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微专题16 立体几何经典题型精练
【典型例题】
例1．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）如图，在四棱锥
中，
平面
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)若点
为
的中点，线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
.若存
在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设
的中点为
，因为
，所以
，
因为
，所以
，所以
三点共线，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）以
所在的直线为
轴和
轴，过
点作平行于
的直线为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则
，
因为
为
的中点，所以
，
设
，所以
，
所以
，
由（1）知
平面
，所以平面
的一个法向量为
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
即当
或
时，直线
与平面
所成角的正弦值为
.
1
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例2．（2024·高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱
中，
，
，
，
，
为侧棱
上一点，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的大小；
(3)求点
到平面
的距离．
【解析】（1）在直三棱柱
中，
平面
，
平面
，
，
又
，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
．
，
，
、
平面
，
平面
；
（2）
2
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方法一：设
，连接
，由（1）知，
平面
．
平面
，
，
，
为二面角
的平面角，
在
和
中，
，
，
，
，
，
，在
中，
，
，
，
在
中，
，
．
因此，二面角
的大小为
；
方法二：以点
为坐标原点，
，
所在直线分别为
轴、
轴、轴建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
设点
，则
，
，
，解得
，
.
设平面
的一个法向量为
，
由
，可得
，
令
，则
，
，∴平面
的一个法向量为
．
3
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显然，
是平面
的一个法向量，
，
结合图形知，二面角
为锐角，它的大小为
；
（3）方法一：设点
到平面
的距离为，易知
，
，
可知
，
，即
，
，
因此，点
到平面
的距离为
；
方法二：易知点
到平面
的距离为
．
例3．（2024·高三·全国·专题练习）在棱长为2 的正方体
中，E、F 分别是BC、CD 的中
点．
(1)求证：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若点G、H 分别为线段
上的动点，点P 为底面A1B1C1D1上的动点，求
的最小值．
【解析】（1）连接BD、AC，∵E、F 分别是BC、CD 的中点，
∴
，又∵
，∴
，
又
平面
，
平面
，∴
，
又
，
平面
,
平面
,
∴
平面
，又
平面
,
∴
．
（2）设点A 到面
的距离为d，
4
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∵正方体
的棱长为2 ，
∴
,
，
∴
,
∴
，
∴
，
又
，
到面
的距离为2，
∴
，又
，
设直线
与平面
所成角的大小为
，则
，
∴直线
与平面
所成角的正弦值为
．
（3）连接
，设
交于点H，则
，
又
平面
，
平面
，∴
，
又
，
平面
,∴
平面
，
∴不论G 在
上何处，都有
，
而
取最小值时必有
平面A1B1C1D1，此时
且
，
5
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将
与
展平后如图所示，
则
，
，
故
.
则
的最小值为
到线段
的距离
.
例4．（2024·天津·一模）如图所示，在三棱柱
中，
平面
，
.
是棱
的中点，
为棱
中点，
是
的延长线与
的延长线的
交点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【解析】（1）在三棱柱
中，
平面
，
，
则直线
两两垂直，
以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，如下图：
由
，得
，
，
6
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在
中，
且
是棱
的中点，则
也是
的中点，即
，
，
设平面
的一个法向量
，则
则
，令
，得
，
，因为
，所以
，
又因为
平面
，所以
平面
．
（2）由（1）知平面
的法向量
，又
，
设直线
与平面
所成的角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
（3）设平面
的一个法向量
，
则
，令
，得
设平面
与平面
夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值
．
例5．（2024·辽宁·一模）如图，在平行六面体
中，E 在线段
上，且
F，G 分别为线段
，
的中点，且底面
为正方形.
(1)求证:平面
平面
(2)若
与底面
不垂直，直线
与平面
所成角为
且
求点 A 到平面
的距离.
【解析】（1）因为
，
为
中点，
7
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所以
，
，即
，
因为
是正方形，所以
，
因为
分别是
的中点，所以
，所以
，
又
，
平面
，
平面
，又
平面
，
平面
平面
.
（2）以
为坐标原点，过
作与平面
垂直的直线为轴，以
的方向为
轴的正方向，建
立如图空间直角坐标系，
则
，设
，
则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
所以
，又
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
解得
或
（舍），
，
所以点
到平面
的距离为
，则点
到平面A1B1C1D1的距离为
.
