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第三章 一元函数的导数及其应用
必刷大题6 导数的综合问题
[分值：60分]
【高考考向预测】
近三年高考导数综合问题属于试卷压轴必考内容，考查频次极高，常以解答大题形式出现，
融合切线求解、单调区间判定、极值最值分析、零点探究、含参不等式恒成立与存在性证明等基
础考点，同时串联隐零点、端点效应、参数分离、极值点偏移、指对放缩、双变量构造等高频解
题技巧，题型综合性强、思维难度大，是拉开分数差距的关键题型；预测2027 年该类题型依旧为
高考重难点压轴题型，命题将进一步弱化固定解题模板，侧重复杂超越函数与分段函数结合考查，
增多区间限制型探究、多参数分类讨论、实际背景建模以及跨知识点融合设问，更加注重考查学
生等价转化、分类讨论、数形结合的数学思想，以及式子灵活变形、精准估值推理和完整规范书
写论证过程的综合解题素养。
【限时训练】
（45分钟）
1.(13分)已知函数f(x)=xex-mx2.
(1)求曲线y=f(x)在(0，f(0))处的切线方程；(4分)
(2)若函数g(x)=f(x)-ex在x=0处取到极小值，求实数m的取值范围.(9分)
2.(15分)已知函数f(x)=a
(1 x2−x )
+(x-2)ex(a∈R).
2
(1)讨论函数f(x)的单调性；(8分)(2)若对∀x∈[2，+∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.(7分)
3.(15分)(2025·武汉模拟)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)在区间D上单调递增，则称f(x)为区间
x
D上的凹函数；若f'(x)在区间D上单调递减，则称f(x)为区间D上的凸函数.已知函数f(x)= +λln(x+1).
ex
(1)若f(x)在[2，3]上为凹函数，求实数λ的取值范围；(6分)
(2)已知F(x)=f(x-1)，且F(x)在(1，+∞)上存在零点，求实数λ的取值范围.(9分)
ex−e−x
4.(17分)已知f(x)= ，g(x)=f(x)-ax.
2
(1)当a=1时，求函数y=g(x)在[0，+∞)上的最小值；(5分)(2)若函数y=g(x)为增函数，求实数a的取值范围；(5分)
1 1 1
(3)若当x>0时，f(x)>x，证明： + +…+ >ln(n+1)，n∈N*.(7分)
❑√12+1 ❑√22+2 ❑√n2+n
