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周期问题 （周期余数、周期相遇） （笔记） 主讲教师：张小飞 授课时间：2025.11.03 粉笔公考·官方微信 1 周期问题（周期余数、周期相遇）（笔记） 【答案汇总】1-5：BCBDB；6-9：CCCA 01 周期余数 02 周期相遇 【注意】周期问题包括周期余数、周期相遇、星期日期问题，周期余数和周 期相遇考查较少，难度更低，在第一节课讲解，星期日期问题明天有单独的一节 课讲解。 一、周期余数 题型特征：给出周期循环的情况，问某一个是什么 解题思路：用总数除以周期，余几就数到第几个 （余1 就是每个周期的第1 个，余0 就是每个周期的最后1 个） 【引例】一串字母从左往右按照A、B、C、D、A、B、C、D…… 的规律排列， 的规律排列， 则第9 个字母是（ ），第2030 个字母是（ ）,第2040 个字母是（ ）。 【注意】周期余数：呈周期规律，循环出现，要么直接给出循环情况，要么 间接推出循环情况。 1.题型特征：给出周期循环的情况，问某一个是什么。 2.解题思路：用总数除以周期，余几就数到第几个（余1 就是每个周期的第 1 个，余0 就是每个周期的最后1 个）。 2.引例：一串字母从左往右按照A、B、C、D、A、B、C、D…… 的规律排列， 的规律排列， 则第9 个字母是（ ），第2030 个字母是（ ）,第2040 个字母是（ ）。 答：每4 个字母循环，如果数很小，可以挨个数，第9 个是A，若数据比较 大，不能挨个数，第9 个是第三个周期的第一个字母为A，只需要看经过整数个 周期后多几个，就是新的周期的第几个，2030/4=507……2，即过了507 个周期 后还余2 个字母，对应新周期的第二个为B；2040/4=510，刚好整数，余数为0， 即恰好过了整数个周期，说明最后一个对应D。 2 【例1】（2019 河北）某新建高速公路中间隔离带绿化时，顺次种植2 株蜀 桧、3 株刺柏、5 株小叶女贞、3 株大叶黄杨，按此循环，第2019 株树木是什么？ A.蜀桧 B.刺柏 C.小叶女贞 D.大叶黄杨 【解析】1.“按此循环”→周期循环问题，用总数/周期数看余数，每个周 期有2+3+5+3=13 棵数，即每13 棵数是一个循环，2019/13=155……4，余数为4， 对应新周期的第四棵树，前两棵是蜀桧，第三棵是刺柏，第四棵是刺柏，选择B 项。【选B】 【练习】（2024 广东事业单位）某山庄拟种植四种树，依次按5 棵桉树、5 棵银杏、5 棵杨树、5 棵桃树的顺序循环种植，则第2024 棵树是： A.桉树 B.银杏 C.杨树 D.桃树 【解析】拓展.一个循环有20 棵树，2024/20=101……4，余数为4，桉树有 5 棵，则第四棵是桉树，对应A 项。【选A】 【例2】（2018 福建选调）有一个数列，第一项是2、第二项是6，后面的数 都是其前面两项的和的个位数。那么，第2018 项是多少？ A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】2.后面的数都是其前面两项的和的个位数，问“第2018 项是多少”， 不能挨个数，要梳理出规律，没有给出如何循环，要自己推导，第三个数为2+6=8， 第四个数取6+8=14 的个位数为4，第五个取4+8=12 的个位数为2，第六个取4+2=6， 第七个取6+2=8，第八个取6+8=14 的个位数4，出现2 个整循环，“2、6、8、4” 每4 个一循环，2018/4=504……2，余数为2，对应新循环的第二个数为6，对应 C 项。【选C】 【例3】（2024 联考）有一组数按如下规律排列：第一个数是1，第二个数 是2，从第三个数起，每一个数恰好是其前两个数之和。问这列数中第2024 个 3 数除以4 所得的余数是（ ）。 A.3 B.2 C.1 D.0 【解析】3.看循环的规律，1+2=3、2+3=5、3+5=8、5+8=13、8+13=21、13+21=34， 要用每个数字除以4 看余数，找余数的规律，1/4 商0 余1，2/4 商0 余2，3/4 商0 余3，5/4 商1 余1，8/4 商2 余0，13/4 商3 余1，21/4 商5 余1，34/4 商8 余2，大概率是“1、2、3、1、0、1”6 个数一循环，不放心可以继续验证， 21+34=55、55/4 商14 余3，前三个数一模一样，无需计算出两个整循环， 2024/6=337……2，对应新循环的第二个数为2，对应B 项。【选B】 周期余数中的推星期 基础知识：星期每7 天为1 个周期 解题思路：过的总天数除以7，余几星期就加几（过的总天数：向后数的 天数，开头的当天不算） 【引例】2025 年9 月1 日是星期一，则过17 天是星期几？