数列新定义问题、导数新定义问题、解析几何新定义问题专项训练
1．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）将正整数集
*
N 中所有与21 不互素的数划掉，记剩下的数由小到大排成数列
na
，再按照两项，一项，两项，一项L的顺序循环分组：
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
,
a a
a
a a
a
L，那么2024 在第（ ）
组．
A．771
B．769
C．772
D．775
【答案】A
【详解】正整数集
*
N 中，划掉所有与21 不互素的数等价于划掉3 或7 的倍数，
余下的数按题设要求可分组如下：
1,2 ，
4 ，
5,8 ，
10 ，
11,13 ，
16 ，
17,19 ，
20 ；
22,23 ，
25 ，
26,29 ，
31 ，
32,34 ，
37 ，
38,40 ，
41 ，
M
每行均有8 组（共12个元素），且各组中的元素除以21后余数相异，
而2024
21 96
8
=
´
+
，故2024 在第97行，
而第97行的第一组为
1 96 21,2
96 21
2017,2018
+
´
+
´
=
，
第二组为
2016
4
2020
+
=
，第三组为
5
2016,8
2016
2021,2024
+
+
=
，
故2024 为第97行的第3组．则2024 在第96 8
3
771
´ +
=
组．
故选：A.
2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知
na
是一个公差不为0 的等差数列，其前n 项和为
n
S .若存在正整数
,p q (其中
p
q
<
)使得
0
p
q
S
S
+
=
，则称
na
具有性质G ，称有序数对
,p q 是
na
的一组“ Γ 数对”，记由
na
的全体“ Γ 数对”
所组成的集合为
Ω
n
a .关于命题①“若
na
具有性质Γ 且
1,4
Ω
n
a
Î
，则
Ω
1,4
n
a
=
”与命题②f 存在具有性质Γ
的
na
及互不相同的正整数
1
2
,
,
n n m (其中
1n
m
<
且
2n
m
<
，使得
1,
Ω
n
a
n m Î
且
2,
Ω
n
a
n m Î
，下列说法正确的是
（ ）.
A．①是真命题，②是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①是假命题，②是假命题
【答案】A
考点一
数列新定义问题
【详解】解析：
2
1
2
2
n
d
d
S
n
a
n
æ
ö
=
+
-
ç
÷
è
ø
，
1,4
Ω
n
a
Î
Q
，带入
1
4
0
S
S
+
=
，得
1
1
4
6
0
a
a
d
+
+
=
，解得
1
6
5
d
a = -
，
2
17
2
5
n
d
S
n
n
æ
ö
\
=
-
ç
÷
è
ø ，
当
0
p
q
S
S
+
=
，得
2
2
17
17
0
2
5
2
5
d
d
p
p
q
q
æ
ö
æ
ö
-
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
化简得
2
2
17
0
5
p
q
p
q
+
-
+
=
，又
, ,
N
p
q p q
*
<
Î
若
1
p = ，则
2
17
12
0
5
5
q
q
-
-
=
，
5
3
4
q
q
+
-
，所以
4
q =
或
3
5
q = -
（舍去），
若
2
p =
，则
2
17
14
0
5
5
q
q
-
-
=
，
2
5
17
14
0
q
q
-
-
=
，所以
17
289
280
10
q
-
+
=
（舍去）或
17
289
280
10
q
+
+
=
（舍
去），
若
3
p =
，则
2
17
6
0
5
5
q
q
-
-
=
，
2
5
17
6
0
q
q
-
-
=
，所以
17
289 120
10
q
-
+
=
（舍去）或
17
289 120
10
q
+
+
=
（舍去），
若
4
p ³
，则
5
q ³
，,
N
p q
*
Î
因为
2
2
17
17
289
12
5
10
100
5
p
p
p
æ
ö
-
=
-
-
³
ç
÷
è
ø
，
2
2
17
17
289
8
5
10
100
q
q
q
æ
ö
-
=
-
-
³
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
17
0
5
p
q
p
q
+
-
+
>
，故
2
2
17
0
5
p
q
p
q
+
-
+
=
无整数解，所以①是真命题；
设
2
5
n
S
n
n
=
-
，
1
2
2,
6;
3,
6
n
m
n
m
=
=
=
=
，所以②是真命题；
故选：A.
3．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）定义：对任意
*
N
nÎ
，都有
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），称数列
na
为“等和”数列.
设“等和”数列
na
的首项为
1a ，直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
过定点
1
2
(
,
)
P a a
，则
2025
1
n
n
a
=
=
（ ）
A．2025
B．2562
C．3036
D．3037
【答案】D
【详解】由直线
(
)
2
0
R
kx
y
k
k
-
+
+
=
Î
变形得：
1
2
0
k x
y
k
R
-
-
+
=
Î
，当
1
x = 时，
2
y =
所以直线过定点
(1,2)
P
，即
1
2
1,
2
a
a
=
=
，
由数列
na
为“等和”数列且
1
n
n
a
a
c
+
+
=
（c 为常数），
所以
1
1
2
1
2
3
n
n
a
a
a
a
+
+
=
+
= +
=
，
所以等和”数列
na
的奇数项为1，偶数项为2，
所以
2025
1
2
3
4
2023
2024
2025
1
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
+
+
+
+
+
+
+
L
1
2
3
4
2023
2024
2025
a
a
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
+
+
+
L
2024
3
1
3037
2
= ´
+ =
，
故选：D.
4．（2025·江西·模拟预测）若数列
na
满足
1
log
(
1
n
m
n
a
a m
+ =
> 且
)
m
Z
Î
，则称数列
na
为“对数m 底数列”.已知正
项数列
na
是“对数2 底数列”且
5
1
a = ，则当
2
n… 且
*
nÎN 时，
2
3
2
2
2
1
4
n
a
a
a
n
a
a
+
+
+
-
=
L
g
g
…
（ ）
A．
12
2
B．
16
2
C．
32
2
D．
64
2
【答案】C
【详解】因为正项数列
na
是“对数2 底数列”，所以
1
2
log
n
n
a
a
+ =
，所以
1
2
log
2
2
n
n
a
a
na
+ =
=
，
所以
3
4
2
1
2
2
,2
,2
a
a
a
a
a
=
=
=
3
1
,
,2
2
n
a
n
a
a
n
-
=
³
L
且
*
nÎN
，
以上式子相乘得
3
2
1
2
1
2
2
2 n
a
a
a
n
a a
a -
×
=
×
L
L
，所以
2
3
1
2
1
2
n
a
a
a
n
a a
a
+
+
+
-
=
×
L
L
，
所以
2
3
1
2
1
2
n
a
a
a
n
a
a
a
+
+
+
-
=
L
L
，得
2
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
2
n
n
a
a
a
a
a
a
n
n
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+
-
-
×
=
×
L
L
L
L
，
即
2
3
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
n
a
a
a
n
a
a
a
+
+
+
-
=
L
L
，得
2
3
2
1
2
2
2
1
4
n
a
a
a
n
a
a
a
+
+
+
-
=
L
L
，因为
5
2
4
5
log
,
1
a
a a
=
= ，所以
4
2
a =
；
同理，
4
2
3
log
a
a
=
，所以
3
3
2
2
4;
log
a
a
a
=
=
，所以
2
2
2
1
16;
log
a
a
a
=
=
，
所以
16
1
2
a =
.故
2
3
2
16
32
2
2
2
1
4
2
2
n
a
a
a
n
a
a
+
+
+
-
=
=
L
L
.
故选：C.
5．（24-25 高二下·福建泉州·期末·多选）已知数列
n
u
，其前n 项和为
n
S ，若存在常数
0
M >
，对任意
*
nÎN ，恒
有
1
1
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
M
+
-
-
+
-
+
+
-
£
L
，则称
n
u
为B - 数列.则下列说法正确的是（ ）
A．若
n
u
为等差数列，则
n
u
为B - 数列
B．若
n
u
是以1 为首项，(|
| 1)
q q <
为公比的等比数列，则
n
u
为B - 数列
C．若
n
u
为B 一数列，则
n
S
也为B - 数列
D．若
n
S
为B 一数列，则
n
u
也为B - 数列
【答案】BD
【详解】对于A，若
nu
为等差数列，设公差为d ，则
1
1
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
n d
+
-
-
+
-
+
+
-
=
L
，
当n ® +¥ 时，n d
¥
® +
，所以不存在满足题意的正数M ，故A 错误；
对于B，若
nu
是以1 为首项，(
1)
q q <
为公比的等比数列，则
1
n
nu
q
+ =
，
1
1
1
1
n
n
n
n
n
u
u
q
q
q q
-
-
+ -
=
-
=
-
，
则
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
q
u
u
u
u
u
u
q
q
q
q
q
-
+
-
-
-
+
-
+
+
-
=
-
+
+
=
-
×
-
L
LL
，
因
1
q < ，则当n ® +¥ 时，
0
n
q
®
，故
1
1
2
1
1
1
n
n
n
n
q
u
u
u
u
u
u
q
+
-
-
-
+
-
+
+
-
£ -
L
，故B 正确；
对于C，若
1
n
u = ，则数列
nu
是B - 数列，此时
n
S
n
=
，
但
1
1
2
1
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
n
+
-
-
+
-
+
+
-
=
L
不是常数，即数列
n
S
不是B - 数列，故C 错误；
对于D，若数列
n
S
是B - 数列，即存在常数
0
M >
，
对任意
*
nÎN 有
1
1
2
1
n
n
n
n
S
S
S
S
S
S
M
+
-
-
+
-
+
+
-
£
L
，即
1
2
n
n
u
u
u
M
+ +
+
+
£
L
，
则
1
1
2
1
n
n
n
n
u
u
u
u
u
u
+
-
-
+
-
+
+
-
£
L
1
2
1
2
2
n
n
u
u
u
u
+ +
+
+
+
L
1
2
1
1
2
2
2
2
n
n
u
u
u
u
M
u
+
£
+
+
+
+
=
+
L
，则数列
nu
是B - 数列，故D 正确.
故选：BD
6．（24-25 高二下·广东深圳·期末·多选）对于正整数, ( )
n
n
j
是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目（若两
个正整数的最大公因数是1，则称这两个正整数互质）.函数
)
(n
j
以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如
(10)
4
j
=
（10 与1，3，7，9 均互质），则（ ）
A．(20)
(25)
28
j
j
+
=
B．若p 为质数，则数列
n
p
j
为等比数列
C．数列
3n
n
j
ì
ü
ï
ï
í
ý
ï
ï
î
þ
的前5 项和等于179
81
D．
*
n
$ ÎN ，使得
2
3
4
5
n
n
n
j
j
j
é
ù
+
=
ë
û
【答案】ABD
【详解】对于A 选项，与20 不互质的是2 的倍数（10 个）以及5 的倍数（4 个），
减去重复计数的10 的倍数（2 个），总共12 个，
20
20 12
8
j
=
-
=
；
与25 不互质的只有5 的倍数（5 个），所以
25
25
5
20
j
=
-
=
，
所以
20
25
28
j
j
+
=
，故A 正确；
对于B 选项，设p 为质数
2
p ³
，则小于等于
n
p 的正整数中与
n
p 不互质的数只有p 的倍数，
所以互质的数的数目为
1
n
n
n
n
p
p
p
p
p
-
-
=
-
，
故
1
1
n
n
p
p
p
j
-
=
-
，所以
1
2
1
1
1
n
n
n
n
p
p
p
p
p
p
p
j
j
-
-
-
-
=
=
-
为常数，
所以数列
n
p
j
为等比数列，故B 正确；
对于C 选项，根据选项B 可知，
1
3
2 3
n
n
j
-
=
×
，
数列
3n
n
j
ì
ü
ï
ï
í
ý
ï
ï
î
þ
的前5 项和为1
2
3
4
5
179
2
6
18
54
162
162
+
+
+
+
=
，故C 错误；
对于D 选项，
1
3
2 3
n
n
j
-
=
×
，
1
5
4 5
n
n
j
-
=
×
，
4 不是质数，
1
2
2
1
2
4
2
2
4n
n
n
n
j
j
-
-
=
×
=
=
，
即判断是否存在n 使得
1
1
1
2
2 3
4
4 5
n
n
n
-
-
-
=
+
´
×
，观察得到
3
n =
时等式成立，故D 正确．
故选：ABD.
7．（24-25 高二下·江西抚州·期末）斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐
波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2 ，3，5 ，8 ，13，21，
34，¼，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：
0
1
a = ，
1
1
a = ，
*
1
1
n
n
n
a
a
a
n
+
-
=
+
ÎN
，
1
2
2025
,
,
,
A
a a
a
=
L
.若集合B 为集合A 的非空子集，则集合B 中所有元素之和为奇数的概率为
.
【答案】
2024
2025
2
2
1
-
【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675 个偶数，1350 个奇数，
记A 中所有偶数组成的集合为C ，所有奇数组成的集合为D ，E 为集合C 的子集，
集合D 中含有奇数个元素的子集为F ，则所有元素之和为奇数的集合B 可看成E
F
È
.
易知，集合E 共有
675
2
个，集合F 共有
1350
1
3
5
1349
1349
1350
1350
1350
1350
2
C
C
C
C
2
2
+
+
+
+
=
=
L
个，
所以所有元素之和为奇数的集合B 共有
675
1349
2024
2
2
2
´
=
个.
又集合A 的非空子集共有
2025
2
1
- 个，所以B 中所有元素之和为奇数的概率为
2024
2025
2
2
1
-
.
故答案为：
2024
2025
2
2
1
-
.
8．（24-25 高二下·广西桂林·期末）对于数列
*
na
nÎN
，记
1
Δ
n
n
n
a
a
a
+
=
-
，对于
*
k ÎN ，记
1
1
Δ
Δ Δ
Δ
Δ
k
k
k
k
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
=
=
-
，规定：
0
Δ
n
n
a
a
=
，
1
Δ
Δ
n
n
a
a
=
，称
Δk
na
为数列
na
的k 阶差数列．若
na
的一
阶差数列为等比数列，
1
1
a = ，
2
4
a =
，
3
13
a =
，
nb
的二阶差数列为常数列，常数为4，
1
2
b = - ，
2
0
b =
，则数列
n
n
a
b
×
的通项公式为 ，数列
1
4
2
n
n
a
b
n
ì
ü
æ
ö
+
×
+
í
ý
ç
÷
è
ø
î
þ
的前n 项和为 ．
【答案】
2
2
3
1
n
n
n
a
b
n
n
×
=
-
-
2
1
1
3
3
2
2
n
n
n
+
-
+ ×
-
【详解】
1
1
a = ，
2
4
a =
，
3
13
a =
，
1
2
1
3
Δa
a
a
=
-
=
，
2
3
2
9
Δa
a
a
=
-
=
，
na
的一阶差数列为等比数列，故公比为
2
1
3
Δ
3
Δ
9
a
a =
=
，首项为
1
Δ
3
a =
，
故通项为
1
3 3
3
Δ
n
n
na
-
= ´
=
，即
1
3n
n
n
a
a
+ -
=
，
所以
1
2
1
2
1
1
1
2
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
-
-
-
-
-
-
-
=
+
=
+
+
=
=
+
+
+
L
L
2
1
1 3
3
1
1 3
3
3
1 3
2
n
n
n
n
-
-
-
-
= +
+
+
=
=
-
L
，
1
2
b = - ，
2
0
b =
，故
1
2
1
2
Δb
b
b
=
-
=
，
nb
的二阶差数列为常数列，常数为4，故
1
2
Δ
Δ
4
Δ
n
n
n
b
b
b
+ -
=
=
，
故
1
4
1
2
4
4
4
2
Δ
Δ
n
n
b
n
b
n
=
+
-
=
+
-
=
-
，
即
1
4
2
n
nb
b
n
+ -
=
-
，
所以
1
2
1
4
6
4
10
4
6
2
4
10
4
6
n
n
n
b
b
n
b
n
n
b
n
n
-
-
=
+
-
=
+
-
+
-
=
+
+
+
-
+
-
L
2
1
2
4
6
2
2
4
10
4
6
2
2
4
2
n
n
n
n
n
n
-
+
-
= - +
+
+
-
+
-
= - +
=
-
L
，
所以
n
n
a
b
×
的通项公式为
2
2
3
1 2
4
2
3
1
2
n
n
n
n
a
b
n
n
n
n
-
×
=
-
=
-
-
，
2
2
2
3
1
3
2
4
2
3
2
1
1
4
4
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
b
n
n
æ
ö
æ
ö
+
×
+
=
×
+
=
×
×
ç
- +
-
=
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
设
1
4
2
n
n
a
b
n
ì
ü
æ
ö
+
×
+
í
ý
ç
÷
è
ø
î
þ
的前n 项和为
n
S ，
则
2
2
2
3
2
3
2
3
3
3
3n
n
S
n
=
+
´
+
´
+
×
+L
①，
2
2
3
2
4
2
1
3
3
2
3
3
3
3n
n
S
n
+
=
+
´
+
´
+
+
×
L
②，
式子①-②得
2
3
4
2
1
2
3
3 3
5 3
7 3
2
1 3
3
n
n
n
S
n
n
+
-
=
+ ´
+ ´
+ ´
+
-
-
×
×
L
，
所以
2
3
4
2
1
3 3
5 3
7 3
2
1 3
3
3
2
2
2
n
n
n
n
n
S
+
´
+ ´
+ ´
+
-
= -
+
×
×
-
L
③，
其中设
2
3
4
3 3
5 3
7 3
2
1 3n
nT
n
= ´
+
+ ´
+
-
×
´
L
④，
则
3
4
5
1
3
3 3
5 3
7 3
2
1 3n
nT
n
+
= ´
+ ´
+ ´
+
×
-
L
⑤，
式子④-⑤得
3
4
1
2
27
2
3
3
3
2
1 3
n
n
nT
n
+
-
=
+ ´
+
+
+
-
-
×
L
1
1
1
27
3
27
2
2
1 3
2
2
3
1 3
n
n
n
n
n
+
+
+
-
=
+ ´
-
-
×
=
-
×
-
，
故
1
1 3n
nT
n
+
=
-
×
，
将其代入③得
1
2
2
1
1
1 3
3
1
3
3
3
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
S
+
+
+
-
×
-
+
= -
-
+
×
=
×
-
.
故答案为：
2
2
3
1
n
n
n
a
b
n
n
×
=
-
-
，
2
1
1
3
3
2
2
n
n
n
+
-
+ ×
-
.
