重难点18：破解圆锥曲线定点：圆锥曲线
中过定点问题（上）
（培优固本提能讲义）
知识网络·核心根基深扎牢....................................................................................1
实战演练·能力进阶攀高峰....................................................................................5
题型一、“手电筒”模型过定点....................................................................5
题型二、“切点弦”模型过定点....................................................................7
题型三、“相交弦”模型过定点之“模型1”.............................................8
题型四、“相交弦”模型过定点之“模型2”...........................................10
题型五、“相交弦”模型过定点之“模型3”...........................................11
题型精析・方法突破提能力..............................................................................12
题型
1 ：“手电筒”模型过定点
椭圆
抛物线
若P 为圆锥曲线上一点，从P 引出两条直线分别交圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物
线）于A、B，若直线PA、PB的斜率k1、k2满足某种关系（比如k1+k2或k1∙k2为定值
等），则直线AB 过定点。
题目特征：点P 在椭圆上；kPA+kPB或kPA∙kPB定值
知识网络・核心根基深扎牢
题型归纳
解题方法（以椭圆为例）：已知椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1上一点P(x0,y0)，直线PA、PB斜率之
和为λ，求证AB 过定点。
步骤1：设直线AB方程为y=kx+ m，与椭圆联立得
(b
2+a
2k
2)x
2+2a
2kmx+a
2( m
2−b
2)=0。
步骤2：由韦达定理x1+x2=−2a
2km
b
2+a
2k
2 ，x1x2=a
2(m
2−b
2)
b
2+a
2k
2
。
步骤3：根据斜率和条件y1−y0
x1−x0
+y2−y0
x2−x0
=λ，代入y=kx+ m及韦达定理结果，化简得
m 与k的关系式。
步骤4：代入直线方程y=kx+ m ，整理为y=k(x−x0')+y0'，其中(x0',y0')即为定
点坐标。
注意：斜率k是否存在。
题型
2 ：“切点弦”模型过定点
若P 为圆锥曲线外一点，从P 引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物
线）于相切，切点为A、B，则直线AB 过定点。
题目特征：点P 在椭圆外，且P 在定直线上（通常为垂直于x 轴的直线）；必须是与于圆
锥曲线连线所成的弦。
解题方法（以椭圆为例）：已知椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>c)，过直线Ax+By+C=0（C 不为0）
上一点P(x0,y0)作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，求证AB 过定点。
步骤1：求切线：设直线PA的方程为lPA:y−y1=k1(x−x1)，联立x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，消去y
，
得(b
2+a
2k1
2)x
2+2a
2k1(y1−k1x1)x+a
2(k1x1−y1)
2−a
2b
2=0，由Δ=0⇒k1=−b
2x1
a
2y1
，故lPA:y−y1=−b
2x1
a
2y1
(x−x1)，
整理得x1x
a
2
+y1y
b
2
=1 （1）
同理lPB:x2x
a
2
+y2y
b
2
=1 （2）
步骤2：求切点弦方程：将点P(x0,y0)代入（1）、（2）得
x1x0
a
2
+y1y0
b
2
=1 （3）
x2x0
a
2
+y2y0
b
2
=1 （4）
由（3）（4）可得直线AB的方程为：x0x
a
2
+y0y
b
2
=1（5）。
步骤3：利用P 在直线Ax+By+C=0，则Ax0+By0+C=0，联立（5）得到
x
a
2 (−By0+C
A
)+y0y
b
2
=1。
整理的：(−x
a
2
B
A +y
b
2 )y0−x
a
2
C
