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专题 02 常用逻辑用语
【知识点梳理】
一、充分条件、必要条件、充要条件
1、定义
如果命题“若 ，则 ”为真(记作 )，则 是 的充分条件；同时 是 的必要条件.
2、从逻辑推理关系上看
（1）若 且 ，则 是 的充分不必要条件；
（2）若 且 ，则 是 的必要不充分条件；
（3）若 且 ，则 是 的的充要条件(也说 和 等价)；
（4）若 且 ，则 不是 的充分条件，也不是 的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质： ，则 是 的充分条件，同时 是
的必要条件.所谓“充分”是指只要 成立， 就成立；所谓“必要”是指要使得 成立，必须要 成立
(即如果 不成立，则 肯定不成立).
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“
”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对 中的任意一个 ，有 成立”
可用符号简记为“ ”，读作“对任意 属于 ，有 成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符
号“ ”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在 中的一个 ，使 成
立”可用符号简记为“ ”，读作“存在 中元素 ，使 成立”（存在量词命题也
叫存在性命题）.
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题 的否定 为 ， .
（2）存在量词命题 的否定 为 .
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.
【方法技巧与总结】
1、从集合与集合之间的关系上看
设 .
（1）若 ，则 是 的充分条件( )， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分不必要
条件， 是 的必要不充分条件，即 且 ；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小 大”.（2）若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件；
（3）若 ，则 与 互为充要条件.
2、常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多 至多
(=) (>) (<) （所有） 有一个 有一个
否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有 一个都
(≠) (≤) (≥) 两个 没有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立，要判断全称量词
命题为假命题，只要能举出集合M中的一个 ，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
x
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个
0
使之成立即可，否则这个存在
量词命题就是假命题.
【典型例题】
例1．（2024·陕西西安·西安中学校考一模）已知 ，则下列选项中是“ ”的充分不必要条件
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，当 ，满足 ，但 不成立，
当 时，满足 ，但 不成立，故A错误；
对于B，当 时， ，但 ，故B正确；
对于C， 时， ，但 不成立，
时， ，但 不成立，故C错误；
对于D，因为指数函数 在 上单调递增，故 ，故D错误.
故选：B
例2．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）已知i是虚数单位， ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时，即 ，得 ，而 时， ，推不出一定是 ，即推不出 ;
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
例3．（2024·江苏徐州·高一统考期末）若命题“ ， ”是假命题，则实数 的最小值为
（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】因为命题“ ， ”是假命题，
所以命题“ ， ”是真命题，
因此有 ，所以实数 的最小值为 ，
故选：C
例4．（2024·湖南邵阳·统考一模）命题“ ”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据全称命题或者特称命题的否定，
所以 的否定为 ，
故选：D.
例5．（2024·浙江宁波·高三统考期末）命题“ ， ”为假命题的一个充分不必要条
件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若命题“ ， ”为假命题，
则命题的否定“ ， ”为真命题，
即 ， 恒成立，
， ，当 ，取得最大值 ，
所以 ，选项中只有 是 的真子集，
所以命题“ ， ”为假命题的一个充分不必要条件为 .
故选：D例6．（多选题）（2024·内蒙古呼伦贝尔·高一校考期末）命题“ ”是真命题的一个充
分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】 ，
则 对 都成立，
又 ，所以 ，
观察选项可得命题“ ”是真命题的一个充分不必要条件是BCD.
故选：BCD.
例7．（多选题）（2024·黑龙江绥化·高三校考期末）已知 ， ， 是实数，则下列命题正确的是（ ）
A． 是 的充分不必要条件 B． 是 的既不充分也不必要条件
C． 是 的充分不必要条件 D． 是 的必要不充分条件
【答案】BD
【解析】取 ， ，得 ，但 ，充分性不成立；
取 ， ，得 ，但 ，故A错，B对；
当 时，则 ，充分性不成立；若 ，则 ，所以 ，
即 是 的必要不充分条件，故C错，D对.
故选：BD
例8．（2024·云南昆明·高一期末）已知 ， （a为实数）．若q的一个充分不必要条件
是p，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为q的一个充分不必要条件是p，
所以 是 的一个真子集，
则 ，即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
例9．（2024·上海松江·高三校考期末）已知 ，且 是 的充分不必要条
件，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】 ，解得 ，设 ， ，
若 是 的充分不必要条件，则 ，则有 ，且等号不会同时取到，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
故答案为： .