例6．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知三棱柱
，其中
，
，点
是
的中点，连接
，
，异面直线
和
所成角记为
．
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(1)若
，求三棱柱外接球的表面积；
(2)若
，则在过点
且与
平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，求该截面面积．
【解析】（1）
因为
，
，所以
，
又因为
，
、
平面
，
，
所以
平面
，故三棱柱
为直三棱柱 ，
因为异面直线
和
所成角的余弦值为
，
所以
，
，设该三棱柱外接球球心为点
，
当
时，
由余弦定理可得
，
由正弦定理可得底面
外接圆
为圆心的直径
，
而
，所以球
的半径
，
所以球
的表面积
，
当
时，
，
同理可得球
的半径
，所以球
的表面积
；
（2）分别取
，
，
的中点
，
，
，连接
，
，
，
，
则
且
，
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在直三棱柱
中，
是
的中位线，
且
，
，且
，
，
，
，
四点共面，
，
分别为
，
的中点，
，又
平面
，
平面
，
平面
，
，且
，
分别为
，
的中点，
四边形
即为符合要求的等腰梯形，
当
不是
的中点时，
不平行于平面
，过
作
，
连接
得到与
平行的平面，
三棱柱
底面三角形为直角三角形，
可以将三棱柱补成正方体，过
作
，延长
与
相交于，
连接
交
于点
，
不平行于平面
，
与
共面，
则
与
不平行，
此时四边形
不是等腰梯形，故等腰梯形有且仅有一个，
在等腰梯形
中，
，取
，
的中点
，
，
由图可知，
，故
，
所以该截面面积为
.
例7．（2024·高一·浙江绍兴·期末）如图1，在梯形
中，
，
是线段
上的一点，
，
，将
沿
翻折到
的位置.
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(1)如图2，若二面角
为直二面角，
，
分别是
，
的中点，若直线
与平面
所
成角为
，
，求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值的取值范围；
(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点
为线段
的中点，
，
分别在线段
，
上（不包含端点），且
为
，
的公垂线，如图3 所示，记四面体
的
内切球半径为，证明：
.
【解析】（1）由题意知
，
而
，
是
的中点，所以
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
在平面
内作
的垂直作为轴，所以
轴，
如图以E 为坐标原点，分别以
分别为
轴正半轴建立空间直角坐标系：
因为
，设
，
所以
，
，
，
，
，
则
，
，
所以
，
，
，
，
.
设平面
的法向量
，
11
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由
得
，取
，
，解得
.
设平面
的法向量
，
由
得
，取
，
设平面
与平面
所成锐二面角为
，则
，
所以平面
与平面
所成锐二面角余弦值的取值范围是
.
（2）是四面体的表面积，
，令
与面
所成角为
，
，
，
因为
是公垂线，
上的点和
上的点的最短距离是
，
（取不到等号，）
，
，
.
例8．（2024·高三·重庆·阶段练习）如图所示，已知在四棱柱
中，所有的棱长均为2，侧
面
底面
为
的中点，
为棱
上的动点（含端点），过
三点的截面记为平面
.
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(1)是否存在点
使得
底面
？请说明理由；
(2)当平面
与平面
所成二面角的余弦值为
时，试求平面
截得四棱柱两部分几何体的体积之
比（体积小的部分作比值的分子）.
【解析】（1）连接
，取
中点为
，连接
，
因为
，故三角形
为等边三角形，则
；
因为面
面
，面
面
面
，故
面
；
又
面
，故
；
在三角形
中，因为
，三角形
为等边三角形，则
；
综上
两两垂直，则以
为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：
又
，故
，
设
，
，
则
，
即
；
因为
面
，故取平面
的法向量为
；
又
，
设平面
的法向量为
，
则
，则
，取
，则
；
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故平面
的法向量为
；
若存在点
使得
底面
，则
，即
，解得
；
故存在点
，当其与
重合时，平面
底面
.
（2）设平面
与平面
所成二面角为
，
由题可得
，即
，
整理得：
，解得
（舍去）或
.