2025 年10 月10 日是星期几？ 【注意】周期余数中的推星期： 1.基础知识：星期每7 天为1 个周期。如图所示，从周一到周天循环出现， 为周期问题，每7 天为一个周期。 2.解题思路：过的总天数除以7，余几星期就加几；题目往往会给出几号是 周几，推另一个日期是周几，记住方法即可（过的总天数：向后数的天数，开头 4 的当天不算）。 3.引例：2025 年9 月1 日是星期一。 （1）过17 天是星期几？ 答：17/7=2……3，余3 天，说明在经过2 个整星期后，往后多数3 天，在 星期一的基础上往后多数3 天为星期四。 （2）2025 年10 月10 日是星期几？ 答：9 月有30 天，开头的当天不算，要减掉9 月1 号，故9 月有29 天，10 月从1 号到10 号，一共有29+10=39 天，39/7=5……4，余4 星期数加4，周一 过了4 天为周五。 常识补充：大月与小月、平年与闰年 大月与小月： 大月31 天：1、3、5、7、8、10、12 月 小月30 天：4、6、9、11 月 特殊：2 月平年28 天、闰年29 天 口诀：一三五七八十腊，31 天永不差；四六九冬30 天，平年2 月28。 平年与闰年： 普通年份能被4 整除，则为闰年；整百年份能被400 整除，则为闰年。 口诀：4 年一闰，百年不闰，400 年再闰 【解析】常识补充：大月与小月、平年与闰年。 1.大月与小月： （1）大月31 天：1、3、5、7、8、10、12 月。 （2）小月30 天：4、6、9、11 月。 （3）特殊：2 月平年28 天、闰年29 天。 （4）口诀：一三五七八十腊，31 天永不差；四六九冬30 天（冬→12 月）， 平年2 月28。 2.平年与闰年： （1）普通年份能被4 整除，则为闰年；整百年份能被400 整除，则为闰年。 如2024/4 能除开为闰年，2100 不能被400 整除，不是闰年，2400 能被400 整除， 5 为闰年，闰年就是奥运会的年份。 （2）口诀：4 年一闰，百年不闰，400 年再闰。 【例4】（2021 新疆兵团）已知2021 年7 月1 日星期四，那么2021 年12 月10 日是星期几？ A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五 过的总天数：向后数的天数，开头的当天不算 【解析】4.给某一天是周几，问另外一天是周几，每个星期是7 天一循环， 开头的当天不算，7 月是大月有31 天，开头的1 天不算，8 月有31 天，9 月有 30 天，10 月有31 天，11 月有30 天，12 月10 号有10 天，30+31+30+31+30+10=162， 162/7=23……1，余数为1，星期数就加1，周四+1=周五，对应D 项。【选D】 【注意】过的总天数：向后数的天数，开头的当天不算。 周期余数中的推星期 基础知识：星期每7 天为1 个周期 解题思路：过的总天数除以7，余几星期就加几 （过的总天数：向后数的天数，开头的当天不算） 过整年：过1 年，加1 天；闰日（2.29）再加1 【引例】2021.1.1 为周五，则2022.1.1 为周几？ 2023.1.1 为周几？ 2024.1.1 为周几？ 2025.1.1 为周几？ 注：2024 年为闰年，有2024.2.29 这一天 【注意】过整年：若不考虑闰年的情况，普通情况过1 整年是过了365 天， 365/7=52 个星期…… 1 天，扑克牌有4 个花色，每个花色13 张，再加上大小王， 与日期是相对应的，四个花色表示四个季度，四个季度都是13 周，多了1 个大 王1 个小王，如果是闰年，就大小王两张，如果是平年就只有1 张。 6 1.过1 年，加1 天；闰日（2.29）再加1。 2.引例：2021.1.1 为周五，则。 （1）2022.1.1 为周几？ 答：过了1 年加1 天，2022 年1 月1 日为周六。 （2）2023.1.1 为周几？ 答：过了2 年，加2 天，2023 年1 月1 日为周日。 （3）2024.1.1 为周几？ 答：不考虑闰年，只考虑润日，如果再多一个润日（2 月29 日），过的总天 数就变多，则余数就变多，闰日再加1，故并不是只要有闰年就多加1，从开始 时间点，到结束时间点，若中间经过2 月29 日就多加1，若没有经过就补多加1， 2021 年到2024 年过了3 年，2024 年是闰年，2024 年2 月29 日没有在时间段内， 不用多加1，周五+3→周一（比7 多需要减掉7，得到的就是星期数）。 （4）2025.1.1 为周几？ 