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专题19 圆锥曲线高频考点深度剖析压轴解答题
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：轨迹方程................................................................................................................................2
题型二：向量搭桥进行翻译................................................................................................................5
题型三：弦长、面积背景的条件翻译................................................................................................7
题型四：斜率之和差商积问题............................................................................................................9
题型五：弦长、面积范围与最值问题..............................................................................................11
题型六：定值问题..............................................................................................................................15
题型七：中点弦与对称问题..............................................................................................................17
题型八：定点问题..............................................................................................................................19
题型九：三点共线问题......................................................................................................................23
题型十：四点共圆问题......................................................................................................................25
题型十一：切线问题..........................................................................................................................28
题型十二：定比点差法......................................................................................................................32
题型十三：齐次化..............................................................................................................................34
题型十四：极点极线问题..................................................................................................................35
题型十五：同构问题..........................................................................................................................40
重难点突破：蝴蝶问题......................................................................................................................43
02 重难创新练....................................................................................................................................47
1
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题型一：轨迹方程
1．已知椭圆
，左､右焦点分别为
，短轴的其中一个端点为
，长轴端点为
，且
是面积为
的等边三角形.
(1)求椭圆
的方程及离心率；
(2)若双曲线
以
为焦点，以
为顶点，点
为椭圆
与双曲线
的一个交点，求
的面积；
(3)如图，直线
与椭圆
有唯一的公共点
，过点
且与垂直的直线分别交
轴，
轴于
两点.当点
运动时，求点
的轨迹方程.
【解析】（1）
是面积为
的等边三角形，
，
椭圆
的方程为
，离心率
.
（2）由题意得双曲线
中的
，则
，
所以双曲线
方程为
，
2
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联立椭圆方程
解得:
，即
，
.
（3）由题易知
，则联立
，
得
，
，即
，
设
为
，则
，
直线
，令
，解得
，则
，
令
，则
，则
，
.
则点
的轨迹方程为
.
2．已知椭圆
的右焦点为
，顺次连接椭圆E 的四个顶点恰好构成一个边长
3
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的菱形．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)直线
与椭圆
有唯一的公共点
，过点
且与垂直的直线分别交
轴、
轴于
两点．当点
运动时，是否存在两定点
，使得点
满足
恒为定值？若
存在，请求出定点
的坐标若不存在，请说明理由．
(3)对于第（2）问，如果推广到一般的椭圆．求点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
【解析】（1）由题意
，
，
解得
，椭圆E 的标准方程
.
（2）设
，联立
，消y 得
，
由
，得：
①，
所以
，
直线的方程为：
令
，得
，令
，得
的坐标满足
②，
③
又
，
所以
的轨迹方程为
，
由椭圆定义，知存在定点
，使得
.
4
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方法二：
的坐标满足
②，
③
解得：
，代入①得
所以，
的轨迹方程为
.
（3）设
，联立
，消y 得：
，
，得：
，④
由④式得：
直线的方程为：
令
，得
，令
，得
的坐标满足
⑤，
⑥
解得：
，代入④得
．
的轨迹方程为
5
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所以，点
的轨迹是以
焦点，长轴长为
的椭圆.
题型二：向量搭桥进行翻译
3．已知双曲线E：
与
有相同的渐近线，且过点
.
(1)求E 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，直线
与E 交于P，Q 两点，且
，求m 的值.
【解析】（1）由题意，设E 的方程为
，又E 过点
，
所以
，解得
，
所以E 的方程为
.
（2）设
，
，由
得
，
因为
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
解得
或
.
6
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4．已知双曲线C：
，直线l 在x 轴上方与x 轴平行，交双曲线C 于A，B 两点，直
线l 交y 轴于点D.当l 经过C 的焦点时，点A 的坐标为
.
(1)求C 的方程；
(2)设OD 的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M 的直线与C 交于P，Q，与线段AB 交于点N，
，
均成立；若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由已知C：
，点A 的坐标为
，得
，
焦点
，
，
.
所以
，
，故C：
.
（2）设l 的方程为
，则
，故
，
当直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为
，故
.
与双曲线方程联立得：
，
由已知得
，
，设
，
，
则
，
①
由
，
得：
，
，
7
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消去
得：
，
即
②
由①②得：
，由已知
；
当直线PQ 的斜率不存在，此时
，
，
，
，
，符合题意；
故存在定直线l：
满足条件.
题型三：弦长、面积背景的条件翻译
5．在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率是
，
上的点
到两焦点
的距离之和等于4.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过焦点
作斜率为1 的直线与椭圆
相交于
两点.求
的面积.
【解析】（1）由椭圆的定义知
，则
由
，得
，故
.
∴椭圆C 的方程为
.
（2）设
，由（1）知
，则的方程为
，
8
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由
得
，
显然
，
，
∴
.
∵点
到直线的距离
，
∴
，故
的面积为
.
