ∈R，都有f (x −2) = f (x + 2)，且当x ∈[−2, 0]时，f (x) = ( 1
2 )
x
−1.
若在区间(−2, 6]内关于x的方程f (x) −loga (x + 2) = 0 (a > 1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是 
.
(
3√4, 2)
由周期性与奇偶性作出函数图象，通过图象观察，可得关于a的不等式组，解出即可．
由f (x) −loga (x + 2) = 0 (a > 1)可得f (x) = loga (x + 2)，
所以，函数y = f (x)和函数y = loga (x + 2) (a > 1)在(−2, 6]上的图象有3个交点，
因为对任意的x ∈R，都有f (x −2) = f (x + 2)，即f (x) = f (x + 4)，
答案
解析
10
所以，函数f (x)是周期为4的周期函数，
因为f (x)是定义在R上的偶函数，
且当x ∈[−2, 0]时，f (x) = ( 1
2 )
x
−1，则f (−2) = 3.
作出函数y = f (x)和函数y = loga (x + 2) (a > 1)在(−2, 6]上的图象如下图所示：
要使得函数y = f (x)和函数y = loga (x + 2) (a > 1)在(−2, 6]上的图象有3个交点，
则
，解得
3√4 < a < 2.因此，实数a的取值范围是(
3√4, 2).
故答案为：( 3√4, 2)
⎧
⎨
⎩
loga 4 < 3
loga 8 > 3
a > 1
考点3：利用函数性质探究零点关系
A组
练1
1
已知函数f(x) = x −2
x (x ≠0)，则该函数的所有零点的和是 
 .
0
函数的零点转化为方程的根，求出方程的根，然后推出所有零点的和.
函数f(x) = x −2
x (x ≠0)的零点，就是方程x −2
x = 0的根，解得：x = ±√2
所以该函数的所有零点的和为：√2 −√2 = 0，
故答案为：0
答案
解析
11
B组
练1
1
已知定义在R上的奇函数f (x)，满足f(x −4) = −f(x)，且在区间[0, 2]上是增函数，若方程f(x) = m(m > 0)，在区
间[−8, 8]上有四个不同的根x1, x2, x3, x4，则x1 + x2 + x3 + x4 =（       ）
A. -12
B. -8
C. -4
D. 4
B
先根据题意可得f (x)的最小正周期为8，再画出简图，结合函数的对称性求解即可
f(x −4) = −f(x) ⇒f(x −8) = f[(x −4) −4] = −f(x −4) = f(x)，故函数f (x)的最小正周期为8．又因为函
数是奇函数，且在区间[0, 2]上是增函数，所以可以粗略画出简图，不妨设x1 > x2 > x3 > x4，由图象可知，
x1 + x2 = 4, x3 + x4 = −12，所以x1 + x2 + x3 + x4 = −8．
故选：B
答案
解析
练2
1
已知f (x) = 2 sin πx，g (x) =
3√x −1，则f (x)与g (x)图象交点的横坐标之和为 
 .
17.
作出两个函数的图象，根据函数的对称性，利用数形结合即可得到结论.作出f (x)与g (x)的图象，如图，
令3√x −1 = 2，解得x = 9，令3√x −1 = −2，解得x = −7，
∴f (x)与g (x)图象共有17个交点.
∵则f (x)与g (x)关于(1, 0)对称，
答案
解析
12
设17个交点横坐标为x1, x2, x3, ⋯, x17，
则x1 + x2 + x3 + ⋯+ x17 = 2 × 8 + 1 = 17.
故答案为：17.
本题主要考查函数零点的应用，根据方程和函数之间的关系，利用数形结合，结合函数的对称性是解决本题
的关键.
练3
1
已知函数f (x) = {
，若存在x1 < x2 < x3，使得f (x1) = f (x2) = f (x3)，则x1 + x2 + x3的取值
范围是（       ）
A. (0, √6)
B. (√3, √6)
C. (0, √6]
D. (√3, √6]
D
设f (x1) = f (x2) = f (x3) = t，则直线y = t与函数f (x)的图象有三个交点，分析可知点(x1, t)、(x2, t)关于直
线x = −1对称，可得出x1 + x2的值，求出x3的取值范围，由此可求得x1 + x2 + x3的取值范围.
设f (x1) = f (x2) = f (x3) = t，作出函数f (x)与y = t的图象如下图所示：
由图可知，当0 < t ≤3时，直线y = t与函数f (x)的图象有三个交点，
由图可知，点(x1, t)、(x2, t)关于直线x = −1对称，则x1 + x2 = −2，
且函数f (x)在(2, +∞)上为增函数，
由f (x3) = x2
3 −4x3 + 1 ∈(0, 3]，因为x3 > 2，解得2 + √3 < x3 ≤2 + √6，
|x + 1|, x ≤2
x2 −4x + 1, x > 2
答案
解析
13
所以，x1 + x2 + x3 = x3 −2 ∈(√3, √6].
故选：D.
关键点点睛：本题考查利用函数零点和的取值范围，解题的关键在于分析函数图象的对称性，求出x1 + x2，
结合不等式求出x3的取值范围，进而求解.
07 函数中的恒成立与存在问题
1
巩固练习
考点1：单变量不等式恒成立与有解问题
A组
练1
1
若关于x的不等式|x + 3| −|x −1| ≤a2 −3a对任意实数a恒成立，则实数x的取值范围是 
 ．
(−∞, −17
8 ]
将不等式恒成立问题转化求函数的最值问题，利用分段处理的原则即可求解.
关于x的不等式|x + 3| −|x −1| ≤a2 −3a对任意实数a恒成立等价于|x + 3| −|x −1| ≤(a2 −3a)min，
a ∈(−∞, +∞)即可.
令f (a) = a2 −3a，a ∈R，则f (a) = a2 −3a = (a −3
2 )
2
−9
4 ，a ∈R,
由二次函数的性质知，当a = 3
2 时，f (a)取得最小值为−9
4 .
所以|x + 3| −|x −1| ≤−9
4 ，
当x < −3时，−x −3 −(1 −x) ≤−9
4 ，即−4 ≤−9
4 ，显然成立，解得x < −3，
当−3 ≤x ≤1时，x + 3 −(1 −x) ≤−9
4 ，即2x + 2 ≤−9
4 ，解得−3 ≤x < −17
8 ，
当x > 1时，x + 3 −(x −1) ≤−9
4 ，即4 ≤−9
4 ，显然不成立，解得x ∈∅，
综上所述，实数x的取值范围为(−∞, −17
8 ].
故答案为：(−∞, −17
8 ].
答案
解析
练2
1
已知f(x) = −x2 + ax −1.
(1)
若f(1)f(2) > 0，求实数a的取值范围；
2
(2)
若存在x ∈(0, +∞)，使得f(x) > 0，求实数a的取值范围.
(1) a < 2或 a > 5
2 ；
(2) a > 2.
(1) 函数f(x) = −x2 + ax −1，由f(1)f(2) > 0，得(a −2)(2a −5) > 0，解得a < 2或a > 5
2 ，
所以实数a的取值范围是a < 2或a > 5
2 .
(2) 当x ∈(0, +∞)时，f (x) > 0 ⇔−x2 + ax −1 > 0 ⇔a > x + 1
x ，
又x + 1
x ≥2√x ⋅1
x = 2，当且仅当x = 1时取等号，依题意，a > 2，
所以实数a的取值范围是a > 2.
答案
解析
B组
练1 
1
已知x > 0，y > 0，且x + 2y = xy，若不等式x + 2y ≥m2 −2m恒成立，则实数m的取值范围为 
 ．
−2 ≤m ≤4
由基本不等式求得x + 2y的最小值，解不等式可得m的范围．
∵x > 0，y > 0，x + 2y = xy，
答案
解析
3
∴2
x + 1
y = 1，
∴x + 2y = (x + 2y) ( 2
x + 1
y ) = 4 + x
y + 4y
x ≥4 + 2√x
y × 4y
x = 8，
当且仅当x
y = 4y
x ，即x = 4, y = 2时等号成立，
∴x + 2y的最小值为8，
由m2 −2m ≤8解得−2 ≤m ≤4，
故答案为：−2 ≤m ≤4．
练2
1
若不等式x2 −kx + k −1 > 0对x ∈(1, 2)恒成立，则实数k的取值范围是
A. (−∞, 2)
B. (−∞, 2]
C. (2, +∞)
D. [2, +∞)
B
不等式x2 −kx + k −1 > 0可化为(1 −x)k > 1 −x2
∵x ∈(1, 2)
∴k < 1 −x2
1 −x = 1 + x
∴y = 1 + x是一个增函数
∴k ⩽1 + 1 = 2
∴实数k取值范围是(−∞,2].
故选B.
答案
解析
练3
1
函数y = lg(kx2 + kx + 5
4 )的定义域为R，则实数k的取值范围是 
 .
[0, 5)
答案
4
根据原函数的定义域为R即可得出不等式kx2 + kx + 5
4 > 0的解集为R，对k分成k = 0和k ≠0两种情况讨论，
解出k的范围即可．∵y = lg(kx2 + kx + 5
4 )的定义域为R，
∴不等式kx2 + kx + 5
4 > 0的解集为R，
①k = 0时，5
4 > 0恒成立，满足题意；
②k ≠0时，{
，解得$0<5$，
综上所述，实数k的取值范围是[0, 5)．
故答案为[0, 5)．
本题考查函数定义域的定义及求法，二次函数ax2 + bx + c > 0的恒成立问题，考查分类讨论思想、数形结合
思想和基本运算求解能力．
教法备注
【考点】函数的恒成立问题
【教法】通过函数图像特点解决恒成立问题，引导学生分类清楚方法解决恒成立问题
解析
k > 0
Δ = k2 −5k < 0
练4
1
已知函数f(x) = √ax2 −x + a
16 ．若f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是 
 ；若f(x)的值域为[0, + ∞)，
则实数a的取值范围是 
 ．
[2, +∞) ; [0, 2]
根据f (x)的定义域为R，结合一元二次不等式恒成立列不等式组，解不等式组求得a的取值范围.
根据f (x)的值域为R，结合一元二次函数的值域列不等式组，解不等式组求得a的取值范围.
由于f (x)的定义域为R，所以ax2 −x + a
16 ≥0恒成立，所以{
，解得a ∈[2, +∞).
由于f (x)的值域为R，则y = ax2 −x + a
16 的值域包含集合[0, + ∞)，所以{
或a = 0.
解得a ∈[0, 2].
故答案为：(1). [2, +∞)       (2). [0, 2]
答案
解析
a > 0
Δ = 1 −4 × a × a
16 ≤0
a > 0
Δ = 1 −4 × a × a
16 ≥0
5
本小题主要考查函数定义域、值域，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
教法备注
【考点】函数的恒成立问题
【教法】通过函数图像特点解决恒成立问题，引导学生分类清楚方法解决恒成立问题
练5
1
关于x的不等式ax2 −|x| + 2a ≥0的解集是(−∞, +∞)，则实数a的取值范围为 
 ．
[
√2
4 , +∞)
构造f(x) = ax2 −|x| + 2a，利用函数的性质，将问题转化成在[0, +∞)上恒成立，再通过分离常转化成求函数
的最值即可求出结果.
因为关于x的不等式ax2 −|x| + 2a ≥0的解集是(−∞, +∞)，所以ax2 −|x| + 2a ≥0在R上恒成立，
令f(x) = ax2 −|x| + 2a，易知f(x)为偶函数，所以ax2 −|x| + 2a ≥0在R上恒成立，即
f(x) = ax2 −|x| + 2a ≥0在[0, +∞)上恒成立，
所以，当x = 0时，由ax2 −x + 2a = 2a ≥0，得到a ≥0，
当x > 0时，由ax2 −x + 2a ≥0，得到a ≥
x
x2 + 2 =
1
x + 2
x
，又因为x + 2
x ≥2√2，当且仅当x = √2时取等
号，所以a ≥
1
2√2
= √2
4 ，
综上，实数a的取值范围为[ √2
4 , +∞).
故答案为：[ √2
4 , +∞).
教法备注
【考点】函数的恒成立问题
【教法】通过参变分离思想解决恒成立问题，引导学生分类清楚方法解决恒成立问题
答案
解析
练6
6
1
对任意的正实数x、y，不等式√x + √y ≤m√x + y恒成立，则实数m的取值范围是 
 ．
[√2, +∞)
分离参数为m ≥√x + √y
√x + y ，由基本不等式求得√x + √y
√x + y 的最大值即得．
由题意得m ≥√x + √y
√x + y 恒成立，
因为( √x + √y
√x + y
)
2
= x + y + 2√xy
x + y
≤2(x + y)
x + y
= 2，当且仅当x = y时取等号，
所以m ≥√2，所以实数m的取值范围是[√2, +∞)．
故答案为：[√2, +∞)．
教法备注
【考点】函数的恒成立问题
【教法】通过参变分离思想解决恒成立问题，引导学生分类清楚方法解决恒成立问题
答案
解析
练7
1
设a < 0，若关于x的不等式(x2 + 2a) (x + b) ≥0对任意的x ∈(a, b)恒成立，则b −a的最大值为 
 .
2
假设0 ∈(a, b)，可得b < 0与0 ∈(a, b)矛盾，所以0 ∉(a, b)，即b ≤0，解不等式，根据不等式的解集确定
a ∈[−2, 0]，进而可得b −a的最大值.
