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第60 课时 专题强化：用“动态圆”思想分析临界问题
目标要求 1.理解“平移圆”、“旋转圆”、“放缩圆”的适用条件。2.会用“平移圆”法、“旋转圆”
法、“放缩圆”法分析临界问题。
考点一 “平移圆”
适用条件
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子进
入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径
R＝m v0
qB ，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线
平行
界定方法
将半径为R＝m v0
qB 的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移
圆”法
例1 如图所示，三角形ABC 内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB 边长为L，∠A＝30°，∠B
＝90°，D 是AB 边的中点。现在DB 段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC 边的同种粒子(不
考虑粒子间的相互作用和粒子重力)，若从D 点射入的粒子恰好能垂直AC 边射出磁场，则AC 边上有粒
子射出的区域长度为( )
A.1
4 L
B.1
3L
C.√3−1
2
L
D.√3−1
3
L
考点二 “旋转圆”
适用条件
粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场
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中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为v0，则圆周运动轨迹半径为R
＝mv0
qB ，如图所示
轨迹圆圆心共圆
如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P 为圆心、半径R＝
m v0
qB 的圆上
界定方法
将一半径为R＝m v0
qB 的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这种方
法称为“旋转圆”法
例2 (多选)(2024·山东日照市模拟)如图所示，挡板MQ 左侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感
应强度为B，挡板中间空隙NP 长度为L，纸面上O 点到N、P 的距离相等，均为L。O 处有一粒子源，
可向纸面所在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡
板上的粒子均被吸收。不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法正确的是( )
A.若粒子速率v＝qBL
m ，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为1
6
B.若粒子速率v＝qBL
m ，NP 线段上各处都可能有粒子通过
C.若粒子速率v＝qBL
2m ，粒子能从空隙NP“逃出”的概率为1
6
D.若粒子速率v＝qBL
2m ，NP 线段上各处都可能有粒子通过
拓展 如图所示，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B，磁场
内有一块足够大的平面挡板，板面与磁场方向平行，在距挡板的距离为L 处有一粒子源，可向纸面所
在平面的各个方向随机发射速率相同的带正电的粒子，粒子电荷量为q，质量为m，打到挡板上的粒子
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均被吸收，若粒子速率v＝qBL
m ，则挡板上被粒子打中区域的长度是 (不计粒子的重力和
粒子间的相互作用)。
考点三 “放缩圆”
适用条件
粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒
子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，运动半径也越大。可以发
现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
界定方法
以入射点P 为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界
条件，这种方法称为“放缩圆”法
例3 (2024·山东泰安市检测)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图
中虚线所示，´ab为半圆，ac、bd 与直径ab 共线，ac 间的距离等于半圆的半径。一束质量为m、电荷量
为q(q>0)的粒子，在纸面内从c 点垂直于ac 射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子的重力和粒
子之间的相互作用。在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.7 π m
6qB
B.5 π m
4 qB
C.4 π m
3qB
D.3 π m
2qB
例4 如图所示，正方形区域abcd 内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带
正电的粒子从O 点沿与ab 边成37°角的方向以不同的速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互
作用，已知带电粒子的质量为m、电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8。
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(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad 边离开磁场，求v0的取值范围。
1.临界问题的分析重点是临界状态
临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转
折点即为临界状态点。与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点。
2.极值问题
所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：
一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；二是借助几何图形进行直观分析。
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答案精析
例1 C [由题意可知，粒子均向上偏转，从D 点射入和从B 点射入的粒子的运动轨迹如图所示，设两个
粒子在AC 边上的出射点分别为E、F 点，由于从D 点射入的粒子恰好能垂直AC 边射出磁场，所以A 点为
该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动的半径为R＝1
2L，则有AE＝1
2L，因为D 点是AB 的中点，
所以D 点是从B 点射出的粒子做圆周运动的圆心，所以有AD＝DF，则根据几何知识有AF＝2×1
2L·cos
30°＝√3 L
2
，所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝√3−1
2
L，故A、B、D 错误，C 正确。
]
例2 AB [若粒子速率为v＝qBL
m ，
则轨迹半径r＝mv
qB ＝L
粒子运动情况如图甲所示
从P 点飞出的粒子，轨迹的圆心在N 点，该粒子从O 点发射时的速度方向与ON 垂直斜向右下，与水平方
向成60°角。从N 点飞出的粒子，轨迹的圆心在S 点，该粒子从O 点发射时的速度方向与OS 垂直，水平向
右，两粒子发射速度间的夹角θ＝60°，发射方向在这两个方向之间的粒子都可从空隙NP“逃出”，粒子
“逃出”的概率为
θ
360° ＝1
6，由图甲可知，NP 线段上各处都可能有粒子通过，故A、B 正确；若粒子速
率为v＝qBL
2m ，则轨迹半径r＝mv
qB ＝L
2
粒子运动情况如图乙所示，粒子轨迹与P 点相交时，圆心为A，
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粒子轨迹与PN 相切时，切点为D，圆心为C，两发射速度间的夹角θ＝∠AOC，由几何关系知θ>60°，则
粒子“逃出”的概率为
θ
360° >1
6
由图乙可知OD<ON＝L
则D 在N 点下方，故线段DN 间不可能有粒子通过，故C、D 错误。]
拓展 (√3＋1)L
解析 若粒子速率为v＝qBL
m ，则轨迹半径R＝mv
qB ＝L
粒子运动情况如图所示
根据几何关系可得AB＝L，
AC＝√3L
所求长度为BC＝AB＋AC＝(√3＋1)L。
例3 C [粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定。设轨迹
交半圆´ab于e 点，ce 中垂线交bc 于O 点，则O 点为轨迹圆心，如图所示。圆心角θ＝π＋2β，当β 最大时，
θ 有最大值，由几何知识分析可知，当ce 与´ab相切时，β 最大，此时轨迹过ab 中点，β＝30°，可得θ＝4
3
π，则t＝θ
2π T＝4 π m
3qB ，故选C。
]
例4 (1)143 π m
90qB (2)qBl
4 m<v0≤5qBl
9m
解析 (1)粒子从ab 边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图甲所示，
有qBv0＝mv0
2
R
，又T＝2π R
v0
，
解得T＝2π m
Bq
又由几何关系得θ＝74°，
则粒子在磁场中运动的最长时间t＝360°−74°
360°
T＝143 π m
90qB
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(2)当粒子轨迹与ad 边相切时，如图乙所示，
设此时速度为v01，轨道半径为R1，
由几何关系可得R1＋R1sin 37°＝0.4l
又qBv01＝mv01
2
R1
，解得v01＝qBl
4 m
当粒子运动轨迹与cd 边相切时，如图丙所示，设此时速度为v02，轨道半径为R2，
由几何关系可得R2＋R2cos 37°＝l，
又qBv02＝m v02
2
R2
，解得v02＝5qBl
9m
综上可得qBl
4 m<v0≤5qBl
9m 。
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