6．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，焦距为4，P 为C 上一点，
，
的面积为
(1)求C 的方程;
(2)已知点
，斜率为1 的直线l 与C 交于A，B 两点，若
的面积为
，求l 的方程.
【解析】（1）由题意可知，
，
在
中，由
，得
，
由
，解得
，
又由余弦定理得，
，
化简得
，即
，
，从而
，
所以，双曲线方程为
.
（2）
9
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设直线l 的方程为
，与双曲线相交于
，
，
联立
化简可得
，
由
，可得
，
，
，
所以，
，
设点
到直线l 的距离为d，则
，
故
，解得
故l 的方程为
.
题型四：斜率之和差商积问题
7．已知椭圆
的上顶点为
，离心率为
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设B 为椭圆C 的下顶点，动点M 到坐标原点O 的距离等于1（M 与A，B 不重合），直线AM 与椭圆C
的另一个交点为N.记直线BM，BN 的斜率分别为
，
，问：是否存在常数
，使得
恒成立？
若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
10
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【解析】（1）由题意得
解得
，
.
所以椭圆C 的方程为
.
（2）
因为B 为椭圆C 的下顶点，所以
.
设
（
且
），则直线BN 的斜率
.
由点M 到坐标原点O 的距离等于1，可知点M 在以AB 为直径的圆上，
所以直线AM 与直线BM 垂直.
由题意得直线AM 的斜率
，
所以直线BM 的斜率
.所以
.
因为点N 在椭圆C 上，所以
，
故
，所以
，
所以存在
，使得
恒成立.
8．平面内，动点
与定点
的距离与
到定直线：
的距离之比为常数
.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)过点
作不垂直于
轴的直线
，
与动点
的轨迹交于
两点，点
在直线上，记直线
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的斜率分别为
，证明：
成等差数列.
【解析】（1）设动点
，由题意可得
，
化简整理得：
，
所以动点
的轨迹方程为
；
（2）当直线
斜率不存在时，
的坐标分别为
，则
，
即
，所以
成等差数列；
当直线
斜率存在时，设直线
：
，
，
联立直线
和椭圆方程
，化简得
，
则
，
，
12
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，
即
，所以
成等差数列；
综上，
成等差数列.
题型五：弦长、面积范围与最值问题
9．已知双曲线
的右焦点为
，过点
的直线与
交于
、
两点，当直
线与
轴垂直时，
．
(1)求
的方程；
(2)若点
、
分别在
的左、右两支上，点
为
的中点，过点
且与垂直的直线
与直线
（其中
为坐标原点）交于点
，求
面积的最小值．
【解析】（1）由题意知
，因为
，
所以将点
的坐标代入双曲线
的方程得
，
又
，解得
，
，
所以双曲线
的方程为
．
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（2）若直线
轴，则
、
都在双曲线
的右支上，不合乎题意，
若直线
轴，则线段
的中点为原点
，不合乎题意，
所以，直线斜率存在且不为零，
设
、
、
，直线的方程为
，
由
，得
，
则
，
，
所以
，
，
所以
，
，则
，
所以直线
为
，与直线
的方程
联立，得
，
所以点
到直线的距离
．
因为
，
所以
，
14
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令
，则
，
，
由
，得
，即
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，即
面积的最小值为
．
10．已知O 为坐标原点，双曲线
的离心率为
，且过点
.
(1)求C 的标准方程；
(2)过C 的右焦点F 的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于两点A、B，点Q 是线段
的中点，过点F
且与垂直的直线
交直线
于M 点，点N 满足
；
①证明：点M 在一条定直线上；
②求四边形
面积的最小值.
【解析】（1）由已知双曲线离心率
，即
，
则双曲线方程为
，又曲线过点
，即
，解得
，
所以双曲线方程为
；
（2）由（1）得
，
15
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①由已知直线的斜率k 存在且
，设直线
，
，
且
，
联立直线与双曲线
，得
，
恒成立，且
，即
，解得
，又Q 为A，B 中点，
则
，则
，即
，
则直线
，又直线
过点，且
过点F，则
，
联立与
，即
，解得
，即
，
即点M 在直线
上；
②
，
16
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，又点N 满足
，
则四边形
为平行四边形，且
，
则
，
设
，则
，则
，
设
，则
，
令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
取最小值为
，
即当
时，
的最小值为
.
题型六：定值问题
11．若
为抛物线
上一点，过
作两条关于
对称的直线分别另交
于
两点.
(1)求抛物线
的方程与焦点坐标；
(2)判断直线
的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）由题意，得
，得
，所求抛物线
方程为
，其焦点坐标为
.
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（2）如图，由题意，不妨设直线
的方程为
，
联立抛物线方程
，消去
得
，
由韦达定理得
，
因为直线
与
关于
对称，所以
，且
，
所以
，
所以
，即
，即
，
由韦达定理得
，解得
，
所以直线
的斜率为定值
.