9．（24-25 高二下·上海奉贤·期末）已知无穷数列
na
，
nb
.若对任意的正整数n ，都有
1
n
n
a
b
-
£ ，则称
na
与
nb
“伴随”.
(1)若
1
2
( )
3
n
na
-
=
，
(
1)π
cos
3
n
n
b
-
=
，判断
na
与
nb
是否“伴随”，说明理由；
(2)已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，
n
S 满足
1
n
n
S
a
= -
，证明：
na
与
n
S
“伴随”.
【答案】(1)不“伴随”，理由见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）数列
na
与
nb
不“伴随”.
取
4
n =
，
4
4
8
35
|
| |
( 1) |
1
27
27
a
b
-
=
- -
=
> ，
所以数列
na
与
nb
不“伴随”.
（2）数列
na
中，
1
n
n
S
a
= -
，则
1
1
1
1
a
S
a
=
= -
，解得
1
1
2
a =
，
1
1
1
1
1
1(
)
n
n
n
n
n
n
n
a
S
a
a
S
a
a
+
+
+
+
=
-
=
-
-
-
-
=
，即
1
1
2
n
n
a
a
+ =
，
因此数列
na
是首项为
1
2 ，公比为
1
2 的等比数列，
1
2
n
n
a =
，
1
1
2
n
n
S = -
，
则
1
1
1
1
|
| |1
| 1
1
2
2
n
n
n
n
a
S
-
-
-
=
-
= -
< ，
所以
na
与
n
S
“伴随”.
10．（24-25 高二下·江西·期末）若数列
na
使得函数f（x）满足
2
3
1
2
3
e
0
e 1
n
n
f
f a
f a
f a
f a
é
ù
é
ù
é
ù
+
+
+
+
+
<
ë
û
ë
û
ë
û
-
L
，则称
na
为
f x 的进阶数列．已知函数
e
=
x
f x
，
ln
1
g x
x
=
+
，
1
na = - ，
1
nb
n
=
，n
+
ÎN ．
(1)证明：
na
为
f x 的进阶数列．
(2)证明：
1
f
x
g x
>
+
．
(3)证明：
nb
为
g x 的进阶数列．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题可知
2
3
1
2
3
0
n
n
f
f a
f a
f a
f a
+
+
+
+
+
é
ù
é
ù
é
ù
ë
û
ë
û
ë
û
L
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
e
e
1
1
1
e
e
e
e
e
1
1
1
e
e
n
n
+
-
= +
+
+
+
+
=
<
=
-
-
-
L
，
所以
na
为
f x 的进阶数列．
（2）构造函数
e
1
x
y
x
=
- - ，可得
e
1
x
y¢=
- ．
当
0,
xÎ
+¥ 时，
0
¢ >
y
，即函数
e
1
x
y
x
=
- - 在
0, ¥
+
上单调递增；
当
,0
Î -¥
x
时，
0
¢ <
y
，即函数
e
1
x
y
x
=
- - 在
,0
-¥
上单调递减．
因此函数
e
1
x
y
x
=
- - 在
0
x =
处取得极小值，也是最小值，
即可得
e
1
0
x
y
x
=
-
- ³
恒成立，即e
1
x
x
³
+ ，当且仅当
0
x =
时，等号成立．
由e
1
x
x
³
+ ，可得
1
e
2
x
x
+ ³
+
，即
1
ln
2
x
x
+ ³
+
，当且仅当
1
x = - 时，等号成立．
综上，
e
1,
1
ln
2
x
x
x
x
³
+
+ ³
+
恒成立，但等号不在同一点处取得，
所以
e
ln
2
x
x
>
+
，即
1
f
x
g x
>
+
．
（3）由（2）中结论
e
ln
2
x
x
>
+
可知
1
ln 1
ex
x
-
+
<
，
所以
1 1
1
1
ln
ln 1
en
n
n
n
-
+
æ
ö
=
+
<
ç
÷
è
ø
，
因此
1 1
1
1
ln
e
e
n
n
n
n
n
n
-
-
æ
ö
+
æ
ö <
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
．
故
2
3
2
3
1
2
3
3
4
0
0
ln2
ln
ln
2
3
n
n
g
g b
g b
g b
g b
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
+
=
+
+
+
é
ù
é
ù
é
ù
ç
÷
ç
÷
ë
û
ë
û
ë
û
è
ø
è
ø
L
0
0
1
2
1
1
e
1
e
1
e
e
ln
e
e
e
e
1
e
1
e
e
1
e
1
n
n
n
n
n
n
-
-
-
-
-
-
-
+
æ
ö
+
+
<
+
+
+
+
=
=
-
<
ç
÷
-
-
-
è
ø
L
L
，
即
nb
为
g x 的进阶数列．
11．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）在数列
na
中，
1
1
2
a =
，且
3
3
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
-
= ．
(1)求
na
的通项公式．
(2)证明：
1
2
n
i
i
a
i
=
<
．
(3)若数列
nb
中存在两项
p
b ，
qb
p
q
<
，使得
p
q
b
b
=
，则称
,p q 为数列
nb
的等项数对．证明：
na
的等项数
对唯一．
【答案】(1)
2
2
n
n
n
a =
；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因为
3
3
1
1
1
1
2
2
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
-
= ，
1
1
2
a =
，所以
3
1
1
1
2a = ，
所以数列
3
2n
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ
是首项为1，公差为1 的等差数列，
所以
3
2n
n
n
n
a =
，得
2
2
n
n
n
a =
．
（2）设
2
1
1
2
2
2
2
n
i
n
n
i
a
n
S
i
=
=
=
+
+×××+
，
则
2
3
1
1
1
2
2
2
2
2
n
n
n
S
+
=
+
+×××+
，
则
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
S
S
+
+
+
+
-
+
-
=
+
+
+×××+
-
=
-
= -
-
，
因为
*
2
,
0
2n
n
n
+
Î
>
N
，所以
1
2
2
2
2
n
i
n
n
i
a
n
S
i
=
+
=
=
-
<
．
（3）由（1）知，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
+
-
+
+
-
=
-
=
=
=
，
当
2
n £
时，
1
0
n
n
a
a
+ -
>
，当
2
n >
时，
1
0
n
n
a
a
+ -
<
，
所以
1
2
3
4
5
a
a
a
a
a
<
<
>
>
> ×××，注意到
2
4
1
a
a
=
= ，
1
1
2
a =
，
5
25
1
32
2
a =
>
，
6
36
1
64
2
a =
>
，
7
49
1
128
2
a =
<
，
7
7
na
a
n
<
>
，
所以
na
的等项数对唯一，且唯一等项数对为
2,4 ．
12．（24-25 高二下·浙江·期末）若无穷正项数列
na
同时满足以下两个性质：①存在
0
M >
，使得
*
,
na
M n
<
ÎN ；②
na
为单调数列，则称数列
na
具有性质Q ．
(1)若
1
2
1,
2
n
n
n
a
n
b
æ
ö
=
-
= ç
÷
è
ø
；
（ⅰ）判断数列
,
n
n
a
b
是否具有性质Q ，并说明理由；
（ⅱ）记
n
S 为数列
n
n
a b
的前n 项和，判断数列
n
S
是否具有性质Q ，并说明理由；
(2)某同学投篮命中率为1
4 ，每次投篮相互独立，设随机变量X 为投篮2n 次命中的次数，记
1
2
1
n
n
k
c
P X
k
=
=
=
-
，
证明：数列
nc
具有性质Q ．
【答案】(1)（ⅰ）
na
不具有，
nb
具有，理由见解析；（ⅱ）具有，理由见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）解：（ⅰ）假设存在
0
M >
，使得
2
1
na
n
M
=
- <
，
则有
1
2
M
n
+
<
，因为
*
nÎN ，所以数列
na
不具有性质Q ；
因为
1
1
2
n
nb
æ
ö
=
<
ç
÷
è
ø
，且
nb
为单调递减数列，所以数列
nb
具有性质Q ；
（ⅱ）数列
n
S
具有性质Q ，
2
1
1
1
1
3
2
1
2
2
2
n
n
S
n
æ
ö
æ
ö
= ×
+ ×
+
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
L
2
3
1
1
1
1
1
1
3
2
1
2
2
2
2
n
n
S
n
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
= ×
+ ×
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
L
两式作差得：
2
3
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
n
n
n
S
n
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+ ×
+ ×
+
+ ×
-
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
1
1
1
1
1
2
2
1
1
3
3
1
1
2
1
3
2
3
3
1
2
2
2
2
2
2
1
2
n
n
n
n
n
n
n
-
+
é
ù
æ
ö
-
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
æ
ö
æ
öæ
ö
æ
ö
ë
û
=
+
-
-
=
-
+
=
-
+
<
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
è
ø
è
øè
ø
è
ø
-
，
所以数列
n
S
满足条件①；
因为
1
2
1
0
2
n
n
n
a b
n
æ
ö
=
-
>
ç
÷
è
ø
，
所以
n
S
为单调递增数列，满足条件②，所以数列
n
S
具有性质Q ；
（2）解：因为
0,1,
,2 ,
N
X
n n
*
=
Î
L
，
记X 是奇数时的概率和为
nc ，X 是偶数时的概率和为
n
d ，
0
2
1
2
1
2
1
1
2
0
0
1
2
1
2
2
2
2
2
1
3
1
3
1
3
1
3
C
C
C
C
4
4
4
4
4
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
c
d
-
-
-
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
+
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
2
1
3
1
4
4
n
æ
ö
=
+
=
ç
÷
è
ø
，
0
2
1
2
1
2
1
1
2
0
0
1
2
1
2
2
2
2
2
1
3
1
3
1
3
1
3
C
C
C
C
4
4
4
4
4
4
4
4
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
d
c
-
-
-
æ
ö æ
ö
æ
ö æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
=
-
+
-
+
+
-
+
-
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø è
ø
è
ø è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
2
1
3
1
4
4
4
n
n
æ
ö
æ
ö
= -
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
可得
1
1
1
4
2
2
n
nc
æ
ö
-ç
÷
è
ø
=
<
，故
nc 随着n 的增大而增大，
所以数列
nc
具有性质Q ．
13．（24-25 高二下·浙江杭州·期末）对于给定的正整数n ，如果正整数d 能整除n ，则称d 是n 的因子；如果正整
数m ，n 共同的因子只有1，则称正整数m 和n 互素.已知函数
f n 表示正整数n 的因子个数，数列
na
满足以下
条件：
①对于任意素数p 和正整数n ，都有
1
n
p
a
n
=
+ ；
②对于任意的正整数m 和n ，若m 和n 互素，则
mn
m
n
a
a
a
=
×
.
(1)求
1a ，
2024
a
的值，并写出
na 和
f n 的关系（无需证明）；
(2)当n 是偶数时，证明：
1
2
n
n
a £
+ ；
(3)设数列2
n
n
a
ì
ü
í
ý
î
þ的前n 项和为
n
S ，证明：
5
3
n
S <
.
【答案】(1)
1
1
a = ，
2024
16
a
=
，
na
f n
=
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）注意到，对于任意的正整数n ，1 和n 总是互素的，
因此
1
n
n
a
a a
=
×
恒成立，即
1
1
a = .
又
3
2024
2
11 23
=
´
´
，
故
3
2024
11
23
2
1 3
1 1
1 1
16
a
a
a
a
=
×
×
=
+
´
+
´
+
=
.
令
0
n =
，则
1
0 1
1
a =
+ = ；令
2,
1
p
n
=
= ，则
2
1 1
2
a = + =
；
令
,3
1
p
n
=
= ，则
3
1 1
2
a = + =
；令
,2
2
p
n
=
=
，则
4
2 1
3
a =
+ =
；
令
,5
1
p
n
=
= ，则
5
1 1
2
a = + =
；令
,2
3
m
n
=
=
，所以
6
2
3
4
a
a a
=
=
，
所以
na
的前6 项分别为1，2，2，3，2，4．
通过计算特殊的
na 和
f n 的值，可以发现：
na
f n
=
.
（2）证明：设
2
N
n
k k
+
=
Î
，若d
n
<
是n 的因子，则
1
n
d > 且
+
N
n
d Î
故
2
n
d ³
，即
2
n
d
k
£
=
，
因此，偶数n 的因子除了n 外，至多有k 个
故
1
1
2
n
n
a
f n
k
=
£
+ =
+
（3）考虑奇数n ，设
+
2
1
N
n
k
k
=
-
Î
，若d
n
<
是n 的因子，则
1
n
d > 且
+
N
n
d Î
故
2
n
d ³
，即
1
2
2
n
n
d
k
+
£
<
=
，又
N
d
+
Î
，故
1
d
k
£
-
即
1
2
n
n
a
f n
k
+
=
£
=
结合（2）问结论，有：
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
3
1
3
1
2
2
2
2
2
4
k
k
k
k
k
k
k
k
a
a
k
k
k
k
-
-
-
+
+
+
+
£
+
=
=
故
3
2
1
2
1
2
4
2
2
3
4
2
1
2
2
4
7
3
1
5
3
5
5
2
2
2
2
2
2
4
4
4
3
3 4
3
k
k
k
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
k
k
S
-
-
+
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+¼+
+
£
+
+¼+
=
-
<
ç
÷
ç
÷
ç
÷
×
è
ø
è
ø
è
ø
且
2
1
2
5
3
k
k
S
S
- <
<
，故原命题得证.
14．（24-25 高二下·北京石景山·期末）设
na
为无穷数列，如果对于任意
*
N
nÎ
，都有
4
2
2
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
，则称数列
na
具有性质P.
(1)判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明）
①等差数列A：5，3，1…；②等比数列B：1，2，4，…；
(2)已知数列
na
具有性质P，
1
1
a = ，
2
2
a = ，且由该数列所有项组成的集合
*
N
Z
na nÎ
=
，求
na
的通项公式.
【答案】(1)数列A 具有性质P ；数列B 不具有性质P
(2)
3
,
2
1,
2
n
n n
a
n
n
-
ì
ïï
= í
ï
+
ïî
为奇数
为偶数
或
1,
2
3,
2
n
n
n
a
n
n
+
ì
ïï
= í
ï-
+
ïî
为奇数
为偶数
【详解】（1）由题意知，数列A 通项公式为
5
2
1
2
7
n
A
n
n
=
-
-
= -
+
，满足
4
2
2
4
7
2
7
4
6
2
n
n
n
a
a
n
n
n
a
+
+
+
= -
+
+
-
+
= -
+
=
，所以数列A 具有性质P ；
数列B 中，代入
1
n = ，
5
1
3
17
2
a
a
a
+
=
¹
，所以不满足
4
2
2
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
，
所以数列B 不具有性质P .
（2）由数列
na
具有性质P ，得
4
2
2
n
n
n
a
a
a
+
+
+
=
，
所以
4
2
2
n
n
n
n
a
a
a
a
+
+
+
-
=
-
，即
3
1
5
3
7
5
a
a
a
a
a
a
-
=
-
=
-
= ×××，
所以数列
1A ：
1a ，
3a ，
5a ，L，
2
1
k
a
- ，是等差数列．
又因为
1
1
a = ，
Z
na Î
，所以数列
1A 的公差
1
Z
d Î
，
同理，得数列
2
A ：
2a ，
4a ，
6a ，⋯，
2k
a
，是等差数列，公差
2
Z
d Î
．
①若
1
0
d ³
且
2
0
d ³
，则数列
1A 的最小项是
1
1
a = ，数列
2
A 的最小项是
2
2
a = ，
所以数列
na
的最小项为1，这与
*
N
Z
na nÎ
=
矛盾；
②若
1
0
d £
且
2
0
d £
，同理，得
na
的最大项为2，这与
*
N
Z
na nÎ
=
矛盾；
③若
1
0
d <
且
2
0
d >
，则
1A 为递减数列，
2
A 为递增数列．
由
*
N
Z
na nÎ
=
，得3 为数列
2
A 中的项，
所以只能是
4
3
a =
，且
2
4
2
1
d
a
a
=
-
= ；
同理，可得0 为数列
1A 中的项，
所以只能
3
0
a =
，
1
1
d = - ．
此时，
na
的通项公式为
3
,
2
1,
2
n
n n
a
n
n
-
ì
ïï
= í
ï
+
ïî
为奇数
为偶数
．
④若
1
0
d >
，
2
0
d <
，类似③的讨论可得
1
1
d = ，
2
1
d = - ．
此时，
na
的通项公式为
1,
2
3,
2
n
n
n
a
n
n
+
ì
ïï
= í
ï-
+
ïî
为奇数
为偶数
．
综上，
na
的通项公式为
3
,
2
1,
2
n
n n
a
n
n
-
ì
ïï
= í
ï
+
ïî
为奇数
为偶数
或
1,
2
3,
2
n
n
n
a
n
n
+
ì
ïï
= í
ï-
+
ïî
为奇数
为偶数
15．（24-25 高二下·北京海淀·期末）给定正整数
3
n n ³
，若数列
1
2
:
,
,
,
n
n
A
a a
a
L
同时满足下列两个性质，则称数列
n
A 为
P n 数列：①
1
2
,
,
,
1,2,
,
n
a a
a
n
=
L
L
；②对任意
1,2,
,
2
i
n
Î
-
L
，总存在
1,
2,
,
j
i
i
n
Î
+
+
L
，使得
2
j
i
a
a
-
=
．记
P n 数列的个数为
nb
(1)写出两个
3
P
数列
3A ；
(2)若
n
A 为
P n 数列，求
1a 的值；
(3)求
1
n
n
b
b
+ 的最大值．
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析；
(3)4.
【详解】（1）
(3)
P
数列
3A ：①1，2，3；②1，3，2；③3，1，2；④3，2，1（任取两个）.
