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必刷小题 1 集合、常用逻辑用语、不等式
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
{ |x-5 }
1.已知集合A={x||x-1|≤3}，B= x <0 ，那么A∪B等于( )
x+1
A.(-1，4) B.(-1，4]
C.(-2，5) D.[-2，5)
答案 D
解析 由|x-1|≤3，解得-2≤x≤4，
即A=[-2，4].
x-5
由 <0，解得-1<x<5，
x+1
即B=(-1，5)，
所以A∪B=[-2，5).
2.已知直线a，b和平面α，a⊄α，b∥α，则“a∥b”是“a∥α”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 因为b∥α，则存在c α使得b∥c且b⊄α，
若a∥b且a⊄α，则a∥c，
⊂
又a⊄α且c α，所以a∥α，充分性成立；
设β∥α，b⊂β，a β，a∩b=P，则有a∥α，但a，b不平行，即必要性不成立，则“a∥b”是“a∥α”的充
分不必要条⊂件. ⊂
3.已知集合A={x|x<a}，B={x|x≥1}，若(∁R B)∪A=A，则实数a的取值范围为( )
A.{a|a≥1} B.{a|a>1}
C.{a|a≤1} D.{a|a<1}
答案 A
解析 因为B={x|x≥1}，∁R B={x|x<1}，
因为(∁R B)∪A=A，所以(∁R B) A，
所以a≥1.
⊆4.已知a>b>0>c，n∈Z，则下列不等式一定成立的是( )
A.ab<bc B.a-b>b-c
C.an>bn D.b(b-c)<a(a-c)
答案 D
解析 对于A，由a>b>0>c，可得ab>0>bc，所以A错误；
对于B，例如，当a=2，b=1，c=-3时，可得a-b<b-c，所以B错误；
对于C，例如，当a=2，b=1，n=-1时，a-1<b-1，所以C错误；
对于D，由a>b>0>c，可得0<b-c<a-c，又由0<b<a，根据不等式的性质，可得b(b-c)<a(a-c)，所以D正确.
1
5.当x>1时，不等式2x+ ≥a恒成立的充要条件是( )
x-1
A.a≤2√2 B.a≤4
C.a≤2√2+2 D.a≥2√2
答案 C
1 ( 1 )
解析 因为当x>1时，不等式2x+ ≥a恒成立，故a≤ 2x+ ，x>1，
x-1 x-1
min
1 1 √ 1
当x>1时，x-1>0，故2x+ =2(x-1)+ +2≥2 2(x-1)· +2=2√2+2，
x-1 x-1 x-1
1 √2
当且仅当2(x-1)= ，即x=1+ 时等号成立，故a≤2√2+2，
x-1 2
1
所以“当x>1时，不等式2x+ ≥a恒成立”的充要条件是“a≤2√2+2”.
x-1
6.已知命题p：“∃x∈[-1，1]，x2-a>0”，命题q：“∃x∈R，x2+2ax+4=0”.若命题p为假命题且命题q为
真命题，则实数a的取值范围是( )
A.a≤-2或a=1 B.a≤-2或1≤a≤2
C.a≥1 D.a≥2
答案 D
解析 依题意¬p：“∀x∈[-1，1]，x2-a≤0”为真命题，
则∀x∈[-1，1]，a≥x2，∴a≥1，
若∃x∈R，x2+2ax+4=0，
则Δ=(2a)2-16≥0，解得a≤-2或a≥2.
∵命题¬p和命题q都是真命题，
∴a≥2.
7.已知a2+b2=ab+4，则a+b的最大值为( )
A.2 B.4 C.8 D.2√2
答案 B3(a+b) 2
解析 a2+b2=ab+4，则有(a+b)2=3ab+4≤ +4，
4
可得(a+b)2≤16，即a+b≤4，当且仅当a=b=2时，等号成立.
所以a+b的最大值为4.
8.(2025·怀化模拟)给定整数n≥3，有n个实数元素的集合S，定义其相伴数集T={|a-b||a，b∈S，a≠b}，如
果min(T)=1，则称集合S为规范数集(注：min(X)表示数集X中的最小数).对于集合M={-0.1，-1.1，2，
2.5}，N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}，则( )
A.M是规范数集，N不是规范数集
B.M是规范数集，N是规范数集
C.M不是规范数集，N是规范数集
D.M不是规范数集，N不是规范数集
答案 C
解析 集合M={-0.1，-1.1，2，2.5}中，2∈M，2.5∈M，则|2-2.5|=0.5<1，
即M的相伴数集中的最小数不是1，因此M不是规范数集；
集合N={-1.5，-0.5，0.5，1.5}中，|-1.5-(-0.5)|=1，|-0.5-0.5|=1，|0.5-1.5|=1，
|-1.5-0.5|=|-0.5-1.5|=2，|-1.5-1.5|=3，
即N的相伴数集中的最小数是1，因此N是规范数集.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知a>b>c，且ac<0，则( )
1 1
A.ab>bc B. >
a c
1 1
C.bc<c2 D. >
a-b a-c
答案 BCD
1 1
解析 因为a>b>c，ac<0，所以a>0，c<0，则有 >0> ，故B正确；
a c
因为b可正，可负，也可以为0，故A错误；
由b>c，c<0，可得bc<c2，故C正确；
1 1
因为a>b>c，所以-c>-b，所以a-c>a-b>0，所以 > ，故D正确.
