【培优点03：爪形结构与分角定理+张角定理】
【知识拓展】
1.三点共线的向量表示
(1)若
、
共线，则存在唯一实数，使
.
(2)
、
为平面的一组基向量，点
在直线
上的充要条件是存在唯一一组实数
、
，使
且
.
2.定比分点的向量公式
在平面上任取一点
，设
，
，若
，则
.
（特别地，当
时，即
为线段
的中点，则有
）.
三角形的等分点：在
中，
是
上的点，且
（
），则
（也叫“爪形结构”）.
3.张角定理与分角定理
(1)张角定理
证明如下：
由
，得：
两边同除以
得：
(2)分角定理
在
中，
是
上（异于
）或其延长线上的一点，则有：
证明如下：
由
，且
，
，得：
1
化简得：
由
，
，得
，故
.
4.梅涅劳斯定理与塞瓦定理
(1)梅涅劳斯定理
已知直线
交
三边所在直线于D、E、F 三点，则有：
证明如下：
设
，
，
，
，则有
，
，
.①
因为D、E、F 三点共线，所以
.
又因为
，从而
.②
当①代入②，可得：
即：
注意到
，且
两两方向不同，故有：
由
可知
，将其代入
，整理可得
，即：
(2)塞瓦定理
已知点
为
内任意一点，AO、BO、CO 的延长线分别交边BC、CA、AB 于F、E、D，则有：
2
证明如下：
设
，
，
，
.
因为C、O、E 三点共线，有
，
.①
所以
.②
将①代入②，
即有
，
注意到B、O、F 三点共线，A、O、D 三点共线，
所以
，且
.
整理可得
，即
.
【热点题型1：定比分点的向量表示】
（2026 高三·全国·专题练习）在△ABC中，⃗AN = 1
4⃗NC，P 是BN 上的一点，若⃗
AP =m⃗AB+ 2
11⃗AC，则实数m 的值为 .
【答案】1
11
【分析】先根据⃗AN = 1
4⃗NC得到⃗AC =5⃗AN，从而可得⃗AP =m⃗AB+ 10
11⃗AN，再根据共线定理的推论，即
可得到m的值.
【详解】因为⃗AN = 1
4⃗NC，所以⃗AC =5⃗AN，又⃗AP =m⃗AB+ 2
11⃗AC，
所以⃗AP =m⃗AB+ 10
11⃗AN，
知识讲解与常考题型
题型分类
经典例题
3
因为点P ,B , N三点共线，所以m+ 10
11 =1，解得m= 1
11.
故答案为：1
11
【规律方法总结】
核心依据教材中定比分点的向量定义，若点
分有向线段
所成的比为
（即
，
）
则向量表示式为
，其中
为平面内任意一点.该公式是核心，需牢记“分点系
数之和为1”的特征.
技巧要点：一是明确
的正负含义，当
在线段
上时，
（内分点）；当
在线段
的延长线
或反向延长线上时，
（外分点），可结合教材中内分点、外分点的实例理解符号规律.二是灵活运用
“基底转化”思想，若题目中无明确原点，可选取合适的基底（如
、
），将目标向量用基底表示，
再代入定比分点向量公式.三是利用“系数和为1”的性质快速验证向量表达式的正确性，这是考试中判断
某点是否为定比分点的常用快捷方法.四是当
时，即为中点向量公式
，此为定比
分点向量公式的特殊情形，也是教材重点和考试高频考点，需单独强化记忆与应用.
（25-26 高二上·贵州遵义·期中）在△ABC中，AB =√2 AC，AD =2 DB，
AE =3 EC，CD与BE交于F，若⃗AF ⋅⃗BC =0，则∠BAC = .
【答案】3π
4
【分析】设⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，且|⃗b|=m，由B , F , E和C , F , D三点共线，得到⃗AF =t⃗a+ 3
4 (1−t )⃗b和⃗
AF = λ⃗b+ 2
3 (1−λ)⃗a，列出方程组，求得t = 1
3 , λ = 1
2，得到⃗AF = 1
2⃗b+ 1
3⃗a，结合⃗AF ⋅⃗BC =0，求得⃗
a⋅⃗b=−1，利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】设⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，且|⃗b|=m，则|⃗a|=√2|⃗b|=√2m，如图所示，
因为B , F , E三点共线，则存在实数t使得⃗AF =t⃗AB+(1−t )⃗AE =t⃗a+ 3
4 (1−t )⃗b，
又因为C , F , D三点共线，则存在实数λ使得⃗AF = λ⃗AC +(1−λ)⃗AD = λ⃗b+ 2
3 (1−λ)⃗a
所以t⃗a+ 3
4 (1−t )⃗b= λ⃗b+ 2
3 (1−λ)⃗a，则¿ ，解得t = 1
3 , λ= 1
2，
所以⃗AF = 1
2⃗b+ 1
3⃗a，且⃗BC =⃗AC −⃗AB =⃗b−⃗a
小试牛刀1
4
因为⃗AF ⋅⃗BC =0，可得⃗AF ⋅⃗BC =( 1
2⃗b+ 1
3⃗a)⋅(⃗b−⃗a)= 1
2⃗b
2−1
6⃗a⋅⃗b−1
3⃗a
2 = 1
2 m
2−2
3 m
2−1
6⃗a⋅⃗b=0，
解得⃗a⋅⃗b=−m
2，
所以cos∠BAC =cos⟨⃗a,⃗b⟩=⃗a⋅⃗b
|⃗a||⃗b|
=−√2
2 ，
因为∠BAC =⟨⃗a,⃗b⟩∈[0,π]，所以∠BAC = 3π
4 .
故答案为：3π
4
（2025 高三·全国·专题练习）如图所示，在△ABC中，AO是BC边上的中线，K
为AO上一点，且⃗AO =2⃗AK，经过K的直线分别交直线AB , AC于不同的两点M , N．若⃗AB =m⃗AM，⃗
AC =n⃗AN，则m+n= ．
【答案】4
【分析】法一，取△ABC平行于边BC的中位线，求出m,n的值即可；法二，利用向量的线性运算，结合
共线向量定理的推论列式求解.
【详解】法一：（特殊位置法）当过点K的直线与BC平行时，由⃗AO =2⃗AK，得K是AO的中点，
则MN就是△ABC的一条中位线，由⃗AB =m⃗AM ,⃗AC =n⃗AN，得m=n=2，所以m+n= 4.
法二：依题意，⃗AK = 1
2⃗AO = 1
2 ( 1
2⃗AB+ 1
2⃗AC )= 1
4 m⃗AM + 1
4 n⃗AN，
由K , M , N三点共线，得1
4 m+ 1
4 n=1，所以m+n= 4.
故答案为：4
【热点题型2：定比分点求长度】
（2025·河北张家口·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
2−sin A sinC =sin
2( A +C)+cos
2( A + B)+cos
2(B+C).
(1)求B；
(2)若△ABC的外接圆面积为π，且a+√2=c，a⃗AD =c⃗CD，求BD的长.
小试牛刀2
经典例题
5
【答案】(1)π
3
(2)√2
2
【分析】（1）由三角形的性质及同角三角函数基本关系将条件化为sin
2B =sin
2 A +sin
2C −sin A sinC，
然后利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得解；
（2）由正弦定理可得b=√3，由余弦定理及a+√2=c得a= √6−√2
2
c = √6+√2
2
，利用a⃗AD =c⃗CD及向
量的线性运算得BD⃗=−√3−1
2
BA⃗+ √3+1
2
BC⃗，结合数量积的运算律，利用向量模的运算公式求解即可.