12．已知双曲线
的上下顶点分别是M、N，过其上焦点F 的直线l 与双曲线的上支交于P、Q
两点
在y 轴左侧
(1)求直线l 斜率的取值范围；
(2)若
，求直线l 的方程；
(3)探究直线MP 和直线NQ 的斜率之比是否为定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，请说明理由.
【解析】（1）双曲线
的上焦点
，
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依题意，直线不垂直于
轴，设直线l 的方程为：
，
，
由
消去
，得
，显然
，
，
，
由直线l 与双曲线的上支交于P、Q 两点，得令
，解得
.
（2）由（1）及
，得
，解得
，
又
，则
，即
，解得
，
所以直线的方程为
.
（3）点
，直线
斜率
，直线
斜率
，
由
，得
所以
，为定值.
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题型七：中点弦与对称问题
13．已知双曲线C：
．
(1)若直线
与双曲线C 有公共点，求实数k 的取值范围；
(2)若直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，且A，B 关于点
对称，求直线l 的方程．
【解析】（1）双曲线C 的渐近线方程为
，要使直线
与双曲线C 有公共点，则有
，
即实数k 的取值范围为
．
（2）设点
，
．∵点
恰好为线段AB 的中点，
∴
，
．
由
，两式相减可得，
，
即
，∴
，
∴直线l 的斜率
，
∴直线l 的方程为
，
即
．
14．已知双曲线
(1)求双曲线
的虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程；
(2)过点
的直线与双曲线
交于
，
两点且点
恰好为线段
的中点，求直线的方程
20
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【解析】（1）将
化为标准方程可得
，
由方程可得
，解得
，
故实半轴为
，虚半轴为
，
所以渐近线方程为
，
又
，解得
，
所以焦点坐标为
，离心率
.
（2）设
，
，
因为点
为线段
的中点，
所以有
，
，
所以
所以
，
又
所以
在双曲线内部，所以直线
一定与双曲线有两个交点，
21
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所以直线
的方程为：
，
即：
.
题型八：定点问题
15．设椭圆C
的左、右顶点分别为
，上顶点为
，点
是椭圆
上异于顶点的
动点，已知椭圆的离心率
短轴长为2.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线
与直线
交于点
，直线
与
轴交于点
，求证：直线
恒过某定点，并求出该定
点.
【解析】（1）由题意可知，
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）由（1）可知，
,设
，
设直线
的方程为
且
，
22
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直线
的方程为
且
，
则直线
与
轴的交点为
，
直线
的方程为
，
则直线
与直线
的交点为
，
将
代入方程
，得
，
则点
的横坐标为
，点
的纵坐标为
，
将点
的坐标代入直线
的方程
，
整理得
，
因为
，
所以
，即
，
由点
坐标可得直线
的方程为：
，
即
，则直线
过定点
.
16．如图，已知面积为
的矩形
，与坐标轴的交点
是椭圆
：
的
四个顶点，且该椭圆的离心率为
.
23
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(1)求椭圆
的标准方程；
(2)
为坐标原点，过下顶点
的直线与
轴相交于点
（不同于
），与直线
相交于点
，与椭圆
相交于点
，直线
与直线
相交于点
.
（i）证明：
；
（ii）设线段
的中点为
为椭圆
上的两点，且直线
，
与椭圆
都仅有一个公共点，
，垂足为
.探究：是否存在定点
，使得
为定值?若存在，求点
的坐标以及此定值；若不
存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
故椭圆方程为
（2）设
，则
，故
，
,
设直线
的斜率分别为
，
则
，
24
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故
由于
,则
，
直线
的方程为
令
则
，故
所以
直线
的方程为
令
则
，故
所以
，
，
故
，即
；
（ii）存在定点
，使得
为定值
，理由如下：
设
，
①当过椭圆上点
的有斜率时，设直线：
，
联立
与椭圆方程
可得
，
由于直线与椭圆只有一个公共点，故
，
化简得
，
所以
，代入到
可得
，
25
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所以
，
从而直线：
，即
（※），
②当过
的直线斜率不存在且与椭圆只有一个交点时，：
也满足（※），
同理可得当过
且与椭圆只有一个交点的直线方程为
，
由于两直线均经过点,故
，
故直线
方程为:
，
由（i）可知
的方程为
令
则
，故
又
，
则
的中点
即
，
直线
方程为
，
即
，
令
，解得
，
故直线
恒过点
，又
,
故
在以
为直径的圆上，即
，使得
为定值
，
26
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题型九：三点共线问题
17．已知双曲线
的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
，过点
的直线交
于
，
两点.
(1)求
的方程；
(2)设
的左、右顶点分别为
，
，直线
与直线
交于点
，证明：
，
，
三点共线.
【解析】（1）由题意知
，因为
，
所以
，所以
，
所以
的方程为
.
