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第57 讲 “动态圆”“磁聚焦”和“磁发散”模型
1．（2025·陕晋青宁卷·高考真题）电子比荷是描述电子性质的重要物理量。在标准理想二极
管中利用磁控法可测得比荷，一般其电极结构为圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构
简化如图（a）所示，圆筒足够长。在O 点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为
的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截
面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至
时，恰好没有电子落到筒壁上，不计电
子间相互作用及其重力的影响。求：（R、
、
均为已知量）
(1)电子的比荷
;
(2)当磁感应强度大小调至
时，筒壁上落有电子的区域面积S。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当磁场的磁感应强度为
时，电子刚好不会落到筒壁上。
则电子以速度
垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，
轨迹半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
真题演练
1
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联立解得
（2）磁感应强度调整为
后，将电子速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，分别设
，电子将在垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，电子
击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹半径
仍为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
由射出到相切，经过半个周期，用时
根据速度的合成与分解可知
平行轴线方向运动距离
结合对称性，被电子击中的面积
2．（2017·全国II 卷·高考真题）如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强
磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过P 点，在纸面内沿不
同方向射入磁场，若粒子射入的速率为
，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆
周上；若粒子射入速率为
，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之
间的相互作用，则
为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设圆形区域磁场的半径为r，当速度为v1时，从P 点入射磁场的粒子出磁场时与磁
场边界的最远交点与入射点之间的距离等于该粒子做圆周运动的直径，出射点分布在六分之
一圆周上，如图所示
根据几何知识可知轨迹圆的半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
解得
当速度为v2时，从P 点入射磁场的粒子出磁场时与磁场边界的最远交点与入射点之间的距离
等于该粒子做圆周运动的直径，出射点分布在三分之一圆周上，如图所示
根据几何知识可知轨迹圆的半径为
根据洛伦兹力提供向心力有
3
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解得
则有
故C 正确，ABD 错误。
故选C。
3．（2022·湖北·高考真题）在如图所示的平面内，分界线SP 将宽度为L 的矩形区域分成两
部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小均为B，SP 与磁场左右边界垂直。离子源从S 处射入速度大小不同
的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP 成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。
若离子从Р 点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ 角的可能
组合为（ ）
A．
kBL，0°
B．
kBL，0°
C．kBL，60°
D．2kBL，60°
【答案】BC
【详解】若粒子通过下部分磁场直接到达P 点，如图
4
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根据几何关系则有
可得
根据对称性可知出射速度与SP 成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。
当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有
根据洛伦兹力提供向心力有
可得
此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
5
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通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；
当粒子从上部分磁场射出时，需满足
（n=1，2，3……）
此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。
故可知BC 正确，AD 错误。
故选BC。
4．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R 的空心转筒P，可绕
过O 点、垂直xOy 平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小
孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面
探测板Q，板Q 与y 轴交于A 点。离子源M 能沿着x 轴射出质量为m、电荷量为 – q（q >
0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y 轴负
方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力
和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B 的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q 的A 处，求转筒P 角速度ω 的大小；
（2）较长时间后，转筒P 每转一周有N 个离子打在板Q 的C 处，OC 与x 轴负方向的夹角为
θ，求转筒转动一周的时间内，C 处受到平均冲力F 的大小；
（3）若转筒P 的角速度小于
，且A 处探测到离子，求板Q 上能探测到离子的其他θ′的
值（θ′为探测点位置和O 点连线与x 轴负方向的夹角）。
6
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【答案】（1）①
，②
，k = 0，1，2，3…；（2）
，n = 0，1，2，…；（3）
，
【详解】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v 的离子在磁场中圆周运动半径为
，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
动量定理
7
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，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中
k = 1，
，n = 0，2 或者
（舍）
可得
，
5．（2021·海南·高考真题）如图，在平面直角坐标系
的第一象限内，存在垂直纸面向外
的匀强磁场，磁感应强度大小为B。大量质量为m、电量为q 的相同粒子从y 轴上的
点，以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y 轴正方
向的夹角为
。当
时，粒子垂直x 轴离开磁场。不计粒子的重力。则
（ ）
A．粒子一定带正电
B．当
时，粒子也垂直x 轴离开磁场
C．粒子入射速率为
D．粒子离开磁场的位置到O 点的最大距离为
【答案】ACD
【详解】A．根据题意可知粒子垂直
轴离开磁场，根据左手定则可知粒子带正电，A 正确；
8
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BC．当
时，粒子垂直
轴离开磁场，运动轨迹如图
粒子运动的半径为
洛伦兹力提供向心力
解得粒子入射速率
若
，粒子运动轨迹如图
根据几何关系可知粒子离开磁场时与
轴不垂直，B 错误，C 正确；
D．粒子离开磁场距离
点距离最远时，粒子在磁场中的轨迹为半圆，如图
根据几何关系可知
9
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解得
D 正确。
故选ACD。
6．（2020·北京·高考真题）如图甲所示，真空中有一长直细金属导线
，与导线同轴放置
一半径为
的金属圆柱面。假设导线沿径向均匀射出速率相同的电子，已知电子质量为
，
电荷量为
。不考虑出射电子间的相互作用。
(1)可以用以下两种实验方案测量出射电子的初速度：
a.在柱面和导线之间，只加恒定电压；
b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场。
当电压为
或磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱面。分别计算出射电子的初速度
。
(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一个弧长为
、长度为
的金属片，如图乙所示。在该金属
片上检测到出射电子形成的电流为
，电子流对该金属片的压强为
。求单位长度导线单位
时间内出射电子的总动能。
【答案】（1）a.
，b.