例10．（2024·陕西西安·高三校考期末）集合 ，其中b是实数，若A是B的充
要条件，则b= ；若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是 （答案不唯一，写出一
个即可）
【答案】 /0.5
【解析】因为A是B的充要条件，则 解集相同. ，得 ，因为
，则 ，解得 ；因为A是B的充分不必要条件，即
，又因为 ，且 ，则 ，需要 ，解得 ，即
故答案为： ；
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知直线 和直线 ，则
“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若直线 和直线 平行，
则 ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，
故选：A
2．（2024·河南·高三校联考期末）已知 ，直线 ： ， ： ，则“
”是“ ”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由直线 与 不相交，得 ，解得 或 ，
当 时，直线 ： 与 ： 重合，
当 时，直线 ： 与 ： 平行，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3．（2024·江苏南京·高三南京师大附中期末）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”．其名
篇“但使龙城飞将在，不教胡马度阴山”（人在阵地在，人不在阵地在不在不知道），由此推断，胡马度
过阴山是龙城飞将不在的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【解析】因为人在阵地在，所以胡马度过阴山说明龙城飞将不在，
因为人不在阵地在不在不知道，所以龙城飞将不在，不能确定胡马是否度过阴山，
所以胡马度过阴山是龙城飞将不在的充分不必要条件，
故选：D
4．（2024·山西运城·高三统考期末）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】B
【解析】 ，解得 ，
由于 是 的真子集，
故 是 的必要不充分条件.
故选：B
5．（2024·江苏常州·高三统考期末）对任意实数 ， ， ，在下列命题中，真命题是（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】B
【解析】对于A，若 ，则由 ， “ ”不是“ ”的必要条件，A错．
对于B， ， “ ”是“ ”的必要条件，B对，对于C，若 ，则由 ，推不出 ，“ ”不是“ ”的充分条件
对于D，当 时， ，即 成立，此时不一定有 成立，
故“ ”不是“ ”的充分条件，D错误，
故选：B．
6．（2024·福建漳州·统考模拟预测）若 ， 为真命题，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 ， 为真命题，则 .
因为 在 上的最小值为 ，所以 ，
故选：D.
7．（2024·湖北十堰·高三郧阳中学校考期末）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【解析】命题“ ”的否定是“ ， ”.
故选：C.
8．（2024·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考开学考试）若命题“ ”为假
命题，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意命题“ ”为真命题，
所以当且仅当 ，
解得 ，即m的取值范围是 .
故选：C.
9．（2024·湖北武汉·高三统考期末）命题“有些三角形是直角三角形”的否定为（ ）
A．所有三角形都是直角三角形
B．所有三角形都不是直角三角形
C．有些三角形不是直角三角形
D．有些三角形不是锐角三角形
【答案】B
【解析】由命题否定的概念可知，命题“有些三角形是直角三角形”的否定为“所有三角形都不是直角三角形”.
故选：B
10．（2024·全国·模拟预测）已知命题 ， ，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】命题 ， 是特称命题，
所以 为 ， ．
故选：D．
11．（2024·天津·高三校联考期末）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 ，得 ，必有 ，
而当 时， 可以是负数，如 成立，却有 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
二、多选题
12．（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知 ，则是“ ”的充分不必要条件有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，取 ，此时有 ，故A不符合题意；
对于B，由对数函数单调性可知 ，故B符合题意；
对于C， ，故C不符
合题意；
对于D， ，故D符合题意.
故选：BD.
13．（2024·江苏扬州·高三统考期末）下列选项中，能说明“ ，都有 ”为假命题的x取
值有（ ）.A． B． C．0 D．3
【答案】AB
【解析】易知 ，但 ，此时为假命题，即A正确；
同理 ，但 ，此时为假命题，即B正确；
而 ，但 ，此时为真命题，即C错误；
显然 ，可得D错误；
故选：AB
14．（2024·黑龙江·高三统考期末）关于 的不等式 对任意 恒成立的充分不必要条件有
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】当不等式 对任意 恒成立时，
有 ，解得 ，记 .
当 的取值范围是集合 的非空真子集时，即为不等式 对任意 恒成立的充分不必要条件，
AB选项中的范围满足题意.
故选：AB
15．（2024·山东临沂·高三统考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】BCD
【解析】对于A，当 时， ，A是假命题；
对于B，令 ，求导得 ，当 时， ，函数 递减，
当 时， ，函数 递增， ，即 ， ，B是真命题；
对于C，令函数 ，显然 ，因此连续函数 在 上有零点，C
是真命题；
对于D，令函数 ，显然 ，因此连续函数 在 上有零点，D
是真命题.