（2）由题意知
，
，
当直线的斜率为0 时，：
，此时
，
，
三点共线显然成立，
当直线的斜率不为0 时，设：
，
，
，
联立
可得
，
由题意得
，
，
所以
，
，
因为直线
的方程为
，
令
，得
，所以
，
所以
，
因为
，
27
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所以
所以
，故
，
，
三点共线，
综上得
，
，
三点共线.
18．若抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)过点
的直线交抛物线
于
两点，点A 关于
轴的对称点是
，证明：
三点共线．
【解析】（1）
抛物线
的准线为
点
到准线的距离为
，解得
，
抛物线
的方程为
．
（2）由题知直线不与
轴平行，设直线的方程为
．
联立
，得
，解得
或
，
．
28
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又点A 关于
轴的对称点为
，
则直线
的方程为
，
即
．
令
，得
．
直线
恒过定点
，而点
，因此
三点共线．
题型十：四点共圆问题
19．如图，
，
分别为椭圆
的左、右顶点，
为第一象限
上一点，且
，过点
的直线与
有唯一的公共点
.
(1)求的方程；
(2)过原点
作直线的平行线与椭圆C 交于M，N 两点，证明：P，M，
，N 四点共圆，并求该圆的标准
方程.
【解析】（1）法一：
，由
，得
，解得
，
29
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代入椭圆方程得
，所以
，设直线
，
联立椭圆方程
，得
，
即
.
由
，
整理得
，解得
，
因此直线的方程为：
.
法二：
，则
，
，
令
，则
，
故直线的方程为：
，
（2）依题意，直线MN 的方程为
，联立椭圆
可得
，
即
，即
，
，
，
.
设圆的方程为
，代入
，P，M，可得：
，解得
，
此时圆方程为
，
将点
代入上述方程，得
，
30
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所以点
也在此圆上，故P，M，
，N 四点共圆，
其标准方程为
.
20．设
、
是椭圆
上的两点，点
是线段
的中点，线段
的中垂线与椭圆交于
，
两点；
(1)求
的方程，并确定
的取值范围：
(2)判断是否存在
，使
、
、
、
四点共圆，若存在，则写出圆的标准方程；若不存在，请说明原因．
【解析】（1）依题意
，可设直线
的方程为
，
代入
，整理得
①，
设
，
，则
，
是方程①的两个不同的根，
②，且
．
由
是线段
的中点，得
，
解得
，代入②得
，
即
的取值范围是
．
于是直线
的方程为
，即
．
（2）
垂直平分
，
直线
的方程为
，即
代入椭圆方程，整理得
③．
31
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又设
，
，
的中点为
，
则
，
是方程③的两根，
，
，且
，
，即
，
于是由弦长公式可得
．④
将直线
的方程
代入椭圆方程得
⑤．
所以
，
，
同理可得
⑥．
当
时，
，
．
假设存在
，使得
、
、
、
四点共圆，则
必为圆的直径，点
为圆心．
点
到直线
的距离为
⑦．
于是，由④⑥⑦式及勾股定理可得
．
故当
时，
、
、
、
四点均在以
为圆心，
为半径的圆上．
此时圆的方程为
.
题型十一：切线问题
21．定义：在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则
称为多边形的一条“等线”．双曲线
的左、右焦点分别为
，
，实轴长为
32
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2，且点
为双曲线
右支上一动点，直线
与曲线
相切于点
，且与
的渐近线交于
、
两点，且点
在点
上方．当
轴时，直线
为
的等线．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若
是四边形
的等线，求四边形
的面积；
(3)已知
为坐标原点，设
，点
的轨迹为曲线
，判断：
在点
处的切线
是否为
的
等线，并说明理由．
【解析】（1）在双曲线
的方程中，令
，解得
，因为直线
为
的等线，显然点
在直线
的上方，故有
，
又
、
，有
，
，解得
，
，所以
的方程为
；
（2）设
，由题意有
方程为
①，
双曲线渐近线方程为
，联立得
，
，
故
，所以
是线段
的中点，
因为
、
到过原点
的直线距离相等，则过原点
点的等线必定满足：
、
到该等线距离相等，且分
居两侧，所以该等线必过点
，即直线
的方程为
，
由
，解得
，故
．
所以
，所以
，
33
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所以
，所以
；
（3）设
，由
，所以
，
，
故曲线
的方程为
，由①知切线为
，也为
，
即
，易知
与
在
的右侧，
在
的左侧，
分别记
、
，
到
的距离为
、
、
，
由（2）知
，
，
所以
，
由
得
，
，
因为
，
所以直线
为
的等线．
22．椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆
上有一点
，
分别
34
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为其左、右焦点，过
作直线与
切于
，则直线
与的夹角大小相等.
