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培优专题 05 圆锥曲线
题型01 求面积或面积比值
抓关键 · 破难点
1、求面积问题：先用联立方程和韦达定理表达弦长与点到直线距离，再代入三角形面积公式。
常用技巧：常用的面积公式可以通选弦长做底，点到直线的距离为高，也可以用水平宽与铅锤高；若顶
点在坐标轴上，可分割为两个同底三角形求和。
2、求面积最值问题：建立面积关于某个变量（如斜率、参数）的函数关系，然后求函数的最值。
常用技巧：面积函数常表现为分式或根式形式，优先尝试均值不等式求最值；若函数形式复杂，再考虑
导数法。注意验证最值取到时参数的取值范围是否满足题意。
3、求面积比值问题：将两个面积转化为同底或同高的形式，利用坐标比值或弦长比值进行化简。
常用技巧：若两三角形同底，则面积比等于高的比，转化为点到直线距离之比；若同高，则面积比等于
底边长度之比，转化为弦长或横坐标差之比。通过韦达定理整体代入，常能消去参数得到定值。
刷经典 · 通方法1．（2025·上海普陀·一模）设 是不全为零的实数，椭圆 分别为 的左、
右两个焦点，直线 与 交于 两点， 为坐标原点．
(1)若 ，且四边形 为矩形，求 的离心率；
(2)若 ，且 的周长的最大值为12，求 的方程；
(3)若 ，直线 与 的斜率之积为 为 上的一点，且 ，直线 与椭
圆 交于点 ，且 ，求 的值以及 的面积 的值．
2．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知椭圆 的方程为 、 分别为椭圆 的左、右
焦点.双曲线 的实轴为椭圆 的长轴， 的虚轴为椭圆 的短轴.过 作直线 交椭圆于 、 两点.
(1)已知 的周长为 ，圆 的焦距为 ，求曲线 及 的方程；
(2)设 .已知椭圆 的上顶点为 是 上的一个动点，若 是等腰三角形，且 是该三角
形的腰，求点 的坐标;
(3)设 .已知直线 与 轴不垂直，弦 的中点为 ，直线 与双曲线 交于 、 两点，求
四边形 面积的最小值.
3．（2025·上海闵行·二模）已知双曲线 的右焦点为 ，过点 的直线 交双曲线 右支于 、
两点（点 在 轴上方），点 在双曲线 上，直线 交 轴于点 （点 在点 的右侧）．
(1)求双曲线 的渐近线方程；
(2)若点 ，且 ，求点 的坐标；
(3)若 的重心 在 轴上，记 、 的面积分别为 、 ，求 的最小值．
4．（2025·上海杨浦·三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， 上下顶点分别为 ，， 是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆 于 、 两点（ 、 分别在第一、四象
限）.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)已知点 ， ，求椭圆 上的动点 到点 的最大距离；
(3)求四边形 面积的取值范围.
5．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线 ，第一象限内点 在曲线 上. 、 ，连
接 并延长与曲线 交于 点， .以 为圆心， 为半径的圆与线段 交于点 ，
记 ， 的面积分别为 ， .
(1)若 ，求点 的坐标；
(2)若点 的坐标为 ，求证 ；
(3)求 的最小值.
题型02 线段相关问题
抓关键 · 破难点
证明线段相等的问题是将几何相等转化为代数关系：通过坐标运算证明两点到某点距离相等、两点关于
某点对称，或两线段长度表达式相等。
常用方法
（1）直接计算长度：设出相关点坐标，分别计算两线段长度的平方，作差化简，利用韦达定理整体代
入，证明差为零。
（2）利用对称性：若证明两线段关于某直线对称，可证明线段端点纵坐标互为相反数，或利用中点坐标
在对称轴上；若证明两点到定点距离相等，可转化为这两点在某圆上。
（3）转化为向量关系：证明两线段相等，可转化为证明对应向量模相等，或证明两向量垂直平分关系
（若一个线段的中点在另一线段的垂直平分线上）。
（4）利用几何性质：若涉及焦点或准线，可优先考虑圆锥曲线的定义（如椭圆上点到两焦点距离之和为定值）直接得出相等关系，避免复杂运算。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海嘉定·二模）已知椭圆C： ．F为椭圆的右焦点，过椭圆上一点 的直线 交
椭圆于另一点Q，点M为椭圆上任意一点．
(1)求 的最小值；
(2)当直线 的斜率为1时，求 面积的最大值及此时点M的坐标；
(3)若直线 与直线 交于点D，点D不在x轴上，Q关于原点的对称点为点R，直线 与 交于
点E，求线段 的取值范围．
2．（2026·上海金山·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 为抛物线上一动点，
点 为坐标原点．
(1)若 ，求点 的坐标；
(2)若直线 与抛物线 只有一个交点，求直线 的方程；
(3)若 ，过点 作圆 的两条切线，交准线 于 、 两点，求 的取值范围．
3．（2025·上海·三模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点，若
与椭圆上任一点距离的最大值为 .
