第八章直线和圆、圆锥曲线
§8.9 直线与圆锥曲线的位置关系
【考情分析·探规律】
考点
考情分析（2021-2024）
命题趋势
考点1 直线与圆
锥曲线的位置关
系及其应用
2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、
2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷、
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、
2021·全国乙卷
了解直线与圆锥曲线位置关
系的判断方法；掌握直线被圆锥
曲线所截的弦长公式；能利用方
程及数形结合思想解决焦点弦、
中点弦问题。
考点2 曲线方程
及曲线轨迹
2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ
卷、2021·浙江卷
【知识梳理】
1.直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，
相切有一个交点，相离无交点.
(2)判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax＋By＋C＝0 代入圆
锥曲线C 的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by
＋c＝0).
①当a≠0 时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0 时，直线l 与曲线C 相交；Δ
＝0 时，直线l 与曲线C 相切；Δ＜0 时，直线l 与曲线C 相离.
②当a＝0 时，即得到一个一次方程，则l 与C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为
双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴
平行或重合.
2.圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝
或
|AB|＝|y1－y2|＝，k 为直线斜率且k≠0.
3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解.
(1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，
利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论.
(2)点差法：若直线l 与椭圆C 有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，
y2)，AB 中点M(x0，y0)，直线AB 的斜率k，将点A，B 代入圆锥曲线的方程，两式相减，
整理得(分别以＋＝1，－＝1，y2＝2px 为【典例】)，椭圆中k＝－·；双曲线中k＝· ；
抛物线中k＝.
【名师点拨】
1.圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中长为，抛物线中长为2p.
2.过原点的直线交椭圆于A，B 两点，P 是椭圆上异于A，B 的任一点，则kPA·kPB＝－；
同理，双曲线中kPA·kPB＝(以上焦点在x 轴上).
3.若点P(x0，y0)在椭圆上，过点P 的切线方程为＋＝1；同理，双曲线中为－＝1(以上
焦点在x 轴上).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线与圆锥曲线的三种位置关系：相离、相切、相交.( )
(2)直线y＝x 与椭圆＋y2＝1 一定相交.( )
(3)“直线l 与双曲线C 相切”的充要条件是“直线l 与双曲线C 只有一个公共点”.(
)
(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )
【答案】(1)√ (2)√ (3)× (4)×
【解析】(3)当“直线l 与双曲线C 只有一个公共点”成立时，则与渐近线平行的直线
与双曲线只有一个交点或者直线l 与双曲线相切有一个交点.
(4)直线与抛物线的对称轴平行时也只有一个交点.
2.若直线y＝kx＋2 与椭圆x
2
3 ＋y
2
2 ＝1 有且只有一个交点，则k 的值是( )
A.
❑√6
3
B.－
❑√6
3
C.±
❑√6
3
D.±
❑√3
3
【答案】C
【解析】由{
y ＝kx ＋2,
x
2
3 ＋y
2
2 ＝1,
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±
❑√6
3 .
3.已知直线l：y＝x－1 与抛物线y2＝4x 交于A，B 两点，则线段AB 的长是( )
A.2
B.4
C.8
D.16
【答案】C
【解析】联立{
y ＝x−1,
y
2＝4 x ,
消去y 并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝
❑√1＋k
2❑√( x1＋x2)
2−4 x1 x2＝❑√1＋1×❑√36−4＝8.
4.已知点A，B 是双曲线C：x
2
2 －y
2
3 ＝1 上的两点，线段AB 的中点是M(3，2)，则直
线AB 的斜率为( )
A.2
3
B.3
2
C.4
9
D.9
4
【答案】D
【解析】方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B 是双曲线C 上的两点，
∴x1
2
2 －y1
2
3 ＝1，x2
2
2 －y2
2
3 ＝1，
两式相减得
( x1＋x2)( x1−x2)
2
＝( y1＋y2)( y1−y2)
3
，
∵M(3，2)是线段AB 的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴6( x1−x2)
2
＝4( y1−y2)
3
，
∴kAB＝y1−y2
x1−x2
＝9
4 .
方法二 由kAB·kOM＝b
2
a
2 ＝3
2，
得kAB＝3
2· 1
kOM
＝3
2×3
2 ＝9
4 .