(1)求证：的方程为：
；
(2)如图2：在（1）的基础上，双曲线
的虚轴长为2 且与
有相同焦点，
不与
、
的交点重合，与
交于
两点，过
分别作
的切线交于
.求证：（ⅰ）
（ⅱ）
【解析】（1）当切线斜率存在时，设直线
与
相切于点
，
联立直线和椭圆方程
可得
，
所以
，整理可得
；
易知
，即
，所以可得
；
整理可得
；
又因为切点
在椭圆上，即
，整理可得
联立①②可得
，即
，得
；
所以切线方程为
，化简可得
；
经检验，切线斜率不存在时也符合上式，
35
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即椭圆
上在点
处的切线方程为
.
（2）（ⅰ）由
，得
，
所以
的方程为：
，由
，
消去
，得
，
设
，则
，
所以
，
同（1）写出
的方程，得
则其斜率之积为
，所以
.
（ⅱ）联立联立
，
得到：
，即：
，
于是
，即
，
又
，
，
，
得
，又由于椭圆的光学性质：
，
36
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又
，所以
，即
.
题型十二：定比点差法
23．已知椭圆
，
．过
的直线交椭圆于
两点，交
轴于点
，设
，
，求证：
为定值
【解析】设
，
，
将
两点代入椭圆方程得：
…①，
…②；
,即
，
，
，
代入①式整理得：
…③；
同理由
可得：
…④；
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③
④得：
…⑤
⑤式对任意
恒成立，
，解得：
，
为定值
.
24．已知椭圆
：
的右焦点为
，点
，
是椭圆
上关于原点对称的两点，其
中
点在第一象限内，射线
，
与椭圆
的交点分别为
，
.
（1）若
，
，求椭圆
的方程；
（2）若直线
的斜率是直线
的斜率的2 倍，求椭圆
的方程.
【解析】（1）由
，根据椭圆的对称性知
轴，
过右焦点
所以
，
，
，
则
，由
，可得
解得
，代入椭圆方程得
，解得
，
所以
，即
，所以
，故椭圆方程为
；
（2）设
，
，令
，则
，
代入椭圆方程得
，即
，
又
，所以
，化简得到
①
同理：令
，同理解得
，代入椭圆方程同理可得
②
38
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由题知
，解得
，③
①
②得
，将③式代入得
，故
，
故椭圆方程为
.
题型十三：齐次化
25．已知椭圆的中心为
，长轴、短轴分别为
，
，
，
分别在椭圆上，且
，求
证：
为定值.
【解析】
因为
，所以由勾股定理可得
.
所以
.
设
的面积为，
到
的距离为
，
则
，因此
.
所以要证明
为常数，只需证明
为定值.
39
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设直线
的方程为
，联立
齐次化
，并整理可得
，
方程的两根为
与
，由韦达定理得
.
因为
，所以
，化简得
.
由点到直线的距离公式，得
，
所以
为定值.
26．已知椭圆
的左顶点为
，
，
为
上的两个动点，记直线
，
的斜率分别为
，
，若
，试判断直线
是否过定点.若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【解析】将坐标系左移2 个单位长度（即椭圆右移），则椭圆方程变为
，
即
.
设直线
为直线，平移后为直线
，联立
齐次化得
，整理可得
，
两边同除以
，得
，则
，解得
.
把
代入直线
中，得
，当
时，
，
40
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所以
过定点
，则直线
过定点
.
题型十四：极点极线问题
27．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，
为原点.以
为对角线的正方形
的顶点
，
在
上.
（1）求
的离心率；
（2）当
时，过
作与
轴不重合的直线与
交于
，
两点，直线
，
的斜率分别为
，
，试判断
是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.
【解析】解法一：（1）以
为对角线的正方形
的顶点坐标分别为
，
，
.
因为
，
在椭圆上，所以
，
所以
，
所以
，
所以椭圆的离心率
；
41
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（2）当
时，
，所以椭圆的方程为
.
为定值
，理由如下：
①当直线的斜率不存在时，的方程为
，则
，
，
所以
，
，所以
.
②当直线的斜率存在时，设的方程为
，
，
设
，
，
不妨设
，且
.
由
可得
，
，
，
.
要证
，只要证明：
，
只要证：
，
只要证：
，
只要证：
，
因为
，
，即证
，
因为
，
，所以
.
所以
成立，
综上所述：
.
42
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解法二：（1）同解法一；
（2）当
时，
，所以椭圆的方程为
.
设的方程为
，
，
设
，
，不妨设
.
由
可得
，
，
，
.
所以
，即
.
.
综上所述：
.
解法三：（1）同解法一；
43
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（2）当
时，
，所以椭圆的方程为
.
设的方程为
，
，
设
，
，不防设
.
由
可得
，
，
，
.
因为
在椭圆上，所以
，即
，
所以
.
，
.
所以
.
综上所述：
.
解法四：（1）同解法一；
当
时，
，所以椭圆的方程为
.
设
，
，
44
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因为
在椭圆上，所以
，所以
.
所以
，
同理
.