；（2）
【详解】（1）a.在柱面和导线之间，只加恒定电压
，粒子刚好没有电子到达柱面，此时
速度为零，根据动能定理有
解得
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b.在柱面内，只加与
平行的匀强磁场，磁感应强度为
时，刚好没有电子到达柱面，设
粒子的偏转半径为r，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
（2）撤去柱面，设单位时间单位长度射出的电子数为n，则单位时间打在金属片的粒子数
金属片上形成电流为
所以
根据动量定理得金属片上的压强为
解得
故总动能为
7．（2020·浙江·高考真题）某种离子诊断测量简化装置如图所示。竖直平面内存在边界为矩
形
、方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场，探测板
平行于
水
平放置，能沿竖直方向缓慢移动且接地。a、b、c 三束宽度不计、间距相等的离子束中的离
子均以相同速度持续从边界
水平射入磁场，b 束中的离子在磁场中沿半径为R 的四分之
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一圆弧运动后从下边界
竖直向下射出，并打在探测板的右边缘D 点。已知每束每秒射入
磁场的离子数均为N，离子束间的距离均为
，探测板
的宽度为
，离子质量均
为m、电荷量均为q，不计重力及离子间的相互作用。
（1）求离子速度v 的大小及c 束中的离子射出磁场边界
时与H 点的距离s；
（2）求探测到三束离子时探测板与边界
的最大距离
；
（3）若打到探测板上的离子被全部吸收，求离子束对探测板的平均作用力的竖直分量F 与板
到
距离L 的关系。
【答案】（1）
，0.8R；（2）
；（3）当
时：
；当
时：
；当
时：
【详解】（1）离子在磁场中做圆周运动
得粒子的速度大小
令c 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O，从磁场边界
边的Q 点射出，则由几何关系可得
，
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（2）a 束中的离子运动轨迹对应的圆心为O’，从磁场边界
边射出时距离H 点的距离为
x，由几何关系可得
即a、c 束中的离子从同一点Q 射出，离开磁场的速度分别于竖直方向的夹角为
、
，由
几何关系可得
探测到三束离子，则c 束中的离子恰好达到探测板的D 点时，探测板与边界
的距离最大
则
（3）a 或c 束中每个离子动量的竖直分量
当
时所有离子都打在探测板上，故单位时间内离子束对探测板的平均作用力为
当
时，只有a 和b 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的
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平均作用力为
当
时，只有b 束中离子打在探测板上，则单位时间内离子束对探测板的平均作用力
为
8．（2025·山东·二模）如图所示的平面直角坐标系，在
轴上
范围内有一线状粒子
源，可向第一象限发射速度为
、与
轴正方向成
角的质量为
，电量为
的带正
电的粒子。在第一象限
的范围内，存在沿
轴负方向的匀强电场，粒子通过电场后，
速度方向恰好沿着
轴正方向。以
点为圆心，半径为
的圆形区域内有垂直纸面
向外的匀强磁场，磁感应强度大小
。
轴的下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，
磁感应强度大小
；不计粒子的重力和粒子间的相互作用。
(1)求第一象限匀强电场的场强
；
(2)求粒子在圆形磁场中运动的最长时间；
(3)求粒子穿过
轴以后，再次回到
轴上的坐标范围；
(4)若其他条件不变，在
轴下方再叠加一沿着
轴负方向的电场
，求：从
点射
出的粒子在
轴下方运动时，到
轴的最远距离。
【答案】(1)
模拟冲关
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(2)
(3)
(4)3d
【详解】（1）带电粒子在电场中做类斜抛运动，可得
联立可得
（2）粒子竖直方向通过的距离设为y ，则
联立解得
粒子以水平速度
进入圆形磁场区域，有
解得
粒子做圆周运动的半径等于圆形磁场的半径，故粒子从圆与x 轴的切点M 进入下方磁场区域，
分析可知从最上端发出的粒子在圆形磁场中运动的时间最长，可得
解得
（3）粒子进入x 轴下方以后，方向范围在与x 轴正半轴成
到
范围之内，可得
联立解得
当速度与x 轴正半轴成
到
范围时，粒子打到x 轴的同一位置， 距M 点的最近距离为
当速度与x 轴成
进入下方磁场时，粒子打到x 轴上距M 最远
故x 的坐标范围为
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（4）(4)0 点射出的粒子在M 点射出时与x 轴正方向的夹角为
，将粒子速度v 分解出一个
沿着x 轴正方向的速度
，使得
可得
则另一分速度与x 轴负方向的夹角为
，大小为
，可得
以此速度做圆周运动的半径
离x 轴的距离的表达式
9．（2025·江苏·二模）如图所示，
平面的一、四象限内分别存在匀强磁场1 和2，磁场
方向垂直纸面向外，磁场1 的磁感应强度大小为
。坐标轴上
、
两点坐标分别为
、
。位于
处的离子源可以发射质量为
、电荷量为
、速度方向与
轴夹角为
的不
同速度的正离子。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
(1)当
时，发射的离子
恰好可以垂直穿过
轴，求离子
的速度
；
(2)当
时，发射的离子
第一次经过
轴时经过
点且恰好不离开磁场区域，求磁场2
的磁感应强度B2大小；
(3)在（2）情况中仅改变磁场2 的强弱，可使发射的离子
两次经过
点，求离子
前后两次
经过
点的时间间隔。
【答案】(1)
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(2)
(3)见解析
【详解】（1）当
