文档文本内容
专题 直线与圆的最值与范围
近三年：
1、考查内容与频率：“直线与圆的最值与范围”问题是解析几何的基础核心考点，在近三年的高考全国
卷及各省市试卷中出现频率极高。
2、考查重点：命题重点集中在利用直线与圆、圆与圆的位置关系，通过距离公式、斜率公式、圆的参数
方程等工具，求解距离、斜率、截距、长度（弦长、切线长）、面积等几何量的取值范围或最值。其核心
目标是检验考生的数形结合思想和基本代数变形能力。
预测2026 年：
将继续以选择题或填空题为主，考查内容、频率、题型、难度将保持稳定，命题将重点考查几何意义的转
化与运用。考生需要具备从复杂条件中识别出“隐形圆”轨迹的能力，并能熟练运用直线与圆相切时判别
式为零这一关键条件来求解临界值。同时，利用圆的参数方程进行三角代换以求最值的方法，仍是重要的
命题方向，需重点关注最值问题与向量、函数、三角函数等知识的简单结合，体现基础知识的综合运用能
力。
内容导航
热点解读
题型突破
限时训练
热点内容解读
深度剖析 解读热点：分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。
热点题型突破
逐一剖析 解题归纳：对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。
热点限时训练
模拟实战 巩固提升：限时完成题目训练，提升解题能力。
1
题型01 与斜率、倾斜角有关的范围问题
解｜题｜策｜略
1、 几何条件代数化
即先将题目中关于直线位置、变化的几何约束条件，准确地转化为关于斜率 k 或倾斜角 α 的不等式
（或方程），然后通过求解这个不等式（或方程）来确定范围。
2、数形结合
画图定性：首先根据题意画出满足条件的直线大致位置，直观判断倾斜角的大致范围。
找临界：确定倾斜角变化的边界（通常是垂直或水平位置）。
转化求解：
若已知的是斜率k 的范围，则根据 k = tanα 的单调性求解。在 (0°, 90°) 和 (90°, 180°) 上，tanα 分别
单调递增。
若已知的是几何条件（如直线与线段相交、在两直线之间等），先求出斜率的范围，再转化为倾斜角范
围。
注意直角：时刻检查是否存在斜率不存在（α = 90°）的情况，并判断它是否包含在范围内。
1．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为
，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
2．（2025·安徽马鞍山·一模）设点
，
，若直线
与线段
没有公共点，则实数
a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南信阳·模拟预测）已知矩形ABCD 四个顶点分别为
，一质点从线段AB 上某一点M 处（不包含端点），沿与AB 夹
角为60°的方向射到边BC 上，再依次反射到边CD，DA 和AB 上（入射角等于反射角），则
的取值范围
为 ．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）已知
是圆C：
上任意一点，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·上海浦东新·模拟预测）已知直线过点
，且上至少有一点到点
的距离为2，则的
倾斜角的最大值为 .
题型02 与两点距离、点到直线的距离有关的最值与范围
解｜题｜策｜略
在几何问题上，求与距离相关的最值时，核心为“两点之间，线段最短”或“点到直线的距离，垂线段
最短”这两个最基本的几何公理。
动态问题处理：
1、找定点：如动直线过某定点，找到这个定点，就找到了问题的“锚点”。
2、找轨迹：如题目给出动点，若能找到该动点的运动轨迹，问题就能迎刃而解了。
1．（2025·上海奉贤·二模）直线
上的动点
和直线
上的动点
，则点
与点
之间距离的最小值是 ．
2．（2025·北京昌平·二模）已知半径为1 的圆经过原点，其圆心到直线
的距离为
，则
的
最大值为（ ）．
A．1
B．2
C．3
D．4
3
3．（2025·河南信阳·模拟预测）
是圆
上的动点，
是直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江苏南京·二模）设
，过定点
的动直线
和过定点
的动直线
交于点
，点
到直线
的距离为
，则
的取值范围为 .