假设0 ∈(a, b)，则由不等式得2ab ≥0，
又∵a < 0，所以b ≤0，则0 ∉(a, b)，与0 ∈(a, b)矛盾，
所以0 ∉(a, b)，即b ≤0，
不等式(x2 + 2a) (x + b) ≥0
当√−2a < −b时，不等式的解集为[−√−2a, √−2a] ∪[−b, +∞)；
答案
解析
7
当√−2a = −b时，不等式的解集为[−√−2a, +∞)；
当√−2a > −b时，不等的解集为[−√−2a, −b] ∪[√−2a, +∞)，
又−b ≥0，√−2a > 0，
所以若不等式(x2 + 2a) (x + b) ≥0对任意的x ∈(a, b)恒成立，
则只需a ≥−√−2a，即a2 + 2a ≤0，解得−2 ≤a ≤0，
所以b −a ≤2，即b −a的最大值为2，
故答案为：2.
教法备注
【考点】函数的恒成立问题
【教法】通过函数图像解决恒成立问题，引导学生分类清楚方法解决恒成立问题
考点2：双变量恒成立与有解问题
B组
练1
1
已知函数f(x) = −x2 + 6x + m，g (x) = 2 sin (2x + π
3 )．对任意x0 ∈[0, π
4 ]，存在x1, x2 ∈[−1, 3]，使得
f(x1) ≤g(x0) ≤f(x2)，则实数m的取值范围是 
 ．
[−7, 8]
根据f (x)和g (x)的值域以及恒成立、存在性等知识求得m的取值范围.
0 ≤x ≤π
4 , 0 ≤2x ≤π
2 , π
3 ≤2x + π
3 ≤5π
6 ，
所以g (x) = 2 sin (2 + π
3 ) ∈[1, 2].
f(x) = −x2 + 6x + m的开口向下，对称轴为x = 3，
所以f (x)在区间[−1, 3]上单调递增，f (−1) = m −7, f (3) = m + 9，
所以f (x) ∈[m −7, m + 9]，
由于任意x0 ∈[0, π
4 ]，存在x1, x2 ∈[−1, 3]，使得f(x1) ≤g(x0) ≤f(x2)，
所以{
，解得−7 ≤m ≤8，所以m的取值范围是[−7, 8].
答案
解析
m −7 ≤1
m + 9 ≥2
8
故答案为：[−7, 8]
练2
1
已知函数f (x) = ( 1
2 )
x
与g(x) = x2 −2ax + 4(a > 0)，若对任意的x1 ∈(0, 1)，都存在x2 ∈[0, 2]，使得
f (x1) = g (x2)，则实数a的取值范围是 
 .
[ √14
2
, +∞)
根据函数的单调性计算f (x1) ∈( 1
2 , 1)，确定g (x2)的值域包含( 1
2 , 1)，考虑0 < a < 2和a ≥2两种情况，根
据二次函数性质计算值域得到答案.
f (x) = ( 1
2 )
x
，函数单调递减，x1 ∈(0, 1)，故f (x1) ∈( 1
2 , 1)，
对任意的x1 ∈(0, 1)，都存在x2 ∈[0, 2]，使得f (x1) = g (x2)，
故g (x2)的值域包含( 1
2 , 1)，
①当0 < a < 2时，g(x)min = g (a) = 4 −a2 ≤1
2 ，解得√14
2
≤a < 2，
此时g(x)max = g (0) = 4 ≥1，成立；
②当a ≥2时，函数在[0, 2]上单调递减，g(x)max = g (0) = 4 ≥1，成立，
g(x)min = g (2) = 8 −4a ≤1
2 ，解得a ≥15
8 ，即a ≥2；
综上所述：a ∈[ √14
2
, +∞).
故答案为：[ √14
2
, +∞)
教法备注
【考点】函数的双变量恒成立问题
【教法】通过寻找函数最值和值域问题解决恒成立问题，引导学生分类清楚方法解决恒成立问题
答案
解析
练3
1
已知函数f (x) = x2 + m，g (x) = 2x −m，若对任意的x1 ∈[−1, 2]，总存在x2 ∈[0, 3]使得f (x1) = g (x2)成立，则实
9
数m的取值范围是 
 .
[ 1
2 , 2]
将题中的已知条件转化为两个函数值域的关系求解即可.
函数f (x) = x2 + m在[−1, 2]的值域为A = [m, m + 4]，
函数g (x) = 2x −m在[0, 3]的值域为B = [1 −m, 8 −m]，
因为对任意的x1 ∈[−1, 2]，总存在x2 ∈[0, 3]使得f (x1) = g (x2)成立，
所以A ⊆B，所以{
，解得1
2 ≤m ≤2.
故答案为：[ 1
2 , 2]
教法备注
【考点】函数的双变量恒成立问题
【教法】通过寻找函数最值和值域问题解决恒成立问题，引导学生分类清楚方法解决恒成立问题
答案
解析
m ≥1 −m
m + 4 ≤8 −m
练4
1
已知函数f（x）=x+ 4
x ，g（x）=2 +a-1，若对于任意x ∈[ 1
2 ，1]，存在x ∈[2，3]，使得f（x ）≥g（x ），则实数a的
取值范围是 
 .
（-∞，2]
解析:根据题意可得f（x ）
≥g（x ）
，因为 f（x）=x+ 4
x 在[ 1
2 ，1]上单调递减，则f（x）
=f（1）=5，
又因为g（x）=2 +a-1在[2，3]上单调递增，则g（x）
=g（2）=a+3，所以5≥a+3，则 a≤2.
答案:（-∞，2]
教法备注
【考点】函数的双变量恒成立问题
x
1
2
1
2
答案
解析
1
min
2
min
min
x
min
10
【教法】通过寻找函数最值和值域问题解决恒成立问题，引导学生分类清楚方法解决恒成立问题
08 导数的概念与运算
1
巩固练习
考点1：导数的概念
A组
已知函数f(x) = ax2(a ≠0)从x = 1到x = 2的平均变化率为−6，则实数a的值等于（       ）
A. 2
B. 1
C. −1
D. −2
D
根据平均变化率的定义计算即可
∵Δy
Δx = a ⋅22 −a ⋅12
2 −1
= 3a，∴3a = −6，解得a = −2．
故选：D.
答案
解析
B组
1
已知函数f (x) = x4 + ax，若lim△x→0
f (2△x) −f (−△x)
△x
=12，则a =（       ）
A. 36
B. 12
C. 4
D. 2
C
根据函数f (x)在x0处的导数的定义将lim△x→0
f (2△x) −f (−△x)
△x
变形为
3 lim△x→0
f (2△x) −f (−△x)
3△x
= 3f ′ (0)即可求解.
解：根据题意，f (x) = x4 + ax，则f ′ (x) = 4x3 + a，则f ′ (0) = a，
若lim△x→0
f (2△x) −f (−△x)
△x
=12，则
lim△x→0
f (2△x) −f (−△x)
△x
=3 lim△x→0
f (2△x) −f (−△x)
3△x
= 3f ′ (0) = 12，
答案
解析
2
则有3a = 12，即a = 4，
故选：C.
2
计算：limh→0
sin 2(x + h) −sin(2x)
h
=（       ）
A. 0
B. cos 2x
C. 2 cos x
D. 2 cos 2x
D
变换得到limh→0
sin 2(x + h) −sin(2x)
h
= 2(sin 2x)
′，计算得到答案.
设f (x) = sin(2x)
则limh→0
sin 2(x + h) −sin(2x)
h
= limh→0
f(x + h) −f(x)
h
= f ′ (x) = (sin 2x)
′ = 2 cos 2x.
故选：D.
答案
解析
3
2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某
位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船
船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时
间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 
 ．（用含有H、h、
m、t的式子表示）
Hm
ht
先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间为t，即
可求出拍照时飞船的瞬时速度.
设第二次拍照飞船的实际上升了x，
所以H
h = x
m ，解得：x = Hm
h
，
所以拍照时飞船的瞬时速度为：v = x
t = Hm
ht .
故答案为：Hm
ht .
答案
解析
3
4
现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积 V (单位: L ) 与直径 d (单位: dm )的关系式为 V = πd3
6 ，当 d = 2dm
时，气球体积的瞬时变化率为（）
A. 2π
B. π
C. π
2
D. π
4
A
答案
解析
C组
已知抛物线x2 = 3y，动点A自原点出发，沿着y轴正方向向上匀速运动，速度大小为v．过A作y轴的垂线交抛物线
于B点，再过B作x轴的垂线交x轴于C点．当A运动至(0, 100)时，点C的瞬时速度的大小为
  
√3
20 v
因为抛物线x2 = 3y，所以y = 1
3 x2，所以y′ = 2
3 x；
当y = 100时，x = 10√3，
所以y′ = 2
3 × 10√3 = 20√3
3
；
又因为抛物线在该点处沿y轴正方向向和沿x轴正方向的瞬时速度比值为vy
vx = v
vx = 20√3
3
，
所以vx =
3v
20√3
= √3
20 v，
即点C的瞬时速度大小为√3
20 v．
故答案为：√3
20 v
答案
解析
考点2：导数的几何意义
A组
1
如图，点A（x ，f（x ）），B（x ，f（x ））在函数f（x）的图象上，且x ＜x ，f ′(x)为f（x）的导函数，则
1
1
2
2
2
1
4
f ′(x1)与f ′(x2)的大小关系是（　　）
A. f ′(x1) > f ′(x2)
B. f ′(x1) < f ′(x2)
C. f ′(x1) = f ′(x2)
D. 不能确定
A
根据题意，点A（x ，f（x ）），B（x ，f（x ），f ′(x)为f（x）的导函数，
则f ′(x1)为点A处切线的斜率，设其斜率为k ，f ′(x2)为点B处切线的斜率，设其斜率为k ，
由函数的图象可得k ＞k ，即有f ′(x1) > f ′(x2)；
故选：A．
答案
解析
1
1
2
2
1
2
1
2
2
已知在区间(0, 1)上f ′(x) > 1．在下面所示的图象中，可能表示函数y = f(x)的图象的有 
  (填写所有可能的选
项）．
（1）
答案
5
根据题意y = f (x)切线的斜率始终大于1，对比选项得到答案.
在(0, 1)上，y = f (x)切线的斜率始终大于1，仅（1）满足．
故答案为：（1）
解析
B组
1
大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高
值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均
一致，则下列结论中错误的是（       ）
A. 由上图推测，甲地的绿化好于乙地
B. 当日6时到12时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
C. 当日12时到18时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率
D. 当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同
C
结合图中数据分析一一判断各选项即可.
对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差，
所以甲地的绿化好于乙地，故A正确；
对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大，
所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确；
对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大，
所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误；
对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确.
故选：C.
答案
解析
2
6
已知a ∈R，曲线y = f (x)经过点(1, 2)且在该点处的切线方程为ax + y −5 = 0，则 limh→0
f (1 + h) −2
h
= 
 .
−3
利用导数的几何意义，结合导数的定义计算即得.
由点(1, 2)在直线ax + y −5 = 0上，得a = 3，又曲线y = f (x)在点(1, 2)处的切线方程为ax + y −5 = 0，
则f^'(1)=-
a=-3
，而f(1) = 2，所以
\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f\left(1+h\right)-2}h=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f\left(1+h\right)-
f(1)}h=f^'(1)=-3
.
故答案为：−3
答案
解析
3
设点P是曲线y = x3 −√3x + 2
3 上的任意一点，P点处的切线倾斜角为σ，则σ的取值范围为 
 .
[0, π
2 ) ∪[ 2π
3 , π)
设点P(x0, y0)，根据导数的几何意义，求得\tan\sigma \geq \minus
\sqrt{3}
，即可得到答案.
设点P(x0, y0)，由函数y = x3 −√3x + 2
3 ，可得y′ = 3x2 −√3 ≥−√3，
可得y′|x=x0 = 3x2
0 −√3 ≥−√3，即\tan\sigma \geq \minus
\sqrt{3}
，
又由σ ∈[0, π)，所以[0, π
2 ) ∪[ 2π
3 , π).
故答案为：[0, π
2 ) ∪[ 2π
3 , π).
本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，准确计算是解答的关键，着重
考查推理与运算能力.
答案
解析
考点3：导数的运算
A组
1
下列结论正确的是（       ）
A. 若y = sin x，则y′ = cos x
B. 若y = cos x，则y′ = cos x
7
C. 若y = 1
x ，则y′ = 1
x2
D. 若y = √x，则y′ = 1
2 √x
A
根据基本初等函数的求导法则，对选项一一判断即可得解.
解：选项A，由三角函数的求导法则知，A正确；
选项B，若y = cos x，则y′ = −sin x，即B错误；
选项C，若y = 1
x ，则y′ = −1
x2 ，即C错误；
选项D，若y = √x，则y′ =
1
2√x
，即D错误.
故选：A.
答案
解析
2
（1）函数y = (2x2 + 3) (3x −2)的导数是 
 ；
（2）函数y = 2x cos x −3x ln x的导数是 
 ；
（3）函数y = x −1
x + 1 的导数是 
 ．
y′ = 18x2 −8x + 9 ; y′ = 2x ln 2 cos x −2x sin x −3 ln x −3 ; y′ =
2
(x + 1)2
根据导数的运算求得正确答案.
（1）y = (2x2 + 3) (3x −2) = 6x3 −4x2 + 9x −6，
所以y′ = 18x2 −8x + 9.
（2）y = 2x cos x −3x ln x，
所以y′ = (2x ln 2) cos x −2x sin x −3 (ln x + 1)
= (2x ln 2) cos x −2x sin x −3 ln x −3.