时，离子a 恰做圆周运动的半径
由
得
（2）当
时，离子b 再次回到磁场1 中时，运动轨迹正好与y 轴相切，如图所示，离
子在磁场1 中圆的运动半径为
另由几何关系知：OA=r1（1-cos45°），AQ=L-OA
离子在磁场2 中运动半径为
两次运动满足
，
得
（3）解法1：离子b 两次经过Q 点，情形有如下三种：
①
，两次经过Q 点运动总弧长
，
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②
，两次经过Q 点运动总弧长
，
③
，两次经过Q 点运动总弧长
，
解法2：设离子b 在磁场2 中的半径为
，由几何关系可知，离子经过Q 点后，再穿过k 次磁
场1 后，可再次经过Q 点，必须满足
为保证不出磁场必须满足
可得
，
，所以k 的取值为1、2、3
离子的运动时间为
（k=1、2、3）
10．（2025·安徽·模拟预测）如图所示，在竖直平面内有一直角坐标系
，第II、III 象限
存在沿
轴负方向、电场强度大小
的匀强电场，和垂直纸面向外、磁感应强度大小
为
的匀强磁场，在
轴上的
点有一粒子源，连续不断地向
轴左侧沿各个方向发射质量
为
、电荷量为
、速度大小为
、带负电的粒子，其中经过坐标原点
的粒子在磁场中运
动的最长时间是最短时间的3 倍，运动最长时间的粒子能到达
轴上的
点。已知重力加速
度为
，求：
18
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(1)
点到
点的距离；
(2)
点的坐标；
(3)能经过
点的粒子需要多久才能从
点到达
点。
【答案】(1)
(2)（0，
）
(3)
【详解】（1）带电粒子竖直方向上
则粒子做匀速圆周运动，经过坐标原点
的粒子在磁场中运动的最长时间是最短时间的3 倍，
则对应圆弧轨迹的圆心角有3 倍关系，则
，
，如图
运动最长时间的粒子经过O 点后做斜抛运动，速度与水平方向的夹角为45°，则有
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、
解得
（2）根据洛伦兹力提供向心力有
解得
根据几何关系可知
点的坐标为（0，
）
（3）能经过
点的粒子，粒子在磁场中运动的时间为
总时间为
11．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图甲所示，平面直角坐标系xOy 第二象限内，有垂直纸
面向外半径为R 的圆形匀强磁场I，磁感应强度为B1（大小未知），磁场分别与x、y 轴相切
于P，Q 点，在y 轴右侧有一定宽度的垂直纸面向里的匀强磁场II，磁感应强度为B2，
B1=2B2，现有一长为2R 的线状粒子源，沿+y 方向均匀发射速度为v0的同种带电粒子，粒子经
磁场I 偏转后均从Q 点进入磁场II，已知粒子质量为m、电荷量为+q，不计粒子重力及粒子
间相互作用。
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(1)求磁场I 的磁感应强度大小B1；
(2)若粒子源发射的粒子中仅有75%能穿过磁场II 的右边界，求磁场II 的宽度d；
(3)若撤去磁场II，在y 轴右侧加磁场III，磁场III 的磁感应强度B3随横坐标x 变化的关系图线
如图乙所示，规定垂直纸面向里为磁场的正方向。求从Q 点沿+x 方向射入磁场III 的粒子，
运动至x=3d 处时沿+x 方向的分速度vx。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）从P 点沿y 轴正方向入射的粒子从Q 点沿x 轴正方向射出半径
洛伦兹力提供向心力
联立解得
（2）由于
根据半径公式可知
恰好能通过磁场II 区域的粒子是由OP 中点射入
所以磁场宽度
联立解得
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（3）以y 轴方向为正方向，由动量定理有
两边求和
设图线与横轴间的面积为S，则有
在0-3d 间
解得
所以沿+x 方向的分速度
联立解得
12．（2025·重庆·二模）如图所示，
平面直角坐标系中，圆形区域内充满垂直
平面
的匀强磁场（图中未画出），圆与x 轴相切于坐标原点O，圆心坐标为
。第三象限内
存在
方向的匀强电场，场强大小为E，
轴上固定一足够长的粒子接收薄板
。一群
质量为m、电荷量为q 的粒子，沿
方向以相同速度
从第二象限射入圆形区域。粒子分布
在
区域内各处，经圆内磁场偏转后均能从O 点进入电场区域，并最终落在
上
区域（最远落在C 点）。忽略粒子重力及粒子间的相互作用，求：
(1)该匀强磁场的磁感应强度；
(2)
的距离；
(3)落在C 处的粒子在磁场中运动的时间。
【答案】(1)
22
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(2)
(3)
【详解】（1）由几何关系易得，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
由
解得：
由分析知，粒子带正电，匀强磁场的方向垂直
平面向外
（2）设粒子从O 点进入电场区域时，速度与
方向的夹角为
，则
设粒子打在
上的位置到O 点的距离为
，在电场中运动的时间为t，则
平行x 轴方向：
平行y 轴方向：
联立解得：
当
，即
时，
取最大值
可得：
（3）由（2）可知，落在C 处的粒子进入电场时对应的
结合几何关系可得，该粒子在磁场中运动的时间
又由
联立解得：
13．（2025·山东·模拟预测）如图所示，在
轴左侧半径为
的圆形区域内，存在磁感应强
度大小未知、方向垂直
平面向外的匀强磁场
，磁场的边界与
轴相切于
点，圆心
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位于
轴上；在
范围内存在沿
轴负方向、大小也未知的匀强电场
，其右边
界与
轴相交于
点；在
的区域内存在垂直
平面向里的匀强磁场
，其磁感应
强度的大小也未知。一群质量为
、电荷量为
的带正电粒子，均以大小为
、方向沿
轴
正方向的速度射入圆形磁场区域，之后均能从
点进入电场。其中从
点射入的粒子先后经
圆形磁场和电场后从
点射入匀强磁场
