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二轮专题复习20220318
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专题一 极值点偏移问题
1.极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速度不同,使得函数图像没
有对称性.
已知函数
是连续函数,在区间
内有且只有一个极值点
,且
,若
极值点左右的“增减速度”相同,常常有极值点
,我们称这种状态为极值点不偏移
（如二次函数）；若极值点左右的“增减速度”不同,函数的图象不具有对称性,常常有极值点
的情况,我们称这种状态为“极值点偏移”.
极值点偏左：
，
处切线与x 轴不平行；
若
上凸(
递减)，则
f '( x1+x2
2
)<f '( x0)=0
，若
下凸(
递增)，则
f '( x1+x2
2
)>f '( x0)=0
。
极值点偏右：
，
处切线与x 轴不平行；
若
上凸(
递减)，则
f '( x1+x2
2
)>f '( x0)=0
，若
下凸(
递增)，则
f '( x1+x2
2
)<f '( x0)=0
.
解题方法及步骤：
对称化构造：若
是函数
的两个零点, 而
是函数
的极值点, 证明
（或
）,根据函数单调性求解的步骤是：
一、设x1<x0<x2 ，构建函数
;
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二、判断函数
的单调性;
三、证明
（或
）即
（或
）;
四、由函数
的单调性证
（或
）.
对数平均不等式求解的步骤是：一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出
,二、通过等式两边同除以
构建对数平均数
,三、
利用对数平均不等式将
转化为
后再证明
（或
）.
例1. 题目（2016 年全国I卷）已知函数
有两个零点．
(1)求
的取值范围；
(2)设
是
的两个零点，证明：
．
本题第（1）小题含有参数的函数
有两个零点，自然想到研究其单调性，结合零点
存在性定理求得
的取值范围是
．第（2）小题是典型的极值点偏移的问题，如何证明
呢？
解：不妨设
，由（1）知，
，
在
上单调递增，所以
等价于
，即
．
令
，则
，所以
，即
，
所以
；所以
，即
.
例2 . （2010 年天津理科21 题）已知函数
.
(1) 求函数
的单调区间和极值；(2)(略)
(3)如果
，且
，证明
．
解：(1)
在
上是增函数，在
上是减函数，
；
(3)证明：
，
，亦即
，且
，
欲
证
明
，
即
，
只
需
证
，
即
．
令
，则
，
因为
，所以
在
上单调递增，
故
，得证． (法二：你能用对数平均值不等式证明吗）
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例3.已知函数
，
为常数，若函数
有两个零点
，
试证明：
解：利用参数
作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设
，
∵
，∴
，
∴
，欲证明
，即证
.
∵
，∴即证
，
∴原命题等价于证明
，即证：
，令
，构
造
，下略.
2018 郑州市毕业班第三次质量预测
21.已知
f (x)=ln x ,g(x)=1
2 ax 2+bx (a≠0),h(x)=f (x)−g(x)
①若a=3,b=2,求h( x)的极值；
②若函数y=h( x)的两个零点为
x1, x2( x1≠x2), x0= x1+x2
2
,
证明：h
'( x0)<0
解：（Ⅰ）
∵h(x)=ln x−3 x2
2 −2x ,x∈(0,+∞),
∴h
'(x)=1
x −3 x−2=−3 x2−2x+1
x
=−(3 x−1)(x+1)
x
,x∈(0,+∞).………1 分
令h
'( x)=−(3 x−1)( x+1)
x
=0，得: x=1
3 ,
当0<x< 1
3 时， {h
'
(x)>0，即h(x)在(0, 1
3 )上单调递增,¿
x
当> 1
3 时， {h
'
(x)<0，即h(x)在( 1
3 ,+∞)上单调递减,¿………………………3 分
∴h(x)极大值=h( 1
3 )=−ln3−5
6 ，h(x)极小值不存在.……………………………4 分
（Ⅱ）∵函数
的两个零点为
,不妨设0<x1<x2,
∴h( x1)=ln x1−1
2 ax
12−bx 1=0
，
h(x2)=ln x2−1
2 ax
22−bx 2=0.
∴h(x1)−h(x2)=ln x1−1
2 ax
12−bx 1−(ln x2−1
2 ax
22−bx 2)
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=ln x1−ln x2−1
2 a(x
12−x
22)−b(x1−x2)=0.
即
1
2 a( x
12−x
22)+b( x1−x2)=ln x1−ln x2………………………6 分
又
∵h
'( x)=f
'( x)−g
'( x)=1
x −(ax +b)
，
x0= x1+x2
2
,
∴h
'( x0)=
2
x1+x2
−(a x1+x2
2
+b).
∴( x1−x2)h
'( x0)=( x1−x2)[
2
x1+x2
−a x1+x2
2
−b]
¿2( x1−x2)
x1+x2
−[
1
2 a( x
12−x
22)+b( x1−x2)]
=
2( x1−x2)
x1+x2
−(ln x1−ln x2)
=
2(
x1
x2
−1)
x1
x2
+1
−ln
x1
x2
.
………………………………………………………………8 分
令
x1
x2
=t (0<t<1)
，
r(t )=2(t−1)
t+1
−lnt ,
则
r
'(t )=
4
(t+1)2−1
t =−(t−1)2
(t+1)2t
<0.
∴r(t )在(0,1)上单调递减，故r(t )>r(1)=0,…………………………………10 分
∴
2( x1
x2
−1)
x1
x2
+1
−ln x1
x2
>0
，即∴( x1−x2)h
'( x0)>0.
