微专题20 空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法)
高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面
位置关系的判定与性质定理,对命题的真假进行判断,属基础题;
2.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容,多出现
在立体几何解答题中的第(1)问.
一、高考真题
1.(2025·天津卷)已知m,n 为两条直线,α,β 为两个平面,则
下列结论中正确的是( )
A.若m∥α,n⊂α,则m∥n
B.若m⊥α,m⊥β,则α⊥β
C.若m∥α,m⊥β,则α⊥β
D.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β
2.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D 为
BC 的中点,则( )
A.AD⊥A1C
B.BC⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1
D.CC1∥平面AA1D
3.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别为
AB,BC 的中点,则( )
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
4.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)如图,在正方体中,O 为底面的中
心,P 为所在棱的中点,M,N 为正方体的顶点,则满足MN⊥OP 的
是( )
5.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,
AB=AA1=1,点P 满足⃗BP=λ⃗BC+μ⃗B B1,其中
λ∈[0,1],μ∈[0,1],则( )
A.当λ=1 时,△AB1P 的周长为定值
B.当μ=1 时,三棱锥P-A1BC 的体积为定值
C.当λ=1
2
时,有且仅有一个点P,使得A1P⊥BP
D.当μ=1
2
时,有且仅有一个点P,使得A1B⊥平面AB1P
二．典型例题
1.空间线、面位置关系的判定
例1 (1)(多选)(2025·深圳二模)已知m,n 是两条不同的直线,
α,β,γ 是三个不同的平面,则下列四个命题是真命题的是(
)
A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
B.若m⊥α,n∥α,则m⊥n
C.若α⊥β,m⊥α,n⊥β,则m⊥n
D.若m∥α,m∥β,α∩β=n,则m∥n
(2)(多选)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点E,F,G 分别为棱
BC,CC1,CD 的中点,则下列结论正确的有( )
A.AE 与D1F 共面
B.平面AB1D1∥平面GFE
C.AE⊥EF
D.BF∥平面AB1D1
规律方法 判断空间线、面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理进行判断;
(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断;
(3)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型
中观察线、面的位置关系,并结合有关定理进行判断.
训练1 (1)(2025·厦门模拟)已知m,n 是两条不同的直线,
α,β 是两个不同的平面,α∩β=n,则下列说法正确的是(
)
A.若m∥α,则m∥n
B.若m∥n,则m∥α
C.若m⊥n,则m⊥β
D.若m⊥β,则m 丄n
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P,Q,M,N,T 分别为所在
棱的中点,则( )
1
A.QN⊥BB1
B.QN∥平面BCC1B1
C.直线QN 与PT 为异面直线
D.B1D⊥平面PMT
2.几何法证明平行、垂直
例2 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,平面PAD⊥
平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F 分别为AD,PB 的中点.求证:
(1)PE⊥BC;
(2)平面PAB⊥平面PCD;
(3)EF∥平面PCD.
规律方法 平行关系及垂直关系的转化
训练2 如图所示,平面ABB1A1为圆柱OO1的轴截面,点C 为底面
圆周上异于A,B 的任意一点.
(1)求证:BC⊥平面A1AC;
(2)若D 为AC 的中点,求证:A1D∥平面O1BC.
3.向量法证明平行、垂直
例3 如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2√5
,AA1=√7,BB1=2√7,点E 和F 分别为BC 和A1C 的中点(请用空间
向量给予证明).
(1)求证:EF∥平面A1B1BA;
(2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1.
2
训练3 如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面
ABCD,AB∥DC,DA⊥AB,AB=AP=2,DA=DC=1,E 为PC 上一点,且PE=
2
3
PC(请用空间向量给予证明).
(1)求证:AE⊥平面PBC;
(2)求证:PA∥平面BDE.