，之后经
点返回电场。已知
与
轴垂直，
粒子经过
点时的速度与
轴正方向的夹角
，不计粒子重力及粒子间的相互作用。
求：
(1)圆形磁场的磁感应强度
的大小；
(2)电场强度
的大小；
(3)粒子从
点运动到
点的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知粒子经过圆形磁场出现磁聚焦现象，根据磁聚焦原理，粒子在圆形
磁场中做匀速圆周运动的半径
由洛伦兹力提供向心力得
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解得
（2）粒子从
点运动到
点运动轨迹如图所示
进入电场后做类平抛运动，由
因为
解得
（3）从
点射入的粒子应从
点水平射出，从
点到
点的时间
进入磁场
后，粒子做匀速圆周运动，由几何关系可知粒子做圆周运动的半径
因
则粒子在磁场
中运动的时间
因
粒子从
点到
点的时间
14．（2025·河南·模拟预测）如图，在长方形ABCD 区域（含边界）存在垂直纸面向里的匀
强磁场，磁感应强度大小为B。已知
，
，O 是AD 中点，O 点为离子源，某
时刻自O 点向磁场各个方向同时发射速率相同、带负电的同种粒子，速度均垂直于磁场方向。
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其中速度方向沿OA 的粒子
时刻自E 点离开磁场区域，
。忽略粒子重力和粒子间相
互作用。则以下选项中正确的是（ ）
A．粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为a
B．粒子的比荷为
C．在
时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA 的夹角范围为
D．在磁场中运动时间最长的粒子运动时间为
【答案】ACD
【详解】A．沿OA 方向入射的粒子，自E 点离开，根据几何关系可得，轨迹半径
故A 正确；
B．从E 点离开的粒子运动
离开磁场，由洛伦兹力提供向心力得
，
可得
则有
可得比荷为
故B 错误；
C．当粒子初速度方向与OA 垂直时，
时刻粒子恰在磁场边界，转过的圆心角为
，当粒子
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初速度方向与OA 夹角为
时，
时刻粒子恰好在AD 边界上，转过的圆心角为
；可知
在
时刻，仍在磁场中的粒子初速度方向与OA 的夹角范围为
，故C 正确；
D．垂直AD 边入射的粒子转过的圆心角为
，在磁场中运动的时间最长，用时为
故D 正确。
故选ACD。
15．（2025·河北石家庄·三模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 内，以O1（0，R）为圆心、
半径为R 的区域Ⅰ内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。第二象限有
一平行于y 轴、宽度为2R 的线状电子源，电子源中心与O₁ 等高。在x 轴上放置一定长度的薄
收集板，收集板左端置于原点O 处。x 轴下方区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面
向外的匀强磁场。电子源沿x 轴正方向均匀发射质量为m、电荷量为e、速度相同的电子，射
入圆形磁场区域后经O 点全部进入区域Ⅱ（收集板左端不会挡住经过O 点的电子），只有一
半数量的电子打到收集板上并被吸收。忽略电子重力和电子间相互作用。
(1)求电子源发射电子的初速度v 的大小；
(2)求该收集板的长度；
(3)现撤去区域Ⅱ的磁场，然后在x≥0 且y≤0 区域加垂直纸面方向的磁场，磁感应强度B'随x
轴坐标变化的规律如图乙所示，规定垂直纸面向外为磁场的正方向。电子源正对O1点以原初
速度射向区域Ⅰ的电子运动轨迹经过点（R，-kR），其中k>0 且为已知量。求该电子轨迹上
横坐标为4R 的点的纵坐标。
【答案】(1)
27
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(2)
(3)-4kR
【详解】（1）电子在区域I 内做圆周运动，设轨道半径为R₁，根据牛顿运动定律
电子运动的轨道半径等于圆形磁场的半径：R1=R
解得
（2）做出电子在磁场中运动的轨迹如图，距离电子源中心位置
的粒子打在O 点时，速度
方向分布在y 轴左右两侧，与y 轴夹角均为30°。由题意可知，距离电子源中心位置大于
的
区域粒子直接打到收集板上，其它电子均不能打到收集板上。
做出速度方向与y 轴左右两侧夹角均为30°角的电子在区域II 运动的轨迹，两电子在区域II 内
运动的轨迹圆心角为120°和240°；设收集板的长度为l，根据几何关系得
因为区域Ⅱ磁场磁感应强度也为B，故r=R
解得
（3）正对O1点射向区域Ⅰ的电子在区域I 内做
圆周运动，运动的轨道半径等于圆形磁场的
半径R，电子从O 点沿y 轴负方向射出，速度大小为v，运动轨迹如下图。设y 轴正向为正，
经时间△t，由动量定理得：
所以
28
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设题中乙图图像与x 轴围成的面积为S，则
在0~R 间，
解得电子经过点（R，-kR）时沿y 轴负方向分速度
0~R 全程洛伦兹力不做功，速率不变。可知电子经过点（R，-kR）时沿x 方向分速度
在R~2R 间，电子沿y 轴负方向分速度由0 增大到v，沿x 方向分速度由v 减小到0，电子在轴
负方向的位移与0~R 间的相同，之后重复运动，故该电子轨迹上横坐标为4R 的点的纵坐标
为-4kR。
16．（2025·天津和平·二模）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所
示，在xOy 平面内存在有区域足够大的方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，
的虚线界面右侧是接收离子的区域。位于坐标原点O 处的离子源能在xOy 平面内持
续发射质量为m、电荷量为q 的负离子，已知离子入射速度与y 轴夹角
最大值为60°，且速
