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微专题15 立体几何中的截面、范围与最值、轨迹问题
【秒杀总结】
1、立体图形中的截面问题：
（1）利用平面公理作出截面；（2）利用几何知识求面积或体积.
2、立体几何中距离之和的最值问题的求解，解题关键是能够求得
关于平面的对称点
，从而利用
三角形两边之和大于第三边的特点确定当三点共线时取得最小值.
3、对于立体几何中的动点问题，常需动中觅静，这里的"静"是指问题中的不变量或者是不变关系，动
中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性."静"只是"动"的瞬间，是运动的一种特殊形式，然而抓
住"静"的瞬间，使一般情形转化为特殊情形，问题便迎刃而解.
【典型例题】
例1．（2024·内蒙古包头·一模）已知两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在该球面上，若两个圆
锥的高之比为
，它们的体积之和为
，则该球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2024·高三·全国·专题练习）如图，长方体
中，
，
，M 为
的中点，过
作长方体的截面
交棱
于N，下列正确的是（ ）
①截面
可能为六边形
②存在点N，使得
截面
③若截面
为平行四边形，则
④当N 与C 重合时，截面面积为
A．①②
B．③④
C．①③
D．②④
例3．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1 的正方体
中，点
为截面
上的
动点，若
，则点
的轨迹长度是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．1
例4．（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱
中，
，点
在四
边形
内（含边界）运动．当
时，点
的轨迹长度为
，则该四棱柱的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·陕西西安·一模）如图，在棱长为2 的正方体
中，
均为所
在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（ ）
①
在
中点时，平面
平面
②异面直线
所成角的余弦值为
③
在同一个球面上
④
，则
点轨迹长度为
A．0
B．1
C．2
D．3
例6．（多选题）（2024·高二·湖南长沙·开学考试）在正方体
中，
，点
满足
，其中
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．当
平面
时，
不可能垂直
B．若
与平面
所成角为
，则点
的轨迹长度为
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，正方体经过点
、
、
的截面面积的取值范围为
例7．（多选题）（2024·河南·三模）已知正方体
的棱长为2，
，
，
，
.点P 是棱
上的一个动点，则（ ）
2
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A．当且仅当
时，
平面DMN
B．当
，
时，
平面
C．当
时，
的最小值为
D．当
时，过B，M，N 三点的截面是五边形
例8．（多选题）（2024·广西柳州·三模）正三棱柱
中，
，点
满足
，其中
，
，则（ ）
A．当
，
时，
与平面
所成角为
B．当
时，有且仅有一个点
，使得
C．当
，
时，平面
平面
D．若
，则点
的轨迹长度为
例9．（多选题）（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体
棱长为4，点N 是底面正方形
ABCD 内及边界上的动点，点M 是棱
上的动点（包括点
），已知
，P 为MN 中点，则下
列结论正确的是（ ）
A．无论M，N 在何位置，
为异面直线B．若M 是棱
中点，则点P 的轨迹长度为
C．M，N 存在唯一的位置，使
平面
D．AP 与平面
所成角的正弦最大值为
例10．（2024·高三·四川巴中·阶段练习）如图，棱长为的正方体中，
为线段
上的动点（不含端
点），以下正确的是
①
；
②存在点
，使得
//面
；
3
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③
的最小值为
；
④存在点
，使得
与面
所成线面角的余弦值为
.
例11．（2024·高三·北京房山·期末）如图，在棱长为
的正方体
中，点
是线段
上的
动点.给出下列结论：
①
；
②
平面
；
③直线
与直线
所成角的范围是
；
④点
到平面
的距离是
.
其中所有正确结论的序号是 .
例12．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知正方体
，棱长为2.
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，且平面
与正方体的棱相交，当截面面积最大时，在所给图形上画出截面图形
（不必说出画法和理由），并求出截面面积的最大值；
(3)在（2）的情形下，设平面
与正方体的棱
、
、
交于点
、
、
，当截面的面积最大时，
求二面角
的余弦值.