【必练核心题型】
题型一 直线与圆锥曲线的位置关系
【典例】1.已知直线l 的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C 的方程为x
2
9 ＋y
2
4 ＝1，则直
线l 与椭圆C 的位置关系为( )
A.相离
B.相交
C.相切
D.不能确定
【答案】B
【解析】直线l：mx＋y＋2m＝1，
即m(x＋2)＋y－1＝0，
令{
x＋2＝0,
y −1＝0, 解得{
x＝−2,
y ＝1,
则直线l 过定点(－2，1)，
因为(−2)
2
9
＋1
2
4 ＝25
36<1，
则该定点在椭圆内，
则直线l 与椭圆C 的位置关系为相交.
【典例】2.已知双曲线C：x
2
9 －y
2
16＝1，过点P(3，3)作直线l，使l 与C 有且只有一
个公共点，则满足条件的直线l 共有( )
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
【答案】D
【解析】由题意知双曲线的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，渐近线方程为y
＝±4
3 x，
由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过P 点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平
行的直线(图1)，
有两条双曲线右支的切线(图2)，共4 条.
【解题技巧】
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或
重合).
【变式训练】
变式1.已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M 且与C 仅有一个公
共点的直线有3 条”的( )
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于过M 且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有3 条，则当直线的斜率不存
在时符合题意，此时直线为x＝m；
当直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－m)，
则{
y −1＝k( x−m),
x
2＝y ,
消去y 整理得x2－kx＋km－1＝0，
所以Δ＝0，即关于k 的方程k2－4km＋4＝0 有两个不同的解，
所以Δ1>0 即16m2－16>0，
解得m<－1 或m>1，
所以“m>1”是“过M 且与抛物线C 仅有一个公共点的直线有3 条”的充分条件.
变式2.直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆x
2
4 ＋y
2
m ＝1 恒有公共点，则实数m 的取值范
围为( )
A.(1，4]
B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，＋∞)
D.(4，＋∞)
【答案】C
【解析】由于直线y＝kx＋1 恒过点M(0，1)，要使直线y＝kx＋1 与椭圆x
2
4 ＋y
2
m ＝1 恒
有公共点，
则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即{
m>0,
m≠4 ,
1
2
m ≤1,
解得m≥1 且m≠4，
故实数m 的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞).
题型二 弦长问题
【典例】1.经过椭圆x
2
2 ＋y2＝1 的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l 与椭圆相
交于A，B 两点，则线段AB 的长度为( )
A.4
7
B.8 ❑√2
7
C.2
D.16 ❑√2
7
【答案】B
【解析】在椭圆x
2
2 ＋y2＝1 中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，故左焦点
为F1(－1，0)，
而tan 60°＝❑√3，故直线l 的方程为y＝❑√3(x＋1)，
联立x
2
2 ＋y2＝1，得7x2＋12x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－12
7 ，x1x2＝4
7 ，由弦长公式得|
AB|＝❑√1＋(❑√3)
2×❑√(−12
7 )
2
−4× 4
7 ＝8 ❑√2
7
.
【典例】2.已知F 是双曲线C：x2－y
2
3 ＝1 的左焦点，过点F 的直线与C 交于A，B
两点(点A，B 在C 的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|等于( )
A.6
B.8
C.13
2
D.27
4
【答案】D
【解析】由C：x2－y
2
3 ＝1 可得F(－2，0)，
根据对称性，不妨设过点F 的直线为x＝my－2(m>0)，
联立{
x＝my −2,
x
2−y
2
3 ＝1,
可得(3m2－1)y2－12my＋9＝0，
由题意可知3m2－1≠0，且Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则{
y1＋y2＝
12m
3m
2−1
,①
y1 y2＝
9
3m
2−1
,②
由|BF|＝2|AF|，得⃗BF＝2⃗FA，
又⃗BF＝(－2－x2，－y2)，⃗FA＝(x1＋2，y1)，
所以－y2＝2y1.
③
由①③可得y1＝－12m
3m
2−1，y2＝24 m
3m
2−1，
代入②得－12m
3m
2−1× 24 m
3m
2−1
＝
9
3m
2−1，
解得m＝
❑√35
35 或m＝－
❑√35
35 (舍)，
y1＝3 ❑√35
8
，
所以|AB|＝❑√1＋m
2·|y1－y2|＝6
❑√35×3|y1|＝6
❑√35×9 ❑√35
8
＝27
4 .