A =1，令y0系数为0，则−x
a
2
B
A +y
b
2 =0；−x
a
2
C
A =1
步骤4：令y0系数为0，则−x
a
2
B
A +y
b
2 =0（6）；−x
a
2
C
A =1（7）；由（7）得x=−A a
2
C
，由（6）得：y=−B b
2
C
；则定点为(−A a
2
C
，−B b
2
C
)；常考情况直线垂直于x轴，定点为
(−A a
2
C
，0)。
题型
3 ：“相交弦”模型过定点之“变形
1 ”（已知动点在定直线上）
若P 为一定直线PT 上一点，从P 引出两条直线分别与圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛
物线）交于A1，M 和A2，N，则直线MN 与A1A2过定点。
注意：高考中常考的情况如上图，其中一条直线（如A1A2）与x 轴重合或垂直；或者
看作四“定”问题1：条件是两定点，一定直线，求定点，其中三定点可任意变换证明。
题目特征：点P 在椭圆外定直线上，从P 引出两条直线与圆锥曲线有4 个交点，对点连接
后的交点（类似于四边形对角线交点）也是所在直线过的定点。
解题方法（以上图椭圆为例）：已知椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>c)，过直线x=t（t>a）上一点
P(x0,y0)作PA1，PA2（A1(−a,0)，A2(a,0)分别为椭圆左右顶点）与椭圆分别交于
M，N 两点，求证直线MN 过定点。
步骤1：设直线，求斜率关系：设直线P A1的方程为lP A1：y=k1(x+a)，直线
P A2的方程为lP A2：y=k2(x−a)，则：y0=k1(x0+a)，y0=k2(x0−a)，联立得到
k1(x0+a)=k2(x0−a)，所以(k1−k2)x0=(−k2−k1)a，所以k1−k2
k2+k1
=−a
x0
，（此处可
求出斜率倍数关系，利用题型
4 求解）
步骤2：设点，求定点（这种情况下定点一定在x 轴）：设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则直
线MN 方程为：y−y1
x−x1
=y2−y1
x2−x1
，令y=0，则x=x2y1−x1y2
y1−y2
（1）
步骤3：联立直线y=k1(x+a)与x
2
a
2 +y
2
b
2 =1，利用韦达定理求出M(x1,y1)坐标；同理求
N(x2,y2)。
步骤4：代入（1）得到定点横坐标，纵坐标为0，即可怎么直线MN 过定点。
题型
4 ：“相交弦”模型过定点之“变形
2 ”（已知斜率倍数关系）
已知直线PQ 与圆锥曲线交于P，Q 两点，若圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）存
在不同的A，B 两点（异于P，Q）且已知直线AP，BQ 斜率成倍数关系，则直线PQ 过定
点。
注意：高考中常考的情况如上图，其中往往是圆锥曲线的顶点（定点在x 轴上）；或
者看作四“定”问题2：条件是两定点，一定斜率定比值，求定点，其中三定点可任意变
换证明。
题目特征：已知直线PQ 与圆锥曲线交于P，Q 两点且存在另外不同的A，B 两点，则直线
PQ 过定点。
解题方法（以上图椭圆为例）：已知椭圆x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>c)，直线PQ 与圆锥曲线交于P，
Q 两点，椭圆上存在不同的A，B 两点（异于P，Q）且已知kBQ=t kAP(t ≠1)，求证直线
MN 过定点。
步骤1：设直线，求点关系：设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设直线
PQ的方程为lPQ：x=m y +n，与x
2
a
2 +y
2
b
2 =1 联立，利用韦达定理求出x1+x2，x1∙x2，y1
+y2，y1∙y2。
步骤2：借B 点求直线斜率乘积：因为P(x1,y1)在椭圆上，
则：y1
2= b
2(a
2−x1
2)
a
2
（1），kAP∙kBP=
y1
x1+a ∙
y1
x1−a =
y1
2
x1
2−a
2 =−b
2
a
2
（2），
步骤3：利用斜率倍数关系转化条件:由kBQ=t kAP与（2）得：kBQ∙kBP=t kAP∙kBP=−t b
2
a
2
（3）。
而kBQ∙kBP=
y1
x1−a ∙
y2
x2−a =
y1 y2
x1x2−a(x1+x2)x1
2+a
2
（4）
步骤4：在（4）中代入x1+x2，x1∙x2，y1∙y2与（3）相等得到n 的值，即可求出定点。
题型
5 ：“相交弦”模型过定点之“变形
3 ”（已知一条直线过定点与含对称点）
已知直线AB 过定点P0（一般这个定点是与x 轴的交点）与圆锥曲线交于A，B 两点，
过A（或者B）点作x 轴垂线与圆锥曲线交于R 点，证明直线RB（或RA）过定点。