（2）当
3
n =
时，因为
1
2
3
1
2
,
,
{1,2,3},
2
a a a
a
a
=
-
=
或
1
3
2
a
a
-
=
，
所以
1
2
,
{1,3}
a a
=
或
1
3
,
{1,3}
a a
=
，
所以
1
1,3
a =
；
当
4
n ³
时，因为1,2,
,n
L
；2,1,3,4,5,
,n
L
；,
1,
2,
,1
n n
n
-
-
L
；
1, ,
2,
3,
4,
,1
n
n n
n
n
-
-
-
-
L
均是
( )
P n 数列，所以
1a 可以为1,2,
1,
n
n
-
，
假设存在
1
3
2
a
n
£
£
-
，则此时
1
1
2
a
n
£
±
£
，
记
1
1
1
2,
4,
6,
,
B
a
a
a
t
=
-
-
-
L
，其中
1
1
1,
2,
a
t
a
ì
= í
î
为奇数
为偶数，
记
1
1
1
2,
4,
6,
,
C
a
a
a
s
=
+
+
+
L
，其中
1
1
,
1,
n a
n
s
n
a
n
ì
= í -
î
与奇偶性相同
与奇偶性不同，
由条件（2），
1
2
a -
之后必有
1
1
4,
6,
a
a
-
-
LL，
直到集合B 中某一个数出现在数列
n
A 的最后两项中；
同理集合C 中必有某一个数出现在数列
n
A 的最后两项中，
由于集合B ，C 中的数均与
1a 同奇偶，所以
1,
n
n
a
a
-
同奇偶，不妨设
1,
n
n
a
a
-
均为奇数，
考虑数列
n
A 中最后一项偶数，必不能满足条件（2），矛盾，假设错误．
所以
1
1,2,
1,
a
n
n
=
-
.
（3）设
,
1,
n n
x
n
n
ì
= í -
î
为奇数
为偶数，
1,
,
n
n
y
n n
-
ì
= í
î
为奇数
为偶数
，
由（2）知，
1,
n
n
a
a
-
必为一奇一偶，
考虑{1,3,5,
, }
x
L
在数列
n
A 中出现的先后顺序，与（2）同理，首次出现的必为最小值1 或最大值x ，
接下来依次出现剩下的数中的最小值或者最大值，共
1 1
2
2
x+ - 种先后顺序，
同理，{2,4,6,
, }
y
L
在数列中出现的先后顺序共
1
2
2
y - 种，
先确定{1,3,5,
, }
x
L
分别为第几项，注意到该集合恰有一个数在最后两项中，所以共
1
1
1
1
1
2
2
2
2
C
C 2
x
x
n
+
+
-
-
-
×
×
种方法，
所以
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
C
C 2
2
C
2
x
x
y
x
x y
n
n
n
b
+
+
-
+ -
-
-
-
-
-
=
×
×
×
=
×
，
当
2
1
n
k
=
- 时，
1
2
2
2
1
2
3
2
1,
2
2,
C
2
k
k
k
k
x
k
y
k
b
-
-
-
-
=
-
=
-
=
×
；
当
2
n
k
=
时，
1
2
1
2
2
2
2
1,
2 ,
C
2
,
2,3,4,
k
k
k
k
x
k
y
k b
k
-
-
-
=
-
=
=
×
=
L，
所以
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
2
3
(2
2)!
C
2
(
1)!(
1)! 2
4
(2
3)!
C
2
(
1)!(
2)!
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b
k
k
k
b
k
k
-
-
-
-
-
-
-
-
×
-
-
=
=
×
=
-
×
-
-
，
2
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2
(2
1)!
C
2
2
1
2
!(
1)!
2
2
4
4
(2
2)!
C
2
(
1)!(
1)!
k
k
k
k
k
k
k
k
k
b
k
k k
k
b
k
k
k
k
+
-
-
-
-
-
×
-
-
=
=
×
=
×
=
-
<
-
×
-
-
，
所以
1
n
n
b
b
+ 的最大值为4，当
3,5,7,
n =
L时取到．
16．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期末）k 为实数，无穷数列
nx
为
k
Á 数列时满足：
1
2
x
x
k
= -
≥
；
1
t
t
x
x
- <
4 ,
t
n n
*
=
ÎN
；
,
,
m n
m n
x
*
+
"
ÎN
{
,
1}
m
n
m
n
x
x
k x
x
k
Î
+
+
+
+
+
．
(1)若数列
na
前四项分别为4 ，4
- ，4
- ，3
- ，判断数列
na
是否有可能为
4
Á 数列；
(2)若数列
na
为
0
Á 数列，求
6a 的值；
(3)数列
na
前n 项和为
n
S ，则是否存在k 值，
n
*
" ÎN ，
10
n
S
S
³
恒成立.如果有，求出所有符合要求的k 值；如果
没有，请说明原因．
【答案】(1)数列
na
不可能为
4
Á 数列，理由见解析
(2)
6
1
a = .
(3)存在，
2
k =
.
【详解】（1）数列
na
不可能为
4
Á 数列，理由如下：
因为
4
k =
，
1
4
a =
，
2
4
a = - ，所以
1
2
4
a
a
k
+
+
=
，
1
2
1
5
a
a
k
+
+
+ =
.
因为
3
4
a = - ，所以
3
4,5
a Ï
，所以数列
na
不可能为
4
Á 数列.
（2）由
0
Á 数列定义，可知
na
满足：
1
0
a ³
，
2
0
a =
；
4
1
4
n
n
a
a
- <
；
m n
m
n
a
a
a
+ =
+
或
1
m n
m
n
a
a
a
+ =
+
+ .
由
1
1
n
n
a
a
a
+ =
+
或
1
1
1
n
n
a
a
a
+ =
+
+ 以及
1
0
a ³
，可知
1
n
n
a
a
+ ³
，所以
1
0
a =
.
由
3
1
2
0
a
a
a
=
+
=
或
3
1
2
1
1
a
a
a
=
+
+ = ，
4
2
2
0
a
a
a
=
+
=
或
4
2
2
1
1
a
a
a
=
+
+ = ，
以及
3
4
a
a
<
，可得
3
0
a =
，
4
1
a = .
由
5
2
3
0
a
a
a
=
+
=
或
5
2
3
1
1
a
a
a
=
+
+ = ，以及
5
4
a
a
³
，可知
5
1
a = ，
同理，由
6
3
3
0
a
a
a
=
+
=
或
6
3
3
1
1
a
a
a
=
+
+ = ，以及
6
5
a
a
≥
，可知
6
1
a = .
（3）假设数列
na
是满足“
10
n
S
S
³
恒成立”的
k
Á 数列.
因为
1
1
n
n
a
a
a
k
+ =
+
+
或
1
1
1
n
n
a
a
a
k
+ =
+
+
+ ，且
1
0
a
k
+ ≥，所以
1
n
n
a
a
+ ³
，
由
1
2
k
a
a
k
-
= -
≤≤
，可知
1 = -
a
k ，
从而
4
4
1
1
4
1
n
n
n
a
a
a
k
a
-
-
=
+
+
=
或
4
4
1
1
4
1
1
1
n
n
n
a
a
a
k
a
-
-
=
+
+
+ =
+ .
又因为
4
1
4
n
n
a
a
- <
，所以
4
4
1
1
n
n
a
a
-
=
+ .
因为
4
3
1
a
a
=
+ ，且
3
2
a
a
k
= -
≥
，所以
4
1
a
k
-
+
≥
.
又因为
4
2
2
1
1
a
a
a
k
k
+
+
+ = - +
≤
，所以
4
3
1,
a
k
a
k
= - +
= - .
因为
12
6
6
1
a
a
a
k
+
+
+
≤
，且
6
3
3
1
1
a
a
a
k
k
+
+
+ = - +
≤
，所以
12
3
a
k
-
+
≤
.
因为
11
12
1
a
a
=
- ，所以
11
2
a
k
-
+
≤
.
根据假设，由
11
10
S
S
³
可知
11
0
a ³
，所以
2
k £
，
由
10
8
7
1
a
a
a
³
=
+ 及
7
4
1
a
a
k
= - +
≥
，可知
10
2
a
k
-
+
≥
.
由
9
10
S
S
³
可知
10
0
a
£ ，所以
2
k ³
.
综上可知，若数列
na
是满足“
10
n
S
S
³
恒成立”的
k
Á 数列，则
2
k =
.
当
2
k =
时，考虑数列
na
：
2
,
4
1,4
2,4
3
*
1
,
4
4
n
p n
p
p
p
a
p
p n
p
ì- +
Î
+
+
+
=
Î
í- +
=
+
î
N
.
下面验证数列
na
满足
k
Á 数列的要求：
由
1
2
a = - ，
2
2
a = - 可知
1
2
a
a
k
= -
≥
.
因为
4
1
3
n
a
n
- =
- ，
4
2
n
a
n
=
-
，
所以
4
1
4
n
n
a
a
- <
.
1
2
*
,
,
,
m n
p p
"
Î
$
Î
N
N ，
1
2
,
0,1,2,3
r r Î
，使得
1
1
4
m
p
r
=
+
，
2
2
4
n
p
r
=
+
，
所以
1
2
m
a
p
= - +
，
2
2
na
p
= - +
，
所以
1
2
2
m
n
a
a
k
p
p
+
+
= - +
+
，
1
2
1
1
m
n
a
a
k
p
p
+
+
+ = - +
+
，
又
1
2
1
2
4
m
n
p
p
r
r
+
=
+
+
+
，
所以：当
1
2
0
4
r
r
£
+
<
时，
1
2
2
m n
a
p
p
+ = - +
+
；当
1
2
4
6
r
r
£
+
£
时，
1
2
1
m n
a
p
p
+ = - +
+
.
所以
,
1
m n
m
n
m
n
a
a
a
k a
a
k
+ Î
+
+
+
+
+
.
由通项公式可知，当
9
n £
时，
10
0
n
a
a
£
=
；当
11
n ³
时，
10
0
n
a
a
³
=
，
所以
10
n
S
S
³
恒成立.
综上所述，存在
k
Á 数列
na
，使得
10
n
S
S
³
恒成立，此时
2
k =
.
1．（24-25 高二下·湖南·阶段练习）牛顿-莱布尼茨公式，又称微积分基本定理，其表述如下：若函数
F x 在区间
,a b 上的导函数为
F
x
f x
¢
=
，那么
d
b
a f x
x
F b
F a
=
-
ò
.若
2
1
f x
x
=
+ ，
d
12
n
m f x
x =
ò
，且
2
n
m
-
= ，则
m = （ ）
A．
3
2
-
B．3
2
C．2
-
D．2
【答案】B
【详解】因为
2
1
f x
x
=
+ ，取
2
F x
x
x
c
=
+
+
，则
2
1
F
x
x
f x
¢
=
+ =
，
所以，
2
2
d
1
12
n
m
f x
x
F n
F m
n
n
c
m
m
c
n
m
n
m
=
-
=
+
+
-
+
+
=
-
+
+
=
ò
，
因为
2
n
m
-
= ，则
5
n
m
+
=
，故
3
2
m =
，
故选：B.
2．（2025·河南新乡·二模）曲率是用于描述曲线在某一点处弯曲程度的量，对于平面曲线
y
f x
=
，其曲率
3
2
2
1
y
K
y
=
é
ù
+
¢¢
û
¢
ë
（y¢是y 的导数，y¢¢ 是y¢的导数），曲率半径r 是曲率K 的倒数，其表示与曲线在某点处具有相
同弯曲程度圆的半径.已知质点以恒定速率v 沿曲率半径为r 的曲线作曲线运动时，向心加速度的大小为
2v
r .若该质
点以恒定速率
0v 沿形状满足
3
2
y
x
x
=
-
的光滑轨道运动，则其在点
0,0 处的向心加速度的大小为（ ）
A．
2
0
1
2 v
B．
2
0
2v
C．
2
0
2
2 v
D．
2
0
2v
【答案】B
【详解】设
3
2
f x
x
x
=
-
，则
2
3
2
f
x
x
x
¢
=
-
，
6
2
f
x
x
=
¢
-
¢
，所以
0
0
f ¢
=
，
0
2
f ¢¢
= - ，
则曲线在点
0,0 处的曲率
3
2
2
2
2
1
0
K
-
=
=
é
ù
+
ë
û
，曲率半径
1
2
r =
，
故曲线
3
2
y
x
x
=
-
在点
0,0 处的向心加速度的大小为
2
2
0
0
2
1
2
v
v
=
.
故选：B.
3．（24-25 高二下·福建宁德·期中）记
( )
f
x
¢
是
( )
f x 的导函数，
''f
x 是
( )
f
x
¢
的导函数，若曲线
( )
y
f x
=
在点
考点二
导数新定义问题
0
0
,
x
f x
处的曲率
3
2
2
''
0
0
1
K
f
x
f
x
-
é
ù
=
×
+ ë
û
¢
，则曲线
3
( )
f x
x
=
在点2
8
,
3 27
æ
ö
ç
÷
è
ø处的曲率为（ ）
A．
16
27
B．27
16
C．108
125
D．125
108
【答案】C
【详解】由题意得
2
( )
3
,
( )
6
f
x
x
f
x
x
¢
¢¢
=
=
，则
2
4
2
,
4
3
3
3
f
f
æ
ö
æ
ö
¢
¢¢
=
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
则曲线
3
( )
f x
x
=
在点2
8
,
3 27
æ
ö
ç
÷
è
ø 处的曲率为
3
2
2
4
108
4
1
3
125
K
-
é
ù
æ
ö
=
´
+
=
ê
ú
ç
÷
è
ø
ê
ú
ë
û
，故C 正确.
故选：C
4．（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
f
x
¢
是
f x
的导函数，
f
x
¢¢
是
f
x
¢
的导函数，则曲线
y
f x
=
在点
,x f x
处的曲率
3
2
2
1
f
x
K
f
x
=
+
¢¢
¢
．曲线
2e
sin
x
y
x
=
-
在点
0,
0
f
处的曲率为（ ）
A．4 5
25
B．2
C．
5
5
D．2
【答案】B
【详解】令
2e
sin
x
f
x
x
=
-
，则
2
2e
cos
x
f
x
x
=
-
¢
，
2
4e
sin
x
f
x
x
=
+
¢¢
．
因为
0
1
f ¢
= ，
0
4
f ¢¢
=
，
所以曲线
2e
sin
x
y
x
=
-
在点
0,
0
f
处的曲率为
3
3
2
2
2
0
4
1 1
1
0
f
f
=
¢
+
¢
¢
+
2
=
．
故选：B
5．（24-25 高二下·河北衡水·期中）若函数
f x 的定义域为D ，且存在
0x
D
Î
，使得
0
0
2
0
f x
f
x
¢
+
=
，则称
0x
是
f x 的一个“二倍阶值点”．下列四个函数中，不存在“二倍阶值点”的是（ ）
A．
1
f x
x
=
B．
2
ex
x
f x
-
=
C．
ln
f x
x
=
D．
ex
f x
x
=
+
【答案】C
【详解】对于A，
1
f x
x
=
0
x ¹
，
2
1
f
x
x
¢
= -
0
x ¹
，
由
0
0
2
0
f x
f
x
¢
+
=
，得
2
0
0
1
2
0
x
x
-
=
0
x ¹
，解得
0
2
x
=
，
所以函数
1
f x
x
=
存在“二倍阶值点”；
对于B，
2
ex
x
f x
-
=
R
xÎ
，
2
e
2
1
x
x
f
x
x
-
¢
=
-
R
xÎ
，
由
0
0
2
0
f x
f
x
¢
+
=
，得
2
2
0
0
0
0
0
e
2e
2
1
0
x
x
x
x
x
-
-
+
-
=
R
xÎ
，
因为
2
0
0
e
0
x
x
-
>
，
0
1
2 2
1
0
x
+
-
=
，解得
0
1
4
x =
，
所以函数
2
ex
x
f x
-
=
存在“二倍阶值点”；
对于C，
ln
f x
x
=
0
x >
，
1
f
x
x
¢
=
0
x >
，
由
0
0
2
0
f x
f
x
¢
+
=
，得
0
0
2
ln
0
x
x
+
=
0
x >
，
令
2
ln
g x
x
x
=
+
0
x >
，
2
2
1
2
2
x
g
x
x
x
x
-
¢
=
-
=
0
x >
，
当
0,2
xÎ
时，
0
g
x
¢
<
，
g x 单调递减，
当
2,
xÎ
+¥ 时，
0
g
x
¢
>
，
g x 单调递增，
所以当
2
x =
时，
g x 有极小值也是最小值，且
2
ln 2 1
0
g
=
+ >
，
所以
0
0
2
ln
0
x
x
+
=
无解，
所以函数
ln
f x
x
=
不存在“二倍阶值点”；
对于D，
ex
f x
x
=
+
R
xÎ
，
e
1
x
f
x
¢
=
+
R
xÎ
，
由
0
0
2
0
f x
f
x
¢
+
=
，得
0
0
0
0
0
e
2e
2
3e
2
0
x
x
x
x
x
+
+
+
=
+
+
=
，
令
3e
2
x
h x
x
=
+
+
R
xÎ
，
3e
1
0
x
h x
¢
=
+ >
，
所以
h x 在R 上单调递增，
又
3
3
3
3
3e
3
2
1
0
e
h
-
-
=
- +
=
- <
，
2
2
3
2
3e
2
2
0
e
h
-
-
=
-
+
=
>
，
根据零点存在性定理可知
h x 在
3, 2
xÎ -
-
上存在零点，
所以方程
0
0
3e
2
0
x
x
+
+
=
有解，
所以函数
ex
f x
x
=
+
存在“二倍阶值点”.
故选：C.
6．（24-25 高二下·四川泸州·阶段练习）若存在
0x 使得
0
0
(
)
(
)
f x
f
x
¢
=
，则称
0x 是
f x 的一个“巧值点”，则下列函
数中，不存在“巧值点”的是（ ）
A．
( )
x
f x
e
=
B．
1
( )
2
x
f x
æ
ö
= ç
÷
è
ø
C．
( )
sin
f x
x
=
D．
( )
ln
f x
x
=
【答案】B
【详解】对于A，由
ex
f x =
，得
ex
f
x
¢
=
，所以
( )
( )
f x
f
x
¢
=
，
所以
ex
f x =
有无数个“巧值点”，所以A 错误；
对于B，由
1
( )
2
x
f x
æ
ö
= ç
÷
è
ø
，则
1
1
1
ln
ln 2
2
2
2
( )
x
x
f
x
æ
ö
æ
ö
=
= -
ç
÷
ç
÷ø
¢
è
ø
è
，
令
( )
( )
f x
f
x
¢
=
，则
2
1
1
2
2
ln
x
x
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
= -
ø
，显然1
0
2
x
æ
ö >
ç
÷
è
ø
，则1
ln 2
= -
，显然不成立，
所以
( )
( )
f x
f
x
¢
=
无解，故
1
( )
2
x
f x
æ
ö
= ç
÷
è
ø
不存在“巧值点”，故B 正确；
对于C，由
sin
f x
x
=
，得
cos
f
x
x
¢
=
，由sin
cos
x
x
=
，得
π
π,
Z
4
x
k
k
=
+
Î
，
即
π
π,
Z
4
x
k
k
=
+
Î
为函数的“巧值点”，所以C 错误；
对于D，由
ln
f x
x
=
，得
1
f
x
x
¢
=
，令
1
ln x
x
=
，则
1
ln
0(
0)
x
x
x
-
=
>
，
令
1
( )
ln
(
0)
g x
x
x
x
=
-
>
，则
2
1
1
( )
0(
0)
g x
x
x
x
¢
=
+
>
>
，
所以( )
g x 在(0,
)
+¥ 上单调递增，
因为
1
(1)
1
0, (e)
1
0
e
g
g
= - <
= -
>
，所以存在
0
(1,e)
x Î
，使
0
(
)
0
g x
=
，
即
0
0
f
x
f
x
¢
=
，所以
0x 为函数的“巧值点”，所以D 错误.