故选：BCD16．（2024·新疆喀什·统考一模）命题“ 是 的必要不充分条件”是假命题，则 不可能的取值
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BCD
【解析】由 是 的必要不充分条件，得 ，
于是命题“ 是 的必要不充分条件”是假命题，有 ，
所以 不可能的取值是2，3，4，即BCD正确，A错误.
故选：BCD
17．（2024·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考期末）已知实数 ，则“ ”的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】对于A，因为函数 是 上的增函数，
所以 ，所以 是“ ”的充要条件，故A正确；
对于B，由 ，得 ，
当 时， 无意义，
所以 是“ ”的充分不必要条件，故B错误；
对于C，因为函数 是 上的增函数，
所以 ，所以 是“ ”的充要条件，故C正确；
对于D，当 时， ，
所以 不是“ ”的充要条件，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
18．（2024·云南昆明·高二统考期末）若 是 的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个 为
．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 ，解得 或 ，故 ，
因为 是 的一个充分不必要条件，
写出一个范围比 小的即可，
故 .
故答案为： （答案不唯一）19．（2024·天津河西·高三统考期末）命题：“ ， ”的否定为 .
【答案】 ，
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题：“ ， ”的否定为 ， .
故答案为： ， .
20．（2024·上海虹口·高一统考期末）已知 ， ，若 是 的充分条件，则实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 可得 ，则 ，解得 ，
即 ，
若 是 的充分条件，则 是 的子集，
可得 ，所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
21．（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）若命题“ ”为假命题，则实数
m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】命题“ ”的否定为：“ ”
命题“ ”为假命题等价于命题“ ”为真命题；
当 时， ，成立；
当 时，结合一元二次函数的图象可得： ，解得 ，
综上，实数m的取值范围是 .
故答案为： .
22．（2024·北京大兴·高三统考期末）能够说明“设 是任意实数.若 ，则 ”是假命题的
一组整数 的值依次为 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】当 时，满足 ，但是 ， .
故答案为： （答案不唯一）
23．（2024·山东菏泽·高三校考期末）命题“ ， ”为假命题，则实数 的取值范围是
．【答案】
【解析】命题“ ， ”是假命题，
则它的否定命题“ ， ”是真命题，
当 时，不等式为 ，显然成立；
当 时，应满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
24．（2024·辽宁沈阳·高三校联考期末）若命题“ ， ”为真命题，则实数 的取值
范围是 .
【答案】
【解析】由题意， 为真命题，即 ， 恒成立，
令 ， ，对称轴为 ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
结合对称性可得 ，
即可，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
25．（2024·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若“ ”是真命题，则 的取值范围
是 .
【答案】
【解析】因为“ ”是真命题
当 时， 恒成立，符合题意，
当 时，由 解得 ，
故 的取值范围是 .
故答案为： .
26．（2024·山东菏泽·高三统考期末）若命题“存在 ，使得 ”是假命题，则实数a的取值范
围是 .
【答案】
【解析】因为命题“存在 ，使得 ”是假命题，所以命题“任意 ，使得 ”是真命题，即 在 上恒成立，
则 ，即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
27．（2024·四川南充·模拟预测）若命题“ ，使得 成立”为真命题，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
【解析】因为命题“ ，使得 成立”为真命题，
所以 ，解得 .
故答案为：
28．（2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）“ 或 ”是“ ”的 条件.
【答案】充要
【解析】命题“若 或 ，则 ”是真命题，
命题“若 ，则 或 ”是真命题，
所以“ 或 ”是“ ”的充要条件.
故答案为：充要
29．（2024·黑龙江大庆·大庆市东风中学校考模拟预测）已知有三个条件：① ；② ；③
，中能成为 的充分条件的是 填序号
【答案】①
【解析】①由 可知 ，即 ， 故“ ”是“ ”的充分条件；
②当 时， ；
③当 ， 时，满足 ，有 ；
故②、③不是 的充分条件.所以能成为“ ”的充分条件的只有①，
故答案为：①.
30．（2024·内蒙古呼和浩特·统考二模）有下列命题：①若“ ，则 或 ”是真命题；②命
题“ ， ”的否定是“ ， ”；③ ， 为真命题，则a的
最大值为2.其中正确的是 （填序号）.
【答案】①③
【解析】对于①，若“ ，则 或 ”的逆否命题为：若 且 ，则 ，显然逆
否命题为真命题，
由于原命题和逆否命题为等价命题，故该命题是真命题，故①为真命题；
对于②，命题“ ， ”的否定是“ ， ”，故②为假命题；对于③，因为 ， 为真命题，所以 ，
因为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，即a的最大值为2，故③为真命题.
故答案为：①③.