【详解】（1）因为2−sin A sinC =sin
2( A +C)+cos
2( A + B)+cos
2(B+C)，
所以2−sin A sinC =sin
2B+cos
2C +cos
2 A，所以1−cos
2C +1−cos
2 A −sin A sinC =sin
2B，
所以sin
2B =sin
2 A +sin
2C −sin A sinC，
由正弦定理可知b
2=a
2+c
2−ac，即a
2+c
2−b
2=ac，
又由余弦定理可知cos B = a
2+c
2−b
2
2ac
= 1
2，
又B∈(0,π)，则B =π
3 ；
（2）由△ABC的外接圆面积为π，得外接圆半径为1，由正弦定理得b=2sin B =√3，
由余弦定理及a+√2=c得，3=(√2+a)
2+a
2−a(√2+a)，
化简得a
2+√2a−1=0，解得a= √6−√2
2
（负根舍去），从而c = √6+√2
2
，
因为a⃗AD =c⃗CD，所以AD⃗= c
a CD⃗=
c
c−a AC⃗，
BD⃗= BA⃗+ AD⃗= BA⃗+
c
c−a AC⃗= BA⃗+
c
c−a(BC⃗−BA⃗)=−
a
c−a BA⃗+
c
c−a BC⃗
=−√3−1
2
BA⃗+ √3+1
2
BC⃗，所以
|BD⃗|=√(−√3−1
2
BA⃗+ √3+1
2
BC⃗)
2
= 1
2√(√3−1)
2BA⃗
2+(√3+1)
2BC⃗
2−2⋅(√3−1)(√3+1)⋅BA⃗⋅BC⃗
= 1
2√
(4−2√3)(
√6+√2
2 )
2
+(4+2√3)(
√6−√2
2 )
2
−2⋅2⋅√6+√2
2
⋅√6−√2
2
⋅1
2 = √2
2
，
故BD的长是√2
2
.
【规律方法总结】
核心方法基于定比分点的比例关系与距离公式，结合教材中两点间距离公式推导而来.设点
分
的比
6
为
，则长度比例关系为
，这是求长度的核心关联式.
技巧要点：一是明确长度比与
的绝对值对应，与
的正负无关，需区分“向量比”与“长度比”的差异，
避免符号干扰.二是当已知线段总长或某一段长度时，可通过
建立方程求解未知长度，即若
（内分点），则
，同理可推导外分点的长度
关系.三是结合坐标法应用，若已知
、
坐标，可先由定比分点坐标公式求出
点坐标，再用两点间距
离公式
计算长度，坐标法是考试中最常用的实操方法，需熟练掌握定比分点
坐标公式
，
与距离公式的结合运用.四是注意外分点时长度的叠加关系，避免
因线段延长导致长度计算错误.
（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC =π
3 ,⃗AD =⃗DB , P为
CD上一点，且满足⃗AP =m⃗AC + 1
3⃗AB，若S△ABC =2√3，则|⃗AP|的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．2√6
3
D．8
3
【答案】C
【分析】设⃗CP = λ⃗CD，从而得到⃗AP = 1
2 λ⃗AB+(1−λ)⃗AC，结合已知有λ= 2
3 ,m= 1
3，应用三角形面积公
式得|⃗AB|⋅|⃗AC|=8，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.
【详解】设⃗CP = λ⃗CD，则⃗
AP =⃗AC +⃗CP =⃗AC + λ⃗CD =⃗AC + λ(
1
2⃗AB−⃗AC)= 1
2 λ⃗AB+(1−λ)⃗AC = 1
3⃗AB+m⃗AC，
所以¿，解得λ= 2
3 ,m= 1
3，
S△ABC = 1
2|⃗AB|⋅|⃗AC|sin∠BAC = √3
4 |⃗AB|⋅|⃗AC|=2√3，则|⃗AB|⋅|⃗AC|=8，
|⃗AP|
2=(
1
3⃗AB+ 1
3⃗AC)
2
= 1
9⃗AB
2+ 1
9⃗AC
2+ 2
9⃗AB⋅⃗AC
= 1
9|⃗AB|
2+ 1
9|⃗AC|
2+ 2
9|⃗AB|⋅|⃗AC|cos∠BAC ≥2√
1
9|⃗AB|
2⋅1
9|⃗AC|
2+ 1
9|⃗AB|⋅|⃗AC|
= 1
3|⃗AB|⋅|⃗AC|= 8
3，当且仅当|⃗AB|=|⃗AC|=2√2时，等号成立，
小试牛刀1
7
∴|⃗AP|的最小值为2√6
3
．
故选：C
（2025·山东烟台·一模）在△ABC中，AB =2 AC =6,∠BAC =60
∘,⃗BC =3⃗BD，
则|⃗AD|=（ ）
A．√7
B．√13
C．√21
D．2√7
【答案】C
【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可.
【详解】在△ABC中，AB =2 AC =6,∠BAC =60
∘,⃗BC =3⃗BD，
所以AD
→
= 2
3 AB
→
+ 1
3 AC
→
，
则|AD
→|=√
4
9 AB
→
2+ 1
9 AC
→
2+ 4
9 AB
→
· AC
→
=√
4
9|AB
→|
2
+ 1
9|AC
→|
2
+ 4
9|AB
→|·|AC
→|cos60°
=√
4
9 ×6
2+ 1
9 ×3
2+ 4
9 ×6×3× 1
2 =√21.
故选：C.
（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，
c.已知b
2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC =asinC.
（1）证明：BD =b；
（2）若AD =2 DC，求cos∠ABC.
【答案】（1）证明见解析；（2）cos∠ABC = 7
12.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有BD = ac
b ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cos∠ABC的值.
【详解】（1）设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，
得sin∠ABC = b
2 R ,sinC = c
2 R ，
因为BDsin∠ABC =asinC，所以BD⋅b
2 R =a⋅c
2 R ，即BD⋅b=ac．
又因为b
2=ac，所以BD =b．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为AD =2 DC，如图，在△ABC中，cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
，①
小试牛刀2
小试牛刀3
8
在△BCD中，cosC =
a
2+( b
3 )
2
−b
2
2a⋅b
3
．②
由①②得a
2+b
2−c
2=3[a
2+( b
3 )
2
−b
2]，整理得2a
2−11
3 b
2+c
2=0．
又因为b
2=ac，所以6a
2−11ac+3c
2=0，解得a= c
3或a= 3c
2 ，
当a= c
3 ,b
2=ac = c
2
3 时，a+b= c
3 + √3c
3
<c（舍去）．
当a= 3c
2 ,b
2=ac = 3c
2
2 时，cos∠ABC =
( 3c
2 )
2
+c
2−3c
2
2
2⋅3c
2 ⋅c
= 7
12．
所以cos∠ABC = 7
12．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知AD =2 DC，则S△ABD= 2
3 S△ABC，
即1
2 × 2
3 b
2sin∠ADB = 2
3 × 1
2 ac×sin∠ABC，
而b
2=ac，即sin ∠ADB =sin ∠ABC，
故有∠ADB =∠ABC，从而∠ABD =∠C．
由b
2=ac，即b
a = c
b，即CA
CB = BA
BD ，即△ACB∽△ABD，
故AD
AB = AB
AC ，即
2b
3
c = c
b
，
9
又b
2=ac，所以c = 2
3 a，
则cos∠ABC = c
2+a
2−b
2
2ac
= 7
12．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知BD =b= AC，再由AD =2 DC得AD = 2
3 b,CD = 1
3 b．
在△ADB中，由正弦定理得
AD
sin ∠ABD = BD
sin A ．
又∠ABD =∠C，所以
2
3 b
sinC =
b
sin A
，化简得sinC = 2
3 sin A．
在△ABC中，由正弦定理知c = 2
3 a，又由b
2=ac，所以b
2= 2
3 a
2．
在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC = a
2+c
2−b
2
2ac
=
a
2+ 4
9 a
2−2
3 a
2
2× 2
3 a
2
= 7
12．
故cos∠ABC = 7
12．
【热点题型3：爪形结构之中线】
（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知
△ABC的面积为√3，D为BC中点，且AD =1．
(1)若∠ADC =π
3 ，求tan B；
(2)若b
2+c
2=8，求b,c．
【答案】(1)√3
5 ；
(2)b=c =2.
