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第三章 一元函数的导数及其应用
进阶篇 不等式的证明方法
进阶1 作差法与双函数构造法
【高考考向预测】
近三年高考导数大题中作差法与双函数构造法考查频次很高，是证明函数不等式、比较函数
大小、处理双变量问题的核心思路，作差构造新式函数研判正负，双函数拆分各自研究最值实现
最值互压，适用范围广且逻辑清晰；预测2027 年仍会作为主流解法频繁考查，命题更侧重复杂结
构式拆分、限定区间内构造变形以及双变量情境下搭配换元联用，常结合指对放缩、极值点偏移
综合设问，减少直白题型，侧重考查灵活拆分构造与严谨单调性分析论证能力。
【核心梳理●明考点】
重点解读 在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构
造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题.
【题型突破●明方向】
题型一 作差构造法
lnx 1
例1 已知函数f(x)= (a∈R)，曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y= .
x+a e
(1)求实数a的值，并求f(x)的单调区间；
(2)求证：当x>0时，f(x)≤x-1.
【跟踪训练】1 已知函数f(x)=x2-ln x.
(1)求f(x)的单调区间；
f(x) 1 1
(2)证明： + x2-x>- .
x 4 4题型二 构造双函数法
例2 设函数f(x)=ax2-(x+1)ln x，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.
(1)求实数a的值；
1
(2)求证：当0<x≤2时，f(x)> x.
2
【跟踪训练】2 已知函数f(x)=eln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当a=e时，证明：xf(x)-ex+2ex≤0.
【限时训练】
（15分钟）
1.(15分)(2026·六安模拟)已知函数f(x)=2(x+2)-ex.
(1)求f(x)的最大值；(7分)
(2)当x≥0时，证明：f(x)<x-sin x+4.(8分)lnx+1
2.(15分)(2026·重庆模拟)已知函数f(x)= ，g(x)=ex-1.
x
(1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分)
(2)证明：f(x)≤g(x).(10分)