设
，则
，
所以
，①
，②
①+②得
，
当
时得
，不合题意，舍去.
当
时，
，
所以直线
经过点
，
又
过定点
，故
，解得
.
综上所述：
.
28．设椭圆
过点
，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）当过点
的动直线 与椭圆
相交与两不同点
时，在线段
上取点
，满足
，证明：点
总在某定直线上
【解析】(1)由题意：
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，解得
，所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B 的坐标分别为
．
由题设知
均不为零，记
,则
且
又A，P，B，Q 四点共线，从而
于是
，
，
从而
，
（1）
，
（2）
又点A、B 在椭圆C 上，即
（1）+（2）×2 并结合（3），（4）得
即点
总在定直线
上
方法二
设点
，由题设，
均不为零．
且
又
四点共线，可设
,于是
（1）
46
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（2）
由于
在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程
整理得
（3）
(4)(4)－(3) 得
即点
总在定直线
上
题型十五：同构问题
29．抛物线
的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
(1)求抛物线
的方程；
(2)设
是抛物线
上位于第一象限的一点，过
作
（其中
）的两条切线，
分别交抛物线
于点
，过原点作直线
的垂线，垂足为
，证明点
在定圆上，并求定圆方程
【解析】（1）由椭圆
可知短轴长
，
所以抛物线
的焦点到准线的距离等于
，
故椭圆方程为
；
（2）因为
是抛物线
上位于第一象限的一点，所以
，又
，
所以
，
设
，则直线
方程为
，
即
，
47
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因为
：
即
与圆
相切，
所以
，整理得
①，
同理，直线
与圆
相切可得
②
由①②得
是方程
的两根，
所以
，
代入
整理得
，
令
，解得
，故直线过定点
，
所以点
在以
和
连线为直径的圆上，且圆的方程为
；
30．已知抛物线C：
的焦点到准线的距离为2，圆M 与y 轴相切，且圆心M 与抛物线C 的
焦点重合.
(1)求抛物线C 和圆M 的方程；
(2)设
为圆M 外一点，过点P 作圆M 的两条切线，分别交抛物线C 于两个不同的点
，
和点
，
，且
.证明：点P 在一条定曲线上.
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【解析】（1）由题设得
，
所以抛物线
的方程为
.
因此，抛物线的焦点为
，即圆
的圆心为
由圆
与
轴相切，所以圆
半径为，
所以圆
的方程为
；
（2）证明：由于
，每条切线都与抛物线有两个不同的交点，则
.
故设过点
且与圆
相切的切线方程为
，即
.
依题意得
，整理得
①；
设直线
的斜率分别为
则
是方程①的两个实根，
故
，
②，
由
得
③，
因为点
，
则
④，
⑤
因为
，所以
，
即
，整理为
，
，
所以点
是圆
，
，
49
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重难点突破：蝴蝶问题
31．如图，已知椭圆
，矩形ABCD 的顶点A，B 在x 轴上，C，D 在椭圆
上，点D 在第一象
限.CB 的延长线交椭圆
于点E，直线AE 与椭圆
､y 轴分别交于点F､G，直线CG 交椭圆
于点H，DA 的
延长线交FH 于点M.
（1）设直线AE､CG 的斜率分别为
､
，求证：
为定值；
（2）求直线FH 的斜率k 的最小值；
（3）证明：动点M 在一个定曲线上运动.
【解析】（1）由对称性，设
，
，
，
则
，得
，
故
，
，则
，
（2）由
，
联立
，
由根与系数的关系可得
，所以
，
50
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所以
，可得
，
又
，联立
，
由根与系数的关系可得
，所以
，
所以
可得：
，
所以
，
由图知
，所以
即
,
当且仅当
即
取等.
所以直线FH 的斜率k 的最小值为
.
（3）易知
，
51
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令
可得
，
所以
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
即M 在曲线
上.
32．设椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过焦点且垂直于
轴的直线与
椭圆
相交所得的弦长为，直线
与椭圆
相切．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)斜率为
的直线过
，与椭圆
交于
两点，延长
，分别与椭圆
交于
两点，
直线
的斜率为
，求证
为定值．
【解析】（1）
与椭圆
相切，
，
52
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将
代入椭圆
方程得：
，
，则
，
椭圆
的标准方程为：
.
（2）
由（1）得：
，
，则直线
，
设
，
，
，
，
则直线
的方程为：
，
由
得：
，
，则
，
，
；同理可得：
；
，
53
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，即
为定值.