注意：高考中常考的情况如上图，其中直线AB 过定点一般是与x 轴的交点。或者看
作两“定”一“对称”问题1：条件是一定点，一对称点，求定点，其中两定点可任意变
换证明。
题目特征：已知直线AB 过定点，点A 关于x 轴对称点为R。
解题方法（以上图椭圆为例）：已知直线AB 过定点P0(t，0)与圆锥曲线交于A，B 两
点，过A 点作x 轴垂线与圆锥曲线交于R 点，证明直线RB 过定点。
步骤1：设直线，求点关系：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则R(x1,−y1)，设直线
AB的方程为lAB：x=m y +t，与x
2
a
2 +y
2
b
2 =1 联立，利用韦达定理求出y1+y2，y1∙y2。
步骤2：表示直线RB：，直线RB：y =y2+y1
x2−x1
( x−x1)−y1
，令y =0，则
x =x2−x1
y2+y1
y1+x1=x2y1+x1y2
y2+y1
步骤3：用直线方程转化:由lAB：x=m y +t得：x1=my1+t，x2=my2+t，则：
x =x2y1+x1y2
y2+y1
= (my2+t )y1+(my1+t )y2
y2+y1
= 2my1y2
y2+y1
+t（1），
步骤4：在（1）中代入y1+y2，y1∙y2得到t的值，即可求出定点。
【1-2】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的上顶点为B，左右焦点分别为
､
F1
，F2
，离心
率e =
❑√3
2 ,△B F1 F2的面积为❑√3.
(1)求椭圆E的标准方程；
实战演练・能力进阶攀高峰
题型一、“手电筒”模型过定点
典例探究
【典型例题】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个顶点为A (2, 0)，离心率为1
2．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线l与椭圆E相交于M , N两点，若直线AM与直线AN的斜率之积为−3
4 ，判
断直线l是否过定点，若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．
举一反三
(2)直线l: y =kx +m(m≠±1)与椭圆E相交于点P ,Q，则直线BP ,BQ的斜率分别为k1，
k2，且k1+ k2=1，则直线l是否经过某个定点A？若是，请求出A的坐标.
【1-2】已知双曲线E: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为❑√2，点A (−2,0)在E上．
(1)求E的方程；
(2)设斜率为k且不经过点A的直线l交E于M , N两点，记直线AM , AN的斜率分别为
k1，k2，若k1k2=−2，证明：直线l过定点．
【1-3】如图，已知点P(2,2), A ,B是抛物线C ：y
2=2 x上两个动点，且k PA k PB=1，求证：
直线AB过定点．
题型二、“切点弦”模型过定点
典例探究
【2-1】已知椭圆C的两个焦点为F1(−❑√3,0), F2(❑√3,0)，且椭圆C的离心率为
❑√3
2
.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知O为坐标原点，斜率为k1(k1≠0)的直线l与椭圆C有两个不同的交点A ,B，且
弦AB的中点为E，直线OE的斜率为k2，求k1⋅k2；
(3)直线L与椭圆C有两个不同的交点P ,Q，椭圆C在点P ,Q处的切线分别为L1, L2, L1
与L2交于点T，点T在直线x = 4上.请你判断直线L是否经过定点，并说明理由.
【2-2】已知双曲线C的离心率为2，右焦点与抛物线y
2=8 x的焦点重合，双曲线C的左、
右顶点分别为A ,B，点M为第二象限内的动点，过点M作双曲线C左支的两条切线，分别
与双曲线C的左支相切于两点P ,Q，已知MA , MB的斜率之比为3:(−1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线PQ是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由；
(3)设△APQ和△BPQ的面积分别为S1和S2，求S2−S1的取值范围．
【2-3】如图所示，已知开口方向向上、顶点在原点的抛物线上的纵坐标为1 的点M到焦点
【典型例题】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为2，离心率为
❑√2
2 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上点(x0, y0)处的切线方程是x0 x
a
2 + y0 y
b
2 =1.在直线
l: x =2上任取一点M引椭圆C的两条切线，切点分别是P、Q.求证：直线PQ恒过定点N.