（3）y = x −1
x + 1 ，
所以y′ = (x + 1) −(x −1)
(x + 1)2
=
2
(x + 1)2 .
答案
解析
3
已函数f (x) = x (2 −sin x)，则f (x)在点( π
2 ，f ( π
2 ))处的切线方程为 
 .
8
x −y = 0
先求得切点坐标，然后求得函数的导数，由此求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程.依题意
f (
 π
 
2 ) =
 π 
2 (2 −sin
 π
 
2 ) =
 π 
2 ，故切点为(
 π
 
2 ,
 π
 
2 )，f
′ (x) = 2 −sin x + x (−cos x) = 2 −sin x −x cos x，所以
f
′ (
 π
 
2 ) = 2 −1 = 1.由点斜式得y −
 π 
2 = x −
 π 
2 , x −y = 0.本小题主要考查在某点处切线方程的求法，考查导
数的运算，考查直线点斜式方程，属于基础题.
答案
解析
B组
1
下列函数的求导中，错误的是（       ）
A. 函数y = e−2x+1 cos (−x2 + x)的导数y′ = −e−2x+1 [2 cos (x2 −x) + (2x −1) sin (x2 −x)]
B. 函数y = −2ex ⋅sin x的导数y′ = −2ex (sin x + cos x)
C. 函数y = x sin x + cos x的导数y′ = x cos x
D. 函数y = cos (x2 + x)的导数y′ = (2x + 1) sin (x2 + x)
D
由已知，根据选项给的函数解析式，分别求到即可做出判断.
选项A，y′ = (e−2x+1)
′ cos (−x2 + x) + e−2x+1 ⋅[cos (−x2 + x)]
′
= −2e−2x+1 cos (−x2 + x) −e−2x+1 sin (−x2 + x) ⋅(−2x + 1)
= −e−2x+1 [2 cos (x2 −x) + (2x −1) sin (x2 −x)]，故该选项正确；
选项B，y′ = −2ex ⋅sin x −2ex ⋅cos x = −2ex (sin x + cos x)，故该选项正确；
选项C，y′ = (x sin x + cos x)′ = (x sin x)′ + (cos x)′ = sin x + x cos x −sin x = x cos x，故该选项正确；
对于D，y′ = −sin (x2 + x) ⋅(x2 + x)
′ = −(2x + 1) sin (x2 + x)．故该选项错误；
故选：D．
答案
解析
2
已知函数f (x) = x3 −3x2 + x + 2，则f (
1
2022 ) + f (
2
2022 ) + f (
3
2022 ) + ⋯+ f ( 4043
2022 ) = 
 
9
4043
根据题意，由条件可得函数f (x)关于点(1, 1)对称，然后代入计算，即可得到结果.
由题意可得，f (2 −x) = (2 −x)3 −3(2 −x)2 + (2 −x) + 2 = −x3 + 3x2 −x，
则f (2 −x) + f (x) = 2，即函数f (x)关于点(1, 1)对称，令x = 1，可得f (1) = 1，
所以f (
1
2022 ) + f (
2
2022 ) + f (
3
2022 ) + ⋯+ f ( 4043
2022 )
= [f (
1
2022 ) + f ( 4043
2022 )] + [f (
2
2022 ) + f ( 4042
2022 )] + ⋯+ [f ( 2021
2022 ) + f ( 2023
2022 )] + f ( 2022
2022 )
= 2 × 2021 + 1 = 4043
故答案为：4043
答案
解析
3
从点P (2, t)可向曲线y = x −x3引三条不同切线，则t的取值范围为（     ）．
A. −6 < t < 2
B. −2 < t < 6
C. −4 < 1 < 4
D. −4 < t < 6
A
设切点为Q (x0, x0 −x3
0)，利用kPQ = y′|x = x0，列出方程
x0 −x3
0 −t
x0 −2
= 1 −3x2
0，从而将问题转化成函数
f(x) = 2x3 −6x2 + 2 −t有3个不同零点，借助于求导判断单调性，求出极值，作出图象得到不等式，求解即
得.
设切点为Q (x0, x0 −x3
0)，其中x0 ≠2,由y = x −x3求导得y′ = 1 −3x2，
则 kPQ = x0 −x3
0 −t
x0 −2
= 1 −3x2
0，依题意，方程2x3
0 −6x2
0 + 2 −t = 0有三个不同的解.
设f(x) = 2x3 −6x2 + 2 −t，则该函数有三个不同零点.
因f ′(x) = 6x2 −12x = 6x(x −2)，由f ′(x) = 0，则x = 0或x = 2，
令f ′(x) > 0，则x < 0或x > 2，令f ′(x) < 0，则0 < x < 2，
则函数在区间(0, 2)单调递减，在区间(−∞, 0), (2, +∞)上单调递增，
当x →−∞时，f(x) →−∞，当x →+∞时，f(x) →+∞，
则函数f(x)在x = 0时取得极大值f(0) = 2 −t，在x = 2时取得极小值f(2) = −6 −t，如图所示：
答案
解析
10
由图知，函数f(x) = 2x3 −6x2 + 2 −t有三个不同零点等价于{
，
解得−6 < t < 2.
故选：A．
2 −t > 0
−6 −t < 0
4
已知函数y = f (x)，其中f (x) = 1
2 x2 −a ln x．若函数f (x)的图象在点(1, f (1))处的切线不过第四象限且不过原
点，则实数a的取值范围为 
 ．
( 1
2 , 1]
先利用导数的几何意义求出切线方程y = (1 −a)x + a −1
2 ，然后由题意可得
，从而可求出a的取
值范围.
由f (x) = 1
2 x2 −a ln x，得f ′ (x) = x −a
x ，
所以f (1) = 1
2 ，f ′ (1) = 1 −a，
所以切线方程为y −1
2 = (1 −a) (x −1)，
即y = (1 −a)x + a −1
2 ，
因为切线不过第四象限且不过原点，
所以
，解得1
2 < a ≤1，
即实数a的取值范围为( 1
2 , 1].
故答案为：( 1
2 , 1]
答案
解析
⎧
⎨
⎩
1 −a ≥0
a −1
2 > 0
⎧
⎨
⎩
1 −a ≥0
a −1
2 > 0
C组
11
1
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要
指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f ′ (x)是f (x)的导函数，f ′′ (x)是f ′ (x)的导函数，则曲线y = f (x)在点
(x, f (x))处的曲率K =
|f ′′ (x)|
(1 + [f ′ (x)]2)
3
2
.
(1)
若曲线f (x) = ln x + x与g (x) = √x在(1, 1)处的曲率分别为K1，K2，比较K1，K2大小；
(2)
求正弦曲线h (x) = sin x(x ∈R)曲率的最大值.
(1) K1 < K2
(2) 1
(1) f ′ (x) = 1
x + 1，f ′′ (x) = −1
x2 ，f ′ (1) = 2，f ′′ (1) = −1，
所以K1 =
|f ′′ (1)|
(1 + [f ′ (1)]2)
3
2
=
1
(1 + 22)
3
2
=
1
5
3
2
，
g′ (x) =
1
2√x ，g′′ (x) = −1
4 x
−3
2 ，g′ (1) = 1
2 ，g′′ (1) = −1
4 ，
答案
解析
12
K2 =
|g′′ (1)|
(1 + [g′ (1)]2)
3
2
=
1
4
[1 + ( 1
2 )
2
]
3
2
=
2
5
3
2
，
所以K1 < K2；
(2) h′ (x) = cos x，h′′ (x) = −sin x，所以K =
|sin x|
(1 + cos2 x)
3
2
，
K 2 =
sin2 x
(1 + cos2 x)3 =
sin2 x
(2 −sin2 x)
3 ，
令t = 2 −sin2 x，0 ≤sin2 x ≤1，则t ∈[1, 2]，K 2 = 2 −t
t3
设p (t) = 2 −t
t3
，则p′ (t) = −t3 −3t2 (2 −t)
t6
= 2t −6
t4
，
显然当t ∈[1, 2]时，p′ (t) < 0，p (t)递减，所以p(t)max = p (1) = 1.
K 2最大值为1，
所以K的最大值为1.
2
若直线y = x + b与曲线y = ex −ax相切，则b的最大值为（       ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. e
B
利用导数的几何意义得到b = (a + 1) [1 −ln (a + 1)]，然后利用导数分析单调性求最值即可.
设切点坐标为(x0, y0)，因为y = ex −ax，
所以y′ = ex −a，故切线的斜率为：ex0 −a = 1，
ex0 = a + 1，则x0 = ln (a + 1).
又由于切点(x0, y0)在切线y = x + b与曲线y = ex −ax上，
所以x0 + b = ex0 −ax0，所以b = (a + 1) −x0 (a + 1) = (a + 1) [1 −ln (a + 1)].
令a + 1 = t，则b = t (1 −ln t)，设f(t) = t (1 −ln t)，
f ′ (t) = (1 −ln t) + t ⋅(−1
t ) = −ln t，令f ′(t) = 0得：t = 1，
所以当t ∈(0, 1)时，f ′(t) > 0，f(t)是增函数；
当t ∈(1, +∞)时，f ′(t) < 0，f(t)是减函数.
所以f(t)max = f(1) = 1.
所以b的最大值为：1.
故选：B.
答案
解析
13
3
若直线y = k1 (x + 1) −1与曲线y = ex相切，直线y = k2 (x + 1) −1与曲线y = ln x相切，则k1k2的值为（       ）
A. 1
2
B. 1
C. e
D. e2
B
设出切点，求出k1 = ex1，k2 = 1
x2 ，根据斜率列出方程，得到x1ex1 = 1，x2 ln x2 = 1，构造f (x) = x ln x，
利用函数单调性和图象特征，求出x2 = ex1，从而求出答案.
设直线f = k1 (x + 1) −1与曲线y = ex相切于点(x1, ex1)，
直线y = k2 (x + 1) −1与曲线y = ln x相切于点(x2, ln x2)，
则k1 = ex1，且k1 = ex1 + 1
x1 + 1 ，所以x1ex1 = 1，
k2 = 1
x2
，且k2 = ln x2 + 1
x2 + 1 ，所以x2 ln x2 = 1，
令f (x) = x ln x，f ′ (x) = 1 + ln x，
当x ∈(0, 1
e )时，f ′ (x) < 0，f (x)单调递减，
当x ∈( 1
e , +∞)时，f ′ (x) > 0，f (x)单调递增，
且f (1) = 0，limx→0 f (x) = 0，所以当x ∈(0, 1)时，f (x) < 0，
因为f (x2) = x2 ln x2 = 1，f (ex1) = x1ex1 = 1，即f (x2) = f (ex1) = 1 > 0，
所以x2 ∈(1, +∞), ex1 ∈(1, +∞)，
所以x2 = ex1，故k1k2 = ex1 ⋅1
x2 = 1
故选：B
对于不知道切点的切线方程问题，要设出切点，再根据斜率列出方程，进行求解.
答案
解析
09 导数在函数中的应用
1
巩固练习
考点1：导数与函数单调性
A组
1
函数f (x) = √x ⋅ln x的递增区间为（       ）
A. ( 1
e2 , +∞)
B. ( 1
e , +∞)
C. (0, 1
e2 )
D. (0, 1
e )
A
求导函数f ′ (x)，由f ′ (x) > 0可解得结果.
函数f (x)的定义域为(0, +∞)，且f ′ (x) =
1
2√x ⋅ln x + √x ⋅1
x = ln x + 2
2√x
，
由f ′ (x) > 0得ln x + 2 > 0，解得x > 1
e2 ，所以f (x)的递增区间为( 1
e2 , +∞).
故选：A.
答案
解析
2
函数f(x) = x ln x，正确的命题是
A. 值域为R
B. 在 (1，+∞)是增函数
C. f (x)有两个不同的零点
D. 过(1, 0)点的切线有两条
B
利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线.因为f(x) = x ln x，所以f ′(x) = ln x + 1 = 0 ⇒x = 1
e ，
因此当x > 1
e 时f ′(x) > 0, f(x)在( 1
e , +∞)上是增函数，即在(1, +∞)上是增函数；
当$0<\dfrac{1}{e}$时f ′(x) < 0, f(x)在(−∞, 1
e )上是减函数，因此f(x) ≥f( 1
e ) = −1
e ；值域不为R;
答案
解析
2
当$0<\dfrac{1}{e}$时f(x) < 0,当x > 1
e 时∵f(1) = 0 ∴f(x)只有一个零点，即f (x)只有一个零点；
设切点为(x0, x0 ln x0)，则x0 ln x0
x0 −1 = ln x0 + 1 ∴x0 = 1，所以过(1, 0)点的切线只有一条；
综上选B.
本题考查利用导数研究函数值域、单调性、零点与切线，考查基本分析求解能力，属中档题.
3
下列函数中，在(0, +∞)内为增函数的是（       ）
A. y = sin x
B. y = xex
C. y = x3 −x
D. y = ln x −x
B
选项A根据正弦函数的性质进行判断，选项BCD通过导数进行判断即可.
