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实战演练 13 新定义问题
①集合新定义
②函数新定义
③数列新定义
④圆锥曲线新定义
⑤立体几何新定义
一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去
解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看
本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才
是制胜法宝.
二、新定义问题技巧
新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从
而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此
信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
①集合新定义
一、解答题
1．（2024·海南·模拟预测）已知数列 的各项均为正整数，记集合 的元素个数为
.
(1)若 为1，2，3，6，写出集合 ，并求 的值；
(2)若 为1，3，a，b，且 ，求 和集合 ；(3)若 是递增数列，且项数为 ，证明：“ ”的充要条件是“ 为等比数列”.
2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，两点 的“曼哈顿距离”定义为
，记为 ，如点 的“曼哈顿距离”为5，记为 .
(1)若点 是满足 的动点 的集合，求点集 所占区域的面积；
(2)若动点 在直线 上，动点 在函数 的图象上，求 的最小值；
(3)设点 ，动点 在函数 的图象上， 的最大值记为 ，求 的
最小值.
3．（2024·安徽马鞍山·三模）已知S是全体复数集 的一个非空子集，如果 ，总有
，则称S是数环．设 是数环，如果① 内含有一个非零复数；② 且 ，
有 ，则称 是数域．由定义知有理数集 是数域．
(1)求元素个数最小的数环 ；
(2)证明：记 ，证明： 是数域；
(3)若 是数域，判断 是否是数域，请说明理由．
4．（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合 ，其中 且 ，
，若对任意的 ，都有 ，则称集合A具有性质 ．
(1)集合 具有性质 ，求m的最小值；
(2)已知A具有性质 ，求证： ；
(3)已知A具有性质 ，求集合 中元素个数的最大值，并说明理由．
5．（2024·辽宁葫芦岛·二模）设数阵 ，其中 .设
，其中 ， 且 .定义变换 为“对于数阵的每一列，
若其中有t或 ，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有 ，则这一列中每个数都乘以
”（ ）， 表示“将 经过 变换得到 ，再将 经过 变换得到 ，…，以
此类推，最后将 经过 变换得到 .记数阵 中四个数的和为 .(1)若 ， ，写出 经过 变换后得到的数阵 ，并求 的值；
(2)若 ， ，求 的所有可能取值的和；
(3)对任意确定的一个数阵 ，证明： 的所有可能取值的和不大于 .
6．（2024·北京海淀·二模）设正整数 ， ， ，这里
. 若 ，且 ，则称 具有性质 .
(1)当 时，若 具有性质 ，且 ， ， ，令 ，写出 的所有可能值；
(2)若 具有性质 ：
①求证： ；
②求 的值.
②函数新定义
一、解答题
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数 ，若实数 满足 ，则 称为 的不动点．
已知函数 ．
(1)当 时，求证 ；
(2)当 时，求函数 的不动点的个数；
(3)设 ，证明 ．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）记 ，若存在 ，满足：对任意
，均有 ，则称 为函数 在 上的最佳逼近直线.
已知函数 ， .
(1)请写出 在 上的最佳逼近直线，并说明理由；
(2)求函数 在 上的最佳逼近直线.3．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上满足 且不恒为0，则称函数
为区间 上的绝对增函数， 称为函数 的特征函数，称任意的实数 为绝对增点（
为函数 的导函数）．
(1)若1为函数 的绝对增点，求 的取值范围；
(2)绝对增函数 的特征函数 的唯一零点为 ．
（ⅰ）证明： 是 的极值点；
（ⅱ）证明： 不是绝对增函数．
4．（2024·上海·模拟预测）设定义域为 的函数y=f (x)在 上可导，导函数为y=f′(x).若区间 及实数
满足： 对任意 成立，则称函数y=f (x)为 上的“ 函数”.
(1)判断 是否为(0,+∞)上的 函数，说明理由；
(2)若实数 满足： 为 上的 函数，求 的取值范围；
(3)已知函数y=f (x)存在最大值．对于： ：对任意 与 恒成立， ：对任意正整数
都是 上的 函数，问： 是否为 的充分条件？ 是否为 的必要条件？证明你的结论.
5．（2024·福建龙岩·三模）若函数 的定义域为 ，有 ，使 且 ，则对任意实数
k，b，曲线 与直线 总相切，称函数 为恒切函数.
(1)判断函数 是否为恒切函数，并说明理由；
(2)若函数 为恒切函数 .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）当 取最大值时，若函数 为恒切函数，记 ，证明： .