(1)求椭圆的离心率；
(2)若 为椭圆 的上顶点， 为椭圆上的点， 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的 的个数，并说明理由.
(3)若斜率为 的直线 交椭圆 于 ､ 两点， 为以线段 为直径的圆上一点，求 的最大值.
4．（2025·上海浦东新·三模）设有椭圆 和直线 ．椭圆 的左、右
焦点分别为 、 ． 是 上位于第一象限内的一点．
(1)当 时，求椭圆 的离心率；
(2)若 且点 在直线 上，求 的值；
(3)设点 满足 ，其中 是点 到 的距离．当 变化时，求 的最小值．
题型03 求直线斜率或方程
抓关键 · 破难点
求直线方程或斜率本质上是“设而不求”——通过设出直线方程（常用点斜式），与圆锥曲线联立，利
用韦达定理将几何条件转化为代数方程，再求解参数。
当直线过已知点时，设点斜式并注意讨论斜率不存在的情形；当已知弦中点时，优先用点差法（设两端
点坐标，代入曲线方程后相减）直接得到中点坐标与斜率的关系，无需联立。对于斜率之和或积为定值
的问题，可将韦达定理整体代入目标式，化简后直接得结果。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海静安·一模）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的焦距为4，
点 在 上．
(1)求双曲线 的方程；(2)设直线l的斜率为 ，l交双曲线 于 两点，且与圆 相切，切点位于 轴上方，求
的值；
(3)如图，设过双曲线 的左焦点 的直线 交 的左支于点 、 ，过 的右焦点 的直线 交 的右
支于点 、 ，若直线 ，且四边形 的面积为 ，求直线 的方程．
2．（2025·上海杨浦·一模）已知椭圆 ： ，过动点 的直线交 轴于点 ，交
椭圆 于 ， （点 在第一象限），过点 作 轴的垂线交椭圆 于另一点 ，延长 交椭圆 于点
.
(1)若椭圆 的离心率为 ，求 的值；
(2)已知 ，且 是线段 的垂直平分线，求 的值；
(3)已知 ，点 是线段 的中点，且 ，求直线 的斜率.
3．（2025·上海长宁·一模）已知抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线 与抛物线 交于 两
点．
(1)设 ，求点 的横坐标；
(2)设 为坐标原点，线段 中点的纵坐标为 ，求 的面积；
(3)设线段 的垂直平分线与抛物线 交于点 ，若以线段 为直径的圆经过点 ，求直线 的
方程．4．（2025·上海黄浦·三模）在平面直角坐标系中，椭圆 ，左右焦点分别是
， ，点A是椭圆 上的任意一点，A到原点O的距离最大为 ．
(1)若 面积的最大值为1，求椭圆 的表达式；
(2)若 ，过点A（异于顶点）作长轴的垂线，垂足为M，连接AO并延长交椭圆于另一点B，连接
BM交椭圆于另一点C，证明： ；
(3)在（2）的条件下，过点A作不经过 的直线l，其斜率为k，交椭圆于另一点D， 到直线l的距离为
d．如果直线 、l、 的斜率依次成等差数列，求d的取值范围．
5．（2025·上海·模拟预测）如图1，已知椭圆Γ的方程为 和椭圆 其中
A，B分别是椭圆τ的左右顶点．若A，B恰好为椭圆Γ的两个焦点，椭圆Γ和椭圆τ有相同的离心率．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)如图2，若P是椭圆τ上一点，射线AP，BP分别交椭圆 于 ，N，连接AN，BM（P，M，N均在x
轴上方）．求证：NB，MA斜率之积 为定值，求出这个定值；(3)在（2）的条件下，若 ，且两条平行线的斜率为 求正数k的值．
题型04 定点问题
抓关键 · 破难点
圆锥曲线中的定点问题是绝对的核心考点。其本质是：证明无论参数如何变化，某条直线恒过某个定
点，或某个动点恒在一条定直线上。
核心思想：找到动直线（或动点）方程中参数（如斜率k）的“不变部分”。将方程整理为关于参数的恒
等式，令其系数为零，即可求出定点（或定直线）。
一、直接推导
1.设参：设出动直线的方程。通常已知直线过某个定点或已知斜率，常用点斜式：y = kx + m。