度大小与
角之间存在一定的关系，现已测得离子两种运动情况：①当离子沿y 轴正方向以
大小为
（未知）的速度入射时，离子恰好通过坐标为
的P 点；②当离子的入射速度
大小为
（未知），方向与y 轴夹角
入射时，离子垂直通过
界面，不计离子的重力
及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
29
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(1)求
的大小；
(2)求
的大小及②情况下离子到达
界面时与x 轴之间的距离；
(3)现测得离子入射速度大小随
变化的关系为
，为回收离子，今在界面
右侧
加一宽度也为L 且平行于
轴的匀强电场，如图所示，为使所有离子都不能穿越电场区域
且重回界面
，求所加电场的电场强度至少为多大？
【答案】(1)
(2)
，
，
(3)
【详解】（1）当离子沿y 轴正方向以大小为
的速度入射时，离子恰好通过坐标为
的
P 点，由几何关系可得
由牛顿第二定律有
联立解得
（2）若离子与y 轴夹角
向左上入射时，运动轨迹如图所示
30
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由几何关系可得
由牛顿第二定律有
解得
离子到达
界面时与x 轴之间的距离
若离子与y 轴夹角
向右上入射时，运动轨迹如图所示
由几何关系可得
由牛顿第二定律有
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解得
离子到达
界面时与x 轴之间的距离
（3）离子入射速度大小随
变化的关系为
由牛顿第二定律有
离子运动半径为
可知，圆心一定在
界面上，即离子一定垂直通过
界面，当
时，通过界面
的速度最大，则保证此离子不能穿越电场区域且重回界面
即可，此时速度
恰好能重回界面的离子到达右边界的速度方向与界面平行，设其为
，对该离子竖直方向运
用动量定理有
两边求和可得
又由动能定理得
联立解得
17．（2025·辽宁·三模）如图所示，在平面直角坐标系
的第一象限内存在沿
轴正方向、
电场强度大小为
的匀强电场，第四象限内以
为圆心、半径为
的圆形区域内
存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。一质量为
、带电荷量为
的粒子，从
点沿
轴正方向以一定的速度射入匀强电场，经匀强电场偏转后恰好从
点进入匀强磁场，
从
点离开匀强磁场，不计粒子受到的重力，求：
32
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(1)粒子射入匀强电场时的速度大小
；
(2)匀强磁场的磁感应强度大小
。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，设粒子在匀强电场中的加速度大小为
，粒子做
类平抛运动的时间为，则有水平方向
竖直方向
由牛顿第二定律可得
联立解得
（2）设粒子进入磁场时的速度大小为
，速度方向与
轴的夹角为
，粒子在磁场中做匀速
圆周运动的轨迹半径为
，结合几何关系有
，
根据运动的分解
洛伦兹力提供圆周运动的向心力则有
联立解得
33
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18．（2025·辽宁·模拟预测）如图所示，圆心为
、半径为
的圆形区域（在纸面内）内存
在着垂直于纸面向里的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为
。
、
、
、
为圆形
区域边界上的四等分点，半径
的中点
处有一粒子源，能在纸面内沿各个方向发射速率
相等的带正电的粒子。已知粒子的质量均为
、电荷量大小均为
、粒子的速率均为
，
不计粒子重力以及粒子之间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．离开圆形区域的粒子在圆形区域内运动的最短时间为
B．离开圆形区域的粒子在圆形区域运动的最长时间为
C．圆弧
上有粒子射出的区域弧长为
D．直径
右侧半圆区域内有粒子经过的面积为
【答案】BC
【详解】A．粒子在圆形区域内运动，运动轨迹如图所示
由洛伦兹力提供向心力有
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解得
粒子做匀速圆周运动的周期为
分析可知从
点离开的粒子在圆形区域内运动时间最短，由几何关系可知轨迹对应的圆心角
为
，所以离开圆形区域的粒子在圆形区域运动的最短时间为
故A 错误；
B．粒子从
点相切离开圆形区域的粒子在磁场内运动的时间最长，由几何关系可知粒子轨
迹对应的圆心角为
，所以离开圆形区域的粒子在圆形区域运动的最长时间为
故B 正确；
C．圆弧
上
部分有粒子射出，粒子轨迹与圆弧边界相切于
点，由几何关系可知，圆
弧
对应的圆心角为
，弧长
故C 正确；
D．直径
右侧圆形区域内有粒子经过的区域如图中阴影所示，由几何关系可知
故D 错误。
故选BC。
19．（2025·浙江·模拟预测）如图所示直角坐标系
中，第一象限存在垂直纸面向里磁感应
强度
的匀强磁场，第二象限以某曲线为界，上部存在沿
轴正方向，大小为
的电
场，下部和
轴所围的部分无电场，当位于
的粒子源沿与
轴正方向成
角发射
的同种粒子以不同的速度大小射入电场，射入电场的粒子最终均能以相同大小的速度
沿
轴正方向，从
轴上
到
到的范围内射入第一象限的磁场中，已知粒子质量
，
电荷量
，距离
，不计粒子间的相互作用力。
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(1)若
，求粒子在电场中加速度
和在磁场中运动的半径
；（用
、
表示）
(2)若
，求
轴上有粒子击中的坐标范围；
(3)若第一象限的磁感应强度随纵坐标
变化，满足
，从
处入射的粒子刚好
能击中
轴，求
的值；
(4)求粒子从
点发射时
的取值范围；
【答案】(1)
，
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）粒子在电场中的加速度
粒子在磁场中的运动半径为
.