3
【精准强化练习】
一、单选题
1.(2025·贵阳适考)已知a,l 为直线,α 为平面,则
“∃a⊂α,l⊥a”是“l⊥α”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2025·兰州诊断)设α,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不
同的直线,能确定m∥n 的一组条件是( )
A.α⊥β,m⊥α,n∥β
B.α∥β,m⊂α,n⊥β
C.α⊥β,m⊂α,n∥β
D.α∥β,m⊥α,n⊥β
3.(2025·南通模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列关系正确
的是( )
A.AD⊥B1C
B.A1D⊥BD
C.AC1⊥A1C
D.AC1⊥CD1
4.(2025·昆明诊断)如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,
E,F,G,H 分别为棱A1D1,B1C1,BC,AD 的中点,则下列说法正确的
是( )
A.直线HE 与直线GF 是异面直线
B.直线HE 与直线BB1是异面直线
C.直线HE 与直线CC1共面
D.直线HE 与直线BF 共面
5.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在
底面ABC 上的射影H 必在( )
A.直线AB 上
B.直线BC 上
C.直线AC 上
D.△ABC 内部
6.(2025·安阳、焦作模拟)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面
为梯形,AB=BB1=3
2
C1D1=6,CD∥AB,⃗BM=λ⃗M B1(0<λ<1),若
DD1∩平面AC1M=N,则DN=( )
A. 4 λ
λ+1
B.4 λ+2
λ+1
C.2 λ+6
λ+1
D.2 λ+ 4
λ+1
7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面A1B1C1,底面
△A1B1C1是正三角形,E 是BC 的中点,则下列说法正确的是(
)
A.CC1与B1E 是异面直线
B.AC⊥平面ABB1A1
C.AE 与B1C1为异面垂直
D.A1C1∥平面AB1E
8.(2025·武汉模拟)如图,已知在四面体ABCD 中,△BCD 为等边
三角形,AB=√3,△BCD 的面积为√3,点A 在平面BCD 上的投影
为点B,点M,N 分别为AC,CD 的中点,则( )
A.MN 与BD 相交
B.MN 与AD 异面
C.BM⊥AN
D.DM⊥BN
二、多选题
9.(2025·汕头模拟)正方体ABCD-A1B1C1D1中,⃗AB=2⃗AE,⃗BC
=2⃗BF,⃗A1B1=-3⃗B1 H,⃗C1B1=-3⃗B1G,则下列两个平面的
位置关系中,不成立的是( )
A.平面EFGH∥平面A1AC
B.平面EFGH∥平面A1C1D
C.平面EFGH⊥平面BDD1
D.平面EFGH⊥平面A1BD
10.在三棱柱ABC-A1B1C1中,D 为BB1的中点,√2
2
AA1=AB=BC,AA1⊥平面ABC,∠ABC=90°,则下列结论错误的是(
)
A.平面ABC1⊥平面ACC1A1
B.平面A1BC⊥平面ABC1
C.A1D∥平面ABC1
D.A1D⊥AC1
11.(2025·南宁三适)在棱长为a 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点
E 为BB1的中点,点P 满足⃗BP=λ⃗B B1+μ⃗BC
,λ∈[0,1],μ∈[0,1],则下列说法正确的是( )
A.若λ=μ,则DP∥平面AB1D1
B.若λ=2μ,则CE⊥平面ABP
C.若μ=1
2
,则存在λ,使A1E∥D1P
4
D.若μ=1
3
,则存在λ,使A1C⊥平面DPB
三、填空题
12.已知平面α∥平面β∥平面γ,两条直线l,m 分别与平面
α,β,γ 相交于点A,B,C 和D,E,F,若AB=6, DE
DF
=2
5
,则AC=
.
13.如图为四棱锥A-DEFG 的侧面展开图(点G1,G2重合为G),其
中AD=AF,G1D=G2F,E 是线段DF 的中点,请写出四棱锥A-DEFG 中
一对一定相互垂直的异面直线: (填上你认为正确的一
个结论即可,不必考虑所有可能的情形).
14.如图,平面ABC⊥平面BCDE,四边形BCDE 为矩形,
BE=2,BC=4,△ABC 的面积为2√3,点P 为线段DE 上一点,当三
棱锥P-ACE 的体积为√3
3
时, DP
DE
= .
四、解答题
15.(2025·上海卷)如图,P 是圆锥的顶点,O 是底面圆心,AB 是
底面直径,且AB=2.
(1)若直线PA 与圆锥底面所成角为π
3
,求圆锥的侧面积;
(2)已知Q 是母线PA 的中点,点C,D 在底面圆周上,且弧´AC的
长为π
3
,CD∥AB,设点M 在线段OC 上,证明:直线QM∥平面PBD.
16.如图,过四棱柱ABCD-A1B1C1D1形木块上底面内的一点P 和下
底面的对角线BD 将木块锯开,得到截面BDEF.
(1)请在木块的上表面作出过点P 的锯线EF,并说明理由;
(2)若该四棱柱的底面为菱形,四边形BB1D1D 是矩形,试证明:平
面BDEF⊥平面ACC1A1.
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