【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积
公式求出a，作出BC边上的高，利用直角三角形求解作答.
（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答；方法2，利用向量
运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出∠ADC即可求解作答.
【详解】（1）方法1：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC =π
3 ，AD =1，
经典例题
10
则S△ADC = 1
2 AD⋅DC sin ∠ADC = 1
2 ×1× 1
2 a× √3
2 = √3
8 a= 1
2 S△ABC = √3
2 ，解得a= 4，
在△ABD中，∠ADB = 2π
3 ，由余弦定理得c
2= B D
2+ A D
2−2BD⋅ADcos∠ADB，
即c
2= 4+1−2×2×1×(−1
2 )=7，解得c =√7，则cos B = 7+ 4−1
2√7×2 = 5√7
14 ，
sin B =√1−cos
2B =√1−( 5√7
14 )
2
= √21
14
，
所以tan B = sin B
cos B = √3
5
.
方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，∠ADC =π
3 ，AD =1，
则S△ADC = 1
2 AD⋅DC sin ∠ADC = 1
2 ×1× 1
2 a× √3
2 = √3
8 a= 1
2 S△ABC = √3
2 ，解得a= 4，
在△ACD中，由余弦定理得b
2=C D
2+ A D
2−2CD⋅AD cos∠ADC，
即b
2= 4+1−2×2×1× 1
2 =3，解得b=√3，有A C
2+ A D
2= 4 =C D
2，则∠CAD =π
2 ，
C =π
6 ，过A作AE⊥BC于E，于是CE = AC cosC = 3
2 , AE = AC sinC = √3
2 ，BE = 5
2，
所以tan B = AE
BE = √3
5
.
（2）方法1：在△ABD与△ACD中，由余弦定理得¿，
整理得1
2 a
2+2=b
2+c
2，而b
2+c
2=8，则a=2√3，
又S△ADC = 1
2 ×√3×1×sin ∠ADC = √3
2 ，解得sin ∠ADC =1，而0<∠ADC <π，于是∠ADC =π
2 ，
所以b=c =√A D
2+C D
2=2.
方法2：在△ABC中，因为D为BC中点，则2⃗AD =⃗AB+⃗AC，又⃗CB =⃗AB−⃗AC，
于是4⃗AD
2+⃗CB
2=(⃗AB+⃗AC )
2+(⃗AB−⃗AC )
2=2(b
2+c
2)=16，即4 +a
2=16，解得a=2√3，
又S△ADC = 1
2 ×√3×1×sin ∠ADC = √3
2 ，解得sin∠ADC =1，而0<∠ADC <π，于是∠ADC =π
2 ，
所以b=c =√A D
2+C D
2=2.
【规律方法总结】
11
爪形结构中线问题的核心是教材中的“中线向量公式”，若
为
的中线（即
为
中点），则
中线向量公式为
，该公式是破解爪形结构中线问题的基础，本质是定比分点向量公式
中
的特殊情况.
技巧要点：一是将中线向量公式拓展到多中线场景，若存在多条中线，可通过向量叠加表示三角形的重心
向量，重心
满足
，且
，这是考试高频考点.二是利用中
线向量公式进行“向量分解与合成”，在爪形结构中，可将非中线向量转化为中线向量与其他基础向量的
组合，简化运算.三是结合数量积应用，若需计算中线相关的数量积，可先通过中线向量公式将目标向量
用已知边向量表示，再代入数量积公式
计算.四是注意中线与三角形面积的关联，中线
将三角形分成面积相等的两部分，可辅助解决与面积相关的爪形结构问题.
（2026·陕西西安·一模）在△ABC中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且有
cos
2 A −sin BsinC =cos(C + B)cos(C −B).
(1)求角A；
(2)若D 为BC 中点，且AD =2，求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)π
3
(2)4√3
3
【分析】（1）通过三角恒等变换对题目所给等式进行化简，即可得解；
（2）运用中线向量定理得⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC)，两边平方后，再运用基本不等式以及三角形的面积公式，
即可得解.
【详解】（1）∵cos
2 A −sin BsinC =−cos A cos(C −B)，
∴cos A [cos A +cos(C −B)]=sin BsinC，
又因为cos A =cos(π−B−C )=−cos(B+C )，
故cos A [cos A +cos(C −B)]=cos A [−cos(C + B)+cos(C −B)]
=cos A(−cosC cos B+sinC sin B+cosC cos B+sinC sin B)=sin BsinC，
整理得2cos A sin BsinC =sin BsinC，
∵B ,C ∈(0,π)，∴sin BsinC ≠0，∴cos A = 1
2，
∵A ∈(0,π)，∴A =π
3 .
（2）由题意知⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC)，
则|⃗AD|
2= 1
4 (|⃗AB|
2+2⃗AB⋅⃗AC +|⃗AC |
2)= 1
4 (|⃗AB|
2+2|⃗AB|⋅|⃗AC |cos A +|⃗AC |
2)，
小试牛刀1
12
∵|⃗AD|=2，∴b
2+c
2+bc =16，
∵b
2+c
2+bc≥3bc（当且仅当b=c时等号成立），∴bc≤16
3 ，
∴△ABC面积的最大值为1
2 bc sin A = 1
2 × 16
3 × √3
2 = 4√3
3
.
（25-26 高三上·四川广安·月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，
c，且3a=√3c sin B+3bcosC.
(1)求B；
(2)若D是边AC的中点，a=2，BD = √19
2 ，求△ABC的面积；
【答案】(1)B =π
3
(2)3√3
2
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；
（2）借助向量模长与数量积的关系计算可得c，再利用面积公式计算即可得.
【详解】（1）由3a=√3c sin B+3bcosC，则3sin A =√3sinC sin B+3sin BcosC，
又sin A =sin (B+C)=sin BcosC +cos BsinC，
则有3sin BcosC +3cos BsinC =√3sinC sin B+3sin BcosC，
即√3cos BsinC =sinC sin B，又C ∈(0,π)，故sinC ≠0，
则√3cos B =sin B，即tan B =√3，又B∈(0,π)，则B =π
3 ；
（2）由D是AC的中点，则⃗BD = 1
2 (⃗BA +⃗BC)，
则|⃗BD|
2= 1
4 (⃗BA +⃗BC)
2= 1
4(|⃗BA|
2+|⃗BC|
2+2|⃗BA|⋅|⃗BC|cosπ
3 )
即19
4 = 1
4 (c
2+ 4 +2c)，则c
2+2c−15=(c−3)(c +5)=0，
解得c =3或c =−5（负值，舍去），
则S△ABC = 1
2 ac sin B = 1
2 ×2×3× √3
2 = 3√3
2
.