54
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1．已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，焦距为4．过点
的直线与双
曲线
相交于
两点，点
关于
轴对称的点为点
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)证明：直线
过定点；
(3)若直线
的斜率为
，求直线
的方程．
【解析】（1）设双曲线
的焦距为
，
由题意有
，解得
，故双曲线
的标准方程为
；
（2）设直线
的方程为
（显然直线
的斜率存在），
点
的坐标分别为
，联立方程
，
消去
后整理为
，
有
，
点
的坐标为
及对称性，设直线
与
轴交点为
，
有
，有
，有
，
整理为
，
有
，化简可得
，
55
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故直线
过定点
；
（3）由直线
过定点
，直线
的斜率为
，直线
的方程为
，
联立方程
消去
后整理为
，可得
，
，
故直线
的方程为
或
．
2．设抛物线
的焦点为
.已知
到直线
的距离为
，过
的直线交
于
两点.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，直线
交
于点
.若
，求
的面积.
【解析】（1）由题意知
，F 点到的距离为
，故
（舍去）或
，
故
的方程为
.
（2）由题意知直线AB 的斜率必存在，
设
.
56
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联立
，有
，
，故
，
联立
，有
，
，故
，
故
由
有
，则
，
故
.
注意到
轴，故
的面积为
.
3．已知动圆M 与圆
：
内切，且与圆
：
外切，记圆心M 的轨迹为曲线
C．
(1)求C 的方程；
(2)设点
在C 上，且以
为直径的圆E 经过坐标原点O，求圆E 面积的最小值．
【解析】（1）设圆M 的半径为，由题意可知
，
，
且
，且
，
因
，故圆心M 的轨迹为椭圆，
易知椭圆C 的长轴长为
，焦距为
，则
，
，
，
57
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故C 的方程为：
．
（2）
方法1：设
，
，由题意可得
，则
，即得
，
当直线
的斜率不存在时，设直线
，则
，
，
由
可得，
，
所以
，解得
，则
，
此时，圆E 的面积为
．
当直线
的斜率存在时，设直线
，
由
可得，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，即
，
代入
，
所以
58
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，
当且仅当
时，
取得最小值
，所以圆E 面积的最小值为
．
方法2：因为以
为直径的圆E 经过坐标原点O，所以
，
①当直线
中有一条斜率不存在时，则另一条斜率为0，
易知
，所以圆E 的半径为
，所以圆E 的面积为
．
②若直线
的斜率均存在，设直线
，直线
，
，
，
所以由
可得
，同理可得
所以
，
所以
，
当且仅当
时，
取得最小值
，所以此时，圆E 面积的最小值为
，
因为
，所以圆E 面积的最小值为
．
方法3：设
，
，
因为
，所以
，
所以
，
59
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由
可得：
，
整理得，
，
由基本不等式，有
，
所以
，
设
，则
，即
，解得
，
所以
，
所以圆E 面积的最小值为
．
方法4：设
，
，
因为
，所以可设
，且
，
因为点
在C 上，所以
，
所以
，
同理可得，
，所以
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，
，或
，
，
时等号成立，
60
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所以圆E 面积的最小值为
．
4．已知椭圆
：
（
）的左、右焦点分别为
，
，焦距为
，圆
与
椭圆
相交于
，
两点，
，
的面积为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)过点
的动直线与椭圆
有两个交点
，
，以线段
为直径作圆
，点
始终在圆
内
（包括圆周），求
的取值范围．
【解析】（1）方法一：因为
，所以
，
则
，
解得
．
因为
的面积为
，所以
，
，
，
所以椭圆
的标准方程为
；
方法二：因为
，
，
所以
是正三角形，
，
所以点
在线段
的中垂线上，则
，
是椭圆
的短轴端点．
因为
的面积为
，所以
，
在
中，易知
，
故椭圆
的标准方程为
；
（2）方法一：设点
，
．
61
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当直线的斜率不存在时，的方程为
，代入椭圆方程得
，
不妨设
，
，易求
．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，则
消去
得
，
，
所以
，
．
因为点
在圆
内（包括圆周），所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
即
恒成立，
所以
，解得
．
综上，
的取值范围为
．
方法二：
当直线的斜率为0 时，圆
以椭圆
的长轴为直径，所以
．
当直线的斜率不存在，或斜率不为0 时，设的方程为
，
且
，
．
62
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联立
，消去
得
，
所以
，
．
因为点
在圆
内（包括圆周），所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
即
恒成立，
所以
，解得
．
综上，
的取值范围为
．
5．设抛物线
：
，
是大于0 的常数.抛物线
的焦点为
，过
的垂直于
轴的直线交抛物线
于
两点（点
在
轴上方），直线
与直线
相交于点
（异于
），与抛物线
相
交于点
（异于坐标原点
），直线
交抛物线
于另一点
，直线
与
轴相交于点
.
(1)若
是
的重心，求
的值；
63
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(2)设直线与直线
相交于点
分别为线段
的中点.
（ⅰ）求证：
三点共线；
（ⅱ）设
的面积为
，
的面积为
，若
，求
的取值范围.
【解析】（1）
由题意可得
，
，
，
，
联立
与
，可得
，由于
，
故
，
，故
，
则
：
，化简可得
：
，
联立
：
与
可得
，
故
，进而可得
，故
，
由于
的重心为
，故
，化简得
，
，
.