（2）半径
将变成原来的两倍，即
可知，从
轴上
处进入磁场的粒子在
轴上击中的最大坐标位置
轨迹如图
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可知，从
轴上
处进入磁场的粒子在
轴上击中的最小坐标位置为
，轨迹如图
几何关系有
解得
（3）对粒子沿
方向应用动量定理得
代入数据，整理得
设进入B 区域时的纵坐标为
的粒子的轨迹恰与
轴相切，则
则当
时，解得
（4）由逆向思维，令粒子在
轴上出射点的坐标为
，轨迹与电场边界的交点为
，如
图
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则有
同时将
代入可得
，
当
时，解得
当
时，解得
，
故
的取值范围为
20．（2025·山西晋中·三模）极光是由太阳抛射出的高能带电粒子受到地磁场作用，在地球
南北极附近与大气碰撞产生的发光现象。赤道平面的地磁场，可简化为如图所示：
为地球
球心，
为地球半径，将地磁场在半径为
到
之间的圆环区域看成是匀强磁场，磁感应强
度大小为
。磁场边缘A 处有一粒子源，可在赤道平面内以相同速率
向各个方向射入某种
带正电粒子。不计粒子重力、粒子间的相互作用及大气对粒子运动的影响，不考虑相对论效
应。其中沿半径方向（图中1 方向）射入磁场的粒子恰不能到达地球表面。若和AO 方向成
角向上方（图中2 方向）射入磁场的粒子也恰好不能到达地球表面，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】若高能粒子仍以速率v 射入地球磁场，可知沿径向方向射入的粒子会和地球相切而
出，和AO 方向成
角向上方射入磁场的粒子也恰从地球上沿相切射出，在此日角范围内的
粒子能到达地球，其余进入磁场粒子不能到达地球，作A 点该速度垂直和过切点与O 点连线
延长线交于F 点，则F 点为圆心，如图所示
由图中几何关系可得
，
则有
故选A。
21．（2025·江西·模拟预测）如图，间距为d 的平行板M、N 间有垂直于纸面向里的匀强磁场
Ⅰ，两板间加有恒定电压，在过两板右端的竖直线PQ 右侧有垂直于纸面向里的匀强磁场Ⅱ，
两磁场的磁感应强度大小相等，足够大荧光屏垂直于纸面固定在PQ 上。一粒子源以速度大
小
，不断地沿两板间的中线向磁场Ⅰ内射出质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，粒子
在两板间做直线运动，从O 点进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转，粒子打在荧光屏上的A 点（未标
出），A、O 两点的距离为d，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，求：
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(1)两板间所加电压U 的大小；
(2)若撤去磁场Ⅰ，结果粒子打在荧光屏上的位置离A 点的距离为
，则极板的长度L 为多
少？
(3)若两极板足够长，调整两极板间的电压，使粒子能进入磁场Ⅱ，则两板间的电压最小值
为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设匀强磁场的磁感应强度大小为B，根据题意，粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的
半径
根据牛顿第二定律
在磁场Ⅰ中运动时，根据力的平衡
解得
（2）撤去磁场Ⅰ后，粒子在两板间做类平抛运动，设粒子进磁场Ⅱ时的位置在C 点，在C
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点进磁场Ⅱ时速度与PQ 的夹角为
，则粒子进磁场Ⅱ时的速度大小
设粒子在磁场Ⅱ中做圆周运动的半径为
，根据牛顿第二定律
设粒子打在荧光屏上的位置到C 点的位置距离为s，则
联立且结合
，可得
由此可见，粒子在电场中的侧移为
，由
，
解得
（3）当两板间的电压最小为
时，粒子在磁场Ⅰ中运动的轨迹刚好与上板相切，设粒子轨
迹与上板刚好相切时的速度大小为
，根据动能定理有
根据动量定理
又
，即
由（1）求得
解得
22．（2025·甘肃·模拟预测）某款带电粒子流的控制装置原理图如图甲所示。在平面直角坐
标系中第一、二象限有两个半径（设为r，未知）相同的圆形区域，而且圆形区域均与两个坐
标轴相切，圆形区域内均有磁感应强度大小为B 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里；第三
象限区域内有磁感应强度大小也为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。在x≤-2r 的x 轴上放置
有足够长的荧光屏，在位置坐标（
，0）、（
，0）间有一长条形粒子源，可以在坐标
平面内沿着y 轴正方向发射大量相同速率（设为v，未知）、质量为m、电荷量为q 的带正电
粒子。不计粒子的重力、粒子间的相互作用。从位置坐标（r，0）处沿y 轴正方向射出的粒
子到达荧光屏的过程中的运动轨迹如图乙所示（从第一象限经两磁场圆的切点垂直y 轴进入
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第二象限），该轨迹均在磁场中，已知粒子到达荧光屏的位置坐标为（-d，0），
sin37°=0.6。求：
(1)圆形区域的半径r 及粒子的速率v；
(2)粒子打到荧光屏上的最远点，最近点的位置坐标；
(3)粒子从粒子源射出到打到荧光屏上经历的最长，最短时间。
【答案】(1)
，
(2)（-1.2d，0），（-0.8d，0）
(3)
，
【详解】（1）根据题意及题图乙可知粒子做匀速圆周运动的轨迹半径
根据洛伦兹力提供向心力有
，
联立解得
，
（2）由于带电粒子做匀速圆周运动的轨迹半径R 恰好等于圆形磁场区域的半径r，根据“磁