故选：B
7．（24-25 高二下·广东广州·阶段练习·多选）对于三次函数
3
2
0
f x
ax
bx
cx
d a
=
+
+
+
¹
，给出定义：
f
x
¢
是函
数
y
f x
=
的导数，
f
x
¢¢
是函数
f
x
¢
的导数，若方程
0
f
x
¢¢
=
有实数解
0x ，则称
0
0
,
x
f x
为函数
y
f x
=
的
“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称
中心，若函数
3
2
2
49
12
3
6
f x
x
x
x
=
-
-
+
，则下列说法正确的是（ ）
A．
f x 的极大值点为137
6
B．
f x 有且仅有3 个零点
C．点1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 是函数
f x 的对称中心
D．
1
2
3
2024
4048
2025
2025
2025
2025
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
【答案】BCD
【详解】A 选项，由函数
3
2
2
49
12
3
6
f x
x
x
x
=
-
-
+
，可得
2
2
2
12
2
3
2
f
x
x
x
x
x
=
-
-
=
-
+
¢
，
令
0
f
x
¢
>
，解得
2
x < - 或
3
x >
；令
0
f
x
¢
<
，解得2
3
x
- <
<
，
所以函数
f x 在
, 2
¥
-
-
上单调递增，在( 2,3)
-
上单调递减，在
3, ¥
+
单调递增，
当
2
x = - 时，
f x 取得极大值，极大值为
137
2
6
f -
=
，所以极大值点为2
- ，故A 错误；
B 选项，由A 知，当
3
x =
时，
f x 取得极小值，
极小值
49
113
3
18
9
36
0
6
6
f
=
- -
+
= -
<
，且当x ® -¥ 时，
f x
¥
® -
，
当x ® +¥ 时，
f x
¥
® +
，
137
2
0
6
f -
=
>
，所以函数
f x 有3 个零点，故B 正确；
C 选项，由
2
2
2
12
f
x
x
x
=
-
-
¢
，可得
4
2
f
x
x
=
¢
-
¢
，
令
0
f
x
¢¢
=
，可得
1
2
x =
，又由
3
2
1
2
1
1
1
49
12
2
2
3
2
2
2
6
f æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
´
-
-
´
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
所以点1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 是函数
f x 的对称中心，故C 正确；
D 选项，因为1 ,2
2
æ
ö
ç
÷
è
ø 是函数
f x 的对称中心，所以
1
4
f x
f
x
+
-
=
，
令
1
2
3
2024
2025
2025
2025
2025
S
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
可得
2024
2023
2022
1
2025
2025
2025
2025
S
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，
所以
1
2024
2
2023
3
2022
2
2025
2025
2025
2025
2025
2025
S
f
f
f
f
f
f
é
ù
é
ù
é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ê
ú
ê
ú
ê
ú
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û
ë
û
ë
û
2024
1
4 2024
2025
2025
f
f
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
´
ç
÷
ç
÷
ê
ú
è
ø
è
ø
ë
û
L
，
所以
4048
S =
，即
1
2
3
2024
4048
2025
2025
2025
2025
f
f
f
f
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
è
ø
L
，所以D 正确.
故选：BCD.
8．（24-25 高二下·山东淄博·期末·多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿
法.具体步骤如下：设r 是函数
y
f x
=
的一个零点，任意选取
0x 作为r 的初始近似值，在横坐标为
0x 的点处作曲
线
f x 的切线1l ，直线1l 与x 轴交点的横坐标为
1
x ；用
1
x 代替
0x 重复上面过程得到
2x ；一直进行下去，得到
0
1
,
,
,
n
x x
x
L
，当
1
n
n
x
x -
-
足够小时，我们可以把
nx 的值作为函数
f x 零点的近似值.已知函数
3
3
2
f
x
x
x
=
+
-
，
0
1
x = ，则下列说法正确的是（ ）
A．切线1l 的方程为6
4
0
x
y
-
-
=
B．
2
70
117
x =
C．
3
1
2
2
1
3
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+
D．设
3
*
3
3
3
,
N
2
2
n
n
n
n
x
x
a
n
x
+
=
Î
+
，则
1
2
1
2
4
3
3
-
<
×
×¼×
×
<
n
n
a a
a
a
【答案】ABD
【详解】对于A，由题意得
3
3
2
f
x
x
x
=
+
-
，
0
1
x = ，
则
0
1
1 3
2
2
f x
f
=
= + -
=
，故1l 的切点为(1,2) ，
而
2
3
3
f
x
x
=
+
¢
，由导数的几何意义得1l 的斜率为
1
3
3
6
f ¢
=
+
=
，
得到切线1l 的方程为
2
6(
1)
y
x
-
=
-
，化简得6
4
0
x
y
-
-
=
，故A 正确，
对于B，在6
4
0
x
y
-
-
=
中，令
0
y =
，解得
1
2
3
x =
，
而
2
8
3
27
f æ
ö =
ç
÷
è
ø
，
2
13
3
3
f æ
ö
¢
=
ç
÷
è
ø
，
则2l 的方程为
8
13
2
(
)
27
3
3
y
x
-
=
-
，令
0
y =
，解得
2
70
117
x =
，故B 正确，
对于C，当
0
n =
时，
1
1
2
3
nx
x
+ =
=
，
3
0
2
0
2
1
2 1
3
3
1
3 1
4
x
x
+
+
=
=
+
+
，
不满足
3
1
2
2
1
3
1
n
n
n
x
x
x
+
+
=
+ ，故C 错误，
对于D，由题意得
f x 在
(
,
)
n
n
x
f x
处的切线方程为
(
)
n
n
n
f x
f
x
y
x
x
¢
-
=
-
，
而该方程必过
1
(
,0)
nx +
，代入得到
3
2
1
0
3
2
3
3
(
)(
)
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x +
-
+
- =
+
-
，
则
3
1
2
3
2
3
3
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
+
+
-
-
= -
+
，得到
3
3
3
1
2
2
2
3
3
3
2
2
2
3
3
3
3
3
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
-
+
=
-
=
+
+
+
，
而
1
3
2
3
3
(
3
3
2
2
)
2
3
2
3
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
a
x
x
x
x +
+
=
=
=
+
+
+
，
可得
2
3
1
1
1
1
2
1
2
1
2
3
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
a
a
x
x
x
x
x
a
a
-
+
-
+
×
×¼×
×
=
×
=
×
×¼×
，
由已知得
2
3
3
0
f
x
x
¢
=
+
>
，则
f x 单调递增，
而
1
2
0
f
=
>
，
1
3
0
2
8
f æ
ö = -
<
ç
÷
è
ø
，得到
1
1
0
2
f
f
æ
ö×
<
ç
÷
è
ø
，
由零点存在性定理得存在
1
( ,1)
2
r Î
作为
f x 零点，
随着操作次数的增加，
1
nx + 与r 越来越接近，故
1
1
( ,1)
2
nx + Î
，
则
1
1
(1,2)
nx +
Î
，得到
1
2
2 4
3
( , )
3 3
nx +
Î
，
即
1
2
1
2
4
3
3
-
<
×
×¼×
×
<
n
n
a a
a
a
成立，故D 正确.
故选：ABD
9．（2024·湖北·三模）若当
0
x
D ®
时，
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
f x
x y
f x
y
x
+ D
-
D
无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元
函数
( , )
z
f x y
=
在点
0
0
(
,
)
x
y
处对x 的偏导数，记为
0
0
(
,
)
xf
x y
¢
，即
0
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
(
,
)
lim
;
x
x
f x
x y
f x
y
f
x
y
x
D ®
+ D
-
¢
=
V
若当
0
y
D ®
时，
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
f x
y
y
f x
y
y
+ D
-
D
无限趋近于一个确定的值，则称这个确定的值为二元函数
( , )
z
f x y
=
在点
0
0
(
,
)
x
y
处对y
的偏导数，记为
0
0
(
,
)
yf
x
y
¢
，即
0
0
0
0
0
0
0
(
,
)
(
,
)
(
,
)
lim
.
y
y
f x
y
y
f x
y
f
x
y
y
D ®
+
-
¢
=
V
V
已知二元函数
2
3
( , )
2
f x y
x
xy
y
=
-
+
，则
( , )
( , )
x
y
f
m n
f
m n
¢
¢
+
的最小值为
.
【答案】
1
3
-
【详解】依题意，
所以
( , )
2
2
xf
x y
x
y
¢
=
-
，
2
( , )
2
3
yf
x y
x
y
¢
= -
+
，
则
2
2
2
1
1
( , )
( , )
2
2
2
3
3
2
3(
)
3
3
y
xf
m n
f
m n
m
n
m
n
n
n
n
¢
¢
+
=
-
-
+
=
-
=
-
-
，
所以
( , )
( , )
x
y
f
m n
f
m n
¢
¢
+
的最小值是
1
3
-
.
故答案为：
1
3
-
10．（24-25 高二下·北京·阶段练习）若存在实数k 和m 使得函数
f x 和
g x 对其公共定义域上的任意实数x 都满
足：
g x
kx
m
f x
£
+
£
恒成立，则称此直线y
kx
m
=
+
为
f x 和
g x 的“分离直线”．当
2
f x
x
=
和
ln
g x
a x
=
之间存在唯一的“分离直线”
2 e
e
y
x
=
- 时，a =
；若
2
f x
x
=
和
1 (
0)
g x
x
x
=
<
之间存在“分离直线”，m 的
最小值为
．
【答案】
2e
4
-
【详解】解：因为函数
2
f x
x
=
和
2eln
g x
x
=
的图象在
e
x =
处有公共点，
若
f x 和
g x 存在“分离直线”，则该直线过公共点( e,e) ，
设“分离直线”的方程为
e
(
e)
y
k x
-
=
-
，即
e
e
y
kx
k
=
-
+ ，
由
e
e,
0
f x
kx
k
x
³
-
+
>
恒成立，即
2
e
e
0,
0
x
kx
k
x
-
+
-
³
>
恒成立，
（i）当
0
k =
时，则
2
e
0
x -
³
在
0
x >
上不恒成立，不符合题意；
（ii）当
0
k <
时，令
2
e
e,
0
u x
x
kx
k
x
=
-
+
-
>
，对称轴为
0
2
k
x =
<
，
所以
u x 在(0, e)上单调递增，且( e)
0
u
=
，故不符合题意；
（iii）当
0
k >
时，令
2
e
e,
0
u x
x
kx
k
x
=
-
+
-
>
，对称轴为
0
2
k
x =
>
，
则
2
2
min
(
2 e)
( )
e
e
0
2
4
4
k
k
k
u x
u
k
-
=
= -
+
-
= -
³
，
当且仅当
2 e
k =
时，符合题意，即直线为
2 e
e
y
x
=
- ；
下面证明：
2eln
2 e
e
g x
x
x
=
£
- ，
令
2 e
e
2eln ,
0
G x
x
x x
=
- -
>
，可得
2 e(
e)
x
G
x
x
¢
-
=
，
令
0
G
x
¢
=
，解得
e
x =
，
当
(0, e)
xÎ
时，
0
G
x
¢
<
，函数
G x 单调递减；
当
( e,
)
xÎ
+¥ 时，
0
G
x
¢
>
，函数
G x 单调递增，
所以当
e
x =
时，函数
G x 取得极小值，也是最小值，可得
( e)
0
G x
G
³
=
，
即
2 e
e
g x
x
£
-
，
所以函数
2
f x
x
=
和
2eln
g x
x
=
之间存在唯一的“分离直线”
2 e
e
y
x
=
- ，此时
2e
a =
.
设函数
2
f x
x
=
和
1 (
0)
g x
x
x
=
<
之间存在“分离直线”为y
kx
m
=
+
，
则
2
1
x
kx
m
kx
m
x
ì
³
+
ïí
£
+
ïî
对任意
0
x <
恒成立，即
2
2
0
1
0
x
kx
m
kx
mx
ì
-
+
³
í
+
- £
î
对任意
0
x <
恒成立，
由
2
1
0
kx
mx
+
- £
恒成立，可得
0
k £
，
①当
0
k =
时，则
0
m =
，符合题意；
②当
0
k <
时，令
2
,
0
h x
x
kx
m x
=
-
+
<
，对称轴为
0
2
k
x =
<
，
要使
2
0
kx
m
x -
+
³
对任意
0
x <
恒成立，
只需
2
4
0
k
m
D =
+
£
，即
2
4
k
m
£ -
，所以
0
m £
，
再令
2
1,
0
d x
kx
mx
x
=
+
-
<
，对称轴为
0
2
m
x
k
= -
£
，
则需
2
4
0
m
k
D =
+
£
，即
2
4
m
k
£ -
，所以
4
2
16
64
k
m
k
£ -
£
，解得4
0
k
- £
<
，
同理可得：
4
2
16
64
k
m
m
-
£
£
，解得4
0
m
- £
<
，所以m 的最小值为4
- .
故答案为：2e ；4
- .
11．（24-25 高二下·广东·阶段练习）已知函数
f x 的导函数为
f
x
¢
，我们称函数
f
x
¢
的导函数
f
x
¢¢
为函数
f x 的二阶导函数，若一个连续函数
f x 在区间I 上的二阶导函数
0
f
x
¢¢
³
，则称
f x 为I 上的凹函数，若二
阶导函数
0
f
x
¢¢
£
，则称
f x 为I 上的凸函数．
(1)证明：函数
3
2
1
1
ln
3
2
f x
x
x
x
x x
= -
+
+
-
是凸函数．
(2)已知函数
e
sin
x
f x
x
a
=
+
，
0,π
xÎ
．
①若
f x 是
0,π 上的凹函数，求实数a 的取值范围；
②
f x 在
0,π 内有两个不同的零点
1
x ，
2x ，证明：
1
2
π
π
2
x
x
<
+
<
．
【答案】(1)证明见解析
(2)①
π
4
0, 2e
æ
ù
ç
ú
è
û
；②证明见解析
【详解】（1）因为
3
2
1
1
ln
3
2
f x
x
x
x
x x
= -
+
+
-
，
所以
2
2
2
1
1
ln ,
2
1
0
x
x
f
x
x
x
x f
x
x
x
x
-
-
+
= -
+
-
= -
+ -
=
¢
¢
<
¢
，
所以
f x 是
0, ¥
+
上的凸函数．
（2）①因为
e
sin ,
0,π
x
f x
x x
a
=
+
Î
，
所以
e
e
cos ,
sin
x
x
f
x
x f
x
x
a
a
¢
¢
=
-
¢
=
+
．
因为
f x 是
0,π 上的凹函数，所以e
sin
0
x
x
a -
³
在
0,π 上恒成立，即1
sin
ex
x
a ³
．
令
sin
ex
x
g x =
，则
3π
2sin
cos
sin
4
e
e
x
x
x
x
x
g
x
¢
æ
ö
+
ç
÷
-
è
ø
=
=
．
当
π
0, 4
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，3π
3π
π
4
4
x
<
+
<
，则
0,
g
x
g x
¢
>
单调递增；
当
π ,π
4
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø 时，
3π
7π
π
4
4
x
<
+
<
，则
0,
g
x
g x
¢
<
单调递减．
max
π
4
π
2
( )
4
2e
g x
gæ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
，所以
π
4
1
2
2e
a ³
，解得
π
4
0
2e
a
<
£
，
所以实数a 的取值范围是
π
4
0, 2e
æ
ù
ç
ú
è
û
．
②由①知，因为
f x 在
0,π 内有两个不同的零点
1
2
,
x x ，
所以方程
1
g x
a
= -
在
0,π 内有两个根
1
2
,
x x ，即
1
2
1
g x
g x
a
=
= -
．
因为
g x 在
π
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，在π ,π
4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，所以
1
2
π
0
π
4
x
x
<
<
<
<
．
欲证
1
2
π
x
x
+
<
，即证
2
1
π
x
x
<
-
因为
2
1
π ,
4
π
π
,
4
x
x
ì
>
ïïí
ï -
>
ïî
且
g x 在π ,π
4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递减，
所以只需证明
2
1
π
g x
g
x
>
-
，即证
1
1
π
g x
g
x
>
-
．
欲证
1
1
π
g x
g
x
>
-
，即证
1
1
1
1
π
sin π
sin
e
e
x
x
x
x
-
-
>
，即
1
1
1
1
e
e
x
x x
-
>
，
只需证
1
1
πe
e
x
x
-
>
，即证
1
π
2
x <
，而该式显然成立．
欲证
1
2
π
2
x
x
+
>
，即证
2
1
π
2
x
x
>
-
．因为
1
π
π π
,
2
4 2
x
æ
ö
-
Îç
÷
è
ø ，所以只需证
2
1
π
2
g x
g
x
æ
ö
<
-
ç
÷
è
ø，
即证
1
1
1
1
1
1
π
2
π
sin
sin
π
2
,
e
2
e
x
x
x
x
g x
g
x
-
æ
ö
-
ç
÷
æ
ö
è
ø
=
<
-
=
ç
÷
è
ø
即需证
1
π
2
2
1
tan
e
x
x
-
<
．
令
π
2
2
tan
e
x
x
h x
-
=
，
π
0 4
,
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
2
π
π
2
2
2
2
2
1
2tan
1 sin2
cos
0
e
e
cos
x
x
x
x
x
h x
x
-
-
¢
-
-
=
=
>
，
所以
h x 在
π
0, 4
æ
ö
ç
÷
è
ø 上单调递增，所以
π
1,
4
h x
hæ
ö
<
=
ç
÷
è
ø
则原不等式得证．
故
1
2
π
π
2
x
x
<
+
<
．
12．（24-25 高二下·江西·阶段练习）已知函数
y
F x
=
的定义域为I ，区间
,a b 是I 的子集，若
y
F x
=
的图象
上存在两点
,
A a F a
，
,
B b F b
，使直线AB 恰好是曲线
y
F x
=
的一条切线，且
,
A B 为切点，记直线AB 的
方程为
y
G x
=
，如果
,
x
a b
" Î
都有
F x
G x
³
，则称函数
y
F x
=
是“桥函数”，称
,
A B 两点为“桥墩”.
