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专题三 立体几何
第2 讲 空间角与空间距离
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅱ卷，T17)如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，∠DAB=90°，F 为CD 的中点，点E 在AB 上，
EF∥AD，AB=3AD，CD=2AD，将四边形EFDA 沿EF 翻折至四边形EFD'A'，使得面EFD'A'与面EFCB 所
成的二面角为60°.
(1)证明：A'B∥平面CD'F；
(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.
2.(2025·北京，T17)四棱锥P-ABCD 中，△ACD 与△ABC 为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°，E
为BC 的中点.
(1)F 为PD 的中点，G 为PE 的中点，证明：FG∥面PAB；
(2)若PA⊥面ABCD，PA=AC，求AB 与面PCD 所成角的正弦值.
【命题预测】本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为
15~17 分.
【考向预测】一是考查利用空间向量求线线角、线面角、二面角；二是考查利用空间向量解决距离问题；
三是考查利用空间向量解决探索性问题，这类问题利用向量法往往容易上手，具有操作方便的优势.
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考点一 空间角
【典例】1 (2025·嘉兴模拟)如图，在边长为2 的正三角形ABC 中，E，F 分别为AC，BC 的中点，将
△CEF 沿EF 翻折至△PEF，使得PE⊥AE.
(1)证明：平面PBE⊥平面ABFE；
(2)求直线PB 与平面PEF 所成角的正弦值.
【变式训练】1 (2025·浙江Z20 名校联盟联考)如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，
∠BAD=60°，AB=4，AD=2，PB=PD=2√3，且AD⊥PB.
(1)证明：BC⊥平面PBD；
(2)求二面角C-PA-D 的余弦值.
考点二 空间距离
【典例】2 (2025·汉中模拟)如图，在四棱锥E-ABCD 中，F 为边AD 的中点，AB∥CD，AB⊥平面
ADE，CD=AD=2AB=2DE=4，∠ADE=60°.
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(1)求证：AE⊥CE；
(2)求平面ABE 与平面CEF 所成角的余弦值；
(3)设G 为边AD 上的点，满足BG=√5，求点G 到平面CEF 的距离.
【变式训练】2 (2025·泰州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1=BC1=CA1，BC1⊥CA1.
(1)证明：三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱；
(2)证明：AB1⊥CA1；
(3)设AB1⊂平面α，BC1∥平面α，若直线BC1与平面α 的距离为√3，求三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表
面积.
考点三 空间中的探索性问题
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【典例】3 (2025·南宁模拟)等腰梯形ABCD 中，BC∥AD，BC=1
2AD，A=60°，点E 为AD 中点(如图1).
将△ABE 沿BE 折起到△A1BE 的位置，点O，F 分别为BE，DE 的中点(如图2).
(1)求证：平面BCDE⊥平面A1OC；
(2)如果BC=2，平面A1BE⊥平面BCDE，那么侧棱A1C 上是否存在点P，使得BP∥平面A1OF？若存在，
求平面PBE 与平面A1OF 夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.
【变式训练】3 (2025·黄冈模拟)如图，在三棱锥P-ABC 的平面展开图中，AC=1，AB=AD=√3，
AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°.
(1)求∠FCB 的余弦值；
(2)在三棱锥P-ABC 的棱AP 上是否存在点Q，使得平面ABP 和平面BCQ 夹角的余弦值为√15
5 ？若存在，
求出点Q 的位置；若不存在，说明理由.
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【限时训练】（限时：60 分钟）
1.(13 分)(2025·宁波模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=2√2.N 是B1C1的
中点，P 是BC1与B1C 的交点.
(1)若Q 是A1N 的中点，证明：PQ∥平面A1BC；(7 分)
(2)求A1P 与平面A1BC 所成角的正弦值.(6 分)
2.(15 分)(2025·天津)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F 分别为A1D1，C1B1的中点，CG=3GC1.
(1)求证：GF⊥平面FBE；(4 分)
(2)求平面FBE 与平面EBG 夹角的余弦值；(5 分)
(3)求三棱锥D-FBE 的体积.(6 分)
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3.(15 分)(2025·河南豫东名校模拟)如图1，在边长为4 的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，点M，N 分别是边
BC，CD 的中点，AC∩BD=O1，AC∩MN=G.沿MN 将△CMN 翻折到△PMN 的位置，连接PA，PB，PD，得
到如图2 所示的五棱锥P-ABMND.
(1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论；(5 分)
(2)若平面PMN⊥平面MNDB，线段PA 上是否存在一点Q(异于点A)，使得平面QDN 与平面PMN 夹角的
余弦值为√13
13 ？若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由.(10 分)
【拓展训练】(共17 分)
4.(17 分)(2025·包头模拟)如图，在四棱锥S-ABCD 中，AD⊥平面SCD，AB∥CD，BC=SD，AB=2CD=6，
SC=AD=4，点E 在棱SD 上，且不与S 和D 重合，平面ABE 交棱SC 于点F.
(1)求证：CD∥EF；(3 分)
(2)若E 为棱SD 的中点，求二面角D-AE-B 的正弦值；(7 分)
(3)记点D，S 到平面ABE 的距离分别为d1，d2，求d1d2的最大值.(7 分)
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