发散”与“磁汇聚”模型，可知粒子平行y 轴进入第一象限的圆形磁场中，经过偏转汇聚后
进入第二象限的圆形磁场中，经过偏转发散后沿y 轴方向射出，最后垂直于x 轴进入第三象
限的匀强磁场中，经过半个圆周运动垂直打到荧光屏上。由此画出打到荧光屏上的最远点、
最近点的粒子对应的运动轨迹如图甲所示
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根据几何关系及对称关系，可得粒子打到荧光屏上最远点的x 坐标
同理可得粒子打到荧光屏上最近点的x 坐标
故粒子打到荧光屏上的最近点、最远点的位置坐标分别为（-1.2d，0），（-0.8d，0）；
（3）由于粒子整个运动过程中速率不变，轨迹越长对应的运动时间越长，由图甲可知，从粒
子源射出到打到荧光屏上的最远点和最近点的粒子的运动时间最长，对于打到荧光屏上的最
远点的粒子在第二象限的运动轨迹如图乙所示，其中粒子在磁场中做圆周运动的时间
T 为带电粒子在磁场中运动的周期，即
粒子在磁场外做直线运动的时间
最长时间
解得
同理可得从位置坐标（r，0）射出到打到荧光屏上的粒子的运动时间最短其中粒子在磁场中
做圆周运动的时间
粒子未在磁场外运动，则所求最短时间
23．（2025·江苏南京·二模）如图所示，xOy 平面内，在x 轴下方区域内存在沿y 轴正方向的
匀强电场，在坐标
处有一粒子源能沿x 轴正方向将质量为m、电量为+q 的粒子以某一
初速度射入电场区域，在
的空间中有一倾斜分界面MN，其两侧分别有垂直纸面的匀强
磁场I 和II，其中磁场I 的方向垂直纸面向里，磁感应强度大小B1=
，当粒子初速度大
小为v0时，进入磁场区域I 时的速度大小为2v0。
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(1)求电场强度的大小E；
(2)若初速度为0 和初速度为v0的粒子均能垂直于MN 边界从磁场区域I 射入磁场区域II，求
MN 与x 轴的交点到O 点的距离L 以及MN 与x 轴的夹角θ；
(3)在满足第（2）问的条件下，为使初速度为kv0（k>0）的粒子射入磁场后恰好不再回到x 轴
下方，求磁场区域II 的磁感应强度大小B2的大小和方向。
【答案】(1)
(2)
，
(3)
，垂直纸面向里
【详解】（1）粒子在电场中运动，由动能定理
解得
（2）初速为0 的粒子，到达x 轴时的速度为
半径为
圆心坐标为
；
故MN 与x 轴交点与O 点的距离大小
以初速为v0入射的粒子，到达x 轴时的速度为
与x 轴夹角为
，入射位置
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由几何关系知圆心位于y 轴上，圆心坐标为
；由题意两圆心均位于MN 上，故MN 与x
轴的夹角
。
（3）设粒子以任意速度v 入射，粒子在磁场区域I 中运动的半径为r，则该粒子圆周运动圆
心的坐标为：
，
其中：
，
，
,
整理可得：
这说明所有射入磁场I 的粒子的圆心处于同一条直线上，所有射入磁场I 的粒子将垂直于该直
线射出。
粒子以kv0入射，粒子在磁场I 中运动速度为
设磁场区域II 的磁感应强度垂直纸面向里，粒子在两磁场I 中运动的半径分别为
和
，为
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使以kv0（k>0）射入电场的粒子恰好不再回到x 轴下方，应有
即
因为
由正弦定理
综上整理可得
，磁场方向假设成立，所以
垂直纸面向里。
说明：若设磁场区域II 的磁感应强度垂直纸面向外，粒子在两磁场I 中运动的半径分别为
和
，为使以kv0（k>0）射入电场的粒子恰好不再回到x 轴下方，应有
即：
负号表示磁场区域II 的磁感应强度垂直纸面向里。
24．（2025·江苏宿迁·三模）如图所示，在
平面内存在有界匀强磁场，磁场的边界是半
径为R 的圆，圆心C 点的坐标为
，磁场方向垂直
平面向外，第Ⅱ象限内垂直x 轴
放置线状粒子源，粒子源的一端在x 轴上，长度为
，沿+x 方向均匀发射速度大小为
的
相同粒子，所有粒子经磁场偏转后从坐标原点O 处射出。第Ⅲ象限内垂直x 轴放置一荧光屏
S，荧光屏的一端在x 轴上，长为
，到y 轴的距离为R。已知粒子的质量为m，电荷量为
，不计粒子的重力及粒子间的相互作用。
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(1)求磁感应强度大小B；
(2)求能打在屏上粒子的数目占粒子源发出粒子总数的百分比k；
(3)若在第Ⅲ，Ⅳ象限内加沿
方向的匀强电场（图中未画出），使所有粒子都能打在屏上，
求电场强度的最小值E。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由几何关系得粒子的半径
洛伦兹力提供向心力
解得
（2）粒子从O 点离开磁场时，速度与
方向夹角为0~60°范围内的粒子都能打到屏上，临
界粒子的轨迹如图所示
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夹角为60°的粒子进入磁场时的纵坐标
解得
打到荧光屏上的粒子占粒子源发出粒子总数的百分比
解得
（3）设速度与
方向夹角为θ 的粒子从O 点离开磁场，经电场偏转恰好打到屏下端，则
方向：
方向：
得到
因为夹角为θ 的粒子恰好打到荧光屏的下端，所以θ 的值只有一解，
，即
解得
由牛顿第二定律
解得
25．（2025·河南·模拟预测）如图所示的直角三角形区域
内存在垂直纸面向里的匀强磁
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场（含边界），
、
，
，在
边的某部分区域内有一线状粒子发
射源，发射源能在纸面内垂直
边向磁场区域发射一系列比荷均为k，速率相等的粒子，最
终粒子均从
边离开磁场。粒子在磁场中运动的最短时间为
，且该粒子刚好垂直
边
离开磁场；粒子在磁场中运动的最长时间为
