文档文本内容
【培优点19：极值点偏移】
【高考定位】
极值点偏移问题是导数综合题的核心压轴题型之一，本质是函数在极值点两侧增减速率不对称导致零点
（或极值相关点）偏离中点的现象.此类问题常以不等式证明形式出现，考查函数单调性分析、构造思想
与转化能力，是二轮复习需重点突破的难点.
【知识拓展】
1.极值点偏移的定义与本质
设函数
在
处取得极值，若方程
有两个不等实根
（即函数有两个零点），满足
：
无偏移：若函数图象关于直线
对称（如二次函数），则
；
左偏移：若函数在
左侧增减速率快于右侧（左陡右缓），则
；
右偏移：若函数在
右侧增减速率快于左侧（右陡左缓），则
.
本质：函数的凹凸性决定增减速率，进而导致极值点偏移.可通过二阶导数符号辅助判断凹凸性
2.常见题设特征与核心目标
（1）题设条件：①函数
有唯一极值点
；②存在两个不等实根
满足
（或
).
（2）核心目标：证明与两根相关的不等式，如
、
、
等.
3.必备辅助工具
（1）对数均值不等式：对任意正数
，有
，取等条件为
.常用于比值
换元后的不等式放缩，是解决指数、对数型极值点偏移问题的核心工具.
（2）导数单调性判定：通过一阶导数判断原函数单调性，通过二阶导数判断一阶导数单调性（即原函数
凹凸性），为构造函数的单调性分析提供依据.
【热点题型1：对称化构造（差函数构造）】
【核心归纳】
【方法核心】利用函数在极值点两侧的对称性，构造与极值点相关的差函数，通过分析差函数的单调性，
将双变量问题转化为单变量问题，进而证明不等式.此方法适配性强，尤其适合解决
类加法型
偏移问题
1.解题模板（四步走）
1.Step1：求导分析原函数单调性，确定极值点
对
求导得
，解方程
得极值点
，明确
在
和
上的单调性（如
左减右增或左增右减）.
2.Step2：构造对称差函数
知识讲解与常考题型
题型分类
1
核心构造形式：
（或
）.
原理：通过对称变换，将
转化为
，利用差函数符号判断
与
的大小关系.
3.Step3：分析差函数
的单调性与符号
对
求导得
，判断
在目标区间（如
）的符号，得出
的单调性，进而确定
与
的大小关系（如
时
）.
4.Step4：结合原函数单调性证明结论
不妨设
，由
得
，即
.结合
，得
，再由原函数单调性（如
单调递减）得
，
整理得
.
2.典型例题（融合网络名师精讲题型）
例：已知函数
（
），若
有两个零点
，证明：
.
【解析】
（1）求导分析：
，令
得极值点
.
在
单调递减，在
单调递增.
（
2
）
构
造
差
函
数
：
设
（
）
，
则
.
（3）分析差函数：
，故
在
单调递减，
，即
.
（4）证明结论：不妨设
，则
，由
及
，
得
，故
.又
，
在
单调递减，故
，
即
.
【易错提示】
构造函数形式错误：需紧扣极值点
，加法型偏移优先构造
，避免构造方向
偏差.
忽略变量范围：差函数的定义域需与原函数单调区间匹配（如上述例题中
），否则单调性分析无
效.
未结合原函数单调性“脱
”：最后一步需通过原函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系，
这是对称化构造的关键收尾步骤.
（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)=( x −2)e
x+a( x −1)
2有两个零点x1，x2.
(1)求a 的取值范围；
(2)证明：x1+ x2<2.
（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f (x)=e
1
x −a
+ ln x−a有两个零点x1、x2．证
经典例题
小试牛刀1
2
明：x1+ x2>2a．
（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)=2aln x + 1
2 x
2−(a+2)x，其中a 为
常数．若函数f ( x)有两个不相等的零点x1, x2，证明：x1+ x2>4．（a<0）
（2025 高二·全国·专题练习）已知函数f ( x)= ln(1+ax)−x，其中a>0.当a>1时，
设f ( x)的两个零点为x1，x2，求证：x1+ x2>2−2
a.
【热点题型2：比（差）值换元】
【核心归纳】
【方法核心】当对称化构造适配性不足（如含指数、对数的乘积型偏移问题
）时，通过引入比值
或差值参数，将双变量
转化为单变量，再构造关于的函数证明不等式.此方法是《高中数学各个
击破》重点讲解的进阶方法，能有效解决复杂双变量问题.
1.分类与解题模板
（1）比值换元（最常用）
适用场景：含指数、对数的乘积型或商型偏移问题（如
、
）.
1.Step1：设定比值参数
不妨设
，令
（
），则
.
2.Step2：结合题设条件消参化简
由
列出等式，代入
，消去参数
（或其他参数），建立
与的关系（如通过对数
变形分离
）.
3.Step3：构造关于的函数
将目标不等式转化为关于的不等式，构造函数
，通过求导分析
的单调性与最值，证明不等式成
立.
（2）差值换元
适用场景：变量差值易表示的问题（如
，
）.
1.Step1：设定差值参数
令
（
），则
.
2.Step2：消参转化
由
建立关于
和的等式，消去
（或保留
作为辅助变量），转化为单变量的问题.
3.Step3：构造函数证明
同比值换元，构造
，通过导数分析证明结论.
小试牛刀2
小试牛刀3
3
2.典型例题（结合对数均值不等式应用）
例：已知函数
（
）有两个零点
，证明：
.
【解析】
（1）比值换元：由
，
，两式相除得
，取对数得
.令
（
），则
，代入得
，解得
，
.