故当
为
上靠近
的三等分点时，平面
与平面
所成二面角的余弦值为
；
此时，取
上靠近
点的三等分点为
，取
上靠近
点的三等分点为
，
连接
，如下所示：
在三角形
中，
分别为
中点，故
//
，
又
//
//
，且
，故四边形
为平行四边形，则
//
//
，
则平面
与平面
是同一个平面；
又
；
，
，
由（1）知，
，
面
，
故
面
，则棱台
的高为
，
则
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，
两部分体积分别为
和
，故体积之比为
.
例9．（2024·天津和平·一模）如图，四棱锥
的底面
是正方形，
平面
，
，点
分别是棱
，
的中点，点
是线段
上一点.
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
的夹角的余弦值；
(3)若直线
与平面
所成的角的正弦值为
，求此时
的长度.
【解析】（1）因为四棱锥
的底面
是正方形，
平面
，
所以以点
为坐标原点，
的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
则
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
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则
，令
，则
，
又因为
，则
，即
，
由
平面
，所以
平面
.
（2）设平面
与平面
的夹角为
，
平面
的法向量
，平面
的法向量
,
所以，
，
则平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
（3）设
长度为
，
，
设直线
与平面
所成角为
，
因为
，
，
解得
，此时
的长度为.
【过关测试】
1．（2024·高三·浙江宁波·阶段练习）已知四棱锥
的底面
是直角梯形，
，
，
，
，
为
的中点，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若
与平面
所成的角为
，过点
作平面
的垂线，垂足为
，求点
到平面
的距离.
【解析】（1）证明：由四边形
是直角梯形，且
，
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在直角
中，
，可得
，
从而
是等边三角形，
平分
，
因为
为
的中点，所以
，所以
，
又因为
且
平面
，所以
平面
，
又因为
平面
，所以平面
平面
.
（2）取
的中点
，连接
，因为
，所以
于
，
因为平面
平面
，平面
平面
，所以
平面
，
连接
，可得
为
与平面
所成的角，则
，
在直角
中，
，
在等边
中，可得
，
在直角
中，可得
，
又因为等边
，且
为
的中点，所以
.
以
为原点，以
所在的直线分别为
轴建立空间直角坐标系，
如图所示，则
，
可得
，
设
，可得
，
则
，
由
，解得
，满足题意，
所以
点到平面
的距离为
.
2．（2024·辽宁·一模）如图，在三棱柱
中，
平面
是线段
上的一个动点，
分别是线段
的中点，记平面
与平面
的交线为.
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(1)求证：
；
(2)当二面角
的大小为
时，求
.
【解析】（1）因为
分别是线段
的中点，所以
.
在三棱柱
中，四边形
为平行四边形，
所以
，则
，
因为
平面
平面
，
所以
平面
.
因为
平面
，平面
平面
，
所以
.
（2）解法一：在直三棱柱
中，
平面
，
所以
，
又
，所以
两两垂直.
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设
，则
所以
.
设平面
的法向量为
，
则
,
18
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令
，得
.
易知平面
的一个法向量为
，
则
，
解得
或
（舍去）.
综上，当二面角
的大小为
时，
.
解法二：作
，交
于点
，连接
.
因为
，所以
，
所以
四点共面，
所以平面
平面
.
因为
，
所以
平面
，
所以
平面
，
所以
，
所以
为二面角
的平面角.
若
，则在
中，
，
又
，所以
，
又
，所以
.
3．（2024·河北唐山·一模）如图，三棱柱
中，侧面
为矩形，底面ABC 为等边三角形．
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(1)证明：
；
(2)若
，
，
①证明：平面
平面ABC；
②求平面ABC 与平面
的夹角的余弦值．
【解析】（1）取
的中点为
，连接
,
由于侧面
为矩形，所以
,
由于底面ABC 为等边三角形,所以
,
平面
，
所以
平面
，
由于
故四边形
为平行四边形，
故
平面
，故
，
又
是
中点，所以
，
（2）①由于
是
中点，所以
,
又
且
，所以
，
由于
，
,故
为
的平面角，
由于
,所以
，
故平面
平面ABC；
②由于
两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
,
则
设平面
的法向量为
，
则
，取
，则
，
20
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由于平面ABC 的法向量为
,
故
故平面ABC 与平面
的夹角的余弦值为
4．（2024·广东江门·一模）如图，四边形
是圆柱底面的内接矩形，
是圆柱的母线.
