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微专题24 痛点问题之新定义问题
【秒杀总结】
1、代数型新定义问题的常见考查形式
（1）概念中的新定义；
（2）运算中的新定义；
（3）规则的新定义等．
2、解决“新定义”问题的方法
在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，
确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不
同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分
析与解决！
【典型例题】
例1．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角
坐标系
中，重新定义两点
之间的“距离”为
，我们把到两定
点
的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设
，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为
的左顶点为
，过
作直线交
于
两点，
的外心为
，求证：直线
与
的斜率之积为定值．
例2．（2024·安徽芜湖·二模）对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K 在m（旋转
变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K 具有对称性，并记m 为K 的一个对称变换．例如，
正三角形R 在
（绕中心O 作120°的旋转）的作用下仍然与R 重合（如图1 图2 所示），所以
是R 的
一个对称变换，考虑到变换前后R 的三个顶点间的对应关系，记
；又如，R 在（关于对称
轴
所在直线的反射）的作用下仍然与R 重合（如图1 图3 所示），所以也是R 的一个对称变换，类似地，
记
．记正三角形R 的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G 对于给定的代数运算.来说作
成一个群，假如同时满足：
I．
，
；
1
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II．
，
；
Ⅲ．
，
，
；
Ⅳ．
，
，
．
对于一个群G，称Ⅲ中的e 为群G 的单位元，称Ⅳ中的
为a 在群G 中的逆元．一个群G 的一个非空子
集H 叫做G 的一个子群，假如H 对于G 的代数运算来说作成一个群．
(1)直接写出集合S（用符号语言表示S 中的元素）；
(2)同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如
．对于集合S 中的元素，定义
一种新运算*，规则如下：
，
．
①证明集合S 对于给定的代数运算*来说作成一个群；
②已知H 是群G 的一个子群，e，
分别是G，H 的单位元，
，
，
分别是a 在群G，群H 中的
逆元．猜想e，
之间的关系以及
，
之间的关系，并给出证明；
③写出群S 的所有子群．
例3．（2024·天津·一模）意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那
么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦
函数
的图象，定义双曲正弦函数
，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数
和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：
，②倍元关系：
.
(1)求曲线
在
处的切线斜率；
(2)若对任意
，都有
恒成立，求实数
的取值范围：
(3)（i）证明：当
时，
；
2
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（ii）证明：
.
例4．（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1 的正整数
都可以被唯
一表示为有限个质数的乘积形式：
（
为
的质因数个数，
为质数，
），
例如：
，对应
．现对任意
，定义莫比乌斯函
数
(1)求
；
(2)若正整数
互质，证明：
；
(3)若
且
，记
的所有真因数（除了1 和
以外的因数）依次为
，证明：
．
例5．（2024·高三·重庆·阶段练习）帕德近似（Pade approximation）是有理函数逼近的一种方法.已知函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，….又函数
，其中
.
(1)求实数
，，
的值；
(2)若函数
的图象与
轴交于
，
两点，
，且
恒成立，求实数
的取值
范围.
例6．（2024·安徽合肥·一模）“
数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设
是非零实数，对任意
3
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，定义“
数”
利用“
数”可定义“
阶乘”
和“
组合数”，即对任意
，
(1)计算：
；
(2)证明：对于任意
，
(3)证明：对于任意
，
例7．（2024·辽宁鞍山·二模）设数列
的前
项和为
，已知
，且
．
(1)证明：
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)设
，若对于任意的
，不等式
恒成立，求实数
的取值
范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为
高斯函数
，其中
表示不超过
的最大整数，如
，
，设
，数
列
的前
项和为
，求
除以16 的余数．
例8．（2024·高三·河南郑州·阶段练习）若函数
的定义域、值域都是有限集合
，
，则定义
为集合A 上的有限完整函数.已知
是定义在有限集合
上的有限
完整函数.
(1)求
的最大值；
(2)当
时，均有
，求满足条件的
的个数；
(3)对于集合M 上的有限完整函数
，定义“闭环函数”如下：
，对
，且
，
4
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.若
，
，
，则称
为“m 阶闭环函数”.证明：存在一个闭
环函数
既是3 阶闭环函数，也是4 阶闭环函数（用列表法表示
的函数关系）.
【过关测试】
1．（2024·黑龙江吉林·二模）设定义在
函数
满足下列条件：
①对于
，总有
，且
，
；
②对于
，若
，则
.
(1)求
；
(2)证明：
；
(3)证明：当
时，
.
2．（2024·高三·北京通州·期末）约数，又称因数.它的定义如下：若整数
除以整数
除得的商正
好是整数而没有余数，我们就称
为
的倍数，称
为
的约数.设正整数
共有
个正约数，即为
.