（2）转化目标不等式：
等价于
，即
.
（
3
）
构
造
函
数
证
明
：
设
（
）
，
求
导
得
.令
，则
，当
时，
，故
，
在
单调递增. 又
，故
，即
，原不等式得证.
【易错提示】
参数范围界定：比值换元后
（或
），差值换元后
，需明确参数范围以确保单调性分析
准确.
对数均值不等式的灵活运用：当出现
形式时，可直接利用对数均值不等式放缩，简化证明过
程（如上述例题可通过
快速推导）.
代数变形技巧：换元后需通过对数、指数变形将双变量等式转化为单变量表达式，避免出现复杂分式或根
式，降低求导难度.
（24-25 高二下·福建莆田·月考）已知函数f (x)= xln x−a x
2−2 x.
(1)讨论导函数f
' (x)的零点个数情况；
(2)若f (x)有两个不同极值点x1、x2.当x1>4 x2时，证明：x1 x2
2>16e
3.
【规律方法总结】
问题类型
优先方法
适用场景
加法型偏移（
）
对称化构造
不含复杂指数、对数，或函数对称性易分析
乘积/商型偏移（
、
）
比值换元
含指数、对数，双变量乘积/商易通过换元转化
变量差值明确的问题
差值换元
易表示，或差值与参数关联紧密
经典例题
4
（2025 高三·全国·专题练习）已知函数f ( x)= x ln x−a x
2−x +a．若函数有两个
不同的极值点，记作x1, x2，且x1< x2，求证：ln x1+2ln x2>3．
（2025 高三·全国·专题练习）已知x1，x2是函数f ( x)=e
x−ax的两个零点，且
x1< x2，求证：
(1)x1+ x2>2；
(2)x1 x2<1．
（2025·湖南岳阳·模拟预测）已知函数f ( x)=a( x−1)−x ln x，且f ( x)≤0.
(1)求a;
(2)已知f
'( x)为函数f ( x)的导函数，证明：对任意的0< x1< x2，均有f
'( x1)> f ( x2)−f ( x1)
x2−x1
；
(3)证明：对任意的n∈N ∗，均有1
n+2 +
1
n+3 +⋅⋅⋅+
1
2n+1 <ln2.
1．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数f (x)= x (1−ln x).
（1）讨论f (x)的单调性；
（2）设a，b为两个不相等的正数，且b ln a−a ln b=a−b，证明：2< 1
a + 1
b <e.
2．（24-25 高二下·甘肃白银·期中）定义：若函数f ( x)与g( x)在公共定义域内存在x0，使得
f ( x0)+ g( x0)=0，则称f ( x)与g( x)为“契合函数”，x0为“契合点”．
(1)若f ( x)=−ln x−1与g( x)=ax为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a 的取值范围．
(2)若p( x)=e
x−x ln x与q( x)=bx−1为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”x1, x2．
①求b 的取值范围；
②证明：x1 x2<1．
3．（2025·青海海南·模拟预测）已知函数f (x)=ln x−m x
2+lnm,m>0．
(1)讨论函数f (x)的单调性．
(2)假设存在正实数x1, x2(x1≠x2)，满足f (x1)=e
x1
m −m x1
2,f (x2)=e
x2
m −m x2
2．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）证明：x1+ x2>2．
4．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数f (x)=e
x−lna−sin x，
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
课后针对训练
5
(1)当a=e时，求y = f (x)在(0,f (0))处的切线方程；
(2)若x∈(0,+ ∞)时，f (x)≥0恒成立，求a的范围；
(3)若f (x)在(0,π)内有两个不同零点x1、x2，求证：π
2 < x1+ x2<π.
5．（2022·山东·模拟预测）已知函数h(x)= x−aln x (a∈R).
(1)若h(x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)若方程xe
x−a(ln x + x)=0有两个实数根x1, x2，且x1≠x2，证明：e
x1+ x2>e
2
x1 x2
.
6．（23-24 高二下·吉林长春·期中）已知函数f (x)=−1
a(x + 1
a)e
−ax ,a>0.
(1)若f (x)的极小值为-4，求a的值；
(2)若g(x)= f (x)−aln x有两个不同的极值点x1, x2，证明：x1+ x2>2
3√2e
2.
7．（2024·四川眉山·三模）已知函数f ( x)= x ln x −a x
2−2 x.
(1)若过点(1,0)可作曲线y = f ( x)两条切线，求a的取值范围；
(2)若f ( x)有两个不同极值点x1, x2.
①求a的取值范围；
②当x1>4 x2时，证明：x1 x2
2>16e
3.
8．（2024·天津·一模）设函数f (x)= x
2+ ln x.
(1)求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)设函数g(x)= f (x)−ax (a∈R)
（i）当x =1时，g(x)取得极值，求g(x)的单调区间；
（ii）若g(x)存在两个极值点x1, x2，证明：
g(x2)−g(x1)
x2−x1
> 4
a −a
2
.
9．（2024·广东湛江·一模）已知函数f (x)=(1+ ln x)e
ln 1
ax．
(1)讨论f (x)的单调性；
(2)若方程f (x)=1有两个根x1，x2，求实数a 的取值范围，并证明：x1 x2>1．
10．（2022·全国·模拟预测）设函数f (x)=ln x−ax (a∈R).
(1)若a=3，求函数f (x)的最值；
(2)若函数g(x)= xf (x)−x +a有两个不同的极值点，记作x1, x2，且x1< x2，求证：ln x1+2ln x2>3.
6
7