(1)证明：在侧棱
上存在点
，使
平面
；
(2)在（1）的条件下，设二面角
为
，
，
，求三棱锥
的体积.
【解析】（1）取
的中点
，连接
交
于
，连接
，
因为
为矩形，所以
为
的中点，
所以
，又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
（2）设
，如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
所以
，
，
，
又平面
的法向量可以为
，设平面
的法向量为
，
则
，取
，
因为二面角
为
，所以
，解得
（负值舍去），
所以
，
所以
，
21
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又点
到平面
的距离
，
所以
.
5．（2024·山东烟台·一模）如图，在三棱柱
中，
，
为
的中点，
平面
.
(1)求证：
；
(2)若
，求二面角
的余弦值.
【解析】（1）在三棱柱
中，
，则
，
由
，得
，在
中，
，
由余弦定理
，得
，
，
于是
，由
平面
平面
，得
，
而
平面
，因此
平面
，又
平面
，
所以
，
（2）由（1）知，
两两垂直，以
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标
系
，
由
，得
，则
，
22
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于是
，设
为平面
的一个法向量，
则
，取
，得
，显然
为平面
的一个法向量，
因此
，显然二面角
的大小为锐角，
所以二面角
的余弦值为
.
6．（2024·陕西咸阳·二模）在几何体中，底面
是边长为2 的正三角形．
平面
，若
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)是否在线段
上存在一点
，使得二面角
的大小为
．若存在，求出
的长度，若不存在，
请说明理由．
【解析】（1）证明：如图，设
分别为
边的中点，连接
，
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因为
平面
，
所以
，
,进而
，
即四边形
为平行四边形，可得
，
在底面正三角形
中，
为
边的中点，则
，
又
平面
，且
平面
，所以
．
由于
，且
平面
，所以
平面
．
因为
平面
，则
平面
，
又
平面
，则平面
平面
．
（2）如图，以点
为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则
．
设点
，则
．
设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
．
由题意知
即
令
，则
，即
，
即
取
，则
，
24
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由
，
，解得：
，由于点
为线段
上一点，故
，所以
，
当
时，二面角
所成角为锐角，即存在点
满足，此时
．
7．（2024·高三·全国·专题练习）如图，PO 是三棱锥P-ABC 的高，PA＝PB，AB⊥AC，E 是PB 的中点．
(1)求证：OE∥平面PAC；
(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B 的正弦值．
【解析】(1)证明：如图，连接BO 并延长交AC 于点D，连接OA，PD.
因为PO 是三棱锥PABC 的高，所以PO⊥平面ABC.
因为AO，BO⊂平面ABC，所以PO⊥AO，PO⊥BO.
又PA＝PB，所以△POA≌△POB，即OA＝OB，所以∠OAB＝∠OBA.
又AB⊥AC，即∠BAC＝90°，所以∠OAB＋∠OAD＝90°，∠OBA＋∠ODA＝90°，
所以∠ODA＝∠OAD，所以AO＝DO，即AO＝DO＝OB，所以O 为BD 的中点．
又E 为PB 的中点，所以OE∥PD.
又OE⊄平面PAC，PD⊂平面PAC，所以OE∥平面PAC.
(2) 过点A 作Az∥OP，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为PO＝3，AP＝5，所以OA＝
＝4.
又∠OBA＝∠OBC＝30°，所以BD＝2OA＝8，
则AD＝4，AB＝4
，所以AC＝12，
所以O(2
，2，0)，B(4
25
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，0，0)，P(2
，2，3)，C(0，12，0)，
所以E(3
，1，
)，则
＝(3
，1，
)，
＝(4
，0，0)，
＝(0，12，0).
设平面AEB 的法向量为n＝(x，y，z)，
则
令z＝2，则y＝－3，x＝0，所以n＝(0，－3，2).
设平面AEC 的法向量为m＝(a，b，c)，
则
令a＝
，则c＝－6，b＝0，所以m＝(
，0，－6)，
26
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所以cos 〈n，m〉＝
＝
＝－
.
设二面角CAEB 的大小为θ，
则|cos θ|＝|cos 〈n，m〉|＝
，
所以sin θ＝
＝
，即二面角C-AE-B 的正弦值为
.