举一反三
F的距离为2．
(1)求抛物线的方程．
(2)已知P是直线l: y =2 x−8上的动点，PA , PB为抛物线的两条切线，A ,B为切点．
①求证：直线AB过定点；
②抛物线上是否存在定点C使得以AB为直径的圆恰过定点C？若存在，求出点C的坐
标，若不存在，请说明理由．
【3-1】在平面直角坐标系xOy中，P为直线y =2上一动点，椭圆E：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)
题型三、“相交弦”模型过定点之“变形1”（已知动点在定直线
典例探究
【典型例题】已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点(1, 3
2)，(
❑√2,
❑√6
2 )两点.
(1)求椭圆的的方程；
(2)椭圆的左右顶点分别为A，B，当动点M 在定值线x = 4上运动时，直线AM，BM
分别交椭圆于两点P和Q（不同于A，B）证明：直线PQ过定点。
举一反三
的左右顶点分别为M (−❑√2,0)，N (❑√2,0)，上、下顶点分别为T (0,1)，S (0,−1)．若直
线PT交E于另一点A，直线PS交E于另一点B．
(1)求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；
(2)求四边形ASBT面积的最大值．
【3-2】已知A (−1,0),B (1,0)为双曲线C: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1左右顶点，焦点到渐近线的距离为❑√3，
直线x = 1
2
上一点P与点A连线与双曲线右支交于另一点C，点P与点B连线与双曲线右支交
于另一点D.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线CD是否经过定点？若是，求出该定点.
【3-3】如图，椭圆Γ: x
2
a
2 + y
2=1(a>1)的 右焦点为F，右顶点为A，满足
1
|OF) +
1
|OA) =
e
|FA)，其中O为坐标原点，e为椭圆Γ的离心率.
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）设M为椭圆Γ上的动点(异于左右顶点)，直线MF交椭圆Γ于另一点N，直线
MA交直线x =2于点P，求证：直线PN过定点.
【4-1】设椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率等于❑√3
2
，抛物线x
2= 4 y的焦点F是椭圆E
的一个顶点，A ,B分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)动点P、Q为椭圆上异于A ,B的两点，设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，且
k2=3k1，求证：直线PQ经过定点.
【4-2】已知双曲线C1: x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线与双曲线C2: x
2
4 −y
2
16 =1的一
条渐近线垂直，A1, A2分别为C1的左、右顶点，且A1到C1的两条渐近线的距离之和为
4
5
❑√5.
题型四、“相交弦”模型过定点之“变形2”（已知斜率成倍数关
典例探究
【典型例题】如图1 所示，椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√3
2 , A ,B是其左右顶点，
P ,Q是椭圆上位于x轴两侧的点（点P在x轴上方），且四边形APBQ面积的最大值为4．
(1)求椭圆方程；
(2)设直线AP ,BQ的斜率分别为k1,k2，若k1=7 k2，求证直线PQ过定点．
举一反三
(1)求双曲线C1的标准方程；
(2)设P ,Q为C1上异于A1, A2的不同的两点，且直线A1 P的斜率与直线A2Q的斜率满
足k A1 P
k A2Q
=−5，证明：直线PQ恒过定点.
【4-3】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y = ❑√3 x，且过点(2,3).
设A，B 分别是C的左、右顶点，M，N 是C的右支上异于点B 的两点.
(1)求C的方程；
(2)若直线MN过点P(3,0)，且MN的斜率为2，求|| MP|−| PN |)的值；
(3)设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，若3k1+k2=0，求证：直线MN恒过定点.
【5-1】已知椭圆C：y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)的下、上焦点分别为F1
、F2
，直线
题型五、“相交弦”模型过定点之“变形3”（已知一直线过定点与对称点）
典例探究
【典型例题】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为
❑√2
2 ，F1(−c ,0)，F2(c ,0)为椭
圆C的左、右焦点，M为椭圆C上的任意一点，△M F1 F2的面积的最大值为1，A、B为
椭圆C上任意两个关于x轴对称的点，直线x = a
2
c 与x轴的交点为P，直线PB交椭圆C于另
一点E.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：直线AE过定点.