5．（2025·安徽·模拟预测）已知点
，
为圆
上两点，
，点
为线段
的中
点，点
为直线
上的动点，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．
题型03 与直线与圆的位置关系有关的最值与范围
解｜题｜策｜略
1.如果直线是动直线，则分析直线与圆不同的位置关系时，目标值的变化，关键在相切时。
2.根据圆心到直线的最短距离为圆心到直线的垂线，半径不变这两个原则去分析目标值的变化
1．（2025·湖南·一模）已知点
为直线
上的一个动点，
为圆
上任意两个不重合的点，记
的最小值为
的最大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·浙江金华·一模）若圆
上存在两点
，直线
上存在点
，使得
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
4
C．
D．
3．（2025·福建·模拟预测）已知直线
与圆
交于不同的两点A，B，
若
存在最小值且最小值不大于
，则的取值范围为（ ）
A．
B．( √3,2√3]
C．
D．
4．（2025·江西新余·模拟预测）过直线
上的任意一点
作圆
的两条切线，切点
分别为A，B，则点
到直线AB 的距离的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
题型04 由圆上点到直线距离为定值的个数求最值与范围
解｜题｜策｜略
1.几何转化：圆上点到直线l的距离为 m 的点的轨迹，是与l 平行且距离为 m 的两条直线l1
和 l2。
2.问题等价于 “圆与两条平行直线l1 和 l2有几个公共点”。
3.分类讨论：通过比较圆心 C 到直线l 的距离 d与圆的半径 r，以及定值 m 之间的关系，来
确定交点个数。
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知圆
上到直线
的距离为1 的点有且仅
有2 个，则r 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东青岛·三模）若圆
上总存在两个点到点
的距离为3，则实数
取值范围是
3．（2025·四川·三模）已知圆
上恰有两个点到直线
的距
离为2，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 与圆的弦长有关的最值与范围
解｜题｜策｜略
通常问题是求过定点的直线与圆的相交弦长的最短与最长。
5
1、当直线过圆心时，与圆的相交弦是最长的，为直径的长度
2、当直线垂直于定点与圆心的连线时，此时的相交弦时最短的，根据半径与定点与圆心连线
的长度可求得。
1．（2025·全国·模拟预测）已知圆
的方程为
，直线的方程为
，直线被圆
截得的弦中长度为整数的共有 条.
2．（2025·贵州黔东南·三模）直线
与圆
交于
两点，若
的最大值为
4，则
的最小值为 ．
3．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知直线
与圆
相交于A，B 两点，若
，则实数k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·辽宁沈阳·一模）已知直线
被圆
截得的最短弦长
为
，则
．
题型06 代数式的几何意义与最值与范围
解｜题｜策｜略
将代数式转化为几何意义，然后进行数形结合来求最值。
1、若遇到带平方跟开方的，联想到两点间的距离公式，把它构造成两个点。
2、遇到跟x、y 有关的代数式，可以联想到点到直线的距离，两平行直线的距离公式
3、熟悉圆的方程、直线方程，把代数式转化成圆上点或者直线上点，将代数问题转化为几何
问题。
1．（2025·辽宁·三模）函数
（
）的最小值（ ）
A．4
B．
C．5
D．
6
2．（2025·陕西西安·一模）已知
，
满足
，则
的最小值为 .