【拓展训练】
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，
可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，
y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|＝❑√1＋k
2·|x1－x2|＝❑√1＋k
2·❑√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝❑√1＋k
2·❑√(−b
a)
2
−4 c
a ＝
❑√1＋k
2·
❑√Δ
|a| .
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|＝❑√
1＋1
k
2·|y1－y2|＝❑√
1＋1
k
2·❑√( y1＋y2)
2−4 y1 y2
＝❑√
1＋1
k
2·❑√(−b
a)
2
−4 c
a ＝❑√
1＋1
k
2·
❑√Δ
|a| .
【典例】 已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0 与双曲线C 交于M，N 两点，
则弦长|MN|等于( )
A.4 ❑√2
3
B.3 ❑√3
4
C.4❑√3
D.4❑√2
【答案】D
【解析】联立双曲线与直线的方程，
得x2－2x－3＝0，Δ＝16，又k＝1，a＝1，
由弦长的万能公式知，|MN|＝❑√1＋k
2·
❑√Δ
|a| ＝4❑√2.
【解题技巧】
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线
的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
【变式训练】
变式1.已知双曲线C：y
2
3 －x2＝1 的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m 与
C 交于A，B 两点，若△F2AB 面积是△F1AB 面积的4 倍，则m 等于( )
A.3
B.－3
C.10
3
D.－10
3
【答案】D
【解析】由C：y
2
3 －x2＝1 可知F1(0，－2)，F2(0，2)，
联立{
y
2
3 −x
2＝1,
y ＝x＋m,
消元得2x2－2mx＋3－m2＝0，
则Δ＝4m2－8(3－m2)>0，即m2>2，
由△F2AB 面积是△F1AB 面积的4 倍，可知F2到直线AB 的距离是F1到直线AB 距离的
4 倍，即|2−m|
❑√2
＝4×|2＋m|
❑√2
，
化简可得15m2＋68m＋60＝0，
即(3m＋10)(5m＋6)＝0，
解得m＝－10
3 或m＝－6
5(舍去).
变式2.已知椭圆C：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的离心率为1
2，过C 的左焦点且斜率为1 的
直线与C 交于A，B 两点.若|AB|＝12，则C 的焦距为 .
【答案】7
【解析】由椭圆C 的离心率为e＝1
2，可得a＝2c，
则b＝❑√a
2−c
2＝❑√3c，
所以椭圆C 的方程为x
2
4 c
2 ＋y
2
3c
2＝1，
即3x2＋4y2－12c2＝0，
由直线AB 过椭圆C 的左焦点F(－c，0)且斜率为1，可得AB 的方程为y＝x＋c，
联立方程组{
y ＝x＋c ,
3 x
2＋4 y
2−12c
2＝0,
整理得7x2＋8cx－8c2＝0，
则Δ＝64c2＋4×7×8c2＝288c2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－8c
7 ，x1x2＝－8c
2
7 ，
所以|AB|＝❑√1＋1
2·❑√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝
❑√2×(64 c
2＋4×7×8c
2)
7
＝24 c
7 ＝12，
解得c＝7
2，
所以椭圆C 的焦距为2c＝7.
题型三 中点弦问题
【典例】1.已知直线l 交抛物线C：x2＝－18y 于M，N 两点，且MN 的中点为(3，－
2)，则直线l 的斜率为( )
A.－3
B.－1
6
C.1
9
D.－1
3
【答案】D
【解析】由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则{
x1
2＝−18 y1,
x2
2＝−18 y2,
两式相减得x1
2－x2
2＝－18(y1－y2)，
整理得
y1−y2
x1−x2
＝－x1＋x2
18
，
因为MN 的中点为(3，－2)，
则x1＋x2＝2×3＝6，
所以k＝
y1−y2
x1−x2
＝－6
18＝－1
3，
即直线l 的斜率为－1
3.