答：2021 年到2025 年过4 年，星期数加4，由于中间有2024 年2 月29 号， 故闰日再加1，一共加5，周五+5→周三（10-7=3）。 （5）注：2024 年为闰年，有2024.2.29 这一天。 【例5】 （2022 联考）2021 年7 月1 日是中国共产党建党100 周年的纪念日， 这一天是星期四，那么建党110 周年纪念日是： A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 【解析】5.从100 周年到110 周年，过了10 周年，即从2021 年7 月1 日到 2031 年7 月1 日，过10 整年加10 天，其中2024 年、2028 年都是闰年，有2 个闰日，要多加2 天，一共加12 天，周四+12 天看作16，而每过7 天星期数不 变，故可以减去7 天推星期数，16-7-7=2，对应周二，对应B 项。【选B】 7 【注意】 1.过整年：过1 年，加1 天；闰日（2.29）再加1。 2.注：2024 年、2028 年为闰年。 【练习】（2022 事业单位）2020 年2 月4 日是星期二，那么冬奥会开幕的 2022 年2 月4 日是星期： A.三 B.四 C.五 D.六 【解析】拓展.月份日期都没变，说明过了整年，共过2 年，需要加2 天， 其中2020 年是闰年，存在2020 年2 月29 日，2020 年2 月4 日到2022 年2 月4 日包含2020 年2 月29 号，需要再加1，共加3 天，所求=周二+3 天=周五，对应 C 项。【选C】 【注意】 1.过整年：过1 年，加1 天；闰日（2.29）再加1。2020 年为闰年。 2.2025 年11 月3 日是周一，问2028 年11 月3 日是周几。2025 年11 月3 日到2028 年11 月3 日过了3 整年，需要加3，其中2028 年是闰年，经过2028 年2 月29 日（闰日）需要再加1，共加4 天，所求=周一+4 天=周五。 3.开始年份、结束年份是不是闰年不重要，重要的是是否经过闰年的2 月 29 日在不在时间跨度内，在才额外加一天。 8 周期余数小结 题型特征：给出周期循环的情况，问某一个是什么 解题思路：1.普通周期：用总数除以周期，余几就数到第几个（余1 就是每 个周期的第1 个，余0 就是每个周期的最后1 个） 2.推星期：过的总天数除以7，余几星期就加几（过的总天数：向后数的天 数，开头的当天不算） 过整年：过1 年，加1 天；闰日（2.29）再加1 【注意】周期余数小结： 1.题型特征：给出周期循环的情况，或需要给出变化规律自己推出周期循环 的情况，问某一个是什么。 2.解题思路： （1）普通周期：用总数除以周期，余几就数到第几个（余1 就是每个周期 的第1 个，余2 就是每个周期的第2 个，如果余0 就是代表过整数个周期，对应 每个周期的最后1 个）。 （2）推星期：过的总天数除以7（每7 天一个循环），余几星期就加几（过 的总天数：需要自己数过了几天，向后数的天数，开头的当天不算，或开头那天 算结尾那天不算）。过整年：过1 年，加1 天；出现闰日（2.29）需要单独再加 1。如2026 年1 月1 日是周三，问2028 年1 月1 日是周几，过了2 年，需要加 天，虽然2028 年是闰年，但经过的时间不包含闰日，不需要额外加1，故2028 年1 月1 日是周三+2 天=周五。如2026 年5 月1 日是周五，问2028 年5 月1 日 是周几，过了2 年需要加2 天，且2028 年是闰年，经过2028 年2 月29 日（闰 日），需要额外加1，故2028 年5 月1 日是周五+3 天，对应周一。 二、周期相遇 题型特征：给出多个事物的不同周期，已知某时间同时出现，问下次同时出 现 解题思路：求几个小周期的最小公倍数，即为同时出现的大周期 【引例】甲每2 天去一次图书馆，乙每3 天去一次图书馆，某天甲和乙同时 9 去了图书馆，问再过几天甲和乙第二次次同时去图书馆？ 【注意】周期相遇： 1.题型特征：给出多个事物的不同周期，已知某时间同时出现，问下次同时 出现。 2.解题思路：求几个小周期的最小公倍数，即为同时出现的大周期。 3.例：甲每2 天去一次图书馆，乙每3 天去一次图书馆，某天甲和乙同时去 了图书馆，问再过几天甲和乙第二次次同时去图书馆？ 答：简单题可以枚举得到答案。甲：√×、√×、√×、√×、√×；乙： √××、√××、√××，过总天数的当天不算，过了6 天，6 就是2、3 的最 小公倍数，甲去的时间是2 的倍数，乙去的时间是3 的倍数，故两者同时去就是 2、3 最小公倍数6 的倍数，两者每6 天同时去。 