(1)当
时，若正整数
的
个正约数构成等比数列，请写出一个
的值；
(2)当
时，若
构成等比数列，求正整数
；
(3)记
，求证：
.
3．（2024·高三·重庆·阶段练习）定义：若
是
的导数，
是
的导数，则曲线
在点
处的曲率
；已知函数
，
，曲线
5
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在点
处的曲率为
；
(1)求实数a 的值；
(2)对任意
恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)设方程
在区间
内的根为
，…比较
与
的大小，
并证明．
4．（2024·北京石景山·一模）已知集合
，对于
，
，定义
与
之间的距离为
．
(1)已知
，写出所有的
，使得
；
(2)已知
，若
，并且
，求
的最大值；
(3)设集合
，
中有
个元素，若
中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：
．
5．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向
量和矩阵.对于平面向量
，其模定义为
.类似地，对于
行
列的矩阵
，其模可由向量模拓展为
（其中
为矩阵中第行第
列的数，
为求和符号），记作
，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵
，其矩阵模
.弗罗贝尼乌斯范数在机器学
习等前沿领域有重要的应用.
6
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(1)
，
，矩阵
，求使
的
的最小值.
(2)
，
，，矩阵
求
.
(3)矩阵
，证明：
，
，
.
6．（2024·山东菏泽·一模）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．
给定两个正整数m，n，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
．（注：
，
，
，
，…；
为
的导数）已知
在
处的
阶帕德近似为
．
(1)求实数a，b 的值；
(2)比较
与
的大小；
(3)若
在
上存在极值，求
的取值范围．
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7．（2024·全国·模拟预测）对于非空集合
，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为
“群”
，简记为
．而判断
是否为一个群，需验证以下三点：
（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
（结合律）对于规定的“×”运算，对任意
，都须满足
；
（恒等元）存在
，使得对任意
，
；
（逆的存在性）对任意
，都存在
，使得
．
记群
所含的元素个数为
，则群
也称作“
阶群”．若群
的“×”运算满足交换律，即对任意
，
，我们称
为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群
；
(2)记
为所有模长为1 的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得
在该运算下构成一个群
，
并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群
是否都是阿贝尔群？请说明理由．
8．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数
，由
元实数集合
定义其随影数集
.
若
，则称集合
为一个
元理想数集，并定义
的理数为其中所有元素的绝对值之和.
(1)分别判断集合
是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
(2)任取一个5 元理想数集
，求证：
；
(3)当
取遍所有2024 元理想数集时，求理数的最小值.
注：由
个实数组成的集合叫做
元实数集合，
分别表示数集
中的最大数与最小数.
9．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如
表示过点
的直线，
直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线.
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(1)若圆
是直线族
的包络曲线，求
满足的关系式；
(2)若点
不在直线族：
的任意一条直线上，求
的取值范围和
直线族
的包络曲线
；
(3)在（2）的条件下，过曲线
上
两点作曲线
的切线
，其交点为
.已知点
，若
三
点不共线，探究
是否成立？请说明理由.
10．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为
，
若甲从其中一个底面边长和高都为2 的正四棱锥的5 个顶点中随机选取3 个点构成三角形，定义随机变量
的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8 条棱中任取2 条，定义随机变
量
的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9 条棱中任取2 条，定义随机变量
的值
为这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据
）
(2)现单独研究棱长
，记
（
且
），其展开式中含
项的系数为
，
含
项的系数为
.
①若
，对
成立，求实数
，
，的值；
②对①中的实数
，
，用数字归纳法证明：对任意
且
，
都成立.