2.寻找关系：利用题目条件（如直线与圆锥曲线相切、相交，或与其他几何条件如垂直、中点等相
关），找到一个关于k和m的关系式。
3.消参定型：将找到的k和m关系式代回原始的直线方程y = kx + m中。得到只含一个参数的解析
式。
关键步骤：将此方程整理为关于参数k的方程，要使这个方程对所有k值都成立，则k的系数和常数项必
须同时为零。
对于y - C = k(x - D)形式，定点显然是(D, C)。
对于更复杂的形式，将方程按k的幂次项整理，令各项系数为零，解方程组即可求出定点(x, y)。
二、先猜后证法
当直接推导复杂或难以进行时，此方法能指明方向，简化计算。
猜定点：特殊位置法：取参数（如斜率k）的两个特殊值（如0,斜率不存在（竖直直线）,1,-1等），画
出两条对应的特殊位置直线。求交点：解这两条特殊直线的交点，该点即为猜測的定点(x ,y )。
0 0
证定点：则动直线的方程可以化简为y - y =f(k)(x -x )。（f(k)为参数k的解析式）
0 0
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海金山·三模）已知双曲线 的右焦点为 ．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)已知 ，点 在双曲线 上且 不与坐标轴垂直，若 为直角三角形，求 的面积；
(3)过点 的动直线 交双曲线C于 两点，过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为 与 （不
同于点 ），连接 ，这两条直线相交于点 ，问点 是否为定点，若是，请求出点 的坐标，若不是，请说明理由．
2．（2025·上海虹口·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 和 ，点 是 的长轴上的动点，
点 为 上的动点，且异于点 ．
(1)当点 位于椭圆 的左焦点，且 、 、 能构成三角形时，求 的周长；
(2)当点 位于椭圆 的左顶点时，直线 与 轴交于点 ， ，求实数 的值；
(3)当点 与椭圆 的左、右顶点均不重合时，记直线 与椭圆 的另一个交点为 ，过点 作直线 与椭
圆 交于 、 两点，设 和 分别为弦 和弦 的中点，若 、 、 、 为四个相异的点，
，且直线 恒过定点 ，求点 的坐标．
3．（2025·上海·三模）如图，椭圆 ： ， 为其右焦点，过点 的动直线 与椭圆 相交于
， 两点.
(1)若直线 经过焦点 ，求此时线段 的长度；
(2)若焦点 不在直线 上，求 周长的最大值及相应直线 的方程；
(3)在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使得 恒成立？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
4．（2026·上海奉贤·二模）已知椭圆 经过点 ，离心率为 ．过点 ，
的动直线 交椭圆 于 ， 两点．
(1)求椭圆 的方程；(2)若直线l与 相切，求当 时， 的长；
(3)若以 为直径的圆经过 轴上方的定点 ，求点 的坐标．
题型05 点在定直线（曲线）上问题
抓关键 · 破难点
将动点的坐标表示为某个参数（通常是斜率 k）的函数，消去这个参数后，得到一个关于 x,y的方
程，即为该点所在的方程。
主要步骤为：1、设参并表示动点2、建立关系3、消参4、得到定方程
在解题过程中，可以使用几何性质转化，先猜后证等方法帮助解决计算问题。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海金山·二模）已知椭圆 ，左右焦点分别为 ，上下顶点分别为 ，左右
顶点分别为 ， 是 上异于椭圆顶点的两点.
(1)求 的周长；
(2)若点 在第一象限且满足 的面积比 的面积大，求点 的横坐标的取值范围；
(3)记点 在直线 上的投影为 ，且直线 的斜率是直线 的斜率的3倍，试判断：过点
为坐标原点 三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由.