8．（2024·江西九江·二模）如图，三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
点
满足
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)点
在
上，且
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
27
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【解析】（1）因为
平面
，
平面
，所以
，
，
又点
满足
，
，所以
，
在
中
，
在
中，
，所以
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
所以平面
平面
.
（2）由（1）可知
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
在平面
内过点
作
，则
平面
，又
平面
，
平面
，所以
，
如图建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
所以
，
，
，
设
，
所以
，
，
因为
，所以
，即
，解得
，
所以
为
的中点，则
，
设平面
的法向量为
，又
，
，
则
，取
，
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
28
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9．（2024·云南·模拟预测）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
.若
，则称
为空间向量
与
的叉乘，其
中
，
，
为单位正交基底.以
为坐标
原点，分别以
的方向为
轴､
轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知
是空间直角坐标系中
异于
的不同两点.
(1)①若
，求
；
②证明：
.
(2)记
的面积为
，证明：
；
(3)问：
的几何意义表示以
为底面､
为高的三棱锥体积的多少倍？
【解析】（1）①因为
，
则
.
②证明：设
，
则
，
与
互换，
与
互换，
与
互换，
可得
，
故
.
29
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（2）证明：因为
.
故
，
故要证
，
只需证
，
即证
.
由（1）
，
故
，
又
，
则
成立，
故
.
（3）由（2）
，
得
，
故
，
故
的几何意义表示：
以
为底面､
为高的三棱锥体积的6 倍.
10．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知四边形
是矩形，
平面
，且
，M､N
是线段
､
上的点，满足
.
30
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(1)若
，求证：直线
平面
；
(2)是否存在实数
，使直线
同时垂直于直线
，直线
？如果有请求出
的值，否则请说明理由；
(3)若
，求直线
与直线
所成最大角的余弦值.
【解析】（1）取
的中点
，连接
，
因为
，所以M 是线段
上的中点，
因此有
，
因为
是矩形，N 是线段
上的中点，
所以
，
因此有
，
所以四边形
是平行四边形，所以有
，
而
平面
，
平面
，所以直线
平面
；
（2）假设存在实数
，使直线
同时垂直于直线
，直线
，
因为四边形
是矩形，所以
，
即
，而
平面
，
所以
平面
，
因为
是矩形，所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，而
平面
，
所以
平面
，因此
，显然不可能，所以假设不成立，
因此不存在实数
，使直线
同时垂直于直线
，直线
；
（3）当
时，由（2）可知：
，
所以
是直线
与直线
所成角，设
，
由（2）可知
，所以
，
在
中，由余弦定理可知：
，
31
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令
，所以
，
于是有
，
当
时，
有最小值，最小值为
，此时
有最大值.
则直线
与直线
所成最大角的余弦值为
.
11 ．（2024· 山东济南· 一模）在空间直角坐标系
中，任何一个平面的方程都能表示成
，其中
，
，且
为该平面的法向量.已知集合
，
，
.
(1)设集合
，记
中所有点构成的图形的面积为
，
中所有点构成的图形的
面积为
，求
和
的值；
(2)记集合Q 中所有点构成的几何体的体积为
，
中所有点构成的几何体的体积为
，求
和
的值：
(3)记集合T 中所有点构成的几何体为W.
①求W 的体积
的值；
②求W 的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出W 的面数和棱数.
【解析】（1）
集合
表示
平面上所有的点，
表示
这八个顶点形成的正方体内所有的点，
而
可以看成正方体在
平面上的截面内所有的点.
发现它是边长为2 的正方形，因此
.
对于
，当
时，
表示经过
，
，
的平面在第一象限的部分.
32
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由对称性可知Q 表示
，
，
这六个顶点形成的正八面体内所有的点.
而
可以看成正八面体在
平面上的截面内所有的点.
它是边长为
的正方形，因此
.
（2）记集合
，
中所有点构成的几何体的体积分别为
，
；
考虑集合
的子集
；
即为三个坐标平面与
围成的四面体.
四面体四个顶点分别为
，
，
，
，
此四面体的体积为
由对称性知，
考虑到
的子集
构成的几何体为棱长为1 的正方体，
即
，
，
显然
为两个几何体公共部分，
记
，
，
，
.
容易验证
，
，
在平面
上，同时也在
的底面上.
则
为截去三棱锥
所剩下的部分.