A：因为当x ∈[ π
2 , 3π
2 ]时，函数y = sin x单调递减，故本选项不符合题意；
B：y = xex ⇒y
′ = (x + 1)ex，因为x > 0时，y
′ > 0，所以函数y = xex在(0, +∞)内为增函数，故本选项符合
题意；
C：y = x3 −x ⇒y
′ = 3x2 −1，当x ∈(0, √3
3 )时，y
′ < 0，此时函数y = x3 −x单调递减，故本选项不符合题
意；
D：y = ln x −x ⇒y
′ = 1
x −1 = 1 −x
x
，当x > 1时，y
′ < 0，此时函数y = ln x −x单调递减，故本选项不符
合题意，
故选：B
答案
解析
B组
1
已知函数f (x) = 1
3 x3 + mx2 + nx + 1的单调递减区间是(−3, 1)，则m + n的值为 
 .
−2
由题设，f ′(x) = x2 + 2mx + n，由f(x)单调递减区间是(−3, 1)，
∴f ′(x) < 0的解集为(−3, 1)，则−3, 1是f ′(x) = 0的解集，
∴−2m = −3 + 1 = −2, n = (−1) × 3 = −3，可得m = 1, n = −3，故m + n = −2.
答案
解析
3
故答案为：−2
2
设函数f(x)的导函数f ′(x)图像如下图所示，则函数f(x)的图像可能是（       ）
A.
B.
C.
D.
D
由导函数的正负与函数的单调性的关系判断，再通过f ′ (x) = 0的根，从而确定答案．
由导函数的图像可知，函数y = f (x)，先减再增, 再减再增，可排除选项A, C；
又知f ′ (x) = 0的根为x1 < 0, 0 < x2 < x3,,x ∈(x1, x2), f ′ (x) > 0, y = f (x)单调递增，
x ∈(x2, x3), f ′ (x) < 0,y = f (x)单调递减,且x2 > 0为y = f (x)极大值点，所以可排除选项B.
故选:D.
答案
解析
3
已知函数f(x) = ln x + ax2, a ∈R，若函数f(x)在区间(0, 1)上不单调，则实数a的取值范围是 
 ．
(−∞, −1
2 )
答案
解析
4
先求导，函数f(x)在区间(0, 1)上不单调等价于f
′(x) = 1
x + 2ax在区间(0, 1)有解，再构造函数h(x) = −1
2x2 ，
x ∈(0, 1)，再求出函数h(x)的值域即可得解.解：由函数f(x) = ln x + ax2，
则f
′(x) = 1
x + 2ax，
函数f(x)在区间(0, 1)上不单调，
则f
′(x) = 1
x + 2ax在区间(0, 1)有解，
即a = −1
2x2 在区间(0, 1)有解，
又h(x) = −1
2x2 在区间(0, 1)为增函数，
则$h(x)，
即a < −1
2 ，
即实数a的取值范围是(−∞, −1
2 )，
故答案为：(−∞, −1
2 ).
本题考查了导数的综合应用，重点考查了方程有解问题，属中档题.
4
设函数y = f (x)，其中f (x) = a√x −ln x (a > 0)，
(1)
求f ′ (x)；
(2)
若y = f (x)在[1, +∞)是严格增函数，求实数a的取值范围；
(3)
若y = f (x)在[2, 4]上存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
(1) f ′ (x) = a√x −2
2x
；
(2) [2, +∞)；
(3) (0, √2)．
答案
5
(1)
由f (x) = a√x −ln x = ax
1
2 −ln x (a > 0)，
得f ′ (x) = a ⋅1
2 x
−1
2 −1
x ，
所以f ′ (x) = a√x −2
2x
，
(2) 由题意得，f ′(x) ≥0在[1, +∞)上恒成立，
即a ⩾
2
√x
在[1, +∞)恒成立，
因为y =
2
√x 在[1, +∞)上递减，所以y =
2
√x 的最大值为2
√1
= 2，
所以a ⩾2，即实数a的取值范围为[2, +∞)；
(3) 由题意得，f ′(x) < 0在[2, 4]上有解，即a <
2
√x 在[2, 4]上有解，
因为y =
2
√x 在[2, 4]上递减，
所以1 ≤
2
√x
≤√2，
所以0 < a < √2，
即实数a的取值范围为(0, √2)．
解析
C组
1
已知α，β ∈(0, π)，α ≠β，若α3 −β3 = cos α −2 cos β，则下列结论一定成立的是（       ）
A. sin α < sin β
B. sin α > sin β 
C. cos α < cos β
D. cos α > cos β
A
构造函数f (x) = x3 −cos x并利用导函数判断函数的单调性，然后分0 < β < π
2 , β = π
2 , π
2 < β < π三种情况
讨论，然后根据三角函数的单调性即可得
令f (x) = x3 −cos x，得f ′ (x) = 3x2 + sin x，
若x ∈(0, π)，则f ′ (x) = 3x2 + sin x > 0
所以f (x) = x3 −cos x在(0, π)上单调递增，
当0 < β < π
2 时，则0 < cos β < 1，
所以α3 −β3 = cos α −2 cos β < cos α −cos β, ∴α3 −cos α < β3 −cos β，
又f (x) = x3 −cos x在(0, π)上单调递增，所以0 < α < β < π
2 , ∴sin α < sin β，cos α > cos β，
当β = π
2 时，α3 −β3 = cos α −2 cos β = cos α −cos β, ∴α3 −cos α = β3 −cos β，
答案
解析
6
又f (x) = x3 −cos x在(0, π)上单调递增，所以α = β = π
2 ，不合题意；
当π
2 < β < π时，−1 < cos β < 0，
所以α3 −β3 = cos α −2 cos β > cos α −cos β, ∴α3 −cos α > β3 −cos β，
又f (x) = x3 −cos x在(0, π)上单调递增，
所以π > α > β > π
2 ，所以cos α < cos β，sin α < sin β，
综上可得sin α < sin β，
故选：A
关键点点睛：构造f (x) = x3 −cos x判断单调性，然后分类讨论，利用放缩法对α3 −β3 = cos α −2 cos β变
形，结合正余弦函数的单调性即可得.
考点2：导数与函数的极值
A组
1
函数f (x)的定义域为开区间(a, b)，导函数f ′ (x)在(a, b)内的图象如图所示，则函数f (x)在开区间(a, b)内极值点（包
括极大值点和极小值点）有（       ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
C
根据函数图象，结合极值点定义即可判断f (x)在开区间(a, b)内极值点个数.根据极值点定义，在极值点处导函
数为0，且在极值点左右两侧单调性性不同，
结合函数图象可知，导函数f ′ (x)在(a, b)内与x轴有4个交点，但在x = 0两侧均为单调递增函数，因而x = 0不
是极值点，
所以f (x)在开区间(a, b)内极值点有3个，
故选：C
本题考查了导函数图象性质的应用，极值点的意义，属于基础题.
答案
解析
B组
1
7
若函数f (x) = (x2 + ax + 2)ex既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 
 ．
(−∞, −2) ∪(2, +∞)
函数f (x) = (x2 + ax + 2)ex定义域为R，f ′ (x) = [x2 + (a + 2)x + a + 2]ex.
令g (x) = x2 + (a + 2)x + a + 2，则Δ = a2 −4.
当−2 ≤a ≤2时，有Δ ≤0，g (x) ≥0，即f ′ (x) ≥0恒成立，所以f (x)在R上单增，无极值；
当a < −2或a > 2时，有Δ > 0，g (x) = 0有两个根x1, x2（不妨设x1 < x2），令f ′ (x) > 0解得：
x < x1或x > x2；令f ′ (x) < 0解得：x1 < x < x2，所以f (x)在(−∞, x1), (x2, +∞)上单增，在(x1, x2)上单
减，所以f (x)在x = x1处取得极大值，在x = x2处取得极小值.
故实数a的取值范围是(−∞, −2) ∪(2, +∞).故答案为：(−∞, −2) ∪(2, +∞)
答案
解析
2
已知曲线f (x) = x3 + ax2 + bx + 1在点(1, f (1))处的切线斜率为3，且x = 2
3 是y = f (x)的极值点，则函数的另一个
极值点为 
 .
−2
对函数求导，结合已知有f ′ (1) = 3 + 2a + b = 3，且f ′ ( 2
3 ) = 4
3 + 4
3 a + b = 0，求得a = 2, b = −4，再根据
导数的符号判断单调区间，进而确定另一个极值点即可.
由题设f ′ (x) = 3x2 + 2ax + b，则f ′ (1) = 3 + 2a + b = 3，且f ′ ( 2
3 ) = 4
3 + 4
3 a + b = 0，
所以a = 2, b = −4，即f ′ (x) = 3x2 + 4x −4 = (3x −2)(x + 2)，
当x ∈(−∞, −2) ∪( 2
3 , +∞)，f ′ (x) > 0，则(−∞, −2), ( 2
3 , +∞)上y = f (x)递增；
当x ∈(−2, 2
3 )，f ′ (x) < 0，则(−2, 2
3 )上y = f (x)递减；
所以x = −2、x = 2
3 都是y = f (x)的极值点，故另一个极值点为x = −2.
故答案为：−2
答案
解析
C组
1
8
若0为f (x) = x4 + (a −1)x3 + ax2的极大值点，则a的取值范围为 
 ．
(−∞, 0)
求得f ′ (x) = x [4x2 + 3 (a −1)x + 2a]，对实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数f (x)的单调性，结
合已知条件可得出关于实数a的不等式，由此可得出实数a的取值范围.
∵f (x) = x4 + (a −1)x3 + ax2，则f ′ (x) = 4x3 + 3 (a −1)x2 + 2ax = x [4x2 + 3 (a −1)x + 2a].
设g (x) = 4x2 + 3 (a −1)x + 2a，则Δ = 9(a −1)2 −32a = 9a2 −50a + 9.
①若Δ < 0，则g (x) > 0，当x < 0时，f ′ (x) < 0，当x > 0时，f ′ (x) > 0，
此时，0为函数f (x)的极小值点，不合乎题意；
②若Δ = 9a2 −50a + 9 = 0，解得a = 25 ± 4√34
9
，
设函数g (x)的零点为x0，则f ′ (x) = 4x(x −x0)2.
（i）若a = 25 + 4√34
9
，则x0 = 3 (1 −a)
8
< 0，
当x0 < x < 0时，f ′ (x) < 0，当x > 0时，f ′ (x) > 0，
此时，0为函数f (x)的极小值点，不合乎题意；
（ii）若a = 25 −4√34
9
，则x0 = 3 (1 −a)
8
> 0，
当x < 0时，f ′ (x) < 0，当0 < x < x0时，f ′ (x) > 0.
此时，0为函数f (x)的极小值点，不合乎题意；
③若Δ > 0，解得a < 25 −4√34
9
或a > 25 + 4√34
9
，设函数g (x)的两个零点分别为x1、x2.
（i）若a = 0，则f ′ (x) = 4x3 −3x2 = x2 (4x −3).
当x < 0时，f ′ (x) < 0，当0 < x < 3
4 时，f ′ (x) < 0，
此时，0不是函数f (x)的极值点，不合乎题意；
（ii）若x1 < x2 < 0，f ′ (x) = 4x (x −x1) (x −x2)，
当x2 < x < 0时，f ′ (x) < 0，当x > 0时，f ′ (x) > 0，
此时，0为函数f (x)的极小值点，不合乎题意；
（iii）若0 < x1 < x2，当x < 0时，f ′ (x) < 0，当0 < x < x1时，f ′ (x) > 0，
此时，0为函数f (x)的极小值点，不合乎题意；
（iv）若x1 < 0 < x2，当x1 < x < 0时，f ′ (x) > 0，当0 < x < x2时，f ′ (x) < 0，
此时，0为函数f (x)的极大值点，合乎题意.
即函数g (x)的零点一正一负，故x1x2 = a
2 < 0，解得a < 0.
综上所述，实数a的取值范围是(−∞, 0).
故答案为：(−∞, 0).
易错点点睛：已知极值点求参数的值，先计算f ′ (x) = 0，求得x的值，再验证极值点．由于导数为0的点不一
定是极值点，因此解题时要防止遗漏验证导致错误．
答案
解析
9
2
若函数f(x) = xex −(m −1)e2x存在唯一极值点，则实数m的取值范围是 
 .
(−∞, 1)
由f ′(x) = 0，可得出2m −2 = x + 1
ex
，可知直线y = 2m −2与函数g (x) = x + 1
ex
的图象有一个交点（非切
点），利用导数分析函数g (x) = x + 1
ex
的单调性与极值，数形结合可得出实数m的取值范围．
f(x) = xex −(m −1)e2x, x ∈R，则f ′(x) = (x + 1)ex −2(m −1)e2x = [x + 1 −2(m −1)ex]ex，
若函数f(x) = xex −(m −1)e2x存在唯一极值点，
则f ′(x) = 0在x ∈R上有唯一的根，
所以由f ′(x) = 0可得x + 1 −2(m −1)ex = 0，则2m −2 = x + 1
ex
有唯一的根，
直线y = 2m −2与函数g (x) = x + 1
ex
的图象有一个交点（非切点），
又g′ (x) = ex −ex (x + 1)
e2x
= −x
ex ，
所以当x ∈(−∞, 0)时，g′ (x) > 0，g (x)单调递增，当x ∈(0, +∞)时，g′ (x) < 0，g (x)单调递减，
所以，函数g(x)的极大值为g(0) = 1，且当x < −1时，g(x) < 0，当x > −1时，g(x) > 0，
则函数g(x)得图象如下图所示：
所以，当2m −2 < 0时，即当m < 1时，直线y = 2m −2与函数g (x) = x + 1
ex
的图象有一个交点（非切点），
因此，实数m的取值范围是(−∞, 1)．
故答案为：(−∞, 1)．
答案
解析
考点3：导数与函数的最值
A组
1
函数f (x) = ex
x 在(0, 2]上的最小值为 
 .