2．（2025·上海嘉定·一模）如图，在平面直角坐标系中， 为原点，已知抛物线 的焦点为 ，点
的坐标为 .
(1)若点 在 上，且 ，求点 的坐标；
(2)若 是 上的任意一点，求 的最小值；
(3)过点 的动直线与抛物线 交于 、 两点，过点 、 分别作 的切线，切线交点为 ，求证：点的轨迹是一条直线.
3．（25-26高三上·上海·期末）已知双曲线 的左、右顶点分别为 ，离心率
为2，右焦点 到双曲线 的渐近线距离为 ，过右焦点 作直线 交双曲线的右支于 两点，
(1)求双曲线 的方程；
(2)过左焦点 ，作直线 的平行线交双曲线的左支于 两点，求四边形 的面积的最小值；
(3)若直线 交于点 ，证明： 在定直线上．
4．（25-26高三上·上海·期中）如图所示的折纸又称＂工艺折纸＂，是一种把纸张折成各种不同形状物品
的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4圆形纸片按如下步
骤折纸：
步骤1：设圆心是 ，在圆内（除去圆心）取一点，标记为 ，且 ；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过 ；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕.
这些折痕围成的一个图形.
(1)以 所在的直线为 轴， 的中点 为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形的标准方程；
(2)求经过点 ，且与直线 夹角为 的直线交椭圆于 两点，求 的面积．
(3)设 为椭圆的左右顶点，过右焦点 的直线 交椭圆于 两点，直线 交于 点，求证 在
定直线上，并求出定直线方程.
题型06 定值问题抓关键 · 破难点
将待证的目标量（如斜率积、线段乘积、面积等）用参数（通常是斜率k）表示出来，通过代数运算消去
参数，若结果是一个常数，则定值得证。
常见的定值类型有：
1、斜率的和、积、比为定值
2、线段长度、乘积或倒数和为定值
3、面积为定值
4、向量数量积为定值
“先猜后证”：取参数的特殊值快速计算出目标量的值。这个值很可能就是定值。这不仅能预知结果、
增强信心，还能用来验证最终化简结果是否正确。
“设而不求”的极致运用：不仅对交点坐标“设而不求”，对于复杂的中间量，也保持其整体形式，在
后续运算中可能会相互抵消。
参数关系式的挖掘：定值问题的核心往往在于题目中隐藏的参数关系。
刷经典 · 通方法
1．（2025·上海奉贤·一模）椭圆 ， 是第一象限内椭圆上的点， ， ，
，椭圆的离心率是 ． ， ， 且 ．
(1)求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据；
(2)如图2，设 ，三角形 的面积记为 ，三角形 的面积记为 ，若 ，求点 的坐标；(3)设 ，连结 与椭圆交于点 ，连结 与椭圆交于点 ，判断 是否为定值？请说
明理由．
2．（2025·上海崇明·一模）已知椭圆 ， 分别是 的左右焦点，点 均在 上，且
点 是第一象限点，直线 经过点 ，直线 均经过点 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若 ，直线 的方程；
(3)求证： 为定值．
3．（2025·上海徐汇·一模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ．
(1)若点 在抛物线 上，求 所在直线的斜率；
(2)若准线 ，点 为抛物线 准线 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线，
切点分别为 、 ．若两条切线 、 与 轴分别交于点 、 ，求 的最小值；
(3)若点 到准线 的距离为 ，过抛物线 的准线 上一点 作圆 的两条切线 、
，且 、 分别与 交于 、 两点和 、 两点．问：是否存在某个圆 ，
使得当点 运动时， 为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由．4．（2025·上海黄浦·一模）已知双曲线 的中心位于坐标原点 ，焦点 ， 分别在 轴的正、负半轴上，
，直线 是 的一条渐近线，直线 与 有且只有一个公共点 ．
(1)求 的方程；
(2)若点 在 轴上，且 为直角，求点 的坐标；
(3)设动直线 平行于 ，与 交于点 ， ，与 交于点 ，是否存在常数 ，使得
总成立？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
5．（2026·上海松江·模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，过点 作斜率
不为0的直线 与椭圆 交于 两点.
(1)求椭圆 的离心率；
(2)设直线MF､NF的斜率分别为 ，求 的值；
(3)若点E满足 ，点D在椭圆上， 轴，探究直线EF与直线DQ的斜率之积是否为
定值？若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.