举一反三
❑√3 x−y + ❑√3=0恰经过椭圆C的一个顶点和一个焦点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设P(0,1)，A，B是椭圆C上关于y轴对称的任意两个不同的点，连接AP交椭
圆C于另一点D，求证：直线BD与y轴相交于某定点.
【5-2】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1
，F2
.离心率等于❑√6
3
，点
P在y轴正半轴上，△P F1 F2为直角三角形且面积等于2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知斜率存在且不为0 的直线l与椭圆C交于A，B两点，当点A关于y轴的对称点
在直线PB上时，直线l是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过，请说明理由.
【5-3】已知双曲线C：x
2
a
2 −y
2
b
2 =1（a>0，b>0）的右顶点E (1,0)，斜率为1 的直线交C
于M、N两点，且MN中点Q (1,3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：△MEN为直角三角形；
(3)经过点T (0,2)且斜率不为零的直线l与双曲线C的两支分别交于点A，B.若点D是点
B关于y轴的对称点，试问，不论直线l的斜率如何变化，直线AD是否过定点?若过定点，
求出定点的坐标；若不过定点，说明理由.
【突破提升训练・1】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0)，A、B 分别是椭
圆C的左、右顶点，P为椭圆C的上顶点，△PAB的面积为❑√2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l: y =kx +m与椭圆C交于不同的两点M，N
①若k =1 ，且l不过坐标原点O，求三角形OMN面积的最大值，并写出求得此最大
值时m的值
②点Q (2,0)，若直线MQ的斜率与直线NQ的斜率互为相反数，求证：直线l过定点.
题型精析・方法突破提能力
【突破提升训练・2】已知椭圆C ：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的长轴长是短轴长的❑√3倍，且C
经过点A (❑√6,1).
(1)求C的标准方程.
(2)设H是C的左顶点，M，N是C上异于点H的不同两点，直线HM，HN的斜率分
别为k1，k2，且k1⋅k2=−1
3
.
（i）若点M的坐标为(−3
2 , 3
2 )，求|MN )；
（ii）证明：直线MN过定点.
【突破提升训练・3】已知F1, F2
分别是双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左､右焦点，A
是C的右顶点，|A F1)=3，且C与椭圆x
2
5 + y
2=1有相同的焦点.
(1)求C的方程；
(2)若直线l: y =kx +1与C的公共点个数为1，求k的值；
(3)已知M , N是C上不同的两点，直线AM , AN的斜率分别为k1,k2, A不在直线MN
上，且k1k2=3，证明：直线MN过定点.
【突破提升训练・4】已知双曲线C : x
2
7 −y
2
b
2 =1(b>0)的离心率为❑√2,O为坐标原点，过点
O的直线l交C于P，Q两点，其中点P在第一象限.
(1)求C的标准方程.
(2)设|OP)=5.
①求直线l的方程.
②过点P作斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2，且直线l1与C交于另一点A，直线l2与C
交于另一点B.若k1+ k2=3，证明直线AB过定点，并求该定点坐标.
【突破提升训练・5】已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点F (1,0)，O为坐标原点，A、B
是抛物线C上异于O的两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线OA、OB的斜率之积为−1
2
，求证：直线AB过x轴上一定点．
【突破提升训练・6】已知椭圆C : x
2
4 + y
2=1，直线x +2 y + 4 =0，P是直线l上的动点，
过P作椭圆C的切线PS，PT，切点分别为S，T ．
(1)当点P坐标为(2,−3)时，求直线ST的方程；
(2)求证：当点P在直线l上运动时，直线ST恒过定点M；
(3)是否存在点P使得△PST的重心恰好是椭圆的左顶点(−2,0)，如果存在，求出点P
的坐标；如果不存在，请说明理由．
【突破提升训练・7】左、右焦点分别为F1、F2
的椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)经过点
Q(0,❑√3)，P为椭圆上一点，△P F1 F2
的重心为G，内心为I , IG∥F1 F2
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若M为直线x−y = 4上一点，过点M作椭圆C的两条切线MA 、MB , A 、B为切
点，问直线AB是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【突破提升训练・8】已知曲线C上的动点M满足|| M F1|−| M F2||=2，且
F1(−2,0), F2(2,0).