，且轨迹与
边相切。忽略粒子的重力以
及粒子间的相互作用，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电
B．磁感应强度大小为
C．粒子射入磁场的速率为
D．发射源的长度为
【答案】BD
【详解】A．题意知粒子均从
边离开磁场，可知粒子刚进入磁场时洛伦兹力水平向左，左
手定则可知粒子带正电，故A 错误；
B．题意知粒子在磁场中运动的最短时间为
，且该粒子刚好垂直
边离开磁场，几何关系
可知粒子扫过的圆心角为
，则有
因为
联立解得磁感应强度大小
故B 正确；
C．粒子在磁场中运动的最长时间为
，且轨迹与
边相切，轨迹如图
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粒子扫过的圆心角
则可知
几何关系有
因为
联立解得
故C 错误；
D．几何关系可知发射源的长度为
故D 正确。
故选BD。
26．（2025·河北张家口·二模）如图所示，在平面直角坐标系
的第一象限中有一半径为
的半圆弧，此半圆弧的圆心
的坐标为（0，
），打到半圆弧的所有带电粒子均能被半
圆弧吸收。
轴右侧半圆弧以外的区域存在着垂直坐标平面向里、磁感应强度大小为
的匀
强磁场，一位于坐标原点
的粒子源，可以沿
轴正方向射出比荷为
、不同速度大小的某
种正粒子，不计粒子重力，若射出的粒子全部被半圆弧吸收，求；
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(1)粒子源射出粒子速度的最小值和最大值；
(2)粒子在磁场区域中运动的最短时间。
【答案】(1)
，
(2)
【详解】（1）设粒子做圆周运动的最小半径为
，最小速度为
，由题意可得
由
解得粒子源射出的粒子速度的最小值为
设粒子做圆周运动的最大半径为
，最大速度为
，由题意可得
由
解得粒子源射出的粒子速度的最大值为
（2）粒子在磁场区域运动的时间最短时，设其圆周运动的半径为
，如图所示
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过O 点做半圆弧的切线相切于A 点，由O 点到A 点的粒子在磁场中运动时间最短，由几何关
系可得
，
最短时间为
又
，
可得
联立解得
27．（2025·山西晋城·二模）如图所示，平面直角坐标系的第一象限内有沿y 轴负方向的匀强
电场，电场强度大小为E，第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
为B，在y 轴上，从
两点沿x 轴正向以相同初速度
分别射出相同的带正
电的粒子a 和b，a 进磁场时速度方向与x 轴正向的夹角为
，粒子间的相互作用和重力不
计，求：
(1)带电粒子的比荷；
(2)两粒子第一次经过x 轴的位置间的距离；
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(3)在磁场中放一平行于x 轴的足够长荧光屏，调节荧光屏到x 轴的距离，使a 粒子向下垂直
打在荧光屏上，则a、b 两粒子打在荧光屏上的位置间的距离为多少。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设a 第一次经过x 轴时到O 点距离为
，据类平抛运动规律有
根据题意有
解得
据牛顿第二定律有
，
解得
（2）设b 第一次在电场中运动的时间为
，则有
解得
设b 第一次经过x 轴时到O 点距离为
，则有
则a、b 第一次经过x 轴时的位置间的距离为
（3）若粒子进磁场时速度与x 轴正向夹角为
，则进磁场时的速度
根据牛顿第二定律有
解得
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粒子做圆周运动的圆心到x 轴的距离
即a、b 在磁场中做圆周运动的圆心在平行于x 轴的同一直线上，即a 能垂直打在荧光屏上，
b 也垂直打在荧光屏上。
a 在磁场中做圆周运动的半径
设b 进磁场时的速度为
，根据动能定理有
解得
设
与x 轴正向夹角为
，则有
b 在磁场中做圆周运动的半径
a、b 打在荧光屏上的位置间的距离
解得
28．（2025·重庆·三模）如题图所示，x 轴上方存在垂直xOy 平面向外，磁感应强度大小为B
的匀强磁场。位于坐标原点
的离子源从
时刻开始、沿xOy 平面持续发射速度大小范围
为
、质量为
、电荷量为+q 的粒子，离子源发出的各种速度的粒子向各个方向
都均匀分布。不计离子重力及离子间相互作用，且忽略相对论效应。则（ ）
A．速度为
的离子，在磁场中匀速圆周运动的半径为L
B．速度为
的离子，在x 轴上能够被探测到的区间为
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C．在
时间段内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为
D．在
时间段内，磁场中可探测到离子区域的最大面积为
【答案】AD
【详解】A．根据洛伦兹力提供向心力得
得
将
代入得
故A 正确；
B．根据左手定则可知，射入磁场中的离子将沿顺时针方向做匀速圆周运动，当
时
沿各个方向射入磁场的离子的运动轨迹如图所示
由图可知，在x 轴上能够被探测到的区间为
故B 错误；
CD．离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为
所以
在
时间段内，0 时刻射入磁场的离子在磁场中转过的圆心角均为
，磁场中可探测
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到离子最远点落在一段圆弧上，该圆弧以O 为圆心、以
为半径、对应的圆心角为
，如图所示
可探测到离子区域的最大面积为
故C 错误，D 正确。
故选AD。
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