小试牛刀2
13
【热点题型4：爪型结构之角平分线】
（2025·浙江·一模）已知△ABC的角A ,B ,C的对边是a,b,c ,a
2=b
2+bc且cosB = 3
4 .
(1)求a:b:c；
(2)若AM为△ABC的中线，AD为△ABC的角平分线，求AM
AD .
【答案】(1)a:b:c =6:4:5
(2) AM
AD = 3√46
20
【分析】（1）由余弦定理可得b=c−2bcos A，进而由正弦定理结合三角恒等变换可得
sin B =sin ( A −B)，进而可得A =2B，进而求得sin A ,sin B ,sinC，可求结论；法二：利用余弦定理可得
b
2=a
2+c
2−3
2 ac，结合已知可得a= 3
2 b,c = 5
4 b，可得结论；
（2）不妨设a=6，则b= 4 ,c =5，利用余弦定理可得b
2+c
2= 1
2 a
2+2 A M
2，可求得AM，利用角平分线
定理可求得AD，可求结论.法二：不妨设a=6，则b= 4 ,c =5，利用余弦定理可得b
2+c
2= 1
2 a
2+2 A M
2，
可求得AM，利用面积法求得AD，可得结论.
【详解】（1）在△ABC中，由余弦定理可得a
2=b
2+c
2−2bc cos A，又a
2=b
2+bc，
所以b
2+bc =b
2+c
2−2bc cos A，所以bc =c
2−2bc cos A，
所以b=c−2bcos A，由正弦定理可得sin B =sinC −2sin Bcos A，
所以sin B =sin ( A + B)−2sin Bcos A，所以sin B =sin A cos B−sin Bcos A，
所以sin B =sin ( A −B).
因为0< A <π，0<B<π，所以−π< A −B<π,
所以B = A −B或B+ A −B =π（舍去），所以A =2B.
又因为cosB = 3
4 ，所以sin B =√1−cos
2B = √7
4 ，
因为sin B = √7
4 ,sin A =sin2B =2sin Bcos B = 3√7
8
，cos A =cos2B =2cos
2B−1= 1
8，
sinC =sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B = 3√7
8
× 3
4 + 1
8 × √7
4 = 5√7
16 ，
故a:b:c =sin A :sin B:sinC =6:4:5.
法二：由余弦定理得b
2=a
2+c
2−2ac cos B，所以b
2=a
2+c
2−3
2 ac，
与a
2=b
2+bc联立得，b+c = 3
2 a，解得a= 3
2 b,c = 5
4 b，故a:b:c =6:4:5.
（2）不妨设a=6，则b= 4 ,c =5，
经典例题
14
在△AMB中，c
2= A M
2+(
1
2 a)
2
−2×(
1
2 a)⋅AM cos∠AMB，
在△AMC中，b
2= A M
2+(
1
2 a)
2
−2×(
1
2 a)⋅AM cos∠AMC，
所以b
2+c
2= 1
2 a
2+2 A M
2，16+25=18+2 A M
2，所以AM = √46
2
.
由A =2B，AD为△ABC的角平分线，所以∠BAD =∠B，所以AD = BD，
又BD
DC = AB
AC = 5
4 ，所以BD = 5
9 a= 10
3 ，所以AD = BD = 10
3 ，
所以AM
AD = 3√46
20
.
法二：不妨设a=6，则b= 4 ,c =5，
在△AMB中，c
2= A M
2+(
1
2 a)
2
−2×(
1
2 a)⋅AM cos∠AMB，
在△AMC中，b
2= A M
2+(
1
2 a)
2
−2×(
1
2 a)⋅AM cos∠AMC，
所以b
2+c
2= 1
2 a
2+2 A M
2，16+25=18+2 A M
2，所以AM = √46
2
.
由S△ABC = S△ADC + S△ADB，得1
2 bcsin A = 1
2
(b+c) ADsin B，
所以bcsin A =(b+c) ADsin B，所以20× 3√7
8
=9 AD× √7
4 ，得AD = 10
3 ，
所以AM
AD = 3√46
20
.
【规律方法总结】
核心依据角平分线定理与向量表示，角平分线定理（教材重点定理）：在
中，若
为
的
角平分线，交
于
，则
，结合定比分点向量公式可推导角平分线的向量表示.
技巧要点：一是角平分线的向量表示，若
、
为单位向量，则
（
为参
数），其中
、
分别为
、
的单位向量；非单位向量时，可表示为
，该公式精准体现角平分线的比例特征，考试中常直接应用.二是利用角平分线
定理确定定比分点的
值，即
，再代入定比分点相关公式求解向量或长度.三是爪形结构
中，角平分线向量可作为“角相等”的向量转化工具，通过向量方向与长度比例，建立已知与未知向量的
关联.四是注意角平分线与三角形内切圆的关联，内心为三条角平分线的交点，内心向量公式
（简化为
，其中
，
，
15
，
为任意点），是考试进阶考点，需结合角平分线性质记忆.
（2025·四川遂宁·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c，且
√3c cos B−bsinC =√3a.
(1)求C；
(2)已知∠ACB的角平分线CD交AB于点D.若a+b= 4，c =√13.求△ABC面积及CD的长.
【答案】(1)2π
3
(2)3√3
4
，3
4
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到sin BsinC =−√3sin BcosC，求得
sinC =−√3cosC，进而求得C的值；
（2）根据题意，利用余弦定理，求得ab=3，结合三角形的面积公式，求得△ABC的面积，再由
S△ABC = S△ACD+ S△BCD，结合面积公式，化简求得CD的长.
【详解】（1）因为√3c cos B−bsinC =√3a，
由正弦定理得√3sinC cos B−sin BsinC =√3sin A，
又因为sin A =sin (B+C)=sin BcosC +cos BsinC，
所以sin BsinC =−√3sin BcosC，
因为B∈(0,π)，可得sin B>0，
所以sinC =−√3cosC，可得tanC =−√3，
又因为0<C <π，所以C = 2π
3 .
（2）由（1）知C = 2π
3 ，又c =√13，
利用余弦定理c
2=a
2+b
2−2abcosC，可得(a+b)
2−ab=13，
因为a+b= 4，所以ab=3，
所以△ABC的面积为S = 1
2 absinC = 1
2 ×3× √3
2 = 3√3
4
，
又因为∠ACB的角平分线CD交AB于点D，
所以S△ABC = S△ACD+ S△BCD，
可得1
2 absin 2π
3 = 1
2 a×CD×sinπ
3 + 1
2 b×CD×sinπ
3 ，
整理得CD =
√3
2 ab
√3
2
(a+b)
= 3
4 .
小试牛刀1
16
（2025·安徽·二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
ab=bcos A +√3asin B，且a=2.
(1)求A；
(2)若点D在线段BC上，且满足⃗AD =⃗AB
|⃗AB|
+⃗AC
|⃗AC|，求△ABC的面积.
【答案】(1)A =π
3
(2)√3
【分析】（1）先应用正弦定理，再由三角恒等变形得sin(A +π
6 )=1，结合角的范围即可求解；
（2）先应用数量积运算律及定义化简，再结合三角形面积公式及余弦定理计算求值.