【典例】2.已知直线l：x－y＋3＝0 与双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)交于A，B
两点，点P(1，4)是弦AB 的中点，则双曲线C 的渐近线方程是( )
A.y＝±1
4 x
B.y＝±2x
C.y＝±1
2x
D.y＝±4x
【答案】B
【解析】方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得x1
2
a
2 －y1
2
b
2 ＝1，x2
2
a
2 －y2
2
b
2 ＝1，
两式相减可得
( x1−x2)( x1＋x2)
a
2
＝( y1−y2)( y1＋y2)
b
2
，
由点P(1，4)是弦AB 的中点，且直线l：x－y＋3＝0，
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，
即有b2＝4a2，即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
方法二 由题意知kAB＝1，kOP＝4(O 为坐标原点)，
则b
2
a
2＝kAB·kOP＝4，
所以b2＝4a2，b＝2a，
故双曲线C 的渐近线方程为y＝±2x.
【解题技巧】解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方
程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点
坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和直线
AB 的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
【变式训练】
变式1.已知椭圆E：x
2
a
2 ＋y
2
b
2 ＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F 的直线交椭圆E
于A，B 两点，若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为( )
A. x
2
18 ＋y
2
9 ＝1
B. x
2
27 ＋y
2
18＝1
C. x
2
36 ＋y
2
27＝1
D. x
2
45 ＋y
2
36＝1
【答案】A
【解析】方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以{
x1
2
a
2 ＋y1
2
b
2 ＝1,
x2
2
a
2 ＋y2
2
b
2 ＝1,
两式相减可得x1
2
a
2 －x2
2
a
2 ＝y2
2
b
2 －y1
2
b
2 ，
整理可得
y1−y2
x1−x2
＝－
b
2( x1＋x2)
a
2( y1＋y2)
，
根据题意可知直线AB 的斜率为0−(−1)
3−1
＝1
2，
由AB 的中点坐标为(1，－1)可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
因此y1−y2
x1−x2
＝－b
2( x1＋x2)
a
2( y1＋y2)
＝－2b
2
−2a
2 ＝b
2
a
2 ＝1
2，可得a2＝2b2，
方法二 设AB 的中点为P，O 为坐标原点，
kAB＝0−(−1)
3−1
＝1
2，kOP＝−1
1 ＝－1，
则kAB·kOP＝－1
2＝－b
2
a
2，所以a2＝2b2，
由右焦点为F(3，0)可得a2－b2＝c2＝9，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E 的方程为x
2
18 ＋y
2
9 ＝1.
变式2.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关
于直线l：x－y－2＝0 对称的不同的两点P 和Q，则线段PQ 的中点坐标为( )
A.(1，－1)
B.(2，0)
C.(
1
2 ，−3
2)
D.(1，1)
【答案】A
【解析】∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则{
y1
2＝2 x1,
y2
2＝2 x2,
两式相减可得
(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
∴kPQ＝
2
y1＋y2，又∵P，Q 关于直线l 对称，
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
∴PQ 中点的纵坐标为y1＋y2
2
＝－1，
又∵PQ 的中点在直线l 上，
∴PQ 中点的横坐标为－1＋2＝1.
∴线段PQ 的中点坐标为(1，－1).
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.直线y＝kx－k 与椭圆x
2
9 ＋y
2
4 ＝1 的位置关系为( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
【答案】A
【解析】直线y＝kx－k 可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0)，
又1
2
9 ＋0
2
4 <1，即点(1，0)在椭圆的内部，
∴直线y＝kx－k 与椭圆x
2
9 ＋y
2
4 ＝1 的位置关系为相交.
2.已知直线2x＋y－2＝0 与抛物线C：y2＝4x 交于A，B 两点，则|AB|等于( )
A.❑√5
B.5
C.3❑√5
D.4❑√5
【答案】B
【解析】将2x＋y－2＝0 与抛物线C：y2＝4x 联立得x2－3x＋1＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，
显然抛物线焦点坐标为(1，0)，
令x＝1，即2＋y－2＝0，
得y＝0，则直线过焦点，
则|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
3.若直线l：y＝kx＋2 与曲线C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的两点，则k 的取值范围是(
)
A.(−
❑√15
3
，
❑√15
3 )
B.(0，
❑√15
3 )
C.(−
❑√15
3
，0)
D.(−
❑√15
3
，−1)
【答案】D
【解析】联立方程组{
y ＝kx ＋2,
x
2−y
2＝6,
整理得(k2－1)x2＋4kx＋10＝0，
设直线y＝kx＋2 与曲线C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，
则满足{
x1＋x2＝−4 k
k
2−1
>0,
x1 x2＝
10
k
2−1
>0,
k
2−1≠0,
Δ＝(4 k )
2−40(k
2−1)>0,
解得－
❑√15
3
<k<－1，
所以k 的取值范围是(−
❑√15
3
，−1).