11．（2024·河南新乡·二模）定义：若函数
图象上恰好存在相异的两点
，
满足曲线
在
和
处的切线重合，则称
，
为曲线
的“双重切点”，直线
为曲线
的“双重切
线”．
(1)直线
是否为曲线
的“双重切线”，请说明理由；
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(2)已知函数
求曲线
的“双重切线”的方程；
(3)已知函数
，直线
为曲线
的“双重切线”，记直线
的斜率所有可能的取值为
，
，…，
，若
（
），证明：
．
12．（2024·山东青岛·一模）记集合
无穷数列
中存在有限项不为零，
，对任意
，设变换
，
．定义运算
：若
，则
，
．
(1)若
，用
表示
；
(2)证明：
；
(3)若
，
，
，证明：
．
13．（2024·高三·浙江绍兴·期末）物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出了“牛顿数列”，
它在航空航天中应用非常广泛．其定义是：对于函数
，若满足
，则称数
列
为牛顿数列．已知
，如图，在横坐标为
的点处作
的切线，切线与x 轴交点的横
坐标为
，用
代替
重复上述过程得到
，一直下去，得到数列
．
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(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
的前n 项和为
，且对任意的
，满足
，求整数
的最小值．（参考
数据：
，
，
，
）
14．（2024·广东·模拟预测）设X，Y 为任意集合，映射
．定义：对任意
，若
，
则
，此时的
为单射．
(1)试在
上给出一个非单射的映射；
(2)证明：
是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合
与映射
，若对任意
，有
，则
；
(3)证明：
是单射的充分必要条件是：存在映射
，使对任意
，有
．
15．（2024·河南信阳·一模）定义：
已知数列
满足
．
(1)若
，
，求
，
的值；
(2)若
，
，使得
恒成立．探究：是否存在正整数p，使得
，若存在，求出p 的可
能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；
(3)若数列
为正项数列，证明：不存在实数A，使得
．
16 ．（2024· 山东泰安· 一模）已知各项均不为0 的递增数列
的前
项和为
，且
（
，且
）．
(1)求数列
的前
项和
；
11
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(2)定义首项为2 且公比大于1 的等比数列为“
-数列”．证明：
①对任意
且
，存在“
-数列”
，使得
成立；
②当
且
时，不存在“
-数列”
，使得
对任意正整数
成立．
17．（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼茨
等得出“悬链线”方程
，其中为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，悬
链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：
；②两角和公式：
，③导数：
定义双曲
正弦函数
．
(1)直接写出
，
具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）；
(2)当
时，双曲正弦函数
的图像总在直线
的上方，求直线斜率
的取值范围；
(3)无穷数列
满足
，
，是否存在实数
，使得
？若存在，求出
的值，若不
存在，说明理由.
18．（2024·安徽安庆·二模）取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设
，
不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作
，函数
称为取整函数．另外也称
是x 的整数部分，
称
为x 的小数部分．
(1)直接写出
和
的值；
(2)设a，
，证明：
，且
，并求在b 的倍数中不大于a 的正整数的个
数；
(3)对于任意一个大于1 的整数a，a 能唯一写为
，其中
为质数，
为整数，且对任
意的
，
，i，
，称该式为a 的标准分解式，例如100 的标准分解式为
．
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证明：在
的标准分解式中，质因数
（
，
，
）的指数
．
19．（2024·高三·河北保定·开学考试）已知
为正整数，数列
，记
.对
于数列
，总有
，则称数列
为
项
数列.若数列
，
均为
项
数列，定义数列
，其中
.
(1)已知数列
，求
的值；
(2)若数列
均为
项
数列，求证：
；
(3)对于任意给定的正整数
，是否存在
项
数列
，使得
，
并说明理由.
20．（2024·江苏徐州·一模）对于每项均是正整数的数列P：
，定义变换
，
将数列P 变换成
数列
：
．对于每项均是非负整数的数列
，定义
，定义变换
，
将数列Q 各项从大到小排列，然后去掉所有为零
的项，得到数列
．
(1)若数列
为2，4，3，7，求
的值；
(2)对于每项均是正整数的有穷数列
，令
，
．
（i）探究
与
的关系；
（ii）证明：
．
21．（2024·高三·江苏·专题练习）定义首项为1 且公比为正数的等比数列为“
数列”.
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(1)已知等比数列
满足：
，求证:数列
为“
数列”；
(2)已知数列
满足:
，其中
为数列
的前
项和．
①求数列
的通项公式；
②设
为正整数，若存在“
数列”
，对任意正整数
，当
时，都有
成
立，求
的最大值．
22．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而
严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面
，定义对
，
，其度量（距离）
并称
为一度量平面．
设
，
，称平面区域
为以
为心，
为半径的球形
邻域．
(1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集；
(2)证明：
中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集；
(3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：
的一个子集是开集当且仅当其
可被表示为若干个球形邻域的并集．
23．（2024·甘肃兰州·一模）定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为
，
，
那么称
为A，B 两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点
，
分别在直线
，
上，点
与点
，
的曼哈顿距离分别为
，
，求
和
的最小值；
(2)已知点N 是直线
上的动点，点
与点N 的曼哈顿距离
的最小值
记为
，求
的最大值；
(3)已知点
，点
（k，m，
，e 是自然对数的底），当
时，
的最大值为
，求
的最小值．
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24．（2024·高三·河北·阶段练习）信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在
1948 年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息
量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量
所有可能的取值为
，
且
，定义
的信息熵
.
(1)当
时，计算
；
(2)若
，判断并证明当
增大时，
的变化趋势；
(3)若
，随机变量
所有可能的取值为
，且
，证
明：
.
15