的体积
，三棱锥
的体积为
.
故
的体积
.
当由对称性知，
.
（3）
33
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如图所示，即为
所构成的图形.
其中正方体
即为集合P 所构成的区域.
构成了一个正四棱锥，
其中
到面
的距离为
，
，
.
由题意面
方程为
，由题干定义知其法向量
面
方程为
，由题干定义知其法向量
故
.
由图知两个相邻的面所成角为钝角.故H 相邻两个面所成角为
.
由图可知共有12 个面，24 条棱.
12．（2024·江苏·一模）如图，已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2 和4 的正方形，
平面
⊥平面ABCD，
，点P 是棱
的中点，点Q 在棱BC 上．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若二面角
的正弦值为
，求BQ 的长．
【解析】（1）证明：取
的中点M，连接MP，MB．
在四棱台
中，四边形
是梯形，
，
，
34
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又点M，P 分别是棱
，
的中点，所以
，且
．
在正方形ABCD 中，
，
，又
，所以
．
从而
且
，所以四边形BMPQ 是平行四边形，所以
．
又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
（2）在平面
中，作
于O．
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
．
在正方形ABCD 中，过O 作AB 的平行线交BC 于点N，则
．
以
为正交基底，建立空间直角坐标系
．
因为四边形
是等腰梯形，
，
，所以
，又
，所以
．
易得
，
，
，
，
，所以
，
，
．
法1：设
，所以
．
设平面PDQ 的法向量为
，由
，得
，取
，
另取平面DCQ 的一个法向量为
．
35
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设二面角
的平面角为θ，由题意得
．
又
，所以
，
解得
（舍负），因此
，
．
所以当二面角
的正弦值为
时，BQ 的长为1．
法2：设
，所以
．
设平面PDQ 的法向量为
，由
，得
，取
，
另取平面DCQ 的一个法向量为
．
设二面角
的平面角为θ，由题意得
．
又
，所以
，
解得
或6（舍），因此
．
所以当二面角
的正弦值为
时，BQ 的长为1．
法3：在平面
中，作
，垂足为H．
因为平面
平面
，平面
平面
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
．
在平面ABCD 中，作
，垂足为G，连接PG．
因为
，
，
，PH，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，所以
．
因为
，
，所以
是二面角
的平面角．
36
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在四棱台
中，四边形
是梯形，
，
，
，点P 是棱
的中点，
所以
，
．
设
，则
，
，
在
中，
，从而
．
因为二面角
的平面角与二面角
的平面角互补，
且二面角
的正弦值为
，所以
，从而
．
所以在
中，
，解得
或
（舍）．
所以当二面角
的正弦值为
时，BQ 的长为1．
13．（2024·高三·全国·专题练习）如图，已知
的直角边
，点
是
从左到
右的四等分点（非中点）.已知椭圆
所在的平面⊥平面
，且其左右顶点为
，左右焦点为
，
点
在
上.
(1)求三棱锥
体积的最大值；
(2)证明：二面角
不大于60°.
【解析】（1）因为椭圆
所在的平面⊥平面
,且交线为
,
又
平面
,
,则
平面
,
取
中点
，以
为坐标原点，
建立如图所以空间直角坐标系
．
37
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设点
．椭圆
的方程为
，
由题意，易知
，
,
则
，
，
解得
，所以
．
故三棱锥
体积的最大值是
．
（2）易知
，
，
，
设
，
则
，
，
,
，
设平面
的一个法向量
，则
,
令
，则
，
，
所以平面
的一个法向量
，
设平面
的一个法向量
，
则
令
，则
，
38
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，
令
，
则
，
当
时，则
，
所以
，
令
，
，
因为
，所以
，
令
得
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．
,
当
时，
令
，
，
设
，
则
，
所以
单调递减，所以
，
即
单调递减，
，
综上，
对
成立，
39
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即
，
即
，故二面角
不大于60°得证．
14．（2024·江西南昌·一模）如图，四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
，已
知
为棱
的中点，
在底面的投影
为线段
的中点，
是棱
上一点.
(1)若
，求证：
平面
；
(2)若
，确定点
的位置，并求二面角
的余弦值.