4.已知双曲线C 的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l 与双曲线左、右两支交于
点M，N.若⃗MP＝2⃗PN，则直线l 的方程为( )
A.y＝1
5x－1
B.y＝1
5x－1 或y＝－1
5x－1
C.y＝x－1 或y＝－x－1
D.y＝x－1
【答案】C
【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l 的斜率为k，则直线l 的方程为y＝kx－1，
联立{
5 x
2−y
2＝1,
y ＝kx −1 ⇒(5－k2)x2＋2kx－2＝0，
则5－k2≠0，且Δ＝4(10－k2)>0，
x1＋x2＝2k
k
2−5，
①
x1x2＝
2
k
2−5，
②
因为⃗MP＝2⃗PN，则－x1＝2x2，
③
①③联立解得x1＝4 k
k
2−5，x2＝−2k
k
2−5，
代入②得k2＝1⇒k＝±1，
则直线l 的方程为y＝x－1 或y＝－x－1.
5.(2025·张掖模拟)已知倾斜角为π
4 的直线l 与椭圆C：x
2
4 ＋y2＝1 交于A，B 两点，P 为
AB 的中点，O 为坐标原点，则直线OP 的斜率为( )
A.－1
B.－1
2
C.－1
3
D.－1
4
【答案】D
【解析】方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则kAB＝
y1−y2
x1−x2
＝1，x0＝x1＋x2
2
，y0＝y1＋y2
2
，
所以kOP＝
y0
x0
＝y1＋y2
x1＋x2
，
所以kABkOP＝
y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 ，
将A，B 两点坐标代入椭圆方程可得
{
x1
2
4 ＋y1
2＝1,
x2
2
4 ＋y2
2＝1,
两式作差可得x1
2−x2
2
4
＋y1
2－y2
2＝0，
所以kABkOP＝
y1
2−y2
2
x1
2−x2
2 ＝－1
4 ，
则kOP＝－1
4 .
方法二 由题意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1，
由kAB·kOP＝－b
2
a
2，
即1×kOP＝－1
4 ，所以kOP＝－1
4 .
6.经过抛物线C：y2＝8x 的焦点F 的直线交C 于A，B 两点，与抛物线C 的准线交于点
P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|等于( )
A.4❑√3
B.4❑√6
C.16
3
D.32
3
【答案】D
【解析】由题意得F(2，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，
因为过抛物线C：y2＝8x 焦点F 的直线与抛物线C 交于两点，且与抛物线的准线相交，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为y＝k(x－2)，
与C：y2＝8x 联立得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1，x2>0，
则x1x2＝4，
因为|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，
所以2|AP|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，
所以3(x1＋2)＝x2＋2，解得x2＝3x1＋4，
因为x1x2＝4，所以3x1
2＋4x1－4＝0，
解得x1＝2
3或x1＝－2(舍去)，所以x2＝6，
则|AB|＝x1＋x2＋4＝2
3＋6＋4＝32
3 .
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7. 平面直角坐标系中椭圆C 的中心为原点，焦点在坐标轴上，点(1，
❑√3
2 )，
(
❑√3，1
2)均在椭圆C 上，则( )
A.椭圆C 的离心率为1
2
B.直线l：kx＋y－k＝0 与椭圆C 相交
C.椭圆C 的短轴长为2
D.若椭圆C 上弦AB 的中点坐标为(1，1
2)，则直线AB 的斜率为－1
2
【答案】BCD
【解析】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，且m≠n)，
则{
m＋3
4 n＝1,
3m＋1
4 n＝1,
解得{
m＝1
4 ,
n＝1,
所以椭圆方程为x
2
4 ＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝❑√2
2−1＝❑√3，e＝c
a ＝
❑√3
2 ，故A 错误；
直线l 的方程可整理为k(x－1)＋y＝0，
令{
x−1＝0,
y ＝0, 解得{
x＝1,
y ＝0,
所以直线l 恒过定点(1，0)，
因为1
2
4 ＋0<1，所以点(1，0)在椭圆x
2
4 ＋y2＝1 内，所以直线l 与椭圆相交，故B 正确；
2b＝2，所以短轴长为2，故C 正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则{
x1
2
4 ＋y1
2＝1,
x2
2
4 ＋y2
2＝1,
两式相减得
( x1＋x2)( x1−x2)
4
＝－(y1＋y2)(y1－y2)，
因为弦AB 的中点为(1，1
2)，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
所以x1−x2
2
＝－(y1－y2)，
整理得kAB＝
y1−y2
x1−x2
＝－1
2，故D 正确.