(1)若
π
3π
, 1 ,
, 1
2
2
A
B
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø，试说明函数
sin
y
x
=
能否是以
,
A B 两点为“桥墩”的“桥函数”？
(2)判断函数
2
1
f x
x
= -
与
sin
g x
x
x
=
+
是不是“桥函数”？并说明你的理由.
【答案】(1)是
(2)
2
1
f x
x
= -
不是“桥函数”，
sin
g x
x
x
=
+
是 “桥函数”，理由见解析
【详解】（1）因为
sin
y
x
=
，所以
cos
y
x
¢ =
，则
π
2
π
|
cos
0
2
x
y
=-
æ
ö
¢
=
-
=
ç
÷
è
ø
，
3π
2
3π
|
cos
0
2
x
y
=
æ
ö
=
=
ç
÷
è
ø
¢
，
所以函数在
π
3π
, 1 ,
, 1
2
2
A
B
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø处的切线均为
1
y = - ，
因此经过
π
3π
, 1 ,
, 1
2
2
A
B
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø两点的直线
:
1
AB y = - 恰好为
sin
y
x
=
的一条切线，
又sin
1
x ³ - 对
π 3π
,
2
2
x
é
ù
Î -
ê
ú
ë
û 恒成立，
所以函数
sin
y
x
=
是以
,
A B 两点为“桥墩”的“桥函数”.
（2）函数
2
1
f x
x
= -
不是“桥函数”，
sin
g x
x
x
=
+
是 “桥函数”，理由如下：
对于函数
2
1
f x
x
= -
，则
2
f
x
x
¢
= -
，显然
2
f
x
x
¢
= -
在定义域上单调递减，
所以在函数
2
1
f x
x
= -
上任意两点的切线的斜率均不相同，
故不满足“直线AB 恰好是曲线
y
f x
=
的一条切线”，所以
2
1
f x
x
= -
不是“桥函数”；
对于
sin
g x
x
x
=
+
，则
1 cos
g
x
x
= +
¢
，
设
1
1
1
2
2
2
,
sin
,
,
sin
A x x
x
B x x
x
+
+
1
2
x
x
¹
，
所以
,
A B 点处的切线方程为
1
1
1
1
1 cos
sin
cos
y
x
x
x
x
x
=
+
+
-
和
2
2
2
2
1 cos
sin
cos
y
x
x
x
x
x
=
+
+
-
，
所以
1
2
1
1
1
2
2
2
1 cos
1 cos
sin
cos
sin
cos
x
x
x
x
x
x
x
x
+
= +
ì
í
-
=
-
î
，
所以
1
2
cos
cos
x
x
=
，
不妨取
2
1
2 π,
Z
x
x
k
k
=
+
Î
且
1
2
x
x
¹
，
代入
2
1
1
2
1
cos
sin
sin
x
x
x
x
x
-
=
-
，可得
则
1
1
2 πcos
0
cos
0
k
x
x
=
Þ
=
，即
1
π
π
,
Z
2
x
k
k
=
+
Î
，
所以
1
sin
1
x = ± ，不妨取
1
sin
1
x = - ，则
π
π
,
1
2
2
Aæ
ö
-
-
-
ç
÷
è
ø ，
3π 3π
,
1
2
2
Bæ
ö
-
ç
÷
è
ø ，
所以
3π
π
1
1
2
2
1
3π
π
2
2
AB
k
æ
ö
- - -
-
ç
÷
è
ø
=
=
æ
ö
- -
ç
÷
è
ø
，
又
sin
g x
x
x
=
+
在
,
A B 点处的切线的斜率
π
1
2
g æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
¢
，
3π
1
2
g æ
ö =
ç
÷
è
ø
¢
，
所以函数
sin
g x
x
x
=
+
在
π
π
,
2
2
A
g
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
3π
3π
,
2
2
B
g
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
两点的直线AB 恰好是曲线
sin
g x
x
x
=
+
的一条切
线，
此时切线AB 的方程为
1
y
x
=
- ，
再说明当
2
π
2
π
3
x
-
£
£
时，函数
sin
g x
x
x
=
+
的图象不在
1
y
x
=
- 的下方，
即需要说明
sin
1
x
x
x
+
³
- 对
2
π
2
π
3
x
-
£
£
恒成立，
因为对任意的实数x ，sin
1
x ³ - 横跨，
即
sin
1
x
x
x
+
³
- 恒成立，
所以
sin
g x
x
x
=
+
是 “桥函数”.
13．（24-25 高三下·河南·阶段练习）若函数
( )
F x 在开区间I 内满足：
*
(
1,2,
, )
2,
ix
I i
n
n
n
$
Î
=
××××××
³
ÎN
，
( )
y
F x
=
在
i
x
x
=
处的切线的斜率均为
(
)
m mÎR ，则称
( )
F x 为I 内的“ n
m
-
缘分函数”．
(1)判断
2
( )
ln
2
f x
x
x
x
=
-
+
是否为(0,
)
+¥ 内的“2
3
- 缘分函数”，并说明理由；
(2)若
2
( )
ln
g x
x
x
ax
= -
-
+
为1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 内的“2
3
- 缘分函数”，求实数a 的取值范围；
(3)证明：
2
2
1
( )
2
2 e
2 ln
2
2
x
h x
x
x
x
x
x
x
=
-
+
-
-
+
不是(0,
)
+¥ 内的“
1
n - 缘分函数”
*
2,
n
n
³
ÎN
．
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
3
2 2,6
+
(3)证明过程见解析
【详解】（1）求导得
1
( )
2
2
f x
x
x
=
-
+ ，
2
( )
ln
2
f x
x
x
x
=
-
+
为(0,
)
+¥ 内的“2
3
- 缘分函数”当且仅当方程
1
( )
2
2
3
f x
x
x
=
-
+
= 在(0,
)
+¥ 内有两个不同的解，
而
1 ,
2
2
y
y
x
x
=
= -
+
在(0,
)
+¥ 上单调递减，即
1
( )
2
2
3
f x
x
x
=
-
+
= 在(0,
)
+¥ 上单调递减，
故方程
1
( )
2
2
3
f x
x
x
=
-
+
= 在(0,
)
+¥ 内最多有一个解，
从而
2
( )
ln
2
f x
x
x
x
=
-
+
不是(0,
)
+¥ 内的“2
3
- 缘分函数”；
（2）原条件等价于
1
2
3
g
x
x
a
x
¢
= -
-
+
=
在1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 内有两个不同的解，
即
1
3
2
a
x
x
=
+
+
在1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø 内有两个不同的解，
设
1
1
3
2
,
,1
3
u x
x
x
x
é
ù
=
+
+
Îê
ú
ë
û ，
由对勾函数性质可知
1
3
2
u x
x
x
=
+
+
在1
2
,
3
2
é
ù
ê
ú
ë
û
上单调递减，在
2 ,1
2
é
ù
ê
ú
ë
û
上单调递增，
注意到
1
2
20,
1
6,
3
2 2
3
2
u
u
uæ
ö
æ
ö =
=
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故所求为
3
2 2,6
+
；
（3）由题意只需证明
2
2
2
2
2
2
2ln
2
2
2ln
1
e
e
x
x
h x
x
x
x
x
x
x
x
x
¢
=
-
+
+
-
-
-
-
+
=
-
-
= 在(0,
)
+¥ 内最多有1 个根，
令
2
n
e
(0,
)
1
2l
1,
x
v x
h x
x
x
x
x
¢
=
- =
-
-
Î
+¥
-
，
即证
2
n
e
(0,
)
1
2l
1,
x
v x
h x
x
x
x
x
¢
=
- =
-
-
Î
+¥
-
最多有一根，
求导得
2
2
e
e
(0,
)
2
1
2
1
2
,
x
x
v x
x
x
x x
x
x
x
æ
ö
¢
=
+
- -
=
+
Î
ç
÷
è
ø
+¥
-
，
当
0
x >
时，
2
e
1
2
0,
,
x
x x
y
y
x
+
>
=
= -
在(0,
)
+¥ 上都单调递增，
设
2
)
1 ,
e
(0,
x
m x
x
x
=
-
+¥
Î
，注意到
0
1
4
0,
1
2
e
e 1
m
m
æ
ö =
-
<
ç
÷ø
-
è
>
=
，
从而当
0
x >
时，存在唯一的
0
1 ,1
2
x
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，使得
0
0
2
0
1
e
0
x
m x
x
=
-
=
，即有
0
0
2ln
x
x
= -
成立，
当
0
0
x
x
<
<
时，
0
v x
¢
<
，当
0
x
x
>
时，
0
v x
¢
>
，
所以
v x 在
0
0, x
上单调递减，在
0,
x +¥ 上单调递增，
所以
v x 有最小值
0
2
0
0
0
0
0
0
min
2ln
1
1
1
0
ex
v x
v x
x
x
x
x
x
=
=
-
-
- = -
- -
- =
，
这表明
2
n
e
(0,
)
1
2l
1,
x
v x
h x
x
x
x
x
¢
=
- =
-
-
Î
+¥
-
最多有一根，
综上所述，命题得证.
14．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知
f
x
¢
是函数
( )
f x 的导函数，
0x 是
( )
f x 的零点，若在x
D
Î
上，
0
( )
f x
f
x
¢
>
恒成立，则称
( )
f x 是D 上的“优函数”.
(1)试判断函数
( )
e
1
x
f x
x
=
-
- 是否是(0,
)
+¥ 上的“优函数”，请说明理由；
(2)已知函数
2
1
( )
ln
(
1)
2
g x
x
m
x
m
x
= -
-
+
+
，
0
m >
.
①证明：( )
g x 只有一个零点；
②已知
0x 是( )
g x 的零点，证明：( )
g x 是
0,1 上的“优函数”.
【答案】(1)是，理由见解析
(2)①证明见解析；②证明见解析
【详解】（1）
e
1
x
f
x
¢
=
- ，令
0
f
x
¢
=
，解得
0
x =
，
( )
f x 在(
,0)
-¥
上单调递减，在(0,
)
+¥ 上单调递增，
所以
min
( )
(0)
0
f x
f
=
=
，所以
( )
f x 有唯一零点
0
x =
，
当
0
x >
时，
( )
(0)
0
(0)
f x
f
f ¢
>
=
=
，
所以
( )
f x 是(0,
)
+¥ 上的“优函数”；
（2）①
(
1)(
)
( )
1
(
0)
m
x
x
m
g x
x
m
x
x
x
-
-
¢
= - -
+
+ = -
>
，
令
( )
0
g x
¢
= ，解得
1
x = 或x
m
=
，
（i）当0
1
m
<
< 时，
x
(0,
)
m
m
( ,1)
m
1
(1,
)
+¥
( )
g x
¢
-
0
+
0
-
( )
g x
]
Z
]
因为
1
(1)
0
2
g
m
=
+
>
，
2
1
( )
ln
0
2
g m
m
m
m
m
=
+
-
>
，
所以( )
g x 在
0,1 无零点，
当
1
x > 时，
2
2
1
1
( )
ln
(
1)
(
1)
2
2
g x
x
m
x
m
x
x
m
x
= -
-
+
+
< -
+
+
，
令
2
1
(
1)
0
2 x
m
x
-
+
+
=
，解得
2
2
x
m
=
+
，
所以(2
2)
0
g
m +
<
，所以( )
g x 在(1,
)
+¥ 上有一个零点，
所以( )
g x 在(0,
)
+¥ 上有一个零点，
（ii）当
1
m = 时，
( )
0
g x
¢
£ ，所以( )
g x 在(0,
)
+¥ 单调递减，
又
3
(1)
0
2
g
=
>
，(4)
ln 4
0
g
= -
<
，所以( )
g x 在(0,
)
+¥ 上有一个零点，
（iii）当
1
m > 时，
x
0,1
1
(1,
)
m
m
( ,
)
m +¥
( )
g x
¢
-
0
+
0
-
( )
g x
]
Z
]
因为
1
(1)
0
2
g
m
=
+
>
，
2
1
1
( )
ln
(
2
2ln
)
2
2
g m
m
m
m
m
m m
m
=
+
-
=
+
-
，
令( )
2
2ln
(
1)
m
m
m m
j
=
+
-
>
，
2
2
( )
1
m
m
m
m
j
-
¢
= -
=
，
( )
0
m
j¢
=
，
2
m =
，
( )
m
j
在(1,2) 上单调递减，在(2,
)
+¥ 上单调递增，
所以( )
(2)
4
2ln 2
0
m
j
j
³
=
-
>
，
所以( )
0
g m >
，所以( )
g x 在(0,
)
m 无零点，
当x
m
>
时，
2
2
1
1
( )
ln
(
1)
(
1)
2
2
g x
x
m
x
m
x
x
m
x
= -
-
+
+
< -
+
+
，
令
2
1
(
1)
0
2 x
m
x
-
+
+
=
，解得
2
2
x
m
=
+
，
所以(2
2)
0
g
m +
<
，所以( )
g x 在( ,
)
m +¥ 上有一个零点，
所以( )
g x 在(0,
)
+¥ 上有一个零点，
综上：( )
g x 在(0,
)
+¥ 上只有一个零点；
②由①知( )
g x 有唯一零点
0x ，
（i）当0
1
m
<
< 时，
0
1
x > ，
2
1
( )
( )
ln
0
2
g x
g m
m
m
m
m
³
=
+
-
>
，
( )
1
m
g x
x
m
x
¢
= - -
+
+ ，
1
x > ，令( )
1
m
h x
x
m
x
= - -
+
+
2
2
2
( )
1
0
m
m
x
h x
x
x
-
¢
= - +
=
<
，
所以
( )
g x
¢
在(1,
)
+¥ 上单调递减，所以
0
(1)
0
g
x
g
¢
¢
<
=
，
所以
0
( )
0
g x
g
x
>
>
¢
.
（ii）当
1
m = 时，
0
1
x > ，
3
( )
(1)
0
2
g x
g
>
=
>
，
1
( )
2
g x
x
x
¢
= - -
+
，
1
x > ，
2
'
2
2
1
1
1
0
x
g
x
x
x
-
é
ù = - +
=
¢
<
ë
û
，
所以
( )
g x
¢
在(1,
)
+¥ 上单调递减，
所以
0
(1)
0
g
x
g
¢
¢
<
=
，所以
0
( )
0
g x
g
x
>
>
¢
，
（iii）当时，
0x
m
>
，
1
( )
(1)
0
2
g x
g
m
>
=
+
>
，
( )
1
m
g x
x
m
x
¢
= - -
+
+ ，x
m
>
，
2
'
2
2
1
0
m
m
x
g
x
x
x
-
é
ù = - +
=
<
ë
û
¢
，
所以
( )
g x
¢
在( ,
)
m +¥ 上单调递减，
所以
0
( )
0
g
x
g m
¢
¢
<
=
，所以
0
( )
0
g x
g
x
>
>
¢
，
综上，
0
( )
g x
g
x
>
¢
，所以( )
g x 是( 0, 1) 上的“优函数”.
15．（24-25 高二下·江西上饶·期末）泰勒展开式在近似计算、函数性质研究中有广泛应用，它可将一个函数在某点
附近用多项式逼近．若函数
( )
f x 在包含
0x 的闭区间[ , ]
a b 上具有n 阶导数，在开区间( , )
a b 上具有
1
n + 阶导数，则
对[ , ]
a b 上任意一点x，有
( )
2
0
0
0
0
0
0
0
( )
( )
0!
1!
2!
!
n
n
n
f x
f
x
f
x
f
x
f x
x
x
x
x
x
x
R x
n
¢
=
+
-
+
-
+
+
-
+
¢¢
L
，其中
( )
n
R
x
为泰勒公式的余项．（
( )
f x 的n 阶导数记为
( )( )
n
f
x ，其中
( )
f
x
¢¢
为
( )
f
x
¢
的导数，
( )
f
x
¢¢¢
为
( )
f
x
¢¢
的导数，
( )( )
n
f
x 为
(
1)( )
n
f
x
-
的导数．）
(1)若
3
n =
，写出
( )
ln(1
)
f x
x
=
+
在
0
x =
处的泰勒展开式；
(2)当
0
x >
时，判断第（1）问中
3( )
R x 与0 的大小，并证明；
(3)证明：对任意正整数n，有
2
1
1
e
n
k
k
n
=
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
Õ
，其中，
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
1
n
k
k
n
n
n
n
n
=
æ
ö
æ
öæ
ö
æ
ö
+
=
+
+
+
ç
÷
ç
֍
÷
ç
÷
è
ø
è
øè
ø
è
ø
Õ
L
．
【答案】(1)
2
3
3
1
1
2
3
f x
x
x
x
R
x
=
-
+
+
(2)
3( )
0
R x <
，证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为
( )
ln(1
)
f x
x
=
+
，所以
(0)
ln(1 0)
0
f
=
+
=
，
1
( )
1
f
x
x
¢
= +
，则
(0)
1
f ¢
= ；
2
1
( )
1
f
x
x
= -
+
¢¢
，则
2
1
(0)
1
1
0
f ¢
-
+
¢
=
= - ；
3
2
( )
1
f
x
x
¢¢¢
=
+
，则
3
2
(0)
2
1
0
f ¢¢¢
=
=
+
，
则
( )
ln(1
)
f x
x
=
+
在
0
x =
处的泰勒展开式为
2
3
2
3
3
3
1
2
1
1
0
1
2!
3!
2
3
f x
x
x
x
R
x
x
x
x
R
x
-
=
+ ×
+
+
+
=
-
+
+
.