【详解】（1）根据题意2b=bcos A +√3asin B，
则由正弦定理得，2sin B =cos A sin B+√3sin A sin B，
因为sin B≠0，所以2=cos A +√3sin A，
所以sin(A +π
6 )=1，
∵A ∈(0,π)，则A +π
6 ∈(
π
6 ,7π
6 )，
∴A +π
6 =π
2
解得A =π
3 ；
（2）令⃗AE =⃗AB
|⃗AB|，⃗AF =⃗AC
|⃗AC|，则|⃗AE|=|⃗AF|=1.
又⃗AD =⃗AE+⃗AF，则四边形AEDF为菱形，AD为∠BAC的角平分线.
|⃗AD|
2=(⃗AE +⃗AF)
2=⃗AE
2+⃗AF
2+2⃗AE⋅⃗AF =1+1+2×1×1×cosπ
3 =3，
AD =√3，
S△ABC = 1
2 bcsinπ
3 = 1
2
(b+c)⋅AD⋅sinπ
6 ，即bc =b+c，
由余弦定理可得：a
2=b
2+c
2−2bccosπ
3 = 4，
即(b+c)
2−3bc =(bc)
2−3bc = 4，解得bc = 4，
所以S△ABC = 1
2 bcsinπ
3 =√3.
【热点题型5：张角定理与分角定理求角】
小试牛刀2
17
（2025·甘肃武威·模拟预测）在△ABC中，∠BAC = 2π
3 ，AD是∠BAC的平分线，
BD =2CD，AB =3，则sin∠ABC =（ ）
A．√21
14
B．√21
7
C．√3
4
D．√6
4
【答案】A
【分析】根据角平分线定理可得AC = 3
2，在△ABC中，利用余弦定理求出BC = 3√7
2
，进而根据正弦定理
求出sin∠ABC.
【详解】因为AD为∠BAC的平分线，且BD = 2CD，
在△ABD中，根据正弦定理可知
AB
sin∠ADB =
BD
sin∠BAD ，
在△ACD中，根据正弦定理可知
AC
sin ∠ADC =
CD
sin ∠CAD ，
而∠ADB+∠ADC = π，∠BAD =∠CAD，故将上述两个等式相除可得AB
AC = BD
CD =2，
又AB =3，所以AC = 3
2，则在△ABC中，
由余弦定理得BC
2= A B
2+ A C
2−2 AB⋅AC cos∠BAC =9+ 9
4 −2×3× 3
2 ×(−1
2)= 63
4 ，
所以BC = 3√7
2
，在△ABC中，由正弦定理得
AC
sin∠ABC =
BC
sin∠BAC ，
则sin∠ABC = AC sin∠BAC
BC
=
3
2 × √3
2
3√7
2
= √3
2√7 = √21
14 .
故选：A.
【规律方法总结】
张角定理：在平面内，点
在直线
外，若
被
平分或分角为
、
，则
，当
时，即为角平分线情形下的张角定理，可视为角平分线定理的三
角拓展.分角定理：在
中，若
分
为
、
，交
于
，则
，是角
平分线定理的一般形式.
技巧要点：一是张角定理的适用条件为“一点对两线段的张角被分”，解题时需先明确张角的构成与分角
大小，再代入公式，公式中各线段为点到顶点的距离，角度为张角及其分角，需注意角度的三角函数值符
号（三角形内角度均为锐角或钝角，正弦值均为正）.二是分角定理可与正弦定理结合使用，分角定理中
的比例关系可通过正弦定理推导（在
与
中分别应用正弦定理，再两式相除），考试中常需
联动两者求解角的大小或线段比例.三是求角时，可通过张角定理或分角定理建立含所求角的三角函数方
经典例题
18
程，结合三角函数的基本关系（如
）、诱导公式化简求解，注意所求角的范围需结合三
角形内角和（
）确定.四是避免角度混淆，需精准区分分角与张角的对应关系，公式中的线
段与角度需一一对应，不可错位代入.
（2025·四川成都·三模）在△ABC中，∠BAC = 2π
3 ，∠BAC的角平分线AD 交
BC 于点D，若CD =√6 AB，则tan∠ABC =（ ）
A．1
2
B．2
3
C．1
D．√2
【答案】C
【分析】设∠ABC =θ ,θ∈(0,π
3 )，则∠ACB =π
3 −θ，根据正弦定理得角平分线定理得AB
AC = BD
DC ，
求得BC =a=√6c + √6c
2
b
，再根据正弦定理
c
sin(
π
3 −θ)
=
b
sinθ =
a
sin 2π
3
化简得
4 sin
2θ+√2sinθ−3=0，求出sinθ = √2
2 ，进而θ =π
4 ，即可得解.
【详解】AB =c，则CD =√6c，设∠ABC =θ ,θ∈(0,π
3 )，则∠ACB =π
3 −θ，
在△ABD中，由正弦定理，
AB
sin ∠ADB =
BD
sinπ
3
，
在△ADC中，由正弦定理，
AC
sin∠ADC = DC
sinπ
3
，
因sin∠ADC =sin∠ADB，两式相比，可得AB
AC = BD
DC ，
所以BD = AB× DC
AC
= √6c
2
b
，所以BC =a=√6c + √6c
2
b
，
由正弦定理得
c
sin(
π
3 −θ)
=
b
sinθ =
a
sin2π
3
，所以√6[1+
sin(
π
3 −θ)
sinθ ]=
√3
2sin(
π
3 −θ)
，
所以2√2sin(
π
3 −θ)sinθ+2√2sin
2(
π
3 −θ)=sinθ，化简得4 sin
2θ+√2sinθ−3=0，
所以sinθ = √2
2 或sinθ =−3√2
4
（舍去），又θ∈(0,π
3 )，所以θ =π
4 ，
所以tan ∠ABC = tanθ =1.
故选：C
小试牛刀1
19
（2025·全国·模拟预测）已知△ABC的周长为6，BC =2，∠ACB的平分线交AB
于D，BD =CD，则cosB =（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．4
5
【答案】C
【分析】由正弦定理及余弦定理求解即可.
【详解】由于CD平分∠ACB，BD =CD，所以∠ACB =2B，
由正弦定理可得AC
sin B =
AB
sin2B ，则cosB = AB
2 AC ；
因为△ABC的周长为6，BC =2，
所以设AB =2+m，AC =2−m(m>0)，
由余弦定理得cosB = (m+2)
2+ 4−(2−m)
2
4 (m+2)
=
m+2
2(2−m)，解得m= 2
5，
所以cosB = AB
2 AC = 3
4 ，
故选：C.
【热点题型6：梅涅劳斯定理与塞瓦定理的应用】
如图所示，在△OAB 中，OA
→
= a
→
，OB
→
= b
→
，M，N 分别是OA，OB 上的点，且
OM
→
= 1
3 a
→
，ON
→
= 1
2 b
→
．设AN 与BM 交于点P，用向量a
→
，b
→
表示OP
→
= 1
5 a
→
+ 2
5 b
→
．
【分析】先根据相似三角形求出点P 在线段AN 上的具体位置，再根据平面向量的基本定理，利用向量
的线性运算法则，求解即可．
【解答】解：如图所示，取OM 的中点Q，连接QN，
因为M 是OA 的三等分点，所以OQ = 1
6 OA，
又N 是OB 的中点，所以QN∥MB，
所以△APM～△ANQ，
小试牛刀2
经典例题
20
所以AP
AN = AM
AQ =
2
3 OA
OA −OQ =
2
3 OA
OA −1
6 OA
= 4
5 ，
所以AP
→
= 4
5 AN
→
，
所以OP
→
=OA
→
+ AP
→
=OA
→
+ 4
5 AN
→
=OA
→
+ 4
5 ×(ON
→
−OA
→
)= 1
5 OA
→
+ 2
5 OB
→
= 1
5 a
→
+ 2
5 b
→
．
故答案为：1
5 a
→
+ 2
5 b
→
．
【点评】本题考查平面向量的线性运算与基本定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
【规律方法总结】
梅涅劳斯定理（适用于共线点问题）：若一条直线与
的三边
、
、
（或其延长线）分别
交于点
、
、
，则
；逆定理同样成立，可用于判断三点共线.塞瓦定理（适用于
共点线问题）：在
内任取一点
，直线
、
、
分别交对边于
、
、
，则
；逆定理可用于判断三条直线共点.