答案
10
e
对f (x)求导，从而得到f (x)在(0, 2]上的单调性，进而求出f (x)在(0, 2]上的最小值.
f ′ (x) = ex (x −1)
x2
, x ∈(0, 2]，由f ′ (x) > 0得1 < x ≤2，由f ′ (x) < 0得0 < x < 1，
所以f (x)在(0, 1]上单调递减，在(1, 2]上单调递增，
所以f(x)min = f (1) = e.
故答案为：e.
解析
2
已知函数f (x) = 1
3 x3 −4x + 4
(1)
求函数的极值
(2)
求函数在[0, 3]上的最大值与最小值
(1) x = −2时有极大值为 28
3 ， x = 2时有极小值为 −4
3
(2) x = 0时有最大值为4， x = 2时有最小值为 −4
3
(1) 根据题意可得f ′ (x) = x2 −4 = (x −2) (x + 2)，令f ′ (x) = 0，则x = 2，x = −2．
∴x ∈(−∞, −2)和(2, +∞)上，f ′ (x) > 0，f (x)在(−∞, −2)、(2, +∞)上单调递增．
∴x ∈(−2, 2)上，f ′ (x) < 0，f (x)在(−2, 2)上单调递减．
当x = −2时，f (x)有极大值，f (x)极大值为f (−2) = 28
3 ．
当x = 2时，f (x)有极小值，f (x)极小值为f (2) = −4
3 ．
答案
解析
11
(2) 由（1）可知，在区间[0, 2]上单调减，在区间[2, 3]上单调增．且f (0) = 4，f (3) = 1，
故f (x)在[0, 3]上最大值为f (0) = 4，最小值为f (2) = −4
3 ．
B组
1
已知函数f(x) =
ex
1 + ax2 ，其中a为正实数，x = 1
2 是f(x)的一个极值点
（1）求a的值；
（2）当b > 1
2 时，求函数f(x)在[b, +∞)上的最小值．
（1） a = 4
3 ；（2）当 $\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2}$， f(x)min = e√e
4
；当 b ≥3
2 ， f(x)min =
3eb
4b2 + 3 .
（1）根据1
2 是极值点，即可由f ′ ( 1
2 ) = 0，求得参数值；
（2）对b进行分类讨论，根据函数单调性，即可容易求得函数最值.
（1）f (x) =
ex
1 + ax2 ，故可得f ′ (x) =
ex (ax2 −2ax + 1)
(1 + ax)2
，
又f ′ ( 1
2 ) = 0，故可得
√e ( a
4 −a + 1)
(1 + a
2 )
2
= 0，
解得a = 4
3 .经检验成立
（2）根据（1）中所求f (x) =
ex
1 + 4
3 x2
，
f^' \left( x \right) = \dfrac{e^x (\dfrac{4}{3} x^2 - \dfrac{8}{3}x + 1)}{\left( 1 + \dfrac{4}{3}x \right)^2} = \dfrac{\
\right)^2}
当$\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2}$时，
答案
解析
12
当x ∈(b, 3
2 )时，f ′ (x) < 0；当x ∈( 3
2 , +∞)时，f ′ (x) > 0，
故f (x)在(b, 3
2 )单调递减，在( 3
2 , +∞)单调递增.
故f(x)min = f ( 3
2 ) = e√e
4
 ；
当b ≥3
2 时，f ′ (x) ≥0在区间[b, +∞)恒成立，
故f (x)在区间[b, +∞)单调递增.
故f(x)min = f (b) =
eb
1 + 4
3 b2
=
3eb
4b2 + 3 .
综上所述：当$\dfrac{1}{2}<\dfrac{3}{2}$，f(x)min = e√e
4
；当b ≥3
2 ，f(x)min =
3eb
4b2 + 3 .
本题考查利用导数根据极值点求参数，以及求函数的最值，属综合基础题.
C组
1
已知实数a、b、c、d满足b −lna
a
+ |c −d + 2| = 0，则(a −c)2 + (b −d)2的最小值为    
9
2
【分析】将(a −c)2 + (b −d)2看作是P (a, b)到Q (c, d)的距离的平方，P在曲线y = ln x
x 上，Q在直线y = x + 2
上，利用导数求解函数的单调性，结合点到直线的距离即可求解.
【详解】∵b −ln a
a
+ |c −d + 2| = 0，∴b = ln a
a ，d = c + 2 ，
设P (a, b)，Q (c, d)，则点P在曲线y = ln x
x 上，Q在直线y = x + 2上，
设曲线y = ln x
x 上切线斜率为1的切点为(x0, y0)，
y′ = 1 −ln x
x2
，当x ∈(0, e)时，y′ > 0，此时函数y = ln x
x 递增，当x ∈(e, +∞)时，y′ < 0，函数y = ln x
x 递
减，故当x = e时，ymax = lne
e = 1
e ，
直线y = x + 2在曲线y = ln x
x 上方，由1 −ln x0
x2
0
= 1，即x2
0 + ln x0 −1 = 0，
记f (x) = x2 + ln x −1，显然f (x)在(0, +∞)上是增函数，而f (1) = 0，∴x0 = 1是f (x) = 0的唯一解．
y0 = ln 1
1
= 0，Q0 (1, 0)，点Q0到直线y = x + 2的距离为h = |1 −0 + 2|
√2
= 3√2
2
，
∴(a −c)2 + (b −d)2的最小值为h2 = 9
2 ．
答案
解析
13
 
 
【点睛】处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等
量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本
不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不
等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.
2
已知函数y = f (x)，y = g (x)，且f (x) = ex−3，g (x) = 1 + ln x，若f (m) = g (n)，则n −m的最小值为 
 .
−2
令t = f(m) = g(n)，得到m, n关于t的函数式，进而可得n −m关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性
并确定最值，即可求n −m的最小值.
令t = f(m) = g(n)，则em−3 = t，1 + ln n = t，t > 0，
∴m = 3 + ln t，n = et−1，即n −m = et−1 −3 −ln t，
若h(t) = et−1 −3 −ln t，则h′ (t) = et−1 −1
t (t > 0)，
易知h′(t)在(0, +∞)上单调递增，且f (1) = 0，
当0 < t < 1时，h′(t) < 0，则h(t)在(0, 1)上单调递减；
当t > 1时，h′(t) > 0，则h(t)在(1, +∞)上单调递增；
∴h(t)min = h(1) = 1 −3 −ln 1 = −2，即n −m的最小值为−2.
故答案为：−2.
关键点点睛：令t = f(m) = g(n)确定n −m关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.
答案
解析
10 三角比
1
巩固练习
考点1：任意角与弧度制
A组
1
一个扇形的面积是1cm2，它的周长是4cm，则圆心角为 
 弧度．
2
设出扇形的圆心角和半径，利用扇形的周长和面积列方程组求出圆心角的值．
解：设扇形的圆心角为α，半径为r，
则扇形的周长为αr + 2r = 4，…①
面积为1
2 αr2 = 1，…②
由①②解得α = 2，r = 1；
所以扇形的圆心角为2弧度．
故答案为：2
答案
解析
2
下列说法正确的是（       ）
A. 终边在x轴上角的集合是{α
 α = kπ
2 ，k ∈Z}
B. 若角α的终边在第二象限，则角α是钝角
C. 若角α是钝角，则角α的终边在第二象限
D. 终边在直线y = x上角的集合是{α
 α = π
4 + kπ，k ∈Z}
CD
根据终边相同的角的表示方式进行判断AD，根据钝角的概念判断BC.
答案
解析
2
对A：终边在x轴上的角的集合是：{α|α = kπ, k ∈Z}，故A错；
对B：终边在第二象限的，未必都是钝角，例如α = 2π + 3π
4 ，故B错；
对C：因为钝角是大于90∘小于180∘的角，必在第二象限，故C对；
对D：终边在直线y = x上的角的集合是：{α
 α = π
4 + kπ，k ∈Z}，故D对.
故选：CD
3
中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面
积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S2的比值为√3 −1
2
时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的
圆心角的弧度数为（       ）
A. (4 −2√3)π
B. (2 −√3)π
C. (√3 −1)π
D. (2√3 −2)π
A
设扇形圆心角的弧度数为α，由题意可得出S1
S2
=
α
2π −α = √3 −1
2
，解得α = (4 −2√3)π.
故选：A.
答案
解析
B组
已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数是
A.
B.
C.
D. 2
C
先设圆的半径为r,再求出内接正三角形的边长为√3r，再根据已知求出其圆心角α的弧度数.设圆半径为r，则其
内接正三角形的边长为
r，所以
r＝α·r，∴α＝
.
故答案为C
（1）本题主要考查圆心角和弧长公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 圆心角α的弧
度数：∣α∣= l
r 其中l代表弧长, r代表圆的半径.
答案
解析
3
考点2：三角比
A组
1
若角α的终边经过点P(5t, 12t)(t > 0)，则sin α = 
 ．
12
13
根据给定条件，利用正弦函数的定义求出正弦值.
依题意，sin α =
12t
√(5t)2 + (12t)2 = 12t
13t = 12
13 .
故答案为：12
13
答案
解析
2
已知 tan α = 2 ，则 sin2 α −sin α cos α 的值是    
2
5
【详解】因为 tan α = 2 ，所以 sin2 α −sin α cos α = sin2 α −sin α cos α
sin2 α + cos2 α
 = tan2 α −tan α
tan2 α + 1
= 22 −2
22 + 1 = 2
5 ．
故答案为：2
5
答案
解析
B组
已知集合A = {α| tan α > 0}，集合B = {β| cot β
2 > 0}，则B ∩A = 
 ．
(2kπ −π, 2kπ −π
2 ) (k ∈Z)
–
答案
4
利用正切函数、余切函数的定义求出集合A, B，再利用补集、交集的定义求解.
集合A = {α| tan α > 0} = (kπ, kπ + π
2 ) (k ∈Z)，
集合B = {β| cot β
2 > 0} = {β|kπ < β
2 < kπ + π
2 , k ∈Z} = (2kπ, 2kπ + π) (k ∈Z)，
则B = [2kπ −π, 2kπ] (k ∈Z)，所以B ∩A = (2kπ −π, 2kπ −π
2 ) (k ∈Z).
故答案为：(2kπ −π, 2kπ −π
2 ) (k ∈Z)
解析
–
–
C组
函数y = |sin θ|
sin θ + |cos θ|
cos θ + |tan θ|
tan θ + |cot θ|
cot θ 的值域的真子集的个数为 
 
7
分θ为第一、二、三、四象限角讨论，根据三角函数值的正负求得值域，再得到真子集的个数.
当θ是第一象限角，sin θ > 0, cos θ > 0, tan θ > 0, cot θ > 0，此时y = 1 + 1 + 1 + 1 = 4，
当θ是第二象限角，sin θ > 0, cos θ < 0, tan θ < 0, cot θ < 0，此时y = 1 −1 −1 −1 = −2，
当θ是第三象限角，sin θ < 0, cos θ < 0, tan θ > 0, cot θ > 0，此时y = −1 −1 + 1 + 1 = 0，
当θ是第四象限角，sin θ < 0, cos θ > 0, tan θ < 0, cot θ < 0，此时y = −1 + 1 −1 −1 = −2，
所以，值域为{−2, 0, 4}，所以有23 −1 = 7个真子集，
故答案为：7.
答案
解析
考点3：诱导公式
A组
已知sin(3π + θ) = 1
4 ，求
cos (π + θ)
cos θ [cos (π + θ) −1] +
cos (θ −2π)
cos (θ + 2π) cos (π + θ) + cos (−θ) = 
 .
32
利用诱导公式“奇变偶不变，符号看象限”进行化简求值.原式=
−cos θ
cos θ ⋅[−cos θ −1] +
cos θ
cos θ ⋅(−cos θ) + cos θ
答案
解析
5
=
1
cos θ + 1 +
1
1 −cos θ =
2
sin2θ ，
因为sin(3π + θ) = 1
4 ，所以sin θ = −1
4 ，代入上式，
所以原式= 32
故答案为：32
本题考查诱导公式的应用、已知三角函数值求值，考查基本运算求解能力，求解时注意符号的正负.
B组
若点P(cos θ, sin θ)与点Q (cos (θ + π
2 ), sin (θ + π
2 ))关于直线3x −y = 0对称，则tan θ = 
 .
1
2
| 0.5
根据对称关系得垂直关系，利用斜率公式即可得解.
点P(cos θ, sin θ)与点Q (cos (θ + π
2 ), sin (θ + π
2 ))关于直线3x −y = 0对称，
sin (θ + π
2 ) −sin θ
cos (θ + π
2 ) −cos θ
= −1
3
cos θ −sin θ
−sin θ −cos θ = −1
3
3 cos θ −3 sin θ = sin θ + cos θ
2 cos θ = 4 sin θ
所以tan θ = 1
2
故答案为：1
2
答案
解析
C组
设a, b ∈R，c ∈[0, 2π)，若对任意实数x都有3 sin (2x + π
4 ) = a sin (bx + c)，则满足条件且异于(3, 2, π
4 )的有序实
数组(a, b, c)的组数为（       ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
C
答案
解析
6
根据诱导公式3 sin (2x + π
4 ) = a sin (bx + c)求出a, b, c即可.