4
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【过关测试】
1．（2024·天津·一模）祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：
“幂势既同，则积不容异”.这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高.这句话的意思是：两个等高的
几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体
积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1 是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线
和
均是以2 为半径的半圆，平面
和平面
均垂直于平面
，用任意平行于帐篷底面
的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等
高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·高三·全国·专题练习）已知正方形
的边长为4，若将
沿BD 翻折到
的位置，
使得二面角
为
，N 为
的四等分点靠近D 点，已知点
，B，C，D 都在球O 的表面
上，过N 作球O 的截面
，则
截球所得截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1 的正方体
中，已知
，
分别为线段
，
上的动点，
为
的中点，则
的周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·广西柳州·三模）已知P，A，B，C 是半径为2 的球面上四点，
为等边三角形且其面积为
5
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，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选题）（2024·江苏徐州·一模）已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为
，则（ ）
A．该圆台的体积为
B．该圆台外接球的表面积为
C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D．挖去以该圆台上底面为底，高为
的圆柱后所得几何体的表面积为
6．（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）(多选)下列说法正确的是（ ）
A．若一个球的体积为
，则它的表面积为
B．棱长为1 的正四面体的内切球半径为
C．用平面α 截一个球，所得的截面面积为π，若α 到该球球心的距离为1，则球的体积为
D．棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球截平面A1BD 所得的截面面积为
7．（多选题）（2024·高三·重庆·阶段练习）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，
这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫
，于1996 年被收入世界文化遗产名录．现测量一个
的屋顶，
得到圆锥
（其中为顶点，
为底面圆心），母线
的长为
，
是母线
的靠近点的三等分点．
从点
到点
绕屋顶侧面一周安装灯光带，灯光带的最小长度为
．下面说法正确的是（ ）
A．圆锥
的侧面积为
B．过点的平面截此圆锥所得截面面积最大值为
C．圆锥
的外接球的表面积为
D．棱长为
的正四面体在圆锥
内可以任意转动
8．（多选题）（2024·吉林·模拟预测）如图，在棱长为1 的正方体
中，M，N 分别是
，
的中点，
为线段
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
一定是异面直线
6
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B．存在点
，使得
C．直线
与平面
所成角的正切值的最大值为
D．过M，N，P 三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为
9．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）三棱锥
各顶点均在半径为2 的球
的表面上，
，
，平面
与平面
所成的角为
，则下列结论正确的是（ ）
A．直线
平面
B．三棱锥
的体积为
C．点
到平面
的距离为
D．点
形成的轨迹长度为
10．（多选题）（2024·湖南·二模）如图，点
是棱长为2 的正方体
的表面上一个动点，
是线段
的中点，则（ ）
A．若点
满足
，则动点
的轨迹长度为
B．三棱锥
体积的最大值为
C．当直线
与
所成的角为
时，点
的轨迹长度为
D．当
在底面
上运动，且满足
平面
时，线段
长度最大值为
11．（多选题）（2024·湖北·二模）如图，棱长为2 的正方体
中，
为棱
的中点，
为正方形
内一个动点（包括边界），且
平面
，则下列说法正确的有（ ）
A．动点
轨迹的长度为
7
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B．三棱锥
体积的最小值为
C．
与
不可能垂直
D．当三棱锥
的体积最大时，其外接球的表面积为
12．（多选题）（2024·江西鹰潭·一模）直四棱柱
的所有棱长都为4，
，点
在四边形
及其内部运动，且满足
，则下列选项正确的是（ ）
A．点
的轨迹的长度为
.
B．直线
与平面
所成的角为定值．
C．点
到平面
的距离的最小值为
.
D．
的最小值为-2．
13．（多选题）（2024·浙江温州·二模）已知半径为球与棱长为1 的正四面体的三个侧面同时相切，切点
在三个侧面三角形的内部（包括边界），记球心到正四面体的四个顶点的距离之和为
，则（ ）
A．有最大值，但无最小值
B．最大时，球心在正四面体外
C．最大时，
同时取到最大值
D．
有最小值，但无最大值
14．（多选题）（2024·湖南长沙·模拟预测）四棱锥
的底面为正方形，PA 与底面垂直，
，
，动点M 在线段PC 上，则（ ）
A．不存在点M，使得
8
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B．
的最小值为
C．四棱锥
的外接球表面积为5π
D．点M 到直线AB 的距离的最小值为
15．（多选题）（2024·高三·贵州安顺·期末）如图，在棱长为2 的正方体
中，点E、F、
G、H 分别为棱
、
、
、
的中点，点M 为棱
上动点，则（ ）
A．点E、F、G、H 共面
B．
的最小值为
C．点B 到平面
的距离为
D．
16．（多选题）（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知正方体
的棱长为
是
中点，
是
的中点，点
满足
，平面
截该正方体，将其分成两部分，设这两部分
的体积分别为
，则下列判断正确的是（ ）
A．
时，截面面积为
B．
时，
C．
随着
的增大先减小后增大
D．
的最大值为
17．（多选题）（2024·吉林长春·模拟预测）已知正方体
的棱长为
为空间中动点，
为
中点，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
为线段
上的动点，则
与
所成为的范围为
B．若
为侧面
上的动点，且满足
平面
，则点
的轨迹的长度为
C．若
为侧面
上的动点，且
，则点
的轨迹的长度为
D．若
为侧面
上的动点，则存在点
满足
18．（多选题）（2024·高三·江苏扬州·期末）棱长为2 的正方体
中，下列选项中正确的有
（ ）
9
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A．过
的平面截此正方体所得的截面为四边形
B．过
的平面截此正方体所得的截面的面积范围为
C．四棱锥
与四棱锥
的公共部分为八面体
D．四棱锥
与四棱锥
的公共部分体积为
19．（多选题）（2024·全国·模拟预测）如图，正方体
的棱长为1，点
，
分别为
和
的中点，则（ ）
A．直线
平面
B．直线
与直线
为异面直线
C．点
到平面
的距离为
D．若点
为线段
上的动点（含端点），则
的范围为
20．（多选题）（2024·高三·山东日照·期中）已知正方体
的棱长为2，
，
分别为
，
的中点，P 为正方体的内切球
上任意一点，则（ ）
A．球
被
截得的弦长为
B．
的范围为
C．
与
所成角的范围是
D．球
被四面体
表面截得的截面面积为
10
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21．（2024·高三·全国·专题练习）在四面体ABCD 中，已知AB＝CD＝2，AC＝BD＝
，AD＝BC＝
，
E，F 分别是AD，BC 的中点．若过EF 的中点用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面α 去
截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面的面积为 ．
22．（2024·黑龙江·二模）已知三棱锥
的四个面是全等的等腰三角形，且
，
，
则三棱锥
的外接球半径为 ；点
为三棱锥
的外接球球面上一动点，
时，
动点
的轨迹长度为 ．
23．（2024·高二·四川雅安·开学考试）如图，已知点
是棱长为2 的正方体
的底面
内（包含边界）一个动点，若点
到点
的距离是点
到
的距离的两倍，则点
的轨迹的长度为
．
11