技巧要点：一是明确两大定理的核心差异，梅涅劳斯定理针对“截线与三角形三边（或延长线）”的共线
点问题，塞瓦定理针对“三角形内一点与三边”的共点线问题，解题时先判断题型类型，再选择对应定理，
避免混淆.二是处理线段比例时，需注意线段的方向，若截线与三角形边的延长线相交，对应线段比例为
负，实际应用中可先取绝对值计算，再结合图形判断符号，考试中多以三角形内截线或内点为主，比例多
为正值.三是两大定理的逆定理是考试高频考点，常用于证明三点共线或三线共点，证明时需先构造符合
定理条件的图形（如作辅助截线、找内点），再验证比例乘积为1.四是结合其他定理联动应用，梅涅劳斯
定理可与定比分点结合，塞瓦定理可与角平分线定理、中线性质结合，解决复杂的线段比例与共点、共线
问题，解题关键是找准比例关系的切入点，将复杂图形拆解为符合定理的基本图形.五是牢记定理的适用
范围，梅涅劳斯定理的截线可在三角形外，塞瓦定理的点可在三角形外（此时对应线段比例符号需调整），
需结合图形灵活
在△OAB 的边OA，OB 上分别取点M，N，使得OM：OA＝1：5，ON：OB＝1：
4，设线段AN 与BM 交于点P，记OA
→
= a
→
，OB
→
= b
→
，用a
→
，b
→
表示向量OP
→
．
【分析】可由平面向量基本定理以及向量共线定理即可求解．
【解答】解：如图，由题可知OM = 1
5 OA，ON = 1
4 OB，
小试牛刀1
21
在△OAN 中，设OP
→
= xON
→
+ y OA
→
= 1
4 xOB
→
+(1−x)OA
→
，
在△OBM 中，设OP
→
=mOA
→
+nOB
→
=(1−m)OB
→
+ 1
5 mOA
→
，
所以可得{
1
4 x =1−m
1−x = 1
5 m
，解得m= 15
19，
所以OP
→
= 3
19 a
→
+ 4
19 b
→
．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于中档题．
点M、N 分别是△OAB 的边OA、OB 上的点，OA
→
= a
→
，OB
→
= b
→
，
（1）若M、N 分别是OA、OB 的中点，线段AN 与BM 的交点为P，试用a
→
，b
→
表示OP
→
；
（2）若|OM
→|：|OA
→|＝1：4，|ON
→|：|OB
→|＝1：5，线段AN 与BM 交于点Q，试用a
→
，b
→
表示OQ
→
．
【分析】（1）利用重心的性质即可得出；
（2）利用向量共线定理和共面向量定理即可得出．
【解答】解：（1）由题意知，P 为△OAB 的重心，则OP
→
= 1
3 a
→
+ 1
3 b
→
；
（2）设OQ
→
= x a
→
+ y b
→
，
依题OQ
→
= 4 x OM
→
+ y OB
→
，又B、M、Q 三点共线，∴4x+y＝1…①
小试牛刀2
22
同理OQ
→
= xOA
→
+5 y ON
→
，又A、N、Q 三点共线，∴x+5y＝1…②
由①、②解得x = 4
19 ，y = 3
19，
所以OQ
→
= 4
19 a
→
+ 3
19 b
→
．
【点评】本题考查了三角形的重心的性质、向量共线定理和共面向量定理，考查了推理能力和计算能力，
属于中档题．
一、单选题
1．（2025·云南昭通·模拟预测）已知△ABC的三个内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，A = 2π
3 ，
△ABC的面积为√3，角A 的平分线交边BC于D，且BD =2 DC，则a 为（ ）
A．√14
B．√10
C．√2
D．1
【答案】A
【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出AB =2 AC，再由面积公式求出AB和AC，最后由余弦定理
计算a.
【详解】因为A = 2π
3 ，且角A 的平分线交边BC 于D，且BD =2 DC，
所以
S△ABD
S△ADC
= BD
DC =
1
2 AB⋅AD sinπ
3
1
2 AC ⋅AD sinπ
3
= AB
AC =2，即AB =2 AC，
又S△ABC = 1
2 AB⋅AC sin 2π
3 =√3，所以AB⋅AC = 4，所以AB =2√2，AC =√2，
由余弦定理得BC
2= A B
2+ A C
2−2 AB⋅AC cos∠BAC =8+2−2×2√2×√2×(−1
2)=14，
所以BC =√14，即a=√14，
故选：A．
2．（2025·广东江门·模拟预测）已知△ABC的三个内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c , A = 2π
3 ,△ABC
的面积为√3
2 ，角A的平分线交边BC于D，且BD =2 DC，则a为（ ）
A．3
B．√7
C．√5
D．2
【答案】B
【分析】由面积公式及角平分线的性质推导出AB =2 AC，再由面积公式求出AB、AC，最后由余弦定理
课后针对训练
23
计算可得.
【详解】因为A = 2π
3 ，且角A的平分线交边BC于D，且BD =2 DC，
所以
S△ABD
S△ADC
= BD
DC =
1
2 AB⋅AD sinπ
3
1
2 AC ⋅AD sinπ
3
= AB
AC =2，
即AB =2 AC，
又S△ABC = 1
2 AB⋅AC sin 2π
3 = √3
2 ，所以AB⋅AC =2，所以AB =2、AC =1，
由余弦定理BC
2= A B
2+ A C
2−2 AB⋅AC cos∠BAC =1
2+2
2−2×1×2×(−1
2)=7，
所以BC =√7，即a=√7.
故选：B
3．（25-26 高三上·江苏南通·期中）在△ABC中，已知AB = AC =1，cos A =−3
5，点D在边BC上且
∠CAD = π
4 ．若⃗AD =m⃗AB+n⃗AC，则m
n =（ ）
A．7
5
B．5
7
C．7
12
D．5
12
【答案】B
【分析】+由三角函数知识结合正弦定理可得BD = 7√5
15 ，CD = √5
3 ，据此可得答案.
【详解】由题，B =C且为锐角，则2B+ A =π⇒cos2B =−cos A = 3
5 ⇒2cos
2B−1= 3
5
⇒cos B = 2√5
5
，sin B = √5
5 ，又sin A = 4
5 ，
则sin ∠BAD =sin(A −π
4 )= √2
2 × 4
5 + √2
2 × 3
5 = 7√2
10 ，cos∠BAD = √2
10 .
sin ∠ADB =sin (B+∠BAD)= √5
5 × √2
10 + 2√5
5
× 7√2
10 = 3√10
10
.