（2）判断：
3( )
0
R x <
，证明如下：
由（1）可得
2
3
3
1
1
ln 1
2
3
R
x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
-
-
+
ç
÷
è
ø ，
设
2
3
1
1
ln 1
,
0
2
3
g x
x
x
x
x
x
æ
ö
=
+
-
-
+
>
ç
÷
è
ø
，
则
2
3
2
1
1
1
1
1
0
1
1
1
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
x
-
-
¢
+
+
-
=
-
-
+
=
=
<
+
+
+
，
故
g x 在
0, ¥
+
上单调递减，则
0
0
g x
g
<
=
，
即
3( )
0
R x <
.
（3）对于
2
1
1
n
k
k
n
=
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
Õ
取对数得
2
2
1
1
ln
1
ln 1
n
n
k
k
k
k
n
n
=
=
æ
ö
æ
ö
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Õ
，
由（2）知
2
3
1
1
ln 1
2
3
x
x
x
x
+
<
-
+
，
由
1,2,
,
k
n
=
L
可得，
2
2
0
1
k
n
n
n
<
<
£ ，
当
0,1
xÎ
时，
2
3
2
2
1
1
1
1
1
1
0
2
3
2
3
2
3
x
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
+
=
-
+
<
-
+
<
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
故
2
3
1
1
ln 1
2
3
x
x
x
x
x
+
<
-
+
<
，
令
2
k
x
n
=
，则
2
2
ln 1
k
k
n
n
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
，所以
2
2
1
1
ln 1
n
n
i
k
k
k
n
n
=
-
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
，
又
2
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
n
i
n n
k
n
n
n
n
n
=
+
+
+
+
æ
ö
=
=
=
+
£
ç
÷
è
ø
L
，
所以
2
2
1
1
ln 1
1
n
n
k
k
k
k
n
n
=
=
æ
ö
+
<
£
ç
÷
è
ø
，
故
2
1
ln
1
1
n
k
k
n
=
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
Õ
，故
2
1
1
e
n
k
k
n
=
æ
ö
+
<
ç
÷
è
ø
Õ
.
16．（24-25 高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17 世纪提出的一种用导数求方程近似解
的方法，其过程如下：如图，设r 是
0
f x =
的根，选取
0x 作为r 的初始近似值，过点
0
0
,
x
f x
作曲线
y
f x
=
的切线L ，L 的方程为
0
0
0
y
f x
f
x
x
x
¢
=
+
-
．如果
0
0
f
x
¢
¹
，则L 与x 轴的交点的横坐标记为
1
x ，称
1
x 为r
的一阶近似值．再过点
1
1
,
x
f x
作曲线
y
f x
=
的切线，并求出切线与x 轴的交点横坐标记为
2x ，称
2x 为r 的二
阶近似值．重复以上过程，得r 的近似值序列：
1
x ，
2x ，…，
nx ，根据已有精确度e ，当
nx
r
e
-
<
时，给出近似
解．对于函数
ex
f x
x
=
+
，已知
0
f r =
．
(1)若给定
0
0
x =
，求r 的二阶近似值
2x ；
(2)函数
ln
1
ln
e
e
x
x
h x
x
x
x
-
=
-
-
+
-
．
①试写出函数
h x 的最小值m 与r 的关系式；
②证明：
e
2
m >
-
．
【答案】(1)
2
3
2
2 e
x
-
=
+
(2)①
2
1
e , 1
2
r
m
r
r
r
-
= -
+ +
- <
< -
，②证明见解析
【详解】（1）函数
ex
f x
x
=
+
，求导得
1 ex
f
x
¢
= +
，
依题意，
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
e
1
e
1 e
1 e
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
f
x
¢
-
+
=
-
=
-
=
+
+
，当
0
0
x =
时，
1
1
2
x = -
，
同理
1
1
1
2
e
1
1 e
x
x
x
x
-
=
+
，而
1
1
2
x = -
，所以
2
3
2
2 e
x
-
=
+
；
（2）①因为
ln
1
ln
e
e
x
x
h x
x
x
x
-
=
-
-
+
-
，
所以
1
( )
ln
e
e
x
x
h x
x
x
-
¢
=
-
+
+
，令
1
( )
ln
e
e ,
0
x
x
x
x
x
x
j
-
=
-
+
+
>
，
求导得
2
1
1
( )
e
e
0
x
x
x
x
x
j
-
¢
=
+
+
-
>
，所以
h x
¢
在
0, ¥
+
上单调递增，
函数
ex
f x
x
=
+
单调递增，
1
1
1
1
0,
( 1)
1
0
2
2
e
e
f
f
æ
ö
-
= -
+
>
-
= - +
<
ç
÷
è
ø
，
由
( )
0
f r =
，得
1
1
2
r
- <
< -
，且er
r
= - ，则
1
e r
r
- = -
，
ln
r
r
=
-
，
所以
1
(
)
ln
e
e
0
r
r
h
r
r
r
-
-
=
-
+
+
+
=
¢
，
当0
x
r
<
< - 时，
( )
0
h x
¢
<
，当x
r
> - 时，
( )
0
h x
¢
>
，
于是函数( )
h x 在(0,
)r
-
上单调递减，在(
,
)
r
¥
-
+
上单调递增，
函数( )
h x 在x
r
= - 处取得最小值
2
(
)
ln
ln
e
e
e
r
r
r
m
h
r
r
r
r
r
r
r
-
-
=
-
= -
-
+ -
-
+
-
= -
+ +
，
即
2
1
2 , 1
2
m
r
r
r
= -
+
- <
< -
.
②由①知，
2
1
e , 1
2
r
m
r
r
r
-
= -
+ +
- <
< -
，
令
2
( )
e
,
0
x
u x
x
x
x
-
= -
+
+
<
，求导得
( )
e
2
1
x
u x
x
-
= -
-
+
¢
，
令
e
2
1,
0
x
y
x
x
-
= -
-
+
<
，求导得
e
2
x
y
-
¢ =
-
，
当
ln 2
0
x
-
<
<
时，
0
¢ <
y
，当
ln2
x < -
时，
0
¢ >
y
，
则函数
( )
u x
¢
在( ln 2,0)
-
上单调递减，在(
,
ln 2)
-¥ -
上单调递增，
而
(0)
0,
( 1)
e
3
0
u
u
=
-
= - +
¢
>
¢
，
则当
0
x
- <
<
时，
( )
0
u x
¢
>
恒成立，即函数( )
u x 在
1,0
-
上单调递增，
而
1
1
2
r
- <
<
，因此
( )
1
e
2
u r
u
>
-
=
-
，所以
e
2
m >
-
.
17．（24-25 高二下·河南信阳·期末）对于函数
F x ，若实数
0x 满足
0
0
F x
x
=
，则称
0x 为
F x 的不动点．已知函
数
e x
f
x
x
a
=
-
．
(1)若
f x 的极小值小于e
- ，求a 的取值范围；
(2)当
1
a = 时，求函数
1
F x
f x
=
- 的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
【答案】(1)
2,+¥
(2)函数
F x 有两个不动点，证明见解析
【详解】（1）
1 ex
f
x
x
a
=
-
+
¢
，
当
1
x
a
<
- 时，
0
f
x
¢
<
，当
1
x
a
>
- 时，
0
f
x
¢
>
，
所以，
f x 在
,
1
a
-¥
-
上单调递减，在
1,
a -
+¥ 上单调递增，
故极小值为
1
1
ea
f a
-
-
= -
．
由
1
e
e
a-
-
< - ，解得
2
a >
．
故a 的取值范围为
2,+¥ ；
（2）当
1
a = 时，
1
1 e
1
x
F x
f x
x
=
- =
-
- ，依题意方程
F x
x
=
，
即
1 e
1
x
x
x
-
- =
的解就是函数
F x 的不动点．
令
1 e
1
x
g x
x
x
=
-
-
- ，
e
1
x
g
x
x
=
-
¢
，
令
h x
g
x
=
¢
，则
1 ex
h x
x
¢
=
+
，
当
1
x < - 时，
0
h x
¢
<
，当
1
x > - 时，
0
h x
¢
>
，
所以，
h x 在
, 1
¥
-
-
上递减，在
1,
- +¥ 上递增，
又
1
e 1
0
h
=
- >
，
0
1
0
h
= - <
，且当
0
x <
时，
0
h x <
．
所以，存在唯一
0x ，
0
0
1
x
<
< ，使
0
0
h x
=
．
当
0
x
x
<
时，
0
h x <
，即
0
g
x
¢
<
，当
0
x
x
>
时，
0
h x >
，即
0
g
x
¢
>
，
所以，
g x 在
0
, x
-¥
上递减，在
0,
x +¥ 上递增．
所以，
0
g x
g x
³
．
因为
0
0
g
x
¢
=
，即
0
0e
1
0
x
x
- =
，也即
0
0
1
e
x
x
=
所以
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1 e
1
e
1
e
e
0
x
x
x
x
g x
x
x
x
x
x
=
-
-
- =
-
-
= -
-
<
-
．
又
2
2
3
2
1
0,
2
e
3
0
e
g
g
-
= -
>
=
-
>
．
根据零点存在定理，
g x 在
0
2, x
-
，
0 2
x ,
内各仅有一个零点，
所以，
g x 有且仅有两个零点．即函数
F x 有两个不动点．
设m 是
g x 的零点，则
1 e
1
0
m
g m
m
m
=
-
-
- =
，
又
1 e
1
e
1
1 e
0
m
m
m
g
m
m
m
m
m
-
- é
ù
-
= -
-
+
- =
-
-
+
-
=
ë
û
，
所以m
-
也是
g x 的零点．
故
g x 所有零点之和等于零．即函数
F x 所有不动点之和等于零．
18．（24-25 高二下·湖南衡阳·期末）已知函数
f x 的导数为
f
x
¢
，
f
x
¢
的导数为
f x 的二阶导数，记作
f
x
¢¢
．若函数
f x 在包含
0x 的某个开区间
,
a b 上具有二阶导数，那么
,
x
a b
" Î
，
2
0
0
0
0
0
1!
2!
f
x
f
x
g x
f x
x
x
x
x
¢
¢¢
=
+
-
+
-
，我们把
g x 称为函数
f x 在
0
x
x
=
处的二阶拟合函数．
(1)写出函数
ex
y =
在
0
x =
处的二阶拟合函数
x
j
，并证明
ex
x
j
³
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立；
(2)若e
cos
2
x
x
ax
+
³
+
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立，求a 的取值范围；
(3)设函数
2
2 e
1
0
x
g x
x
m x
m
=
-
+
-
>
的两个零点为
1
x ，
2x ，
g x 在
1
x = 处的二阶拟合函数为
h x ，证
明：
h x 有两个零点
3x ，
4x ，且
1
2
3
4
x
x
x
x
+
<
+
．
【答案】(1)
2
1
1
2
x
x
x
j
= +
+
，证明见解析；
(2)
1
a £ ；
(3)证明见解析.
【详解】（1）因为
e
e
¢ =
x
x ，
e
e
x
x
¢¢ =
，
所以
ex
y =
在
0
x =
处的二阶拟合函数
0
0
0
2
2
e
e
1
e
1
1!
2!
2
x
x
x
x
x
j
=
+
+
= +
+
．
设
2
1
e
1
2
x
A x
x
x
=
- -
-
，则
e
1
x
A x
x
=
¢
- -
，
e
1
0
x
A
x =
¢¢
- ³
，
所以
A x
¢
在
0, ¥
+
上单调递增，则
0
0
A x
A
¢
¢
³
=
，
所以
A x 在
0, ¥
+
上单调递增，即
0
0
A x
A
³
=
，
所以
ex
x
j
³
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立．
（2）记
2
1
cos
1
,
0,
2
B x
x
x
x
¥
=
- +
Î
+
，则
sin
B x
x
x
-
¢
=
+
，则
1 cos
0
B
x
x
= -
¢
³
¢
，
所以
B x
¢
在
0, ¥
+
上单调递增，
0
0
B x
B
¢
¢
³
=
，
所以
B x 在
0, ¥
+
上单调递增，即
0
0
B x
B
³
=
，
所以
2
1
cos
1
2
x
x
³ -
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立，
由（1）可知
2
1
e
1
2
x
x
x
³ +
+
，则e
cos
2
x
x
x
+
³
+
，
所以当
1
a £ 时，
2
2
x
ax
+
³
+
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立，
则e
cos
2
x
x
ax
+
³
+
对
0,
xÎ
+¥ 恒成立．
设
e
cos
2
0
x
f x
x
ax
x
=
+
-
-
³
，
当
1
a > 时，
ln
ln
e
cos ln
ln
2
ln
1
a
f
a
a
a
a
a
a
a
=
+
-
-
<
-
- ，
设
ln
1
1
I a
a
a
a
a
=
-
-
>
，则
ln
0
I
a
a
¢
= -
<
，
所以
I a 在
1,+¥ 上单调递减，则
1
0
I a
I
<
=
，
所以
ln
0
f
a <
，这与题意矛盾，所以
1
a £ ．
（3）因为
2
2 e
1
,
0
x
g x
x
m x
m
=
-
+
-
>
，
所以
1
e
2
x
g
x
x
m
¢
=
-
+
，则
e
2
x
g
x
x
m
¢
=
+
¢
，
则
2
2
1
1
e
2
1
1
1
1
e
1!
2!
2
g
g
m
h x
g
x
x
x
+
=
+
-
+
-
¢
-
¢
¢
=
-
，
因为1
e
0
h
= - <
，且
h x 的图象开口向上，
所以
h x 有两个零点，且
3
4
2
x
x
+
=
．
因为当
1
x < 时，
0
g
x
¢
<
，当
1
x > 时，
0
g
x
¢
>
，
所以
g x 在
,1
-¥
上单调递减，在
1,+¥ 上单调递增，所以
1
2
1
x
x
< <
，
要证
1
2
3
4
2
x
x
x
x
+
<
+
=
，只需证
1
2
2
x
x
<
-
，
因为
2
1
2
,
,1
x x
¥
-
Î -
，且
1
2
g x
g x
=
，
所以只需证
2
1
2
2
g x
g x
g
x
=
>
-
，
构造函数
2
2
2 e
e
,
1
x
x
C x
g x
g
x
x
x
x
-
=
-
-
=
-
-
> ，
则
2
2
1 e
1 e
1 e +e
0
x
x
x
x
C
x
x
x
x
-
-
=
-
+
-
-
¢
=
>
，
所以
C x 在
1,+¥ 上单调递增，所以
1
0
C x
C
>
=
，即
2
g x
g
x
>
-
，
因为
2
1
x > ，所以
2
2
2
g x
g
x
>
-
，所以
1
2
3
4
x
x
x
x
+
<
+
．
1．（24-25 高二上·江苏常州·阶段练习）已知点
10
F
,
，直线:
4
l x =
，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离
的一半.若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是（ ）
A．点P 的轨迹方程是
2
2
1
4
3
x
y
+
=
B．直线1 :
2
4
0
l
x
y
+
-
=
是“最远距离直线”
C．平面上有一点
1,1
A -
，则
2
PA
PF
+
的最小值为5
D．点P 的轨迹与圆
2
2
:
2
0
C x
y
x
+
-
=
是没有交汇的轨迹（即没有交点）
【答案】D
【详解】设
,
P x y ，因为动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的一半，
所以
2
2
2
1
4
x
y
x
-
+
=
-
，整理得
2
2
1
4
3
x
y
+
= ，A 说法正确；
联立
2
2
1
4
3
2
4
0
x
y
x
y
ì
+
=
ïí
ï +
-
=
î
可得
2
2
1
0
x
x
-
+ =
，解得
1
x = ，
所以存在点
3
1, 2
Pæ
ö
ç
÷
è
ø ，直线1 :
2
4
0
l
x
y
+
-
=
是“最远距离直线”， B 说法正确；
过P 作PB 垂直于直线:
4
l x =
，垂足为B ，
由题意得
2
PB
PF
=
，则
2
PA
PF
PA
PB
+
=
+
，
由图可知PA
PB
+
的最小值即为点A 到直线:
4
l x =
的距离5 ，C 说法正确；
由
2
2
:
2
0
C x
y
x
+
-
=
得
2
2
1
1
x
y
-
+
= ，圆C 圆心为
1,0 ，半径为1，
易得点P 的轨迹与圆C 交于点
2,0 ，D 说法错误；
故选：D
2．（24-25 高三下·山西·开学考试）画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互
相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭
考点三
解析几何新定义问题
圆的蒙日圆.设A，B 为椭圆E：
2
2
1(
1)
y
x
a
a
+
=
>
上的两个动点，动点P 在直线3
4
10
0
x
y
+
-
=
上，若
0, 2
APB
÷
p
æ
ö
Ð
Îçè
ø 恒成立，则E 的离心率的取值范围为（ ）
A．
6
0, 3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
B．
3 ,1
3
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．1 ,1
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
D．
2
0, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø
【答案】A
【详解】根据题意，得椭圆E 的蒙日圆方程为
2
2
1
x
y
a
+
=
+ ，
其上任意一点向椭圆C 所引的两条切线互相垂直，
因此当直线3
4
10
0
x
y
+
-
=
与圆
2
2
1
x
y
a
+
=
+ 相离时，
0, 2
APB
÷
p
æ
ö
Ð
Îçè
ø ，
由
2
2
0
0 10
1
3
4
a
+
-
+ <
+
，解得1
3
a
<
<
.
所以离心率
1
6
1
0, 3
e
a
æ
ö
=
-
Îç
÷
ç
÷
è
ø
.