64
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（2）（i）
，故直线
，
联立
与
，得
，
，
因此
，故
，即
，
，
直线
，令
，则
，
故
，
,
由于
，
65
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因此
，又
有公共点，
故
三点共线，
（ⅱ）由题意
，
设
，
，
，
则
，
，
，
由
得
66
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，
得
，
得
，
得
，
得
，
得
，
得
，
得
，
得
，
又因
，得
，
故
的取值范围为
6．已知椭圆
的左右顶点分别为
，
，点
为椭圆
上的一动点，直线
与
的斜率之积为
，
面积的最大值为8.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线与椭圆
相交于
，
两点，记直线
，
的斜率分别为
，
，若
.
（i）求证：直线过定点；
（ii）求
面积的最大值.
【解析】（1）
67
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设
，
，
，
则
，
，
，
又
，
.
，
.
面积的最大值为
，
，
，
椭圆
的方程为
.
（2）（i）
设直线
的方程为
，直线
的方程为
，
则M，N 同时满足方程
和
，
即
，又
，
.
代入得
，即
，
过定点
.
（ii）设
，
，由题意知直线的斜率不为
，
68
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所以设的方程为
，联立
，消去
后整理得：
，
，
，
.
，令
，
.
因此，
，
，
由对勾函数的单调性可知，
在区间
上单调递增，
所以
.
此时
，
，所以
面积的最大值为
.
7．已知动圆
与动圆
，满足
，记
与
公
共点的轨迹为曲线T，曲线T 与x 轴的交点记为A，
点A 在点B 的左侧
(1)求曲线T 的方程；
(2)若直线l 与圆
相切，且与曲线T 交于
，
两点点
在y 轴左侧，点
在y 轴右侧
（ⅰ）若直线l 与直线
和
分别交于
，
两点，证明：
；
（ⅱ）记直线
，
的斜率分别为
，
，证明：
是定值.
【解析】（1）设圆
，
的交点为M，则
，
，
因为
，所以
，
69
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故点M 的轨迹曲线
是以
，
为焦点的双曲线，
从而
，
，即
，
，
故曲线T 的方程为
（2）（ⅰ）要证
，
只要证线段
的中点与线段
的中点重合.
设
，
，其中
，
由条件，直线l 的斜率存在，设l 的方程为
因为直线l 与圆
相切，
所以
，即
联立
，消去y 并整理得
，
所以
，
从而线段
的中点横坐标为
又直线
与直线
和
交点的横坐标分别为
和
，
则线段
中点的横坐标为
，
70
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所以
（ⅰⅰ）由条件
，
，即
，
所以
，
由题意知，
，
所以
，
即
为定值
8．已知抛物线
的焦点为
，直线过
与
交于
，
两点，
为坐标原点，直线
交
的准
线于点
．
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(1)当的倾斜角为
时，求
；
(2)求直线
的斜率；
(3)若
，
，
，
四点共圆，求该圆的半径．
【解析】（1）由题意知，抛物线
焦点
坐标为
，直线的方程为
，
联立
，则
，所以
，
，
所以
.
（2）设直线
的方程为
，
，
，
联立
，
，所以
，
，所以
，
直线
方程为
，所以点
的纵坐标为
，
所以
，直线
的斜率为0.
（3）由题意知，
，
，
，
，不妨设
在第一象限，
因为
，
，
，
四点共圆，直线
平行
轴，故可设圆心坐标为
，圆半径为
，
，即
，所以
，
，
解得
，故
，所以
.
72
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9．已知双曲线
的焦点
与抛物线
的焦点重合，且双曲线
的离心率为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若过点
的直线与双曲线
交于
两点，
的面积为
，求直线的方程.
【解析】（1）抛物线
的焦点坐标为
，
所以双曲线中
，
双曲线的离心率为
，即
双曲线方程为
（2）显然直线斜率不能为0，设直线的方程为
，
所以原点
到直线的距离
，
联立
，得
，
所以
且
，
所以
，且
，
73
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所以
，
所以
，
所以
，
解得
，所以
，
所以直线的方程为
或
.
10．已知在平面直角坐标系
中，两定点
，
，直线
，
相交于点
，且它们的斜率
之积是
.
(1)求点
的轨迹方程
，并指出
的形状.
(2)若直线
与点
的轨迹交于
，
两点，求证：直线
与直线
的交点
在定直线
上.
【解析】（1）设点
的坐标为
，
因为
，所以直线
的斜率为
，
因为
，所以斜率为
，
由已知得
，整理得
，
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故形状为焦点在
轴上，长轴长为6，焦距为
，除去
，
的椭圆.
（2）联立
，消去
整理得：
，
如图，设
，
，
，
，
而
，
直线
，直线
，
联立两直线得到
，
整理得
，
故直线
与直线
的交点
在定直线
上.
75