又∵x1−x2<0,∴h
'( x0)<0.…………………………………………12 分
极值点偏移（小结）
【不含参数】
函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，
是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策
略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
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★例1.（2010 天津理）已知函数
，如果
，且
.
证明：
【含参数】
含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元
的基础上，又多了一个参数，故思路很自
然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒
介，构造出一个变元的新的函数.
★例2.已知x1, x2是函数f ( x)=ex−ax 的两个零点，且x1<x2.
（1）求证：x1+x2>2 ； （2）求证：x1⋅x2<1.
【针对练习】
1. （2013 湖南文）已知函数
，证明：当
时，
2. 已知函数f ( x)=x−ae x
有两个不同的零点
，求证：x1+x2>2 .
3.已知函数
．若函数
有两个不同的零点
，
，
求证：
．
4. 已知函数
．若函数
有两个不同的零点
，
，
求证：
2018 高考21. 已知函数
．
（1）讨论
的单调性；
（2）若
存在两个极值点
，证明：
．
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专题二 . 隐零点专题
知识点
一、不含参函数的隐零点问题
已知不含参函数f ( x)，导函数方程f '( x)=0 的根存在，却无法求出，设方程f '( x)=0
的根为x0 ，则①有关系式f '( x0)=0 成立，②注意确定x0 的合适范围.
二、含参函数的隐零点问题
已知含参函数f ( x ,a)，其中a 为参数，导函数方程f '( x ,a)=0 的根存在，却无法求出，
设方程f '( x)=0 的根为x0 ，则①有关系式f '( x0)=0 成立，该关系式给出了x0,a 的关系，②
注意确定x0 的合适范围，往往和a 的范围有关.
一、整体代换，直接求得函数最值
例 1.函数 （f x） xe
x ax b 的图象在 x 0 处的切线方程为： y x 1．
（1）求a 和 b 的值；
（2）若 （f x）满足：当 x＞0 时， （f x） lnx x m ，求实数m 的取值范围．
分析：（1） a =2，b=1．(略)
（3）依题： m xe
x x lnx 1，构造函数 g（x） xe
x x lnx 1(x＞0)
二、整体代换，构造关于隐零点的单一函数进行卡根
例 2． 已知函数
的导函数为
，且
.
（1）求函数
的极值.
（2）若
，且
对任意的
都成立，求的最大值.
（2）由（1）及题意知，
对任意的
都成立.令
，则
.令
，则
，所以函数
在
上为增函数，因为
，
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0
a
，所以方程
存在唯一实根
，且
，
.故当
时，
，即
；当
时，
，即
.所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，所以
，
，又
，故
的最大值为.
三、整体代换，直接证明不等式
例 3. 设函数 f (x) e
2 x a ln x ，若a 0, 2e
2 ，证明： x 0,1 ， f (x)
2a
解：
，令
当 x 0,1 ，(x) 0 ，即(x) 在区间0,1为增函数，(x) a, 2e
2 a
又因为a 0, 2e
2 ，所以(0) a 0,(1) 2e
2 a 0
由零点存在定理知 f '(x) 在0,1的唯一零点为 x ， 2x e2x a 0 ， ln x ln a
2x
0
0
0
2
0
当 x (0, x0 ) 时， f '(x) 0
， f (x)
，当 x x0 ,1， f '(x) 0 ， f (x)
所以当 x x 时， f (x) 取得最小值，最小值为 f (x ) e
2 x0 a ln x ，
f (x0 )
0
2x
2ax0
a ln a
2
2
0
0
a ln 2 2a a ln 2
，命题得证.
a
a
0
0
a
2x
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2019 届导数二轮专题复习
例4.（2017.全国II.21）已知函数f ( x)=ax 2−ax −xln x ，且
.
（1）求a 的值；
（2）证明：
存在唯一的极大值点
，且
.
解：（1）
的定义域为
设
，则
等价于
因为
，故
，
而
，得
若
，则
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增
所以
是
的极小值点，故
，综上，
（2）由（1）知
设
，则
当
时，
；当
时，
.
所以
在
单调递减，在
单调递增.
又
，所以
在
有唯一零点
，在
有唯一零点1，且当
时，
；当
时，
；当
时，
.
因为
，所以
是
的唯一极大值点.
由
得
，故
.
由
得
.
因为
是
在
的最大值点，由
得
.所以
【总结】解隐零点问题的一般策略：
第一步：用零点存在性定理（或用二分法进一步缩小零点的范围）判定导函数零点的存在性，
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2019 届导数二轮专题复习
列出零点方程
，并结合
的单调性得到零点的范围；
第二步：以零点为分界点，说明导函数
的正负，进而得到
的最值表达式；
第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子中进行化简证明、求最值、解不等式等；
有时候零点的范围在第三步通过解不等式或研究函数的单调性求之.
我们将其称为隐形零点三部曲.导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征（零点方程），判断
其范围（用零点存在性定理），最后整体代入即可.
其实隐零点问题最根本的就是整体代换，指转对，指对替换，抓住零点的范围，将零点方程式与
最值式相结合，构造新的函数求最值，值域，证明不等式，对于含有参数的问题， 在整体代换
时，参数的消与留，将根据具体的问题进行操作。此类问题主要考查转化与化归、分类讨论、数形结
合、构造函数等思想，以及综合的分析能力.
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