(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于P ,Q两点，过P ,Q分别作C的切线，若两切线交于点R，且点R
在直线x = 1
4
上，证明：l经过定点.
【突破提升训练・9】已知曲线C上的动点P满足| P F1|−| P F2|=2，且
F1(−2,0), F2(2,0).
(1)求C的方程；
(2)若直线AB与C交于A、B两点，过A、B分别做C的切线，两切线交于点P
′.在以下
两个条件①②中选择一个条件，证明另外一个条件成立.
①直线AB经过定点M (4,0)；
②点P
′在定直线x = 1
4
上.
【突破提升训练・10】已知抛物线C : x
2=2 py ( p>0)的焦点F到直线y = x−1的距离为❑√2，
直线l与C交于A ,B两点.
(1)求C的准线方程；
(2)若直线l的方程为y =2 x−1，求|AB)；
(3)过A ,B两点分别作C的切线l1,l2，且l1,l2相交于点Q，若点Q的纵坐标为−1，证
明：直线l过定点.
【突破提升训练・11】已知抛物线C : x
2=2 py（p>0）的焦点F 与椭圆E: y
2
25 + x
2
24 =1的
一个焦点重合.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设点P 为直线y =−2上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，分别与抛物线切
于A，B 两点，求抛物线C 的焦点F 到直线AB的最大距离.
【突破提升训练・12】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左右顶点分别为A1
和A2
，离心
率为
❑√3
2
，且经过点P(−2,❑√3)，过点P作PH垂直x轴于点H．在x轴上存在一点A（异于
H），使得|A A2)
|A A1)
=|H A2)
|H A1)
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点A作一条垂直于x轴的直线l，在l上任取一点T，直线T A1和直线T A2分别交
椭圆C于M , N两点，证明：直线MN经过定点．
【突破提升训练・13】设椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左､右顶点分别为A ,B，上顶点为
D，点P是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的右焦点为F (❑√3,0)，且经过点(
❑√3, 1
2)
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线AD与直线BP交于点M，直线DP与x轴交于点N，求证：直线MN恒过某
定点，并求出该定点.
【突破提升训练・14】已知椭圆Γ : x
2
4 + y
2=1的左右顶点分别为A、B，P为直线x = 4上的
动点，直线PA与椭圆Γ的另一交点为C，直线PB与椭圆Γ的另一交点为D.
（1）若点C的坐标为(0,1)，求点P的坐标；
（2）若点P的坐标为(4,1)，求以BD为直径的圆的方程；
（3）求证：直线CD过定点.
【突破提升训练・15】已知椭圆C：x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)过点(1, 3
2)
且离心率为1
2
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若A1，A2分别为C的左右顶点，G为直线x =1上的任意一点，直线G A1，G A2
分别与C相交于M、N两点，连接MN，试证明直线MN过定点，并求出该定点的坐标.
【突破提升训练・16】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为❑√10
3
，A ,B分别
为其左、右顶点，点(3 ❑√2,1)在C上. P为直线x =2上的动点，PA与双曲线C的另一交点
为M，PB与双曲线C的另一交点为N．
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线MN过定点.
【突破提升训练・17】如图，已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，点
(
4 ❑√3
3
,2)
在C 上，A，B 为双曲线的左、右顶点，P为右支上的动点，直线AP 和直线x＝
1 交于点N，直线NB 交C 的右支于点Q．
(1)求C 的方程；
(2)探究直线PQ 是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
(3)设S1，S2分别为△ABN和△NPQ的外接圆面积，求❑√
S1
S2
的取值范围.
【突破提升训练・18】双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A，B，焦点
到渐近线的距离为❑√3，且过点(4,3).
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l与双曲线C交于M，N两点，且k AM =−2k BN，证明直线l过定点.