由正弦定理，
AB
sin ∠ADB =
BD
sin ∠BAD ⇒BD = AB⋅sin ∠BAD
sin ∠ADB
= 7√5
15 ，
AC
sin ∠ADC =
DC
sin ∠CAD ⇒CD = AC ⋅sin ∠CAD
sin ∠ADC
= √5
3 ，
则BD
DC = 7
5 ⇒⃗BD = 7
5⃗DC ⇒⃗AD−⃗AB = 7
5 (⃗AC −⃗AD)，则AD⃗= 5
12 AB⃗+ 7
12 AC⃗⇒m
n = 5
7
.
故选：B
24
4．（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，D为BC上一点，且AD平分∠BAC，若AB =3，AC = AD =2，
则BC =（ ）
A．6√2
5
B．4√6
3
C．3√5
5
D．5√3
3
【答案】D
【分析】根据三角形面积公式，结合三角形内角平分线定理、余弦定理进行求解即可.
【详解】设∠BAD =∠CAD =α，则
S Δ ABD
S Δ ACD
= BD
CD =
1
2 AB⋅AD⋅sin α
1
2 AC ⋅AD⋅sin α
= AB
AC = 3
2.
设∠ADC = β，因为AD平分∠BAC，
所以AB
BD = AC
DC ⇒3
BD = 2
DC = 1
m，
因此有BD =3m.CD =2m，其中m>0，由余弦定理可知：
A B
2=9= A D
2+ B D
2+2 AD⋅BD⋅cos β = 4 +9m
2+12mcos β①，
A C
2= 4 = A D
2+C D
2−2 AD⋅CD⋅cos β = 4+ 4 m
2−8mcos β②，
由①，②可知m= √3
3 ，故BC =5m= 5√3
3
.
故选：D
5．（25-26 高二上·广东汕头·月考）如图，在△ABC中，AB = 4，AC =6，BC =8.取BC边中点D，连接
AD，设E 为AD中点，连接BE并延长与△ABC交于点F，则EF的长为（ ）
A．√6
2
B．√5
2
C．√3
2
D．1
2
【答案】A
【分析】根据向量共线定理表示出⃗AE，然后利用平面向量基本定理求得⃗AF = 1
3⃗AC，⃗AE = 1
4⃗AB+ 1
4⃗AC，
从而求得⃗EF = 1
4⃗BF，即EF = 1
4 BF，利用余弦定理求出BF，即可求解．
【详解】设⃗AF =m⃗AC，因为B，F，E 共线，
25
所以⃗AE =k⃗AF +(1−k )⃗AB =km⃗AC +(1−k )⃗AB，
又因为⃗AD = 1
2 (⃗AB+⃗AC )= 2⃗AE，所以⃗AE = 1
4⃗AB+ 1
4⃗AC，
所以¿，解得¿，
所以⃗AF = 1
3⃗AC，⃗AE = 1
4⃗AB+ 1
4⃗AC得⃗BE = ⃗AE−⃗AB = 1
4⃗AC −3
4⃗AB，⃗
BF =⃗AF −⃗AB = 1
3⃗AC −⃗AB，
所以⃗BE = 3
4⃗BF，所以⃗EF = 1
4⃗BF，所以EF = 1
4 BF，
在△ABC中，AB = 4，AC =6，BC =8，所以cos A = 4
2+6
2−8
2
2×4×6 =−1
4 ，
所以BF =√A B
2+ A F
2−2 AB⋅AF cos A =√
16+ 4−2×4×2×(−1
4)=2√6，
所以EF = 1
4 BF = √6
2 ．
故选：A
6．（25-26 高二上·黑龙江·开学考试）如图，在△PAC中，B是边AC上的点，其中A =π
3
，C =π
4 ，
∠PBA =5π
12
，BC =8√2，则AB =（ ）
A．6√2
B．6√6
C．16√3
3
D．16√6
3
【答案】D
【分析】先在△PBC中，由正弦定理求出PB，再在△PAB中，由正弦定理求出AB.
【详解】在△PBC中，C =π
4 ，∠BPC =5π
12 −π
4
=π
6
，
由正弦定理得PB
sinC =
BC
sin∠BPC ，
所以PB = BC ⋅sinC
sin ∠BPC =
8√2× √2
2
1
2
=16，
在△PAB中，A =π
3 ，∠APB =π−5π
12 −π
3
=π
4 ，
26
由正弦定理得
AB
sin ∠APB = PB
sin A ，
所以AB = PB⋅sin ∠APB
sin A
=
16× √2
2
√3
2
= 16√6
3
，
故选：D．
7．（2025·云南玉溪·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，且AC =CD , AB =2 AC =√3 AD，则
sin B =（ ）
A．√2
3
B．√3
3
C．√6
6
D．√3
6
【答案】A
【分析】设AD =2a，在△ACD中，由余弦定理求出cosC，利用平方关系求出sinC，在△ABC中再由正
弦定理可得答案.
【详解】设AD =2a，则AB =2√3a，CD = AC =√3a，
在△ACD中，由余弦定理得cosC = C D
2+ A C
2−A D
2
2CD⋅AC
= 3a
2+3a
2−4 a
2
6a
2
= 1
3，
因为0<C <π，所以sinC >0，sinC =√1−cos
2C = 2√2
3
，
在△ABC中，由正弦定理得AC
sin B = AB
sinC ，即sin B = AC ×sinC
AB
=
√3a× 2√2
3
2√3a
= √2
3
.
故选：A.
8．（2025·陕西延安·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=√7，
2sin A =3sinC，B =π
3 ，D是AC中点，则BD =（ ）
A．2
B．√17
2
C．√5
D．√19
2
【答案】D
【分析】先角化边得出a= 3
2 c，在结合余弦定理求分别求出a，c，cosC的值，最后在△BCD中用余弦定
理即可求出BD的值.
【详解】利用正弦定理结合条件2sin A =3sinC可知：2a=3c，即a= 3
2 c，
27
由余弦定理b
2=a
2+c
2−2ac cos B即7 = 9
4 c
2+c
2−2× 3
2 c⋅c⋅cosπ
3 = 13
4 c
2−3
2 c
2= 7
4 c
2，故c =2，
a=3，
在△ABC中由余弦定理可知：cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 9+7−4
6√7
= 2√7
7
，
在△BCD中由余弦定理可知：cosC = BC
2+C D
2−B D
2
2BC ⋅CD
=
9+ 7
4 −B D
2
3√7
= 2√7
7
，
整理得：B D
2= 19
4 即BD = √19
2
.
故选：D
9．（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在△ABC中，AB = 4，AC =6，cosB = 1
8.若△ABC的角平分线AD
交边BC于点D，则AD =（ ）
A．12
5
B．8√3
5
C．9
5
D．3√2
【答案】D
【分析】根据余弦定理求出BC的长度，再利用角平分线定理得到BD与DC的比例关系，进而求出BD的
长度，最后在△ABD中利用余弦定理求出AD的长度.
【详解】在△ABC中，根据余弦定理A C
2= A B
2+ BC
2−2 AB⋅BC ⋅cos B，
已知AB = 4，AC =6，cos B = 1
8，设BC = x，则有： 6
2= 4
2+ x
2−2×4× x× 1
8
解得x =5或x =−4（边长不能为负舍去），所以BC =5.
因为AD 是角平分线，根据角平分线定理：可得BD
DC = AB
AC = 4
6 = 2
3.
又因为BD + DC = BC =5，所以BD =
2
2+3 ×5=2.
在△ABD中，再根据余弦定理A D
2= A B
2+ B D
2−2 AB⋅BD⋅cos B，
将AB = 4，BD =2，cos B = 1
8代入可得：A D
2= 4
2+2
2−2×4×2× 1
8 =16+ 4−2=18
所以AD =√18=3√2.AD的长度为3√2
故选：D.