因为对任意实数x都有3 sin (2x + π
4 ) = a sin (bx + c)，所以a = ±3．
当a = 3时，sin (2x + π
4 ) = sin (bx + c)，所以b = −2，2x + π
4 + (−2x + c) = π，即c = 3π
4 ；
当a = −3时，sin (2x + π
4 ) + sin (bx + c) = 0，所以当b = 2时，2x + c = π + (2x + π
4 )，
即c = 5π
4 或b = −2，2x + π
4 + (−2x + c) = 2π，即c = 7π
4 ．
故选：C．
考点4：两角的和差公式
B组
1
已知点A的坐标为(√3, −1)，将OA绕坐标原点O逆时针旋转5π
6 至OB，则点B的纵坐标为 
 .
√3
设α的终边经过点A，β的终边经过点B，B (x0, y0)，β = α + 5π
6 .根据三角函数的定义求出sin α, cos α的值，根
据两角和的正弦公式，求出sin β的值，然后根据三角函数的定义，即可得出答案.
设α的终边经过点A，β的终边经过点B，则β = α + 5π
6 ，设B (x0, y0)，
根据三角函数的定义可得，sin α =
−1
√(√3)
2
+ (−1)2
= −1
2 ，cos α = √3
2 ，
所以，sin β = sin (α + 5π
6 )= sin α cos 5π
6 + cos α sin 5π
6 = −1
2 × (−√3
2 ) + √3
2
× 1
2 = √3
2 .
又|OB| = |OA| = 2，
所以，根据三角函数的定义可知，sin β =
y0
|OB| ，则y0 = 2 × √3
2
= √3.
故答案为：√3.
答案
解析
2
已知2 cos (2x + π
12 ) cos (x −π
12 ) −cos 3x = 1
4 ，则sin ( π
6 −2x) =（       ）
A. 1
2
B. −1
2
C. 7
8
D. −7
8
7
D
利用余弦的和角公式化简得cos (x + π
6 ) = 1
4 ，再根据二倍角公式及诱导公式计算即可.
由已知知：2 cos (2x + π
12 ) cos (x −π
12 ) −cos [(2x + π
12 ) + (x −π
12 )] = 1
4 ，
化简得cos (2x + π
12 ) cos (x −π
12 ) + sin (2x + π
12 ) sin (x −π
12 )
= cos [(2x + π
12 ) −(x −π
12 )]= cos (x + π
6 ) = 1
4 ，
令t = x + π
6 ，则x = t −π
6 ，cos t = 1
4 ，
所以sin ( π
6 −2x) = sin [ π
6 −2 (t −π
6 )] = sin ( π
2 −2t) = cos 2t
= 2 cos2 t −1 = 2 × ( 1
4 )
2
−1 = −7
8 .
故选：D
答案
解析
3
设α, β ∈(0, π
2 )，cos (α + π
6 ) = 5
13 ，sin (β −π
3 ) = −3
5 ，则cos(α −β) =（　　）
A. 63
65
B. −63
65
C. 33
65
D. −33
65
A
先计算得到sin (α + π
6 ) = 12
13 ，cos (β −π
3 ) = 4
5 ，再利用cos(α −β) =
cos [(α + π
6 ) −(β −π
3 ) −π
2 ]展开得到答案.
α, β ∈(0, π
2 )，α + π
6 ∈( π
6 , 2π
3 )，cos (α + π
6 ) = 5
13 ∴sin (α + π
6 ) = 12
13 ；
β −π
3 ∈(−π
3 , π
6 )，sin (β −π
3 ) = −3
5 ∴cos (β −π
3 ) = 4
5 ；
cos(α −β) = cos [(α + π
6 ) −(β −π
3 ) −π
2 ] = sin [(α + π
6 ) −(β −π
3 )]
= sin (α + π
6 ) cos (β −π
3 ) −cos (α + π
6 ) sin (β −π
3 ) = 12
13 × 4
5 + 5
13 × 3
5 = 63
65
故选：A
本题考查了三角函数值的计算，变换cos(α −β) = cos [(α + π
6 ) −(β −π
3 ) −π
2 ]是解题的关键.
答案
解析
C组
8
求证三角恒等式：tan 5
2 x −tan 3
2 x =
2 sin x
cos 4x + cos x
证明见解析
证明：右边=
sin x
cos ( 5
2 x + 3
2 x) + cos ( 5
2 x −3
2 x)
=
2 sin x
2 cos 5
2 x cos 3
2 x
=
sin x
cos 5
2 x cos 3
2 x
左边=
sin 5
2 x
cos 5
2 x
−
sin 3
2 x
cos 3
2 x
=
sin 5
2 x cos 3
2 x −cos 5
2 x sin 3
2 x
cos 5
2 x cos 3
2 x
=
sin x
cos 5
2 x cos 3
2 x
=右边
考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差角的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力，属于
中档题．
答案
解析
考点5：二倍角、半角与辅助角公式
A组
三倍角的正切公式为tan 3α = 
 .
tan 3α = 3 tan α −tan3α
1 −3tan2α
.
答案
解析
9
直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．tan3α＝tan（α+2α）
= tanα + tan2α
1 −tanαtan2α =
tanα +
2tanα
1 −tan2α
1 −tanα ⋅
2tanα
1 −tan2α
= 3tanα −tan3α
1 −3tan2α
．
故答案为：3tanα −tan3α
1 −3tan2α
．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于
基础题型．
B组
1
已知α, β为锐角，且1 −cos 2α = sin α cos α, tan (β −α) = 1
3 ，则tan α = 
 ；β = 
 .
1
2 | 0.5 ; π
4
根据余弦二倍角公式化简式子，结合α为锐角，即可求得tan α的值；再根据正切两角和公式凑角即可求得
tan β的值，从而可得β的大小.
由1 −cos 2α = sin α cos α，得1 −(1 −2 sin2 α) = sin α cos α，即2 sin2 α = sin α cos α
因为α为锐角，所以sin α ≠0，
所以2 sin α = cos α，即tan α = 1
2 .
tan β = tan [α + (β −α)] =
tan α + tan (β −α)
1 −tan α ⋅tan (β −α) =
1 −1
2 × 1
3
= 1
因为β为锐角，所以β = π
4 .
故答案为：1
2 ；π
4
答案
解析
1
2 + 1
3
2
在平面直角坐标系xOy中，A ( √2
2 , √2
2 )在以原点O为圆心半径等1的圆上，将射线OA绕原点O逆时针方向旋转α
后交该圆于点B，设点B的横坐标为f(α)，纵坐标g(α).
(1)
如果sin α = m，0 < m < 1，求f(α) + g(α)的值（用m表示）；
(2)
如果f(α)
g(α) = 2，求f(α) ⋅g(α)的值.
10
(1) 答案见解析；
(2) 2
5 .
(1) 由题设知：∠AOx = π
4 ，则∠BOx = π
4 + α，
   
∴g (α) = sin ∠BOx = sin ( π
4 + α) = √2
2 (sin α + cos α)，
f (α) = cos ∠BOx = cos ( π
4 + α) = √2
2 (cos α −sin α)，
∴f (α) + g (α) = √2 cos α，而sin α = m，0 < m < 1，则cos α = ±√1 −m2，
∴2kπ < α < 2kπ + π
2 ，k ∈N时，f (α) + g (α) = √2(1 −m2)；
2kπ + π
2 < α < 2kπ + π，k ∈N时，f (α) + g (α) = −√2(1 −m2).
(2) 由题设，f(α)
g(α) = cos α −sin α
cos α + sin α = 2，可得tan α = −1
3 ，
又f (α) ⋅g (α) = 1
2 (cos2 α −sin2 α) = cos 2α
2
= 1
2 ⋅( 1 −tan2 α
1 + tan2 α )，
∴f (α) ⋅g (α) = 2
5 .
答案
解析
11 解三角形
1
巩固练习
考点1：正弦定理及其应用
A组
1
在△ABC中，若A = 60∘，AB = 2，AC = 2√3，则△ABC的面积是 
 ．
3
△ABC的面积为S = 1
2 AB ⋅AC ⋅sin A = 1
2 × 2 × 2√3 × √3
2
= 3.
故答案为：3
本题考查了三角形面积公式，考查了数学运算能力.
答案
解析
2
在△ABC中，已知BC = 5, AC = 4, A = 2B，则cos B的值为 
 .
5
8
根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求解即得.
在△ABC中，由正弦定理得BC
sin A =
AC
sin B ，而BC = 5, AC = 4, A = 2B，
因此
5
sin 2B =
4
sin B ，即
5
2 sin B cos B =
4
sin B ，所以cos B = 5
8 .
故答案为：5
8
答案
解析
B组
1
2
如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β；则图中阴影区域的面积的最
大值为 
 ．
4β + 4 sin β
由题意首先确定面积最大时点P的位置，然后结合扇形面积公式和三角形面积公式可得最大的面积值.
观察图象可知，由圆的性质可知当P为弧AB的中点时，P到AB的距离最大，
此时阴影部分的面积S取最大值，
此时∠BOP = ∠AOP = π −β，
面积S的最大值为π × 22 × 2β
2π + S△POB + S△POA = 4β + 1
2 |OP| ⋅|OB| sin (π −β)
+ 1
2 |OP| ⋅|OA| sin (π −β) = 4β + 2 sin β + 2 sin β = 4β + 4 sin β.
故答案为：4β + 4 sin β.
答案
解析
2
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（       ）
A. a = 8，b = 10，A = 45∘
B. a = 60，b = 81，B = 60∘
C. a = 7，b = 5，A = 80∘
D. a = 14，b = 20，A = 45∘
A
答案
3
由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断△ABC解的个数即可得解．
对于A，若a = 8，b = 10，A = 45∘，由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B ，得
8
sin 45
∘=
10
sin B ，
得sin B = 5√2
8
> √2
2
= sin A，再根据b＞a，可得B＞A，得B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故
△ABC有两解；
对于B，若a = 60，b = 81，B = 60∘，由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B ，得60
sin A =
81
sin 60∘，
得sin A = 10√3
27
< √3
2
= sin B，再根据b＞a，可得B＞A，B只能是锐角，故△ABC有一个解；
对于C，若a＝7，b＝5，A＝80°，∵a＝7，b＝5，A＝80°，由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B ，得
7
sin 80
∘=
5
sin B ，得sin B = 5 sin 80∘
7
< 1，再根据b＜a，∴B只能是锐角，故△ABC有一解；
对于D，若a＝14，b＝20，A＝45°，则由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B ，得
14
sin 45∘=
20
sin B ，求得sinB＝
5√2
7
> 1，故B无解，得△ABC不存在.
故选：A．
思路点睛：判断三角形解的个数问题：先利用正弦定理，余弦定理以及大边对大角来判定三角形的解的情
况，再利用三角形的内角和定理，以及三角函数的图象与性质.
解析
C组
某小区拟对如图一直角△ABC区域进行改造，在三角形各边上选一点连成等边三角形△DEF,在其内建造文化景
观．已知AB = 20m，AC = 10m,则△DEF面积最小值为 
 
75√3
7
 
设DE = x, ∠CED = θ，然后分别表示BE, ∠FEB，利用正弦定理建立等式用θ表示x，从而利用三角函数的性
质得到x的最小值，从而得到面积的最小值.因为AB = 20m，AC = 10m，所以BC = √202 −102 = 10√3m，
显然，∠B = π
6 , ∠A = π
3 ，
设DE = x, ∠CED = θ，则∠EFB = ∠CEF −∠B = π
3 + θ −π
6 = θ + π
6 ，且0 < θ < π
2 ，
则CE = x cos θ，所以BE = 10√3 −x cos θ，
答案
解析
4
在△BEF中，由正弦定理可得：10√3 −x cos θ
sin (θ + π
6 )
=
x
sin π
6
，
求得x =
10√3
2 cos θ + √3 sin θ
=
10√3
√7 sin (θ + φ)
，
其中cos φ =
√21
7
, sin φ = 2√7
7
，则0 < φ < π
2 ，
因为0 < θ + φ < π，所以当θ + φ = π
2 时，sin(θ + φ)取得最大值1，
则x的最小值为10√21
7
，
所以面积最小值为S = √3
4
× ( 10√21
7
)
2
= 75√3
7
，
本题主要考查了利用三角函数求解实际问题的最值，涉及到正弦定理的应用，属于难题.对于这类型题，关键
是能够选取恰当的参数表示需求的量，从而建立相关的函数，利用函数的性质求解最值.
考点2：余弦定理及其应用
A组
某展馆现有一块三角形区域可以布展，经过测量其三边长分别为14、10、6（单位：m），且该区域的租金为每天4
元/m ．若租用上述区域5天，则仅场地的租用费约需________元．（结果保留整数）
520
根据余弦定理求出一个角，根据面积公式求出三角形的面积后可得结果.
2
答案
解析
5
设△ABC的A, B, C对应的边为a, b, c，且a = 14, b = 10, c = 6，
由余弦定理可得cos A = b2 + c2 −a2
2bc
= 102 + 62 −142
2 × 10 × 6
= −1
2 ，
因为$0<\pi $，所以A = 2π
3 ，
所以sin A = √3
2 ，
所以S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 × 10 × 6 × √3
2
= 15√3，
所以仅场地的租用费为15√3 × 4 × 5 = 300√3≈520元.
故答案为：520
B组
已知a, b, c分别为△ABC三个内角A, B, C的对边，且c cos B + (b −2a) cos C = 0.
(1)
求C；
(2)
若CD为AB边上的中线，cos A = 1
7 ，CD = √129
2
，求△ABC的面积.