故选：A
3．（24-25 高二上·江苏常州·阶段练习）已知曲线C ：
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
+
=
-
是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C 的图象不关于原点对称
B．曲线C 经过4 个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线y
kx
=
与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为
, 1
-¥ -
D．曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过3
【答案】D
【详解】对于A，结合曲线C ：
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
+
=
-
，将
,x
y
-
-
代入，
方程不变，即曲线C 的图象关于原点对称，A 错误；
对于B，令
0
y =
，则
2
2
2
9
x
x
=
，解得
3
x = ± ，
令
1
x = ± ，则
2
2
2
1
9 1
y
y
+
=
-
，解得
2
11
153
1
2
y
-
+
=
< ，
令
2
x = ± ，则
2
2
2
4
9 4
y
y
+
=
-
，解得
2
17
369
2
2
y
-
+
=
<
，
故曲线C 经过的整点只能是
0,0 , 3,0 ,
3,0
-
，B 错误；
对于C，直线y
kx
=
与曲线C ：
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
+
=
-
必有公共点
0,0 ，
因此若直线y
kx
=
与曲线C 只有一个交点，则
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
y
kx
ì
+
=
-
ïí
=
ïî
只有一个解
0,0 ，
即
2
4
2
2
2
1
9
1
x
k
x
k
+
=
-
只有一个解为
0
x =
，即
0
x ¹
时，
2
4
2
2
2
1
9
1
x
k
x
k
+
=
-
无解，
故
2
1
0
k
-
£
，即实数k 的取值范围为
, 1
1,
-¥ -
+¥
U
，C 错误，
对于D，由
2
2
2
2
2
9
x
y
x
y
+
=
-
，可得
2
2
2
2
2
2
9
9
x
y
x
y
x
y
-
+
=
£
+
，
0
y =
时取等号，
则曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离为
2
2
3
=
+
£
d
x
y
，即都不超过3，D 正确，
故选：D
4．（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线G 的对称中心为原点O ，若对于G 上的任意一点A ，均存在G 上两点
B ，C ，使得原点O 到直线AB ，AC 和BC 的距离都相等，则称曲线G 为“完美曲线”．现有如下两个命题：
①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．
下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
【答案】A
【详解】判断命题①：
已知过椭圆上任意一点A 作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于B ，C 两点，连接BC .
根据直线与圆的位置关系，当BC 与圆相切时，满足给定条件.
当BC 与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近BC ，直到BC 与
圆相切；同理，当BC 与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近BC 直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调
整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得BC 与圆相切，故①正确.
当A 在双曲线顶点时，过A 作圆的切线，交双曲线于另外两点B ，C .
由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段BC ，其
整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的
切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.
故选：A.
5．（2025·陕西延安·模拟预测·多选）在平面直角坐标系xOy 中，定义原点的“相伴点”是原点，当
,
P x y 不是原点
时，P 的“相伴点”为
2
2
2
2
,
y
x
P
x
y
x
y
æ
ö
çç
+
+
è
¢
÷÷ø
．平面曲线C 上所有点的“相伴点”所构成的曲线C¢ 定义为曲线C 的“相
伴曲线”，则下列说法正确的是（ ）
A．若A 的坐标为
3,4 ，则A 的“相伴点” A¢的坐标为4 3
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø
B．若不在直线y
x
=
上的点A 的“相伴点”是点A¢，则直线OA¢ 与直线OA关于直线y
x
=
对称
C．若曲线C 是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”C¢ 也是圆
D．若曲线C 是一条直线，则曲线C 的“相伴曲线”C¢ 也是一条直线
【答案】ABC
【详解】A.若点A 的坐标是
3,4 ，则A 的“相伴点” A¢的坐标为
2
2
2
2
4
3
,
3
4
3
4
æ
ö
ç
÷
+
+
è
ø
，即4 3
,
5 5
æ
ö
ç
÷
è
ø，故A 正确；
B.若点A 的坐标为
,a b 不在直线y
x
=
上，那么点A 的“相伴点”
2
2
2
2
,
b
a
A
a
b
a
b
æ
ö
¢ç
÷
+
+
è
ø
，若,a b 的其中一个为0
时，不妨设
0,
0
a
b
=
¹
，则
0,
A
b ，
2 ,0
b
A
b
æ
ö
¢ç
÷
è
ø
，直线OA¢ 与直线OA关于直线y
x
=
对称；
同理可得
0,
0
b
a
=
¹
时，直线OA¢ 与直线OA也关于直线y
x
=
对称；
当
0,
0
a
b
¹
¹
时，直线OA的斜率是b
a ，直线OA¢ 的斜率为a
b ，所以点
,b a 在直线OA¢ 上，所以直线OA¢ 与直线
OA关于直线y
x
=
对称，故B 正确；
C.若曲线C 是以原点为圆心的圆，设为
2
2
2
0
x
y
r
r
+
=
>
，设点
,
A x y 为圆上的任一点，则点A 的“相伴点”
2
2
2
2
,
y
x
A
x
y
x
y
æ
ö
¢ç
÷
ç
÷
+
+
è
ø
，即
,
y x
A
r r
æ
ö
¢ç
÷
è
ø ，满足
2
2
1
y
x
r
r
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以“相伴曲线”C¢ 是以原点为圆心，1 为半径的圆，故C 正确；
D.设直线的方程为y
x
=
，点
,
A a a 为直线上任一点，
当点
,
A a a 为坐标原点时，则
0,0
A¢
；
当
0
a >
时，
2
2
2
2
a
a
a
=
+
，则
2
2
,
2
2
A æ
ö
¢ç
÷
ç
÷
è
ø
；
当
0
a <
时，
2
2
2
2
a
a
a
= -
+
，则
2
2
,
2
2
A æ
ö
¢ -
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
；
所以直线y
x
=
的“相伴曲线”C¢ 由三个点组成，故D 错误.
故选：ABC.
6．（2025·海南·模拟预测·多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694 年，雅各布·伯努
利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到
两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲
线C（如图所示）过坐标原点O，且C 上的点
,
P x y 满足到两个定点
1
,0
F
a
-
，
2
,0 (
0)
F
a
a >
的距离之积为4，
则下列结论正确的是（ ）
A．
2
a =
B．点
,1 (
0)
M x
x >
在C 上，则
1
2 2
MF =
∣
∣
C．点N 在椭圆
2
2
1
6
2
x
y
+
= 上，若
1
2
F N
F N
^
，则N
C
Î
D．过
2F 作x 轴的垂线交C 于A，B 两点，则
2
AB <
∣
∣
【答案】ACD
【详解】由题意，
1
2
4
PF
PF
×
=
，即
2
2
2
2
(
)
(
)
4
x
a
y
x
a
y
+
+
×
-
+
=
，
对于A，因曲线C 过原点O ，将
0,0
O
代入，解得
2
a =
，故A 正确；
对于B，由点
,1 (
0)
M x
x >
在C 上，得
2
2
1
2
(
2)
1
(
2)
1
4
MF MF
x
x
é
ù é
ù
=
+
+
-
+
=
ë
û ë
û
，
化简得
4
2
6
9
0
x
x
-
+
=
，解得
2
1
3,
( 3
2)
1
2 2
x
MF
=
=
+
+
¹
，故B 错误；
对于C ，椭圆
2
2
1
6
2
x
y
+
= 的焦点坐标恰好为
1
2,0
F -
与
2 2,0
F
，则
1
2
2 6
F N
F N
+
=
，
由
1
2
F N
F N
^
，得：
2
2
1
2
16
F N
F N
+
=
，
则
2
2
2
1
2
1
2
1
2
4
2
F N
F N
F N
F N
F N
F N
+
-
+
×
=
=
，N
C
Î
，故C 正确；
对于D，设
2,
A
y ，则
2
AB
y
=
，而A
C
Î
，则
1
4
AF
y
=
，
又根据勾股定理得
2
2
1
16
AF
y
=
+
，则
2
2
16
16
y
y =
+
，化简得
4
2
16
16
0
y
y
+
-
=
，
解得
2
2
4 5
8,
1
4 5
9
0
y
y
=
-
- =
-
<
，因此
1,
2
y
AB
<
<
，故D 正确；
故选：ACD．
7．（23-24 高二上·江西·阶段练习）法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过圆E ：
2
2
2
2
0
x
y
a
b
a
b
+
=
-
>
>
上任意一
点作双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= 的两条切线，这两条切线互相垂直，我们通常把这个圆E 称作双曲线C 的蒙日圆.过双
曲线W ：
2
2
1
3
x
y
-
= 的蒙日圆上一点P 作W 的两条切线，与该蒙日圆分别交于A ，B 两点，若
30
PAB
Ð
=
°，则
PAB
V
的周长为
.
【答案】3 2
6
+
/
6
3 2
+
【详解】由题可知，W 的蒙日圆方程为
2
2
2
x
y
+
=
，半径为2 ，且PA
PB
^
，
所以AB 为直径，所以
2 2
AB =
.
又
30
PAB
Ð
=
°，所以
2
PB =
，
2
2
2 2
2
6
PA =
-
=
.
所以PAB
V
的周长为3 2
6
+
.
故答案为：3 2
6
+
.
8．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为
5
1
2
+ 的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”
2
2
2
:
1(
0)
2 5
2
x
y
C
b
b
-
=
>
-
，则C 的虚轴长为
．
【答案】4
【详解】因为
2
2
2
5
1
1
1
2
2 5
2
c
b
b
e
a
a
+
=
=
+
=
+
=
-
，即
2
6
2 5
1
4
2 5
2
b
+
+
=
-
，解得
2
b =
，所以C 的虚轴长为4 ，
故答案为：4 .
9．（2025·河南南阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
:
1
0
y
C x
b
b
-
=
>
的两条渐近线分别为1 :
3
l
y
x
=
，2 :
3
l
y
x
= -
，若
点A ，B 分别在1l ，2l 上（A ，B 不同于原点O ），且直线AB 是C 的切线，则称
OAB
△
是C 的“渐切三角形”．已知
C 在点
,s t 处的切线方程为
2
1
ty
sx
b
-
= ．
(1)写出C 的一个“渐切三角形”的顶点A ，B 的坐标及切线AB 的方程，并求出其面积；
(2)已知点
1
1
,
A x y
，
2
2
1
2
,
0
B x
y
x x >
分别在1l ，2l 上，
OAB
△
的面积为
3 ，试问
OAB
△
是否是C 的“渐切三角
形”？并说明理由；
(3)若
OAB
△
是C 的“渐切三角形”，AB 与C 相切的切点M 的横坐标大于0，F 为C 的左焦点，证明：
AFB
Ð
为定
值．
【答案】(1)
1, 3 ,
1,
3
A
B
-
，
:
1
AB x = ，
3
OAB
S
=
V
（答案不唯一）；
(2)是，理由见解析；
(3)证明过程见解析.
【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为
,
0
y
bx b
= ±
>
，故
3
b =
，
则
2
2
:
1
3
y
C x -
= ，且C 在点
,s t 处的切线方程为
1
3
ty
sx -
= ，
不妨取切点为
1,0 ，则切线方程为
1
x = ，此时
1, 3 ,
1,
3
A
B
-
，
则
1 1 2 3
3
2
OAB
S
=
´ ´
=
△
.
（2）若直线AB 斜率不存在，不妨设
:
AB x
m
=
，则
, 3
,
,
3
A m
m
B m
m
-
，
则
2
1
2 3
3
3
2
OAB
S
m
m
m
=
´
´
=
=
V
，得
1
m = ± ，
此时直线
:
1
AB x = ± 与曲线C 相切，即
OAB
△
是C 的“渐切三角形”，
若直线AB 斜率存在，设
:
AB y
kx
m
=
+
，
联立
2
2
0
3
y
kx
m
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，得
2
2
2
3
2
0
k
x
kmx
m
-
-
-
=
，
则
2
2
1
2
1
2
2
2
2
3,
,
0
3
3
km
m
k
x
x
x x
k
k
¹
+
=
= -
>
-
-
，即
2
3
k >
，
则
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
12
1
2
4
1
1
3
3
3
m
k
km
m
AB
k
x
x
k
k
k
k
+
æ
ö
=
+
-
=
+
×
+
=
ç
÷
-
-
è
ø
-
，
又点O 到直线AB 的距离
2
1
m
d
k
=
+
，
则
2
2
2
2
2
2
2
12
1
1
1
3
3
2
2
3
1
3
OAB
m
k
m
m
S
AB d
k
k
k
+
=
=
´
´
=
=
-
+
-
V
，
得
2
2
3
k
m
-
=
，
联立
2
2
1
3
y
kx
m
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，得
2
2
2
3
2
3
0
k
x
kmx
m
-
-
-
-
=
，
则
2
2
2
2
2
2
Δ
4
4 3
3
12
3
0
k m
k
m
m
k
=
+
-
+
=
-
+
=
，
则直线AB 与曲线C 相切，即
OAB
△
是C 的“渐切三角形”，
综上可得，若
OAB
△
的面积为
3 ，则
OAB
△
是C 的“渐切三角形”.
（3）若切点为
1,0 时，直线AB 的方程为
1
x = ，此时
1, 3 ,
1,
3
A
B
-
，
因
2,0
F -
，则
3
tan
3
AFO
Ð
=
，即
π
6
AFO
Ð
=
，
利用对称性可知
π
3
AFB
Ð
=
；
若切点不为
1,0 ，可设切点为
,
,
0,
0
s t
s
t
>
¹
，则直线
:
1
3
AB
ty
l
sx -
= ，
联立
2
2
1
3
1
3
ty
sx
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，得
2
2
2
2
3
6
3
0
t
s
x
sx
t
-
+
- -
=
，
则
2
2
3
0,
t
s
-
¹
由
2
2
2
2
Δ
6
4
3
3
0
s
t
s
t
=
+
-
+
=
，可得
2
2
3
3
s
t
-
=
，
联立
2
2
1
3
0
3
ty
sx
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，得
2
2
2
3
6
3
0
t
s
x
sx
-
+
-
=
，即
2
2
1
0
x
sx
-
+ =
，
设点
1
1
,
A x y
，
2
2
1
2
,
0
B x
y
x x >
，则
1
2
1
2
2 ,
1
x
x
s x x
+
=
= ，
则
2
1
2
2
4
4
3
t
x
x
s
-
=
-
=
，
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
9
9
9
3
3 3
3
9
9
3
s x x
s x
x
sx
sx
s
y y
t
t
t
t
-
+
+
-
-
-
+
=
×
=
=
= - ，
则
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
4
AF
BF
y
x
y
x
y
y
k
k
x
x
x x
x
x
+
-
+
-
=
-
=
+
+
+
+
+
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
3
3
2
4
2
4
sx
x
sx
x
s
x
x
t
x x
x
x
t
x x
x
x
-
+
-
-
+
+
-
=
×
=
×
+
+
+
+
+
+
1
2
1
2
2
1
3 2
1
3 2
1
2 3 2
1
3
2
4
5
4
5
4
5
4
5
3
s
x
x
s
s
s
x
x
t
s
s
t
s
s
+
-
+
+
+
-
=
×
=
×
=
´
=
+
+
+
+
，
（说明：由图知，
1
2
x
x
-
与t 始终同号，故
1
2
1
2
x
x
x
x
t
t
-
-
=
成立）
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
3
2
2
2
4
4
5
AF
BF
y
y
y y
k
k
x
x
x x
x
x
s
-
=
×
=
=
+
+
+
+
+
+
，
则
tan
tan
tan
tan
1
tan
tan
AFO
BFO
AFB
AFO
BFO
AFO
BFO
Ð
+
Ð
Ð
=
Ð
+ Ð
= -
Ð
×
Ð
2 3 2
1
4
5
3
3
1
1
4
5
AF
BF
AF
BF
s
k
k
s
k
k
s
+
-
+
=
=
=
-
+
+
+
，
因0
AFB
p
< Ð
<
，则
π
3
AFB
Ð
=
，故
AFB
Ð
为定值.
10．（2025·宁夏银川·三模）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的
三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线C：
2
2
0
x
py p
=
>
的焦点为F，直线l：
2
y =
过点
F，过x 轴下方的一点P 作C 的两条切线1l ，2l ，且1l ，2l 分别交x 轴于点A，B，交l 于点M，N.
(1)若PMN
V
为阿基米德三角形，求
MPN
Ð
；
(2)证明：切线三角形PAB 的外接圆过定点.
【答案】(1)
90
MPN
Ð
=
o
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得
2
2
p =
，则
4
p =
，
所以抛物线C 的方程为
2
8
x
y
=
，
因为PMN
V
为阿基米德三角形，
所以1
2
,
l l 分别与抛物线C 切于点
,
M N ，
不妨设点M 在y 轴左侧，则
4,2 ,
4,2
M
N
-
.
由
2
8
x
y
=
，得
2
1
8
y
x
=
，则
1
4
y
x
¢ =
，
所以1l 的斜率为
2
1,l
-
的斜率为1，则1
2
l
l
^
，
所以
90
MPN
Ð
=
o .
（2）由（1）可知抛物线
2
:
8
C x
y
=
，
设1
2
,
l l 分别与抛物线C 切于点
2
1
1, 8
x
Q x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
1
2
,
,
,
0
8
x
R x
x x
æ
ö
¹
ç
÷
è
ø
，
由（1）可知直线PQ的斜率为
1
1
4 x ，直线PR 的斜率为
2
1
4 x ，
所以直线PQ的方程为
2
1
1
1
8
4
x
x
y
x
x
-
=
-
，即
2
1
1
4
8
x
x
y
x
=
-
，
直线PR 的方程为
2
2
2
2
8
4
x
x
y
x
x
-
=
-
，即
2
2
2
4
8
x
x
y
x
=
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
,
,
,0 ,
,0
2
8
2
2
x
x
x x
x
x
P
A
B
+
æ
ö
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
.
设PAB
V
外接圆的圆心为
,
G m n ，
则圆心G 在线段AB 的垂直平分线上，所以
1
2
4
x
x
m
+
=
，
则圆G 的半径为
2
2
2
2
1
2
1
2
1
4
2
4
x
x
x
x
x
GA
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
=
-
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以圆G 的方程为
2
2
2
2
1
2
2
1
(
)
4
4
x
x
x
x
x
y
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
-
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
又点P 在圆G 上，所以
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
4
8
4
x
x
x x
x
x
n
n
+
-
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
-
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
即
2
2
1
2
1
2
1
2
0
4
64
4
x x
x x
nx x
+
-
=
，所以
1
2
16
16
x x
n
+
=
，
所以
2
2
1
2
1
2
16
4
16
x
x
x x
x
y
+
+
æ
ö
æ
ö
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
2
2
2
1
1
2
16
4
16
x
x
x x
-
+
æ
ö
æ
ö
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
整理得
2
2
1
2
1
2
1
2
16
0
2
8
4
x
x
x x
x x
x
x
y
y
+
+
-
+
-
+
=
，
即
2
2
1
2
1
2
2
1
0
2
4
2
x
x
x x
y
x
y
y
x
+
æ
ö
+
-
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
令
2
2
2
0
0
1
0
2
x
y
y
x
y
ì
ï
+
-
=
ï =
í
ï
ï -
=
î
，得
0
2
x
y
=
ì
í
=
î
，
所以PAB
V
的外接圆过定点
0,2 .