【解析】（1）设
，因为底面
是边长为2 的菱形，
所以
，对角线BD 平分
，
又
为棱
的中点，所以
,
在
中，根据角平分线性质定理得
，
又
，所以
，所以
，
，
平面
，且
平面
平面
.
（2）
平面
，且
平面
，
，
因为
，所以
，
在
中，
，
，所以
是等边三角形，
又
为棱
的中点，所以
，
平面
，
平面
，所以平面
平面
，
又平面
平面
，
平面ABCD，
平面
，
又
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
，且
平面
，
.
因为P 在底面的投影H 为线段EC 的中点，所以
，又
所以
为等边三角形，故
为
中点，
40
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所以
在底面
上的投影为
的中点.
在
中，
，
，
以
为原点，分别以
为
轴，
以过
点且与平面
垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，
所以
，
，
设
是平面
的一个法向量，则
，
令
，则
，即
，
平面
，
是平面
的一个法向量，
，
因为二面角
是一个锐角，
所以二面角
的余弦值为
.
15．（2024·高三·全国·专题练习）如图，四面体
中，
，
，
，
为
的中点．
41
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(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，
，点
在
上；
①点
为
中点，求
与
所成角的余弦值；
②当
的面积最小时，求
与平面
所成的角的正弦值．
【解析】（1）∵
，
为
的中点，∴
，
在
和
中
，
∴
，∴
，又
为
的中点，
∴
，又
平面
，
，
∴
平面
，
又∵
平面
，∴平面
平面
；
（2）
①取
的中点
，
的中点
，连接
，则
，
，
∴
（或其补角）为
与
所成的角，
由
且
，∴
是等边三角形，则
，
由
且
，
为
的中点，
∴在等腰直角
中
，
，
在
中，
，所以
，即
，
又
，∴
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，∴
，
在
中，
，由余弦定理得
，
在
中，
，
即
，∴
，故
，
在
中，
，
，
，
42
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故
，
∴
与
所成角的余弦值为
．
②连接
，由（1）知，
平面
，
平面
，
∴
，则
，
当
时
最小，即
的面积最小．
∵
平面
，
平面
，∴
，
又∵
平面
，
平面
，
，
∴
平面
，
又∵
平面
，∴平面
平面
，
过点
作
于
（或交
延长线），
∵平面
平面
，
平面
，
∴
平面
，∴
（或其补角）为
与平面
所成的角，
由
知
，∴
，
在直角
中，
，所以
，
在直角
中，
，∴
，
在等腰
中，
，
，∴
，
∴
，
∴
与平面
所成的角的正弦值为
．
16．（2024·河南南阳·一模）如图，在几何体
中，平面
平面
，四边形
43
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为正方形，四边形
为平行四边形，四边形
为菱形，
为棱
的中点，点
在棱
上，
平面
.
(1)证明
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
【解析】（1）如图，连接DC1，
因为四边形
为菱形，
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
又
平面
，
所以
平面
，所以
，
因为四边形
为菱形，且
，所以
，
因为
为棱
的中点，所以
，
又
，所以
，
因为
平面
，所以
平面
.
（2）以
为坐标原点，
分别为
轴、
轴、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系
.
易知
，
所以
，
，
所以
，
，
44
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设
，则
，
因为
平面BDF，所以存在唯一的
，
使得
.
所以
，解得
，
所以
，
设平面
的法向量为
，则
，所以
，
取
，则
，故
，
设平面
的法向量为
，则
，所以
，
取
，则
，故
，
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
故平面
与平面BDF 夹角的余弦值为
.
17．（2024·广东佛山·模拟预测）在四棱雉
中，四边形
为矩形，
，
，点
为线段
的中点．已知点
在平面
上的射影在四边形
外，且直线
与平面
所成的角为
．
(1)设点
为线段
的中点，求证：
；
(2)求平面
与平面
的夹角
的余弦值．
【解析】（1）作
平面ABCD，连接OA，OD，OE
所以直线
与平面
所成的角即为
，
又因为在等腰三角形APD 中，
，
所以
，
45
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因为
，所以
，故
，
以O 为坐标原点，以垂直于OF 所在直线，OF，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
所以
所以
，
，
所以
（2）点
，设平面PAC 的法向量为
，
则有
，又
，
所以
，不妨令
，则
，
所以
，
取平面ABCD 的一个法向量
，
则
18．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图1，在平行四边形
中，
，将
沿
折起，使点D 到达点P 位置，且
，连接
得三棱锥
，如图2．
(1)证明：平面
平面
；
(2)在线段
上是否存在点M，使平面
与平面
的夹角的余弦值为
，若存在，求出
的值，
46
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若不存在，请说明理由．
【解析】（1）证明：翻折前，因为四边形
为平行四边形，
，则
，
因为
，则
，
，
由余弦定理可得
，
所以，
，则
，同理可证
，
翻折后，则有
，
，
因为
，
，
、
平面
，
所以，
平面
，
因为
平面
，则
，
因为
，
、
平面
，所以，
平面
，
所以平面
平面
.