28
10．（2025·江苏宿迁·模拟预测）在△ABC中，三个内角A ,B ,C所对的边分别为
a,b,c , A =π
3 ,a=√7 ,b<c , D是BC的三等分点，且BD =2 DC.若△ABC的面积S = 3√3
2
时，则AD的长
为（ ）
A．√37
3
B．√26
3
C．√37
2
D．√26
3
【答案】A
【分析】由余弦定理得7 =b
2+c
2−bc，由△ABC的面积得bc =6，解出b,c的值，由已知可和⃗
AD = 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC，再结合向量的数量积运算可求得|⃗AD|.
【详解】在△ABC中，A =π
3 ,a=√7
由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bc cos A，所以7 =b
2+c
2−bc，
由S = 1
2 bc sin A = 3√3
2
，得bc =6，又b<c，解得b=2,c =3，
因为BD =2 DC，所以⃗AD = 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC，
所以AD⃗
2= 1
9 AB⃗
2+ 4
9 AB⃗⋅AC⃗+ 4
9 AC⃗
2，
所以AD⃗
2= 1
9 ×3
2+ 4
9 ×3×2× 1
2 + 4
9 ×2
2= 37
9 ，所以|⃗AD|= √37
3
.
故选：A.
二、解答题
11．（2025·河南·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c ,asinC =√3ccos A.
(1)求A；
29
(2)点D在边BC上，AD平分∠BAC，若a= 4 , AD = 2√2
3
，求△ABC的周长.
【答案】(1)A =π
3
(2)4 +2√6
【分析】（1）应用正弦定理化简求解，结合角的范围求值；
（2）应用角平分线结合S△ABC = S△ABD+ S△ADC得出√3bc = 2√2
3
(b+c)，最后应用余弦定理计算求解.
【详解】（1）因为asinC =√3ccos A，
由正弦定理得sin A sinC =√3sinC cos A，
又sinC >0，所以tan A =√3，
由于0< A <π，则A =π
3 .
（2）因为S△ABC = S△ABD+ S△ADC，
所以1
2 bcsin∠BAC = 1
2 c⋅ADsin∠BAD+ 1
2 b⋅ADsin∠CAD，
即√3bc = AD (b+c)= 2√2
3
(b+c)，
由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bccos A =b
2+c
2−bc =(b+c)
2−3bc，
所以3(b+c)
2−2√6(b+c)−48=0，
解得b+c =2√6，或b+c =−4√6
3
（舍去），
所以a+b+c = 4 +2√6，即△ABC的周长为4 +2√6.
12．（2025·江苏宿迁·三模）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A ,B ,C的对边，且
√3sin( A +C )−cos B =1.
(1)求B；
(2)若b= 4，△ABC的面积为4√3，D为AC边上一点，满足⃗AC =3⃗AD，
①求△ABC的周长；
②求BD的长.
【答案】(1)B =π
3
(2)①△ABC的周长为a+b+c =12,②BD = 4√7
3
【分析】（1）结合正弦定理和三角形的内角和定理以及两角和与差的正弦公式，可求角.
（2）①先根据三角形的面积公式及余弦定理求得a=c = 4，可得△ABD为等边三角形，进而求得周长；
②根据余弦定理求BD.
【详解】（1）由√3sin( A +C )−cos B =1，
30
可得，√3sin B−cos B =1，即2sin(B−π
6 )−1=0，
即sin(B−π
6 )= 1
2，又B∈(0,π)，
则B−π
6 =π
6 ，即B =π
3 .
（2）①因为S△ABC = 1
2 ac sin B = √3
4 ac = 4√3，所以ac =16.
由余弦定理：b
2=a
2+c
2−2ac cos B，
则16=a
2+c
2−ac，即(a+c)
2=64，则a+c =8，
所以a=c = 4，即△ABC为等边三角形，
则△ABC的周长为a+b+c =12.
②由⃗AC =3⃗AD，所以AD = 4
3 ，
在△ABD中，由余弦定理得，
B D
2= A B
2+ A D
2−2 AB⋅AD⋅cosπ
3 =16+ 16
9 −2×4× 4
3 × 1
2 =16× 7
9，
所以BD = 4√7
3
.
13．（2025·四川巴中·模拟预测）在△ABC中，内角A , B , C的对边分别为a, b, c.已知
bsin B+C
2
=asin B.
(1)求A；
(2)若a=3，点D在边BC上，AD =2, DC =2 DB，求△ABC的面积.
【答案】(1)A =π
3
(2)3√3
2
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合三角恒等变换公式化简计算即可得；
（2）借助向量及模长与数量积关系可得与b、c有关等式，再利用余弦定理表示出cos∠ADB、
cos∠ADC，利用cos∠ADB+cos∠ADC =0可得与b、c有关等式，结合计算即可得解.
【详解】（1）由正弦定理得，sin Bsin B+C
2
=sin A sin B，
31
因为sin B>0，所以sin B+C
2
=sin A，即cos A
2 =sin A =2sin A
2 cos A
2 ，
又因为A
2 ∈(0,π
2 )，所以sin A
2 = 1
2，故A =π
3 ；
（2）由DC =2 DB知，⃗AD = 1
3⃗AC + 2
3⃗AB，
则有|⃗AD|
2= 1
9|⃗AC|
2+ 4
9|⃗AB|
2+ 4
9|⃗AB||⃗AC|cos∠BAC，
即4 = 1
9 b
2+ 4
9 c
2+ 2
9 bc，化简得b
2+ 4 c
2+2bc =36，
在△ACD中，由余弦定理得cos∠ADC = 8−b
2
8
，
在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB = 5−c
2
4
，
由cos∠ADB+cos∠ADC =0，则2c
2+b
2=18，
则2(2c
2+b
2)= 4 c
2+b
2+2bc，化简得b=2c，
则(2c)
2+ 4 c
2+2×2c×c =36，即c
2=3，则c =√3（负值舍去），
所以S△ABC = 1
2 bc sin ∠BAC = 3√3
2
.
14．（25-26 高三上·山东聊城·开学考试）在△ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
(a+b−c)(b−a+c)−3ac =0.
(1)求B；
(2)若∠ABC的角平分线交AC 于点D，且AD =2 DC = 2√7
3
，求BD．
【答案】(1)2π
3 ；
(2)2
3.
【分析】（1）已知条件结合余弦定理，求出cos B，可得B；
（2）根据角平分线性质得c =2a，结合余弦定理解出a,c的值，由三角形面积的分割关系
S△ABC = S△ABD+ S△DBC列出等式，求解BD的长度.
【详解】（1）因为(a+b−c)(b−a+c)−3ac =0，所以b
2−(a−c)
2−3ac =0，
所以−ac =a
2+c
2−b
2，所以cosB = a
2+c
2-b
2
2ac
=−1
2，因为B∈(0,π)，所以B = 2π
3 ；
（2）因为AD =2 DC = 2√7
3
，所以b=√7，
因为BD 平分∠ABC，所以c
a = AB
BC = AD
DC =2，即c =2a，
32
由（1）知，−ac =a
2+c
2−b
2，解得a=1，c =2，
因为S△ABC = S△ABD+ S△DBC，所以1
2 acsin B = 1
2 a⋅BD sin B
2 + 1
2 c⋅BD sin B
2 ，
整理得BD = ac
a+c = 2
3.
33