11．（2025·江西·模拟预测）定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个
顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭
圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.
(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(2)如图，已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，椭圆
2
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
¢
¢
¢
¢
+
=
>
>
的离心率为
1
,
e C
¢
与
2
C 相似，且
1
C 与
2
C 的相似比为
:1
k
，若
2
AF B
V
的面积为S ，求
1
2
A F F
¢
¢
¢
V
的面积（用e¢ ，k，S 表示）；
(3)若椭圆
2
2
3 :
1
2
x
C
y
+
= ，写出与椭圆
3
C 相似且长半轴长为a ，焦点在x 轴上的椭圆
a
C 的标准方程.若在椭圆
a
C 上存
在两点M，N 关于直线
3
2
x
y =
- 对称，求椭圆
a
C 的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
1
e S
e k
-
¢
¢
(3)(18 2
9
9 3,
)
-
+
+¥
【详解】（1）若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等.
如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故
2
AF B
Ð
相等，则
2
AF O
Ð
相等，
所以
2
2
tan
AO
b
AF O
F O
c
Ð
=
=
相等，而
2
2
1
b
a
c
c
=
- ，所以c
a 相等，即离心率相等；
若离心率相等，则c
a 相等，则
|
|
tan
|
|
AO
b
B
ABO
O
a
=
=
∠
相等，则
ABO
Ð
相等；
同理，
2
2
tan
AO
b
AF O
F O
c
Ð
=
=
相等，则
2
AF O
Ð
相等，所以
2
AF B 相等；
所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”.
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.
（2）设椭圆
1
C 的半焦距为c .
因为椭圆
2
C 的离心率为e¢ ，椭圆
2
C 与椭圆
1
C 相似，所以椭圆
1
C 的离心率也为e¢ ，
若
2
AF B
V
的面积为S ，又
1
2
AF F
△
的面积与
2
AF B
V
的面积之比为2 :(
)
c
a
c
-
，
所以
1
2
AF F
△
的面积为2cS
a
c
-
．
因为
1
C 与
2
C 的相似比为
:1
k
，
所以
1
2
AF F
△
的面积与
1
2
A F F
¢
¢
¢
V
的面积的比为
2 :1
k
，
所以
1
2
A F F
¢
¢
¢
V
的面积为
2
2
2
2
2
2
(
)
1
1
c S
cS
e S
a
c
a
c k
e k
k
a
=
=
-
-
æ
¢
ö
÷ø
¢
-
çè
．
（3）由离心率相等可知椭圆
a
C 的方程为
2
2
2
2
1(
0)
2
x
y
a
a
a +
=
>
，
如图，设直线MN 的方程为
1
1
2
2
2
,
,
,
,
,
y
x
t M x y
N x
y
MN
= -
+
的中点为
0
0
,
x
y
．
由
2
2
2
2
,
2
,
y
x
t
x
y
a
ì
= -
+
í
+
=
î
消去y 并整理得
2
2
2
9
8
2
0
x
tx
t
a
-
+
-
=
，
则
2
2
2
Δ
64
36 2
0
t
t
a
=
-
-
>
，即
2
2
1
2
0
0
2
4
,
,
9
2
9
9
x
x
t
a
t
x
t y
+
>
=
=
=
，
由MN 的中点在直线
3
2
x
y =
- 上，得
2
3
9
9
t
t
=
- ，解得
27
t =
，
因此
2
162
a >
，而
0
a >
，解得
9 2
a >
，
椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
2
a
x
y
C
a
a
a +
=
>
中，短半轴长
2
2
2
2
a
b
a
=
=
，半焦距
2
2
2
2
c
a
b
a
=
-
=
，
所以椭圆
a
C 的“焦顶三角形”的周长为
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
c
a
b
a
a
a
a
a
æ
ö
+
- +
+
=
+
-
+
+ ç
÷
ç
÷
è
ø
2
6
2
6
2
2
9 2
9 2
9 2
18 2
9
9 3.
2
2
2
2
a
a
a
=
-
+
>
´
-
´
+
´
=
-
+
故椭圆
a
C 的“焦顶三角形”的周长的取值范围是(18 2
9
9 3,
)
-
+
+¥ ．
12．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某同学利用导数方法求出了过椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上一点
0
0
,
P x
y
的切
线l 的方程为
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
+
= .事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点
0
0
,
P x
y
和一条直线
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
+
= ，将点P 和直线l 分别称为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的极点和极线.一般地，
当点P 在椭圆上时，极线l 为椭圆在点P 处的切线；当点P 在椭圆外时，极线l 为过从点P 作椭圆的两条切线的切
点的弦所在的直线；当点P 在椭圆内时，极线l 在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题：
(1)已知点
,0
P p
p
a
>
和直线l 分别为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的极点和极线，
①求极线l 的方程；
②若Q 为极线l 上任意一点，过点P 作椭圆的割线1l 交椭圆C 于
,
A B 两点，记
,
,
PQ QA QB 所在直线的斜率依次为
,
,
PQ
QA
QB
k
k
k
，求证：2
PQ
QA
QB
k
k
k
=
+
.
(2)给定椭圆
2
2
1 :
1
8
4
x
y
C
+
= 和点
4,0
P
，过点
2,n 作斜率为
1
2 的直线2l 和椭圆
1
C 相交于
,
E F 两点，分别连接
,
PE PF 交
1
C 于点
,
M N ，记
,
,
EF MN PQ 和y 轴的交点依次为
1
2
,
T T ，T ，求证：T 为线段
1 2
TT 的中点.
【答案】(1)①
2
a
x
p
=
；②证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）①因为p
a
>
，故P 在椭圆外，故极线为
2
2
0
1
px
y
a
b
´
+
= 即直线l 的方程为
2
a
x
p
=
.
②设
2
,
a
Q
m
p
æ
ö
ç
÷
è
ø
，设直线AB 的方程为：
2
1
a
s x
t y
m
p
æ
ö
-
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
又椭圆方程可化为
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a
b
x
a
y
m
m
a b
p
p
æ
ö
-
+
+
-
+
=
ç
÷
è
ø
，
故
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
a
a
a
a b
b
x
a
y
m
b
x
ma
y
m
a m
a b
p
p
p
p
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
a
a
a
a b
b
x
a
y
m
b
x
ma
y
m
a m
a b
p
p
p
p
a
s x
t y
m
p
ì
æ
ö
æ
ö
ï
-
+
-
+
-
+
-
+
+
-
=
ç
÷
ç
÷
ï
è
ø
è
ø
í
æ
ö
ï
-
+
-
=
ç
÷
ï è
ø
î
得：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a
a b
a
a
b
x
a
y
m
x
ma
y
m
s x
t y
m
p
p
p
p
é
ù é
ù
æ
ö
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
-
+
-
-
+
-
ê
ú ê
ú
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
ë
û ë
û
2
4
2
2
2
2
2
2
2
0
a b
a
a m
a b
s x
t y
m
p
p
é
ù
æ
ö
æ
ö
+
+
-
-
+
-
=
ê
ú
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
ë
û
，
设
2
y
m
k
a
x
p
-
=
-
，
则
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
b a
a b
b
a k
ma k
s
tk
a m
a b
s
tk
p
p
æ
ö
æ
ö
+
+
+
+
+
+
-
+
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
（★）
故
,
QA
QB
k
k
为（★）的两个解，
所以
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
QA
QB
a b
a b
t
a ms
a m
a b
st
p
p
k
k
a b
a
mta
a m
a b
t
p
æ
ö
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
+
= -
æ
ö
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
b t
a b
ms
m
b
st
p
p
a b
mt
m
b
t
p
æ
ö
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
=
æ
ö
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
因为AB 过
,0
p
，故
2
1
a
s p
mt
p
æ
ö
-
=
+
ç
÷
è
ø
，故
2
1
mt
s
a
p
p
+
=
-
，
故
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
QA
QB
t mt
tb
mt
a b
m
m
b
a
a
p
p
p
p
p
p
k
k
a b
mt
m
b
t
p
+
æ
ö
+
+
´
+
+
-
ç
÷
è
ø
-
-
+
= -
æ
ö
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
b a t
a b
b t
m t
m
mt
t
m
b
p
p
a
a b
p
mt
m
b
t
p
p
æ
ö
-
+
+
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
= -
´
æ
ö
-
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
1
2
2
1
2
QP
a b
m t
m
mt
m
b
p
m
k
a
a
a b
p
p
mt
m
b
t
p
p
p
æ
ö
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
= -
´
= -
=
æ
ö
-
-
+
+
+
-
ç
÷
è
ø
.
（2）
由（1）可得椭圆
2
2
1
8
4
x
y
+
= 的以点
4,0
P
为极点的极线方程为
2
x =
，
故点
2,n 在极线
2
x =
上，同样记
2,
Q
n ，连接
,
QM QN ，
由（1）中的结论可知2
PQ
QM
QE
k
k
k
=
+
，2
PQ
QN
QF
k
k
k
=
+
，且
QE
QF
k
k
=
，
故
QM
QN
k
k
=
即
,
,
Q M N 三点共线，
如图所示，设
1
1
2
2
0,
,
0,
,
0,
T
t
T
t
T
t
，
则
1
2
,
,
2
2
2
Q
Q
Q
PQ
QF
QN
y
t
y
t
y
t
k
k
k
-
-
-
=
=
=
，
由（1）中②知2
PQ
QN
QF
k
k
k
=
+
，故
1
2
2
2
2
2
Q
Q
Q
y
t
y
t
y
t
-
-
-
´
=
+
，
故1
2
2
t
t
t
+
=
，故T 为线段
1 2
TT 的中点.
13．（2025·福建泉州·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为
5,0
F
，离心率为
5
2
．
(1)求E 的标准方程；
(2)设E 的右顶点为
1A ，过点
4,0 的直线1l 与E 的右支交于
,
C D 两点，记直线
1
1
,
AC A D 的斜率分别为
1
2
,
k k ，证明：
1 2
k k 为定值；
(3)已知点
0
0
,
M x
y
是E 上任意一点，直线l ：
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
-
= 是E 在点M 处的切线，点P 是l 上异于点M 的动点，
且过点P 与OM （O 为坐标原点）平行的直线l¢交E 于
,
A B 两点，定义
2
PM
PA
PB
×
为双曲线E 在点M 处的切割比，
记为
0
0
,
x
y
l
，求切割比
2 2,1
l
．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
-
=
(2)证明见解析
(3)
2
2 2,1
3
l
=
【详解】（1）因为双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为
5,0
F
，所以
5
c =
，
所以E 的离心率为
5
5
2
c
a
a
=
=
，所以
2
a =
，
1
b = ，
故E 的标准方程为
2
2
1
4
x
y
-
= ．
（2）由（1）知
1 2,0
A
，由题意知1l 的斜率不为0，
设1l 的方程为
1
4
=
+
x
m y
，
1
1
,
C x y
¢
¢ ，
2
2
,
D x
y
¢
¢ ，
联立方程，得
1
2
2
4
1
4
x
m y
x
y
=
+
ìïí
-
=
ïî
，得
2
2
1
1
4
8
12
0
m
y
m y
-
+
+
=
，
所以
2
2
2
1
1
1
1
Δ
8
4
4
12
16
12
0
m
m
m
=
-
-
´
=
+
>
，
1
1
2
2
1
8
4
m
y
y
m
¢
¢
+
= -
-
，
1
2
2
1
12
4
y y
m
¢ ¢ =
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
4
y
y
y y
y y
k k
x
x
m y
m y
m y y
m
y
y
¢
¢
¢ ¢
¢ ¢
¢
¢
¢
¢
¢ ¢
=
×
=
=
-
-
+
+ ¢
+
+
+
¢
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
12
4
3
12
8
4
2
4
4
4
m
m
m
m
m
m
-
=
= -
-
+
×
+
-
-
．
（3）由题意知
2 2,1
M
， 所以E 在点M 处的切线方程为
2
1
2
y
x
=
- ．
易知直线OM 的斜率
2
4
OM
k
=
，
可设直线l¢的方程为
2
0
4
y
x
m m
=
+
¹
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
．
由方程组
2
1
2
2
4
y
x
y
x
m
ì
=
-
ïïí
ï
=
+
ïî
，解得
2 2
1
2
1
x
m
y
m
ì =
+
ïí
=
+
ïî
，
所以点P 的坐标为
2 2
1 ,2
1
m
m
+
+
，所以
2
2
12
PM
m
=
．
由方程组
2
2
1
4
2
4
x
y
y
x
m
ì
-
=
ïïí
ï
=
+
ïî
，消去y 可得
2
2
4 2
8
1
0
x
mx
m
-
-
+
=
，
则
2
2
2
3
Δ
4 2
4 8
1
64
32
0
m
m
m
= -
+ ´
+
=
+
>
，
所以
1
2
4 2
x
x
m
+
=
，
2
1
2
8
1
x x
m
= -
+
，
所以
2
2
1
1
1
3 2
2 2
1
2
1
2 2
1
4
PA
m
x
m
y
m
x
é
ù
=
+
-
+
+ -
=
+
-
ë
û
，
同理可得
2
3 2 2 2
1
4
PB
m
x
=
+
-
，
所以
2
1
2
1
2
1
2
9
9
2 2
1
2 2
1
8
1
2 2
1
8
8
PA
PB
m
x
m
x
m
m
x
x
x x
×
=
+
-
+
-
=
+
-
+
+
+
2
2
2
9 8
1
2 2
1 4 2
8
1
18
8
m
m
m
m
m
=
+
-
+
×
-
+
=
，
所以
2
2
2
12
2
18
3
PM
m
PA
PB
m
=
=
×
，即
2
2 2,1
3
l
=
．
14．（24-25 高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线
2
2
Γ :
1
3
x
y
-
= ．
(1)求Γ 的两条渐近线的夹角；
(2)给定点
,0
T a
，其中正数
2
a ¹
，求Γ 上的动点M 到点T 的距离的最小值；
(3)对平面内不在Γ 上的任意一点P ，记ΩP 为过点P 且与Γ 有两个交点的直线的全体．对任意直线
ΩP
l Î
，记M 、
N 为l 与Γ 的两个交点，定义
Pf
l
PM
PN
=
´
．若存在一条直线0
ΩP
l Î
满足：0l 与Γ 的两个交点位于y 轴异侧，
且对任意不同于0l 的直线
ΩP
l Î
，均有
0
p
p
f
l
f
l
>
，则称P 为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积．
【答案】(1) π
3 ．
(2)答案见解析
(3)4
【详解】（1）渐近线
3
3
y
x
= ±
，夹角为π
π
2
6
3
´
=
．
（2）设
0
0
,
M x
y
，
0
3
x ³
或
0
3
x £ -
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
4
2
1
2
1
3
3
x
MT
x
a
y
x
ax
a
x
ax
a
=
-
+
=
-
+
+
- =
-
+
-
2
2
0
4
3
1
1
3
4
4
x
a
a
æ
ö
=
-
+
-
ç
÷
è
ø
，
当3
3
4 a <
即
4 3
0
3
a
<
<
时，令
0
3
x =
，最小值为
min
3
MT
a
=
-
；
当3
3
4 a ³
即
4 3
3
a ³
时，令
0
3
4
x
a
=
，最小值为
2
min
1
1
4
MT
a
=
- ．
（3）设
,
P a b 为好点，考虑a 、b 需满足的充要条件．
若直线l 的斜率存在，设直线
:l y
b
k x
a
-
=
-
，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
将l 与Γ 联立，得
2
2
2
1
2
1
0
3
k
x
k b
ka x
b
ka
æ
ö
-
-
-
-
-
- =
ç
÷
è
ø
．（*）
则
0
D >
，
1
2
2
2
1
3
k b
ka
x
x
k
-
+
=
-
，
2
1
2
2
1
1
3
b
ka
x x
k
-
-
-
=
-
，
而
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
pf
l
k
x
a
k
x
a
k
x x
a x
x
a
=
+
-
×
+
-
=
+
-
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
3
1
1
1
1
1
3
3
3
a
b
b
ka
ka b
ka
k
a
k
k
k
k
-
-
-
-
-
-
=
+
-
+
=
+
-
-
-
，
①当直线l 与Γ 的左右两支都有公共点，即
3
3
k <
时，
2
2
2
2
2
2
2
4
1
1
1
3
1
1
1
1
1
3
3
3
3
p
k
f
l
a
b
a
b
k
k
æ
ö
ç
÷
+
=
-
-
= - +
-
-
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
，当
0
k =
时有最小值．
这说明
0 :
l
y
b
=
，
2
2
0
3
3
pf
l
a
b
=
-
-
；
②当直线l 与Γ 的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时，
需满足的条件为：
3
3
k >
且（*）式的判别式
2
2
2
Δ
3
2
1
0
a
k
abk
b
=
-
-
+
+ >
．
此时
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3
3
1 3
3
p
k
f
l
a
b
a
b
k
+
=
-
-
>
-
-
-
可得：
2
1
k < ．
这说明
2
1
k ³ 时，判别式条件
2
2
2
3
2
1
0
a
k
abk
b
-
-
+
+ >
不能成立．
即
2
1
k ³ 时，
2
2
2
3
2
1
0
a
k
abk
b
-
-
+
+ £
．
当
2
1
k = 时，
2
2
2
2
a
ab
b
±
+
£
，解得
2
a
b
+
£
．
另一方面，当
2
a
b
+
£
时，
2
2
3
1
ak
b
a k
b
k
a
b
k
k
-
£
+
£
+
£
£
- ．
两边平方后即得
2
2
2
3
2
1
0
a
k
abk
b
-
-
+
+ £
．
若直线l 斜率不存在，假设直线:l x
a
=
与双曲线存在交点，
则
2
2
1
3
a
y =
- ，则
2
2
1
1
3
a
y =
- ，
1
2
y
y
= -
，
则
2
2
2
2
2
2
1
2
1
3
3
1
3
3
P
a
b
a
f
l
b
y b
y
b
y
b
-
-
=
-
-
=
-
=
-
+
=
，显然与好点矛盾；
因此，
,
P a b 为好点当且仅当
2
a
b
+
£
，
于是所有好点对应的区域为
,
2
A
a b
a
b
=
+
£
，
即由
0,
2 ,
2,0
±
±
构成的正方形，故所求面积为
2
2
4
A
S =
=
．