(1) C = π
3
(2) 10√3
(1) 因为c cos B + (b −2a) cos C = 0，由正弦定理得
sin C cos B + (sin B −2 sin A) cos C = 0，
∴sin (B + C) = 2 sin A cos C
答案
解析
6
在△ABC中，∵sin (B + C) = sin A ≠0，
∴cos C = 1
2
又C ∈(0, π)，∴C = π
3 .
(2) 在△ABC中，由cos A = 1
7 ，得sin A = 4√3
7
，
则sin B = sin (A + C) = sin A cos C + cos A sin C = 4√3
7
× 1
2 + 1
7 × √3
2
= 5√3
14
由正弦定理得c
b = sin C
sin B = 7
5
设c = 7x, b = 5x，在△ACD中，由余弦定理得
CD2 = AC2 + AD2 −2AC ⋅AD cos A，则
129
4
= 25x2 + 1
4 × 49x2 −2 × 5x × 1
2 × 7x × 1
7 ，解得x = 1
即c = 7, b = 5
故S△ABC = 1
2 bc sin A = 10√3.
C组
1
记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若2 cos C = 3b
a −a
b ，则B的取值范围是 
 .
( π
6 , π
2 )
由题意及余弦定理可得a, b, c的关系，由余弦定理可得cos B = 3
4 ⋅c
a ，再由△ABC为锐角三角形可得c
a <
2
√3
，即可求出B的取值范围.
因为2 cos C = 3b
a −a
b ，所以2ab cos C = 3b2 −a2，
由余弦定理可得：2ab cos C = a2 + b2 −c2，
可得b2 = a2 −1
2 c2，在锐角△ABC中，由余弦定理可得：
cos B = a2 + c2 −b2
2ac
=
a2 + c2 −(a2 −1
2 c2)
2ac
=
3
2 c2
2ac = 3
4 ⋅c
a ，
因为{
，即
，即2a2 > 3
2 c2，
所以c
a <
2
√3
，
所以cos B = 3
4 ⋅c
a < 3
4 ⋅
2
√3
= √3
2 ，所以B ∈( π
6 , π
2 ).
答案
解析
a2 + b2 > c2
b2 + c2 > a2
⎧
⎨
⎩
a2 + a2 −1
2 c2 > c2
a2 −1
2 c2 + c2 > a2
7
故答案为：( π
6 , π
2 ).
2
△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，满足b2 = a2 + c2 −ac．
(1)
当A为何值时，函数y = 2 sin2 A + cos ( C −3A
2
)取到最大值，最大值是多少？
(2)
若c −a等于边AC上的高h，求sin ( C −A
2
)的值．
(1) A = π
3 时， y = 2 sin2 A + cos ( C −3A
2
)取得最大值，最大值为2；
(2) 1
2 .
(1) 由b2 = a2 + c2 −ac得：cos B = a2 + c2 −b2
2ac
= ac
2ac = 1
2 ，
因为B ∈(0, π)，所以B = π
3 ，
y = 2 sin2 A + cos ( C −3A
2
) = 1 −cos 2A + cos
π −π
3 −A −3A
2
= 1 −cos 2A + cos ( π
3 −2A) = 1 −cos 2A + cos π
3 cos 2A + sin π
3 sin 2A
= 1 + √3
2 sin 2A −1
2 cos 2A = 1 + sin (2A −π
6 )，
因为A ∈(0, 2π
3 )，所以2A −π
6 ∈(−π
6 , 7π
6 )，
所以当2A −π
6 = π
2 ，即A = π
3 时，y = 2 sin2 A + cos ( C −3A
2
) = 1 + sin (2A −π
6 )取得最大值，最大
值为2；
(2) 由（1）知：B = π
3 ，
由三角形面积公式得：1
2 ac sin B = 1
2 bh = 1
2 b (c −a)，
答案
解析
8
从而ac sin B = b (c −a)，由正弦定理得：sinA sin C sin B = sin B (sin C −sin A)，
因为sin B = √3
2 ，所以sin A sin C = sin C −sin A，
由和差化积得：sin C −sin A = 2 cos C + A
2
sin C −A
2
= 2 cos π −B
2
sin C −A
2
= sin C −A
2
，
因为sin2 C + A
2
−sin2 C −A
2
= 1 −cos (C + A)
2
−1 −cos (C −A)
2
= cos (C −A)
2
−cos (C + A)
2
= cos C cos A + sin C sin A −cos C cos A + sin C sin A
2
= sin C sin A，
所以sin C sin A = sin2 C + A
2
−sin2 C −A
2
= sin2 π −B
2
−sin2 C −A
2
= 3
4 −sin2 C −A
2
，
故sin C −A
2
= 3
4 −sin2 C −A
2
，解得：sin C −A
2
= 1
2 或−3
2 ，
因为sin C −A
2
∈(−1, 1)，
所以sin C −A
2
= 1
2 .
3
在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C对应的边，记△ABC的面积为S，且b sin B + 2c sin C = 4a sin A，则S
a2
的最大值为 
 .
√10
6
运用正弦定理化简等式，根据余弦定理、面积公式，结合构造函数法，利用导数进行求解即可.
根据正弦定理，由b sin B + 2c sin C = 4a sin A ⇒b2 + 2c2 = 4a2，
由余弦定理可知：cos A = b2 + c2 −a2
2bc
=
b2 + c2 −b2 + 2c2
4
2bc
= 3b2 + 2c2
8bc
，
因此S
a2 =
1
2 bc sin A
a2
= bc sin A
2a2
，
于是有( S
a2 )
2
= b2c2 sin2 A
4a4
= b2c2(1 −cos2 A)
4a4
=
b2c2 [1 −( 3b2 + 2c2
8bc
)
2
]
4a4
化简得：( S
a2 )
2
= −9b4 + 52b2c2 −4c4
256a4
，把a2 = b2 + 2c2
4
代入，化简得：
( S
a2 )
2
= −9b4 + 52b2c2 −4c4
16(b4 + 4b2c2 + 4c4) ，设t = c2
b2 ，
所以有( S
a2 )
2
= −9 + 52t −4t4
16(1 + 4t + 4t2) = 1
16 [ 8(7t −1)
(2t + 1)2 −1]
所以设f (t) = (7t −1)
(2t + 1)2 ，f ′ (t) = 11 −14t
(2t + 1)3 ，
当0 < t < 11
14 时，f ′(t) > 0, f(t)单调递增，
答案
解析
9
当t > 11
14 时，f ′(t) < 0, f(t)单调递减，故当t = 11
14 时，函数f(t)有最大值，即
f(t)max = f ( 11
14 ) = 49
72 ，所以( S
a2 )
2
的最大值为：1
16 × (8 × 49
72 −1) = 10
36 ，
因此S
a2 的最大值为√10
6
.
故答案为：√10
6
关键点睛：构造新函数，利用导数进行求解是解题的关键.
考点3：解三角形的实际应用
A组
如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B和C，在B点处观测到C的方位角为155∘，B点和C点相距25千
米．某日两个观测站都观测到了A处出现火情，在B点处观测到A的方位角为125∘．在C点处，观测到A的方位角为
80∘，则观测站C与火情A之间的距离为 
 ．
25√2
2
千米
由正弦定理求解即可
在△ABC中，∠ABC = 155∘−125∘= 30∘，∠BCA = 180∘−155∘+ 80∘= 105∘，
∠BAC = 180∘−30∘−105∘= 45∘，BC = 25，
由正弦定理可得
AC
sin ∠ABC =
BC
sin ∠BAC ，即
AC
sin 30∘=
25
sin 45∘，
所以AC = 25 × sin 30∘
sin 45∘
= 25√2
2
（千米），
所以观测站C与火情A之间的距离为25√2
2
千米
故答案为：25√2
2
千米
答案
解析
10
B组
某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天场所，地面形状如图所示.已知已有两面墙的夹角
∠ACB = π
3 ，墙AB的长度为8米，已有两面墙的可利用长度足够大，记∠ABC = θ.
(1)
若θ = π
4 ，求三角形的周长（结果精确到0.01）；
(2)
为了使小动物能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室面积尽可能大，问当边长如何设计时，该活动室
面积最大？并求出最大面积.
(1) 22.45米．
(2) AC = BC = 8米时，活动室面积最大，最大面积为 16√3．
(1) 由正弦定理AC
sin θ =
AB
sin C ，即AC
sin π
4
=
8
sin π
3
，AC = 8√6
3
，
sin ∠CAB = sin (π −π
3 −π
4 ) = sin ( π
3 + π
4 ) = sin π
3 cos π
4 + cos π
3 sin π
4 = √3
2
× √2
2
+ 1
2 × √2
2
=
√6 + √2
4
，
答案
解析
11
由
BC
sin ∠CAB =
AB
sin C 得BC = AB sin ∠CAB
sin C
=
8 × √6 + √2
4
√3
2
= 4 (√2 + √6
3 )，
三角形周长为
l = 8 + 8√6
3
+ 4 (√2 + √6
3 ) = 8 + 4√6 + 4√2 = 8 + 4 × 2.449 + 4 × 1.414 ≈22.45（米）．
所以三角形周长约为22.45米．
(2) 由AC
sin θ =
AB
sin C 得AC = 8 sin θ
sin π
3
= 16√3
3
sin θ，
又sin ∠CAB = sin (π −π
3 −θ) = sin ( π
3 + θ)，
BC
sin ∠CAB =
AB
sin C 得BC = 8 sin ∠CAB
sin π
3
= 16√3
3
sin ( π
3 + θ)，
所以S△ABC = 1
2 AC ⋅BC sin π
3 = 1
2 × 16√3
3
sin θ × 16√3
3
sin ( π
3 + θ) × √3
2 = 64√3
3
sin θ sin ( π
3 + θ)，
y = sin θ sin ( π
3 + θ) = sin θ (sin π
3 cos θ + cos π
3 sin θ) = √3
2 sin θ cos θ + 1
2 sin2 θ
= √3
4 sin 2θ + 1
4 (1 −cos 2θ) = 1
4 + 1
2 ( √3
2 sin 2θ −1
2 cos 2θ)= 1
4 + 1
2 sin (2θ −π
6 )，
因为θ ∈(0, π)，所以2θ −π
6 = π
2 ，即θ = π
3 时，ymax = 3
4 ，此时AC = BC = AB = 8，
此时三角形ABC取得最大面积64√3
3
× 3
4 = 16√3．
12 三角函数的图像与性质
1
巩固练习
考点1：三类基本三角函数的图像及其性质
A组
1
函数y = 2 cos2 x + 1(x ∈R)的最小正周期为 
 .
π
根据二倍角公式，结合周期公式求解即可.
解：y = 2 cos2 x + 1 = cos 2x + 2，
所以，其最小正周期为2π
2 = π.
故答案为：π
答案
解析
2
“函数f(x) = sin(ωx)（x、ω ∈R，且ω ≠0）的最小正周期为 π  ”是“ω = 2”的（       ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
B
根据最小正周期计算ω，再利用充分必要性判断即可.
因为最小正周期T = 2π
|ω| = π，故ω = ±2，
所以“函数f(x) = sin(ωx)（x、ω ∈R，且ω ≠0）的最小正周期为 π  ”是“ω = 2”的必要非充分条件.
故选：B.
答案
解析
2
3
下列说法正确的是（       ）
A. 函数y = sin x在第一象限内是严格增函数
B. 函数y = cos x的图象是中心对称图形
C. 函数y = tan x在其定义域中是严格增函数
D. 函数y = sin x
x
是周期函数
B
在第一象限内取两特殊值可判断A;根据余弦函数的图象和性质判断B;在正切函数的定义域内取两特殊角，可判
断C；根据函数式的特征可判断D.
取α = 30∘, β = 390∘ ，都是第一象限角，但是sin α = sin β，故A错误；
根据余弦函数的图象和性质知，函数y = cos x的图象是中心对称图形，故B正确；
取α = 30∘, β = 210∘，两角都在y = tan x定义域内，但tan α = tan β，故C错误；
函数y = sin x 具有周期性，而y = x 不具有周期性，因此函数y = sin x
x
不是周期函数，故D错误；
故选：B.
答案
解析
B组
1
求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值,并求出函数的最大值和最小值.
(1)y = −sin2x + √3 sin x + 5
4 ;
(2)y = cos2x −sin x,x ∈[−π
4 , π
4 ].
见解析
答案
3
解:(1)y = −sin2x + √3 sin x + 5
4 = −(sin x −√3
2 )
2
+ 2.
因为−1 ≤sin x ≤1,所以当sin x = √3
2 ,即x = 2kπ + π
3 (k ∈Z)或x = 2kπ + 2π
3 (k ∈Z)时,函数取得最大值,
ymax = 2;当sin x = −1,即x = 2kπ + 3π
2 (k ∈Z)时,函数取得最小值,ymin = 1
4 −√3.
(2)y = cos2x −sin x = 1 −sin2x −sin x = −(sin x + 1
2 )
2
+ 5
4 .因为−π
4 ≤x ≤π
4 ,所以−√2
2
≤sin x ≤√2
2 ,所
以当sin x = −1
2 ,即x = −π
6 时,函数取得最大值,ymax = 5
4 ;当sin x = √2
2 ,即x = π
4 时,函数取得最小值,
ymin = 1
2 −√2
2 .
本题主要考查含sinx的二次型函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析
C组
1
函数f (x) = cos( 2πx
n )(x ∈Z)的值域有6个实数组成，则非零整数n的值是 
 .