（注： 是自然对数的底数.参考数据： ）
6．（2024·广西柳州·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方
法．给定两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，
且满足： ， ， ，…， ．注： ，， ， ，…； 为 的导数）．已知
在 处的 阶帕德近似为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较 与 的大小；
(3)若 有3个不同的零点，求实数m的取值范围．
③数列新定义
一、解答题
1．（2024·广东·模拟预测）定义：任取数列 中相邻的两项，若这两项之差的绝对值为1，则称数列
具有“性质1”.已知项数为 的数列 的所有项的和为 ，且数列 具有“性质1”.
(1)若 ，且 ，写出所有可能的 的值；
(2)若 ，证明：“ ”是“ ”的充要条件；
(3)若 ，证明： 或 .
2．（2024·海南·模拟预测）定义：已知数列 为有穷数列， 对任意 （ ），总存在
，使得 ，则称数列 为“乘法封闭数列”；①对任意 （ ），总存在
②
，使得 ，则称数列 为“除法封闭数列”，
(1)若 ，判断数列 是否为“乘法封闭数列”.
(2)已知递增数列 ，为“除法封闭数列"，求 和 .
(3)已知数列 是以1为首项的递增数列，共有 项， ，且为“除法封闭数列”，探究：数列
是否为等比数列，若是，请给出说明过程；若不是，请写出一个满足条件的数列 的通项公式.
3．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列 满足：对于 ，其中 为常数，则称
数列 为 数列．
(1)若一个公比为 的等比数列 为“ 数列”，求 的值；
(2)若 是首项为1，公比为3的等比数列，在 与 之间依次插入数列 中的 项构成新数列 ，求数列 中前30项的和 ．
(3)若一个“ 数列" 满足 ，设数列 的前 项和为 ．是否存在正整数 ，
使不等式 对一切 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
4．（2024·江苏泰州·模拟预测）数列 的前n项和为 ，若存在正整数r，t，且 ，使得 ，
同时则称数列 为“ 数列”．
(1)若首项为3，公差为d的等差数列 是“ 数列”，求d的值；
(2)已知数列 为等比数列，公比为q．
①若数列 为“ 数列”， ，求q的值；
②若数列 为“ 数列”， ，求证：r为奇数，t为偶数．
5．（2024·湖南·三模）角谷猜想，也称为“ ”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它
除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算
时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数 ，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为 ，
实施第2次运算后的结果记为 ，…，实施第 次运算后的结果记为 ，实施第n次运算后得到数1，
停止运算，便可以得到有穷数列 ，1，其递推关系式为：
叫做数列{a )的原始项.将此递推关系式推广为：
n
（ ，且 ），其它规则不变，得到的数列记作
数列，试解答以下问题：
(1)若 ，则数列 的项数为______；
(2)求 数列的原始项 的所有可能取值构成的集合；
(3)若对任意的 数列，均有 ，求d的最小值.
6．（2024·江西新余·模拟预测）已知项数为 的有穷数列 的各项取遍 中的所有整数，我们称该
数列为“规范的”.对于一组规范列，从 的第1项开始，取第1个符合题意的项 ，使 不是
的最大项，然后依次删除 、第1个超过 的项 、第1个超过 的项 、 ，直到无法删除为止称为 的1次“ 变换”. 变换后剩余项按其相对位置不变构成新数列（新数列也
许可以再次进行 变换，则继续进行下去），直到最后剩下1项或1组递减数列统称为 的“保留列”
（若最终没有剩下任何一项则称 是“不可保留的”，在此我们不研究这类数列），记保留列的项数为
，若 变换进行的次数为 且 ，则称 是“饱和的”（其中： 表示不超过 的最大整
数）.
(1)已知规范数列：5，3，2，1，4，6.求出其保留列并判断它是否为饱和的；若交换其第5、6项或交换其
2、3项，请直接判断其是否为饱和的.
(2)若 为饱和的规范列，它的项数 与其保留列项数 满足 为正偶数：
（i）证明：任意规定 的第 项为其保留列，总至少存在 个符合题意的
（其中： ）.
（ii）若 ，对每一组任意给定的 ，求使 的项 最多有几个（用含 的代数式）.
