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微专题11 导数中的隐零点问题
（虚设零点设而不求）讲义
微专题教学内容
在求解导数问题时，我们一般对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结
合题目条件最终解决问题，我们称这类问题为“隐零点问题”．
1. 解题步骤
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程
, 并结合
的单调性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数
的正负, 进而得到
的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程
适当变形, 整体代入
最值式子进行化简:
（1）要么消除
最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到
最值式的估计.
2. 隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以
下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到
隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如
, 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
3. 解题感悟
1.隐零点指对于超越方程或者是一些带参数的方程，无法直接求得确切的零点，但是零点确
实存在的问题。特别是在求导的过程，求函数极值点，对原函数求导后，令导函数等于零，
就导函数零点进一步探寻原函数极值点或最值时会经常遇到“隐零点”问题。
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2.隐零点常见题型，有证明零点个数，求解不等式，求最值的取值范围，求参数的范围。
3.解决办法，往往是“虚设零点”，设而不求，结合零点存在定理来初步确定零点的所在区
间。往往这样的零点都与某个参数相关联，相互依赖。在使用零点存在定理确定区间时往往
存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。
4.特别是针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参
数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题，或证明不等式。构建关于隐
零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。
典例精讲
【典例1】
用隐零点证明不等式：
会一题通一类
1.用隐零点证明
2.已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)证明：
．
2
【典例2】
已知函数f ( x)=ae
x−1−ln x + ln a．
（1）当a=e时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）若不等式f (x)≥1恒成立，求a 的取值范围．
会一题通一类
1．已知函数f (x)=ax−e
−x，g(x)= x
2+ xln x．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)证明：g(x)>−5
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；
(3)若g(x)≥f (x)，求a的取值范围．
2．函数f (x)=e
x−ax ,a∈R．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)当x ≥0时，f (x)≥( x +1)
2恒成立，求a的取值范围；
(3)证明：当a=1时，f (x)>ln x +1．
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【典例3】
已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：
在定义域内恒成立．
会一题通一类
1.已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
．
2.已知函数
，若
的最小值为0，
(1)求的值;
(2)若
，证明:
存在唯一的极大值点
，且
.
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学后测评
1．已知函数
.
（1）求函数
在点
处的切线方程；
（2）证明：
.
2．设函数
.
(1)若
，证明：当
时，
；
(2)若
，证明：
；
(3)若存在
，使得当且仅当
时，
，求
的取值范围.
3．已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：若
，则
存在唯一的极小值
，且
.
4．已知函数
，
为
的导函数，
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
有两个零点，
（i）求
的取值范围；
（ii）记
较小的一个零点为
，证明：
.
5
5．已知函数
.
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)证明：
在
上单调递增.
(3)若
，证明：
.
6．已知函数
是函数
的导函数，且
．
(1)求
；
(2)若
在区间
内单调递增，求实数
的取值范围；
(3)当
时，证明：
．
7．已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
．（参考数
据：
为自然对数的底数，
）
(1)求
的值；
(2)求证：
．
8．已知函数
．
(1)证明：
有唯一的极值点；
(2)若
，求
的取值范围．
9．已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最大值；
(2)当
时，证明：
.
10．已知
，函数
，
.
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(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
存在唯一的极值点；
(3)若存在
，使得
对任意
成立，求实数
的取值范围.
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