（2）因为
平面
，
，以点
为坐标原点，
、
、
的方向分别为
、
、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则
、
、
、
，
设
，其中
，
则
，
，
设平面
的法向量为
，则
，
取
，则
，
，所以，
，
平面
的一个法向量为
，
，
，
则
，令
，可得
，
则
，整理可得
，
47
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因此，线段
上存在点
，使平面AMB 与平面MBC 的夹角的余弦值为
，且
.
19．（2024·高三·重庆·开学考试）在如图所示的几何体中，
平面
平面
，记
为
中点，平面
与平面
的交线为．
(1)求证：
平面
；
(2)若三棱锥
的体积
与几何体
的体积
满足关系
为上一点，求当
最大时，
直线
与平面
所成角的正弦值的最大值．
【解析】（1）因为
平面
平面
，所以
,
又
平面
，
平面
，所以
平面
,
又
平面
，且平面
与平面
的交线为，所以
，
所以
平面
.
（2）设
，取
的中点O，因为
，所以
，
因为
为
中点，所以
到平面
的距离为
，
因为
平面
，
平面
，
所以平面
平面
，且平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
，
，又
即
，解得
，
，当且仅当
，即
时取等号，
所以当
最大时
,
如图建立空间直角坐标系，则
,
设
，则
，
，
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设平面
的一个法向量
，
因为
，所以
，令
，则
，
即
，
设直线
与平面
所成角为
，
所以
，
令
，则
，
令
，则
，所以
，
函数y 在
上为增函数，在
上为减函数，
所以当
时
，即
，
故直线
与平面
所成角的正弦值的最大值
.
20．（2024·高三·安徽·阶段练习）如图，四棱锥
的底面
是菱形，点
分别在棱
上，
．
(1)证明：
平面
；
(2)若二面角
大小为120°，求
与平面
所成角的正弦值．
【解析】（1）
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取棱
上一点
，使得
，连接
，
，
，且
，
，
，且
，
，且
，故四边形
为平行四边形，
.
又
平面
平面
，
平面
.
（2）取
中点
，连接
，作
，垂足为
，
菱形
中，
，
为等边三角形，
，
是二面角
的平面角，即
，
且
平面
，
，即
，
又
，
又
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
，
平面
.
分别以为
为
轴的正方向，建立空间直角坐标系
，
则点
，
50
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所以
，
，
设
平面
，记
与平面
所成角大小为
，
由
，取
，
，
综上，
与平面
所成角的正弦值为
．
21．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形
中，
，
，
.将
沿对角线
折到
的位置，点P 在平面
内的射影H 恰好落在直线
上.
(1)求二面角
的正切值；
(2)点F 为棱
上一点，满足
，在棱
上是否存在一点Q，使得直线
与平面
所成的角
为
?若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）如图，过点
作
于点
，连接
，
，
平面
，
平面
，
，
又
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
.
为二面角
的平面角.
∵
，
，∴
为等边三角形，
，
又
中，
，
，
，
.
又
，
，
，H 为线段
的中点.
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，
，
中，
，
，
所以二面角
的正切值为
.
（2）连接
，
为等边三角形，H 为线段
的中点，
，
又
平面
，则
，
，
两两垂直，
以H 为坐标原点，
，
，
所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
.
设平面
的法向量为
，
，
令
，可得
.
假设棱
上存在满足要求的点Q，设
，
，
.
，
因为直线
与平面
所成的角为
，
，
整理得：
，解得
或
（舍去）.
所以
，则
.
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所以当
时，
与平面
所成的角为
.
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