a-b a-c
10.已知集合A={x|x2-x-6>0}，B={x|ax2+bx+c≤0}，其中a≠0，若A∪B=R，A∩B={x|3<x≤5}，则( )
A.a>0
{ | 1 1}
B.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为 x x<- 或x>
2 5
C.a+b+c>0
D.bc>10a-1答案 AD
解析 由题知A={x|x<-2或x>3}，
又A∪B=R，A∩B={x|3<x≤5}，
所以B={x|-2≤x≤5}，故-2，5是ax2+bx+c=0的两个根且a>0，A对；
b
{- =3，
a {b=-3a，
则 ⇒ 则a+b+c=-12a<0，C错；
c c=-10a，
=-10
a
由cx2+bx+a=-a(10x2+3x-1)>0，
得10x2+3x-1<0，即(5x-1)(2x+1)<0，
{ | 1 1}
所以解集为 x - <x< ，B错；
2 5
( 1) 2 1
bc-10a+1=30a2-10a+1=30 a- + >0，即bc>10a-1，D对.
6 6
11.已知a>0，b>0且a+b=1，下列结论正确的是( )
1 1 1
A. + 的最小值为4 B.√ab的最小值为
a b 2
1
C.√a+√b的最大值为2 D.a2+b2的最小值为
2
答案 AD
1 1 (1 1) b a √b a
解析 对于A，因为正实数a，b满足a+b=1，所以 + =(a+b) + =2+ + ≥2+2 · =4，当且仅当
a b a b a b a b
b a 1
= ，即a=b= 时等号成立，故A正确；
a b 2
1 1
对于B，因为正实数a，b满足a+b=1，所以1=a+b≥2√ab √ab≤ ，当且仅当a=b= 时等号成立，即
2 2
1 ⇒
√ab的最大值为 ，故B不正确；
2
√a+√b √(√a) 2+(√b) 2 √a+b √1
对于C，因为正实数a，b满足a+b=1，所以 ≤ = = √a+√b≤√2，当且仅
2 2 2 2
⇒
1
当a=b= 时等号成立，故C不正确；
2
√a2+b2 a+b 1 1
对于D，因为正实数a，b满足a+b=1，所以 ≥ = a2+b2≥ ，
2 2 2 2
⇒
1
当且仅当a=b= 时等号成立，故D正确.
2
三、填空题(每小题5分，共15分)1 4
12.已知正数a，b满足 + =2，则ab的最小值为 .
a b
答案 4
1 4 √1 4 4
解析 ∵ + ≥2 · = ，
a b a b √ab
4
∴2≥ ，即ab≥4，
√ab
1 4
当且仅当 = 且ab=4，
a b
即a=1，b=4时等号成立，∴ab的最小值为4.
13.已知p：|x-1|<1，q：x2-(a+1)x+a≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是 .
答案 (0，2)
解析 由|x-1|<1，解得0<x<2，所以p：0<x<2，
对于q：x2-(a+1)x+a≤0，即(x-1)(x-a)≤0，
若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分条件，则a<2，所以1<a<2；
若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分条件，则a>0，所以0<a<1；
若a=1，则q为{x|x=1}，符合题意，所以实数a的取值范围是(0，2).
14.当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元
{ 1 }
素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合A= -1， ，1 ，B={x|x2=a}.若A
2
与B构成“全食”，则a的取值范围是 ；若A与B构成“偏食”，则a的取值范围是
.
{1}
答案 {a|a<0或a=1}
4
解析 由B={x|x2=a}可知，
当a<0时，B=∅，此时B A；
当a=0时，B={0}，此时A⊆∩B=∅；
当a>0时，B={-√a，√a}，
{ 1 }
又A= -1， ，1 ，若A与B构成“全食”，则B A，当a<0时，满足题意；当a=0时，不满足题意；
2
⊆
当a>0时，要使B A，则B={-1，1}，即√a=1，解得a=1.综上，若A与B构成“全食”，则a的取值范围
是{a|a<0或a=1}. ⊆
若A与B构成“偏食”，显然当a≤0时，不满足题意，
当a>0时，由A∩B≠∅且B不包含于A，{ 1 1} 1 1
所以B= - ， ，即√a= ，解得a= ，
2 2 2 4
{1}
此时a的取值范围是 .
4