±10， ±11
由题设可得f(x)最小正周期为T = |n|，又x ∈Z且f(x)值域有6个实数组成，即[0, |n|
2 ]上一定存在6个整数点，
讨论n为奇数或偶数，求n值即可.
由题设知：f(x)的最小正周期为T =
2π
| 2π
n |
= |n|，又x ∈Z，
∴n为非零整数，在[0, |n|
2 ]上f(x)的值域有6个实数组成，即f(x)的图象在以上区间内为6个离散点，且各点横
坐标为整数，
∴当n为偶数，有|n|
2
= 5，即n = ±10；
当n为奇数，有5 < |n|
2
< 6，即n = ±11；
故答案为：±10，±11
关键点点睛：根据余弦函数的性质可求f(x)最小正周期为T = |n|，结合已知有[0, |n|
2 ]内有6个整数点，讨论n
的奇偶性求值.
答案
解析
2
用MI表示函数y = sin x在闭区间I上的最大值.若正实数a满足√3M[0,a] ≥2M[a,2a]则M[0,a] = 
 a的取值范围是
4
 
1 ; [ 2π
3 , 7π
6 ]
由正弦函数的值域可知分a在不同区间进行讨论,得出符合条件的a值.当a ∈(0, π
4 ]，
2a ∈(0, π
2 ], M[0,a] = sin a, M[a,2a] = sin 2a，
由√3M[0,a] ≥2M[a,2a]，
得√3 sin a ≥2 sin 2a ⇒√3 sin a ≥4 sin a cos a ⇒cos a ≤√3
4
⇒a ≥π
4 ，
与a ∈(0, π
4 ]矛盾，舍去；
当a ∈( π
4 , π
2 ]，2a ∈( π
2 , π], M[0,a] = sin a, M[a,2a] = 1，
由√3M[0,a] ≥2M[a,2a]，得√3 sin a ≥2，
解得sin a ≥
2
√3
> 1，此时不成立；
当a ∈[ π
2 , π]时，2a ∈[π, 2π], M[0,a] = 1, M[a,2a] = sin a，
由√3M[0,a] ≥2M[a,2a]，得√3 ≥2 sin a，
解得sin a ≤√3
2 ，
所以2π
3 ≤a ≤π，
当a ∈[π, 3π
2 ], 2a ∈[2π, 3π], M[0,a] = 1, M[a,2a] = sin 2a或1，
由√3M[0,a] ≥2M[a,2a]，得√3 ≥2 sin 2a或√3 ≥2（不成立），
解得sin 2a ≤√3
2 ，
所以2π ≤2a ≤2π + π
3 ，即π ≤a ≤7π
6 ，
当a ∈[ 3π
2 , +∞)时， 2a ∈[3π, +∞), M[0,a] = 1, M[a,2a] = 1
由√3M[0,a] ≥2M[a,2a]，得√3 ≥2，此时不成立，
综上a ∈[ 2π
3 , 7π
6 ]，此时M[0,a] = 1，
故答案为：1；[ 2π
3 , 7π
6 ]
本题主要考查了正弦函数的最值问题，正弦函数的性质，也考查了分类讨论和运算求解能力,属于中档题.
答案
解析
考点2：正弦型三角函数
A组
1
5
已知函数f(x) = √3 sin ωx −cos ωx (ω > 0)在[0, π
2 ]内有且仅有1个最大值点和3个零点，则ω的取值范围是（       ）
A. ( 13
3 , 16
3 ]
B. [ 13
3 , 16
3 )
C. ( 14
3 , 17
3 ]
D. [ 14
3 , 17
3 )
B
f(x) = √3 sin ωx −cos ωx = 2 sin(ωx −π
6 ), 0 ≤x ≤π
2 ，
∴−π
6 ≤ωx −π
6 ≤ωπ
2 −π
6 ，
⇒
，
则ω的取值范围是[ 13
3 , 16
3 ).
故选：B.
答案
解析
⎧
⎨
⎩
ωπ
2 −π
6 ≥2π
ωπ
2 −π
6 < 5π
2
⎧
⎨
⎩
ω ≥13
3
ω < 16
3
B组
1
若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：
f1 (x) = √3 sin x + cos x，f2 (x) = √2 sin x + √2，f3 (x) = sin x，f4 (x) = cos x −sin x，则“同形”函数是（       ）
A. f1 (x)与f2 (x)
B. f1 (x)与f4 (x)
C. f2 (x)与f3 (x)
D. f2 (x)与f4 (x)
D
根据“同形”函数的定义可知，所选的两个三角函数周期相等，振幅也相等，先将四个函数利用辅助角公式化简
变形，逐个分析每个函数的最小正周期和振幅，由此可得出结论.根据本题所给的信息：两个函数的图象经过
若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，所以，所选的两个函数最小正周期相等，振幅也相
等.
f1 (x) = √3 sin x + cos x = 2 sin (x + π
6 )，该函数的最小正周期为2π，振幅为2；
f2 (x) = √2 sin x + √2，该函数的最小正周期为2π，振幅为√2；
f3 (x) = sin x，该函数的最小正周期为2π，振幅为1；
f4 (x) = cos x −sin x = √2 cos (x + π
4 ) = √2 sin (x + 3π
4 )，该函数的最小正周期为2π，振幅为√2.
所以要得到函数f4 (x) = √2 sin (x + 3π
4 )的图象，只需将函数f2 (x) = √2 sin x + √2的图象先向左平移3π
4 个
答案
解析
6
单位长度，再向下平移√2个单位长度即可.
故选：D.
本题考查三角函数的新定义、三角函数图象的平移问题、三角函数的诱导公式的应用，将问题转化为三角函
数的周期和振幅是解题的关键，考查推理能力，属于中等题．
2
已知函数f(x)=2sin(ωx+ π
4 )(ω>0)的图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（       ）
A. [ 19π
4 , 27π
4 )
B. [ 9π
2 , 13π
2 )
C. [ 17π
4 , 25π
4 )
D. [4π, 6π)
C
根据区间[0，1]，求出ωx+ π
4 的范围，由于在区间[0，1]上恰有3个最高点，建立不等关系，求解即可．
函数f（x）＝2sin（ωx+ π
4 ）（ω＞0），
∵x∈[0，1]上，∴ωx+ π
4 ∈[ π
4 ，ω+ π
4 ]，
图象在区间[0，1]上恰有3个最高点，
∴4π + π
2 ≤ω + π
4 < 6π + π
2 ，解得：17π
4
≤ω < 25π
4 ．
故选：C．
本题考查正弦函数的图象和性质的应用，考查整体代换的思想，属于基础题.
答案
解析
3
已知函数f (x) = sin ωx + √3 cos ωx −√3 (ω > 0)在[0, π
2 ]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（       ）
A. ( 10
3 , 14
3 )
B. [ 10
3 , 14
3 ]
C. [4, 14
3 ]
D. [4, 14
3 )
D
因为f (x) = sin ωx + √3 cos ωx −√3 (ω > 0)，
故可得f (x) = 2 sin (ωx + π
3 ) −√3；
由x ∈[0, π
2 ]，故可得ωx + π
3 ∈[ π
3 , π
2 ω + π
3 ]
令f (x) = 0，可得sin (ωx + π
3 ) = √3
2 .
根据正弦函数的性质，要满足题意，
答案
解析
7
只需π
2 ω + π
3 ∈[ 7
3 π, 8
3 π)
解得ω ∈[4, 14
3 ).
故选：D.
本题考查利用三角恒等变换化简函数解析式，以及利用正弦函数的性质根据零点个数求参数范围，属综合中
档题.
C组
1
对于函数f(x) =
现有下列结论：
①任取x1, x2 ∈[2, +∞)，都有|f (x1) −f (x2)| ≤1；
②函数y = f (x)在[4, 5]上先增后减
③函数y = f (x) −ln (x −1)有3个零点：
④若关于x的方程f (x) = m (m < 0)有且只有两个不同的实根x1，x2，则x1 + x2 = 3
其中正确结论的序号为 
 （写出所有正确命题的序号）
①②③④
根据题意得当x ∈[2, +∞)时，函数f (x)的最大值为1
2 ，最小值为−1
2 ，①正确，当x ∈[4, 5]，函数先增后减，
②错误，画出函数图象知③正确，根据对称性知④正确，得到答案.
函数f (x) =
当x ∈[2, +∞)时，函数f (x)的最大值为1
2 ，最小值为−1
2 ，所以任取x1, x2 ∈[2, +∞)，都有
|f (x1) − f (x2)| ≤1恒成立，①正确；
当x ∈[4, 5]，x −4 ∈[0, 1]，故f (x) = 1
4 f (x −4) = 1
4 sin π (x −4) = 1
4 sin πx，
函数先增后减，②正确；
取y =  f (x) −ln (x −1) = 0，即 f (x) = ln (x −1)，
同②，计算得到f (x) =
，画出函数图象，如图所示：
根据图象知，函数有3个零点，故③正确；
f (x) = m (m < 0)有且只有两个不同的实根x1, x2，根据图象知$-1<-\dfrac{1}{2}$，根据对称性知x1 + x2 = 3
，故④正确；
⎧
⎨
⎩
sin πx, x ∈[0, 2]
1
2 f(x −2), x ∈(2, +∞)
答案
解析
⎧
⎨
⎩
sin πx, x ∈[0, 2]
1
2 f (x −2), x ∈(2, +∞)
⎧
⎨
⎩
sin πx, x ∈[0, 2]
1
2 sin πx, x ∈(2, 4]
1
4 sin πx, x ∈(4, 6]
8
故答案为：①②③④.
本题考查了函数的单调性，零点，对称性，意在考查学生的对于函数性质的综合应用能力，画出图像是解题
的关键，属于难度题.
考点3：三角方程
A组
1
已知cos x = −1
3 ，x是第二象限的角，那么x = 
 ．
2kπ + π −arccos 1
3 ， k ∈Z
由反三角及终边相同角的表示即可求解；
因为cos x = −1
3 ，x是第二象限的角，
所以x =2kπ + π −arccos 1
3 ，k ∈Z，
故答案为：2kπ + π −arccos 1
3 ，k ∈Z
答案
解析
2
方程cos 2x −sin x = 0在区间[0, 2π]上的所有解的和为 
 .
9
5π
2
| 5
2 π
利用倍角余弦公式得到关于sin x的一元二次方程求解，由正弦函数值求x，即可得结果.
由cos 2x −sin x = 0，即1 −2 sin2 x −sin x = 0，解得sin x = −1或sin x = 1
2 ，
在[0, 2π]，当sin x = −1时x = 3π
2 ，当sin x = 1
2 时x = π
6 或x = 5π
6 ，
所以所有解的和为5π
2 .
故答案为：5π
2
答案
解析
3
已知tan x = 3，x ∈( π
2 , 3π
2 )，则角x为 
 .
π + arctan 3
根据条件，利用y = tan x在区间(−π
2 , π
2 )上的单调性和y = tan x的周期性，即可求解.
因为y = tan x在区间(−π
2 , π
2 )上单调递增，
当x ∈(−π
2 , π
2 )时，由tan x = 3，得x = arctan 3，又y = tan x的最小正周期为T = π，
又x ∈( π
2 , 3π
2 )，所以角x为π + arctan 3，
故答案为：π + arctan 3.
答案
解析
B组
1
已知sin 2x = 1
2 , x ∈[0, 2π]，则角x的取值集合为 
 ．
{ π
12 , 5π
12 , 13π
12 , 17π
12 }
答案
解析
10
由题意，可得2x = π
6 或2x = 5π
6 或2x = 13π
6 或2x = 17π
6 ，求解即可.
因为x ∈[0, 2π]，所以2x ∈[0, 4π]，
又因为sin 2x = 1
2 ，所以2x = π
6 或2x = 5π
6 或2x = 13π
6 或2x = 17π
6 ，
所以x = π
12 或x = 5π
12 或x = 13π
12 或x = 17π
12 ，
所以角x的取值集合为{ π
12 , 5π
12 , 13π
12 , 17π
12 }.
故答案为：{ π
12 , 5π
12 , 13π
12 , 17π
12 }.
2
已知α ∈(0, 2025π)，cos α = cos 5π
3 ，则满足要求的α有 
 个．
2025
应用诱导公式及余弦函数的周期确定区间内满足要求的α个数.
由cos α = cos 5π
3 = cos (2π −π
3 ) = cos π
3 = 1
2 ，
对于y = cos α = 1
2 在(0, π), (π, 2π)上各有一个解，且最小正周期为2π，
由2025π = 1012 × 2π + π，故在区间(0, 2025π)上共有1012 × 2 + 1 = 2025个α.
故答案为：2025
答案
解析
3
当sin α + √3 cos α = 1，α = 
 ．
α = −π
6 + 2kπ, k ∈Z或 α = π
2 + 2kπ, k ∈Z，
由辅助角公式可得sin (α + π
3 ) = 1
2 ，再取角即可.
因为sin α + √3 cos α = 1，
所以sin α + √3 cos α = 2 sin (α + π
3 ) = 1，
即sin (α + π
3 ) = 1
2 ，
所以α + π
3 = π
6 + 2kπ, k ∈Z或α + π
3 = 5π
6 + 2kπ, k ∈Z，
答案
解析
11
即α = −π
6 + 2kπ, k ∈Z或α = π
2 + 2kπ, k ∈Z，
故答案为：α = −π
6 + 2kπ, k ∈Z或α = π
2 + 2kπ, k ∈Z.