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专题 02 数学文化背景下的高考数学之等式与不等式
背景1：《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一
尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余 尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余
1尺.问长木长多少尺.
背景2：十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数
学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远.
背景3：若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在
此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 ( ，
)数学中常称其为糖水不等式.
背景4：《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重
要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．
背景5：设 为两个正数，定义 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，则
有： ，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了
“Lehmer均值”，即 ，其中 为有理数.
等式与不等式知识归纳总结：
1.等式的性质
性质1 如果 ，那么 ；
性质2 如果 ， ，那么 ；
性质3 如果 ，那么 ；
性质4 如果 ，那么 ；性质5 如果 ， ，那么 ；
2.比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
；
；
另外，若 ，则有 ； ； .
3.不等式的基本性质：
（1）对称性： ．
（2）传递性 ： ．
（3）可加性： ．
（4）可积性：① ；② ．
（5）同向可加性： ；异向可减性： ．
（6）同向正数可乘性 ；异向异号可乘性： ；异向
正数可除性： ．
（7）乘方法则： （ ， ）．
（8）开方法则： （ ， ）．
（9）倒数法则： ； ．
4.基本不等式
如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）.
说明：
①对于非负数 ，我们把 称为 的算术平均数， 称为 的几何平均数.
②我们把不等式 称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数
的几何平均数不大于它们的算术平均数.③“当且仅当 时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有 ；另一方面当
时，有 .
④ 结构特点：和式与积式的关系.
5．基本不等式求最值
（1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 （简记为：积定和最
小）.
（2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S2（简记为：和定积最
大）.
6．几个重要不等式（含基本不等式链）
（1） （ ）；
（2） （ ）；
（3） 2（ ）；
（4） 或 （ ）；
（5）
1 借助数学文化考查考查等式
《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长
几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余 尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问
长木长多少尺 （ ）
A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺
变式1.我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十
四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得
____________两银子”.
2 借助数学符号的引入考查不等关系
（多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数
学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远.若a，b， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
变式1.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数
学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深
远.若 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
借助生活情境考查不等关系
3
若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水
中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 ( ， )
数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出 ___________ (用“ ”或“ ”填
空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________.变式1.若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在
此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 ( ，
)数学中常称其为糖水不等式.已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式2.若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在
此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 ( ，
)数学中常称其为糖水不等式.比较大小: 与 ？
借助数学文化考查基本不等式
4
《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依
据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图
所示图形，点 在半圆 上，点 在直径 上，且 ，设 ， ，则该图形可以完成
的无字证明为（ ）A． B．
C． D．
变式1.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依
据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图3－3－1
所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E,设AC
＝a,BC＝b,则该图形可以完成的“无字证明”为（ ）
A． B．
C． D．
变式2.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重
要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如
下图形： 是半圆 的直径，点 在半圆周上， 于点 ，设 ， ，直接通过
比较线段 与线段 的长度可以完成的“无字证明”为（ ）
A． B．
C． D．借助基本不等式数学背景进行考查
5
（多选）设 为两个正数，定义 的算术平均数为 ，几何平均数为 ，则
有： ，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了
“Lehmer均值”，即 ，其中 为有理数.下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1.(多选)设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为 ，几何平均数为
．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即
，其中p为有理数．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“ ”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.
若 ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 且 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 且 ，则
2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家
哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记
载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算
法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被
除数除以除数得结果，即出南门 里见到树，则 ．若一小城，如图所示，出东门1200
步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A． 里 B． 里 C． 里 D． 里
4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构
造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段
，记为第1次操作；再将剩下的两个区间 ， 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间
段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，
同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前n
次操作去掉的所有区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数n的最小值为（ ）( ，)
A．8 B．9 C．10 D．11
5.早在西元前 世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学
家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今
我们称 为正数 的算术平均数， 为正数 的几何平均数，并把这两者结合的不等式
叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ， ，则 最小值为
C．若 ， ，
D．若实数 满足 ， ， ，则 的最小值是1
6．（多选）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉
斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致
相同.而今我们称 为正数a，b的算术平均数， 为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不
等式 叫作基本不等式.已知实数a，b满足 ， ，a+b=2，则下列结论正确
的有（ ）
A． 的最小值是 B． 的最小值为3
C． 的最大值为3 D． 的最小值是2
7．（多选）公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所
示），以线段 为直径作半圆 ， ，垂足为 ，以 的中点 为圆心， 为半径再作半
圆，过 作 ，交半圆于 ，连接 ，设 ， ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径
，需要剪去四边形 ，可以经过对折、沿 裁剪、展开就可以得到．
已知点 在圆上且 ．要使得镂空的四边形 面积最小， 的长应为_____
．
9.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依
据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设
，称 为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中
点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂
足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数 ，线段CD的长度是a，b的几何平均数 ，线段___________的长度是a，b的调和平均数 ，该图形可以完美证明三者的大小关系为
___________．
10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中
记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其
算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，
被除数除以除数得结果，即出南门 里见到树，则 ．若一小城，如图所示，出东门
步有树，出南门 步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注： 里 步）________ 里.