④圆锥曲线新定义
一、解答题
1．（2024·江西新余·二模）通过研究，已知对任意平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时针方向旋
转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 角得到点P，
(1)已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A逆时针旋转 得到点P，求点P的坐标：
(2)已知二次方程 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 绕原点O逆
时针旋转 所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点 作与两坐标轴都不平行的直线 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 与直线
垂直，直线 交斜椭圆C于点G、H，判断 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说
明理由.2．（2024·新疆乌鲁木齐·二模）在平面直角坐标系 中，重新定义两点 之间的“距
离”为 ，我们把到两定点 的“距离”之和为常数
的点的轨迹叫“椭圆”．
(1)求“椭圆”的方程；
(2)根据“椭圆”的方程，研究“椭圆”的范围、对称性，并说明理由；
(3)设 ，作出“椭圆”的图形，设此“椭圆”的外接椭圆为 的左顶点为 ，过 作直线交
于 两点， 的外心为 ，求证：直线 与 的斜率之积为定值．
3．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ： 的离心率为 ，
直线l与Γ相切，与圆O： 相交于A，B两点.当l垂直于x轴时， .
(1)求Γ的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，
则记此最大值为 .
（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当 的面积最大时，求 ；
（ⅱ）若 ， 均存在，记两者中的较大者为 .已知 ， ， 均
存在，证明： .
4．（2024·湖南·二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如 表示过点 的直线，
直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切
线都是该直线族中的某条直线.
(1)若圆 是直线族 的包络曲线，求 满足的关系式；
(2)若点P(x ,y )不在直线族： 的任意一条直线上，求 的取值范围和
0 0
直线族 的包络曲线 ；
(3)在（2）的条件下，过曲线 上 两点作曲线 的切线 ，其交点为 .已知点C(0,1)，若 三
点不共线，探究 是否成立？请说明理由.
5．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的
圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方
根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆 的蒙日圆的面积为 ，该椭圆的上顶点和下顶点
分别为 ，且 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 两点（不与 两点重合）且直线.
(1)证明： ， 的交点 在直线 上;
(2)求直线 围成的三角形面积的最小值.
⑤立体几何新定义
一、解答题
1．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知 是棱长为 的正四面体 ，设 的四个顶点到平面 的距
离所构成的集合为 ，若 中元素的个数为 ，则称 为 的 阶等距平面， 为 的 阶等距集.
(1)若 为 的1阶等距平面且1阶等距集为 ，求 的所有可能值以及相应的 的个数；
(2)已知 为 的4阶等距平面，且点 与点 分别位于 的两侧.若 的4阶等距集为 ，
其中点 到 的距离为 ，求平面 与 夹角的余弦值.
2．（23-24高一下·重庆·期中）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 为多面体 的一个顶点，定
义多面体 在点 处的离散曲率为 ，其中
为多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面
和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面.
(1)求四棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，现已知四棱锥 的底面 是边长为2的菱形，且 ，顶点 在底面的射影 为
的中点.
①若 ，求该四棱锥在 处的离散曲率 ；
②若该四棱锥在 处的离散曲率 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
3．（23-24高一下·湖南长沙·期末）空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规
定：多面体顶点的曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为 ，故其各个顶点的曲率均为
.如图，在直三棱柱 中，点 的曲率为 ， ， 分别为 ， 的中点，且
.
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值；
(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面
体的顶点数为 ，棱数为 ，面数为 ，则有： .利用此定理试证明：简单多面体的总曲率
（多面体有顶点的曲率之和）是常数.
4．（23-24高一下·山东临沂·期末）类比思想在数学中极为重要，例如类比于二维平面内的余弦定理，有
三维空间中的三面角余弦定理：如图1，由射线 ， ， 构成的三面角 ，记 ，
， ，二面角 的大小为 ，则 ．如图2，四
棱柱 中， 为菱形， ， ， ，且 点在底面 内的
射影为 的中点 ．
(1)求 的值；
(2)直线 与平面 内任意一条直线夹角为 ，证明： ；
(3)过点 作平面 ，使平面 平面 ，且与直线 相交于点 ，若 ，求 值．5．（2024高三·全国·专题练习）我们知道，二元实数对 可以表示平面直角坐标系中点的坐标； 那么
对于 元实数对 （ ， 是整数），也可以把它看作一个由 条两两垂直的“轴”构成的高
维空间（一般记为 ）中的一个“点”的坐标表示的距离 ．
(1)当 时， 若 ， ， ， 求 ， 和 的值；
(2)对于给定的正整数 ，证明 中任意三点 满足关系 ；
(3)当 时，设 ， ， ，其中 ， ， ， ．求
满足 点的个数 ，并证明从这 个点中任取11个点，其中必存在 个点，它们共面或者以它们为顶点的
三棱锥体积不大于 ．
6．（23-24高一下·重庆·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半
径为R．A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设 表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，
圆 的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角
分别为α，β，γ，则球面三角形的面积为 ．
(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积；
(2)若平面三角形ABC为直角三角形， ，设 ．则：
①求证： ；
②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为 ， ，S
为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为θ，求sinθ的最小值，及此时平面AEC截球
O的面积．