3．（2025·山东·一模）实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）实数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 与新定义有关的最值与范围
解｜题｜策｜略
1、理解题目中的给出的定义，如果能画出轨迹，既可以使用几何方法，与平时常用的知识点
结合，如两点间的距离最短、点到直线的垂线最短，求出最值。
2、如果没法得到轨迹，可以尝试用代数方法，根据基本不等式、求导等方式去求取最值。
1．（2025·湖南长沙·三模）已知点
，定义A，B 两点间的曼哈顿距离
，欧氏距离
．在平面直角坐标系xOy 中，已知点
，点
满足
，点
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河南·二模）已知曲线
，点
在曲线
上，则下列结论错误的是（ ）
A．曲线
围成的图形的面积为
B．
的最小值为
C．点
到直线
的距离的最大值为
D．曲线
有且仅有2 条对称轴
3．（2025·辽宁大连·模拟预测）若点
为
上一动点，
为直线
7
上一动点，其中
．记
，则
最小值的取值范围是
．
4．（2025·湖北十堰·三模）定义：
表示点
到曲线
上任意一点的距离的最小值．已知
是圆
上的动点，圆
，则
的取值范围为 ．
题型08 直线与圆的最值与范围综合题
解｜题｜策｜略
主要考察动直线、动圆、直线上的动点、圆上的动点等距离相关的最值与范围问题。
1、利用点到直线的垂线最短、两点间距离的最短，来求最短距离
2、由动点向圆做切线，考察切线的变化。此时可以用动点与圆心的距离d，半径r 来求切线
长，在根据d 的变化来确定切线长的变化。
3、动直线与圆相交弦长。找到动直线过的定点，则动直线过圆心时，截的弦最长，动直线与
定点圆心确定的直线垂直时，截的弦最短
1．（2025·广东深圳·模拟预测，多选）设动直线：
交圆
：
于A，B 两点（点
为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l 过定点
B．当
取得最小值时，
C．当
最小时，其余弦值为
D．
的最大值为24
2．（2025·湖南·一模，多选）已知圆
，直线
，点
为圆
上
一点，点
为坐标原点，则下列叙述正确的有（ ）
A．
的最小值为
B．当
时，直线与圆
相切
C．
的最小值为
D．若圆
上有且仅有三个点到直线的距离为
，则
3．（2025·辽宁·三模，多选）已知直线
与x 轴、y 轴交于
两点，点P 为圆
8
上的动点，则（ ）
A．直线
与圆C 相离
B．
的面积为12
C．当
最小时，
D．点P 到直线
距离的最大值为
4．（2025·河北·模拟预测，多选）已知
是圆
上的一点，
是圆
上的一点，
为直线
上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的最大值为
5．（2025·湖北武汉·三模，多选）已知圆
，直线与圆
交于
，
两点，点
为圆
上异于
，
的任意一点，若
，
，则（ ）
A．
B．
面积的最大值为
C．直线的方程为
D．满足到直线的距离为
的点
有且仅有3 个
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·江西萍乡·一模）已知直线
的斜率为
，则
的最大值为 .
2．（2025·安徽合肥·模拟预测）长度为2 的线段AB 的两个端点分别在x 轴及y 轴上运动，则线段AB 的中
9
点到直线
距离的最大值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知直线：
，
是圆
：
上的一动
点，则点
到直线的距离
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·甘肃·模拟预测）若圆
上恰有三个不同的点到直线
的距离
为1，则
.
5．（2025·吉林·模拟预测）平面上的整点（横纵坐标都是整数的点）到直线
的距离的最
小值为 ．
6．（2025·上海松江·二模）已知点
为直线
上的点，过点
作圆
的切线
，切点为
，则
最大值为 .
7．（2025·天津·二模）已知点P，Q 在直线l：
上运动，点H 在圆C：
上，
且有
，则
的面积的最大值为 .
8．（2025·四川资阳·模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象
概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，
曲线C：
就是一条形状优美的曲线，曲线C 围成的图形的周长是为 ；若
是
曲线C 上任意一点，
的最小值为 .
9．（2025·广东广州·模拟预测，多选）已知圆
，直线
，直线
与圆
交于
，
两点，则（ ）
10
A．直线过定点
B．
的最小值为2
C．
的取值范围为
D．当圆
上恰有三个点到直线的距离等于
时，
10．（2025·山东聊城·模拟预测，多选）已知圆
与
轴相交于两点
，且与直
线
不相交．则下列选项正确的是（ ）
A．
的取值范围是
B．
为坐标原点，则
的最小值为6
C．当圆
与直线相切时，
（
在
下方）
D．若
，过上一点作圆
的切线
（
为切点），则切线长
的最小值为3
11