【例6】 （2022 联考）两个信号灯分别以30 秒和36 秒的固定间隔闪亮一次， 若他们10 点第一次同时闪亮，则第七次同时闪亮的时间为： A.10：15 B.10：16 C.10：18 D.10：21 【解析】6.相遇的大周期就是小周期的最小公倍数，最小公倍数为180 秒=3 分钟，下一次同时闪亮为10：00+3 分钟=10：03，从第一次同时闪到第二次同时 闪过了1 个三分钟，第三次同时闪是10：06，从10：00→10：06 过了2 个三分 钟，需要看过几次，从第一次同时闪到第七次同时闪要过6 个3 分钟，类似于年 均增长量中的年份差，一共有7 次，但变化了6 次。过了6 次，每次3 分钟，过 了3*6=18 分钟，所求10：00+18 分钟=10：18，对应C 项。【选C】 【注意】30、36 最小公倍数：提出6，剩下5、6，此时两两互质，最小公 倍数就是外圈数字相乘，为6*5*6=180。 10 【例7】（2019 广东）某物业公司规定，小区大门每2 天清洁一次，消防设 施每3 天检查一次，绿化植物每5 天养护一次，如果上述3 项工作刚好都在本周 四完成了，那么下一次3 项工作刚好同一天完成是在： A.星期一 B.星期二 C.星期六 D.星期日 【解析】7.很多事物有小周期，刚好本周四三者相遇，问下次三者同一天是 周几。求三者相遇的大周期，大周期是小周期的最小公倍数，即2、3、5 的最小 公倍数，2、3、5 两两互质，最小公倍数为2*3*5=30 天，过30 天会再次相遇， 30/7 会余2，周四基础上加2 天，对应周六，对应C 项。【选C】 【注意】如果题干给的是每隔n 天：每隔2 天实际是每3 天，每隔n 天=每 n+1 天，给每隔几天要先转化为每几天再用。每隔2 天就是每3 天、每隔3 天就 是每4 天、每隔5 天就是每6 天，找三者最小公倍数，6 本来就是3 的倍数，只 需要找4、6 最小公倍数即可，最小公倍数为12 天，12/7 会余5，周四基础上加 5 天，对应周二。 【例8】（2021 新疆兵团）甲、乙、丙三人都报名去摄影馆学习摄影技术， 甲每隔4 天去一次，乙每隔5 天去一次，丙每隔6 天去一次，三人在星期四第一 次相遇，下次相遇的日期为： A.星期一 B.星期三 C.星期四 D.星期五 【解析】8.给“每隔”需要转化为“每”，甲每5 天去一次、乙每6 天去一 次、丙每7 天去一次，可以算出三者最小公倍数，然后除以7 看余数，但这样比 较慢。出现“7”，而每过7 天或7 整数倍的天数星期数不变，丙每次都是周四去， 则三人只能在周四相遇，对应C 项。【选C】 【注意】每隔n 天=每n+1 天；每过7n 天，星期不变。 11 【例9】（2023 浙江选调）A、B、C3 个志愿队分别下乡帮扶，A 队每隔5 天 去一次，B 队每8 天去一次，C 队每隔6 天去一次，3 个队伍周四第一次同时下 乡，那么第二次同时下乡后A 队周几再去？ A.周三 B.周四 C.周五 D.周六 【解析】9.A 队每6 天去一次、B 队每8 天去一次、C 队每7 天去一次，注 意不要直接选B 项，问的是第二次同时下乡后A 队周几再去，第二次同时去是某 个周四，然后过6 天A 队再去，周四+6 天对应周三，选择A 项。【选A】 【注意】 1.如问第二次同时下乡后B 队周几再去：周四+8 天对应周五。 2.甲供货商每5 天送一次，乙供货商每10 天送一次，丙供货商每2 天送一 次，三者在10 月1 日同时送了，问下次同时送是几月几日，选项为A.10 月10 日、B.10 月11 日、C.10 月16 日、D.10 月20 日；给出三个小周期，三个小周 期的大周期就是三者最小公倍数，三者大周期为10 天，即每过10 天同时送，下 次需要加10 天，10 月1 日的基础上加10 天，对应10 月11 日。 周期相遇小结 题型特征：给出多个事物的不同周期，已知某时间同时出现，问下次同时出 现 解题思路：求几个小周期的最小公倍数，即为同时出现的大周期 注意：每隔n 天=每n+1 天 【注意】周期相遇小结： 1.题型特征：给出多个事物的不同周期，已知某时间同时出现，问下次同时 出现。 2.3 解题思路：求几个小周期的最小公倍数，即为同时出现的大周期。 3.注意：每隔n 天=每n+1 天，每几天就是每过几天，每n+1 天就是每过n+1 天；如每10 天=每过10 天，题干中省略了“过”字。如每60 天出现一个大周期， 就是过了60 天，在此基础上往后数60 天即可。 12 4.如果是恰好每7 天，星期数不会改变（如周四去的，则往后都是周四去）， 如果问的是同时去之后某个主体再单独去，就需要单独推。 13 遇见不一样的自己 Be your better self