【突破提升训练・19】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为1
2
，经过点M (1, 3
2 )．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知A，B 是椭圆C 的长轴左右顶点，P，Q 是椭圆C 上的两点，记直线AP 的
斜率为k1，直线BQ 的斜率为k2，若k2=2k1，试判断直线PQ 是否恒过定点?若是，求出定
点的坐标，若不是，请说明理由．
【突破提升训练・20】已知椭圆C : x
2
4 + y
2
2 =1的左右顶点为A，B，点P，Q 为椭圆上异于
A，B 的两点，直线AP、BP、BQ 的斜率分别记为k1、k2、k3.
（1）求k1⋅k2的值；
（2）若k3=2k1，求证：BP⊥BQ，并判断直线PQ 是否过定点，若是，求出该定点；
若不是，请说明理由.
【突破提升训练・21】如图，A，B为椭圆x
2
4 + y
2=1的左右顶点，直线y =kx +m交椭圆
于C，D两点，直线AC的斜率是直线BD的斜率3 倍．
（1）若P为椭圆上异于A，B的一点，证明：直线PA和PB的斜率之积为常数；
（2）证明：直线CD过定点．
【突破提升训练・22】已知椭圆Γ: x
2
4 + y
2
3 =1，左右焦点分别为F1, F2，上下顶点分别为
A ,B，左右顶点分别为C , D，P ,Q是Γ上异于椭圆顶点的两点.
(1)求△A F1 F2的周长；
(2)若点Q在第一象限且满足△ABQ的面积比△F1 F2Q的面积大，求点Q的横坐标的
取值范围；
(3)记点A在直线PQ上的投影为H，且直线CP的斜率是直线DQ的斜率的3 倍，试判
断：过点A , H ,O(O为坐标原点)三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，
请说明理由.
【突破提升训练・23】已知椭圆E: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的一个焦点为F (1,0)，其短轴长为
2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过坐标原点O的直线l与椭圆E交于不同的两点A ,B.
（i）当直线l的斜率为1 时，求△ABF的周长；
（ii）若直线AF ,BF分别与椭圆E交于点M , N，证明：直线MN过定点.
【突破提升训练・25】如图所示，在平面xOy上，过椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)内一定点
P0(x0,0)（不妨设0< x0<a），任意作直线交椭圆于A ,B，过A作与x轴垂直的直线交椭
圆于另一点R，则直线RB必过定点Q(
a
2
x0
,0)
．
【突破提升训练・26】已知双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为
x + ❑√3 y =0，虚轴长为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设直线l: y =k (x−2)与双曲线C交于B，D两点，点D关于x轴的对称点为点A，
求证：直线AB恒过定点.
【突破提升训练・27】已知焦点在x轴上的双曲线C过点(3,
❑√5
2 )
，其焦点到渐近线的距离
为1.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l: x =my +1与双曲线C的右支交于A，B两点，点E与点A关于x轴对称，
求证：直线BE过定点，并求出定点的坐标.
【突破提升训练・28】已知双曲线Ω:m x
2−n y
2=1经过点A(8,❑√7),B(4 ,−1)．
(1)求Ω的离心率；
(2)设直线l: y =kx +b(k ≠0)经过Ω的右焦点，且与Ω交于不同的两点M , N，点N 关
于x 轴的对称点为点P，证明：直线PM过定点．
【突破提升训练・29】已知椭圆E: y
2
a
2 + x
2
b
2 =1(a>b>0)，椭圆E的短轴长的2❑√2，离心率
为e =
❑√2
2
.过点M (2,0)与x轴不重合的直线l交椭圆E于不同的两点A ,B，点A ,C关于x轴
对称.
(1)求椭圆E的方程；
(2)证明：直线BC过定点.
【突破提升训练・30】已知椭圆E经过点P(1, 2❑√2
3 )
，且与双曲线x
2
3 −y
2
5 =1有相同的焦
点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设E的左，右顶点分别为A ,B，过点(
3
2 ,0)
且斜率不为0 的直线l与E交于C , D两
点，过点C作关于x轴的对称点C
′，连结C
′ D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过x轴上
的一个定点.
【突破提升训练・31】已知椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的离心率为❑√3
2
，M (❑√3,−1
2 )是
椭圆C上的一点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P(−4,0)作直线l与椭圆C交于不同两点A、B，A点关于x轴的对称点为D，
问直线BD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