8.已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，A，B 为C 上的两点，过A，B 作C 的两条切线交
于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB 的斜率为k3，则( )
A.C 的准线方程为y＝－1
B.k1，k3，k2成等差数列
C.若P 在C 的准线上，则k1k2＝－1
D.若P 在C 的准线上，则|AF|＋4|BF|的最小值为9
16
【答案】BCD
【解析】抛物线C：x2＝1
4 y，抛物线C 的准线方程为y＝－1
16，A 选项错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵y'＝8x，∴k1＝8x1，k2＝8x2，
k3＝y2−y1
x2−x1
＝4(x2＋x1)，
∴k1＋k2＝2k3，B 选项正确；
由上可知直线PA：y＝8x1x－4x1
2，
直线PB：y＝8x2x－4x2
2，解得P(
x1＋x2
2
，4 x1 x2)，
又P 在C 的准线上，所以4x1x2＝－1
16，x1x2＝－1
64 ，k1k2＝64x1x2＝－1，
C 选项正确；
|AF|＋4|BF|＝y1＋4y2＋5
16＝4x1
2＋16x2
2＋5
16 ≥16|x1x2|＋5
16 ＝9
16，当且仅当x1＝－2x2
时取等号，D 选项正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.已知双曲线x
2
4 －y2＝1，则过(3，0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为
.
【答案】±1
2
【解析】方法一 由题意得直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为k，则过点(3，0)且斜率为k 的直线方程为y＝k(x－3)，
联立{
x
2
4 −y
2＝1,
y ＝k( x−3),
化简并整理得(1－4k2)x2＋24k2x－36k2－4＝0，
由题意得1－4k2＝0 或Δ＝(24 k
2)
2＋4(36k2＋4)(1－4k2)＝0，解得k＝±1
2，
经检验，符合题意.
所以所求直线的斜率为±1
2.
方法二 由题意得点(3，0)在双曲线x
2
4 －y2＝1 右支的内部，若该直线过(3，0)且和双
曲线只有一个交点，则该直线与双曲线的渐近线平行，故所求直线的斜率为±b
a＝±1
2.
10.已知抛物线C：y2＝4x 的焦点为F，A，B 为C 上的两点.若直线FA 的斜率为1
2，且⃗
FA·⃗FB＝0，延长AF，BF 分别交C 于P，Q 两点，则四边形ABPQ 的面积为
.
【答案】50
【解析】由题可知，抛物线的焦点为F(1，0)，
因为直线FA 的斜率为1
2，
所以直线AP 的方程为y＝1
2(x－1)，
与抛物线C 的方程联立，得x2－18x＋1＝0，
所以Δ＝(－18)2－4>0，
设A(x1，y1)，P(x2，y2)，
则x1＋x2＝18，x1x2＝1，
故|AP|＝❑√
1＋(
1
2)
2
·❑√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝
❑√5
2 ×8❑√5＝20.
因为⃗FA·⃗FB＝0，所以FA⊥FB，
所以直线FB 的斜率为－2，直线BQ 的方程为y＝－2(x－1)，
与抛物线C 的方程联立，得x2－3x＋1＝0.
所以Δ＝(－3)2－4>0，
设B(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则x3＋x4＝3，x3x4＝1，
故|BQ|＝❑√1＋(−2)
2·❑√( x3＋x4)
2−4 x3 x4＝❑√5×❑√5＝5.
所以四边形ABPQ 的面积为
1
2|AP|·|BQ|＝50.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)已知双曲线C：x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)，焦点为F1，F2，其中一条渐近线的
倾斜角为30°，点M 在双曲线上，且||MF1|－|MF2||＝2❑√3.
(1)求双曲线C 的标准方程；(4 分)
(2)直线l：y＝x＋m 交C 于A，B 两点，若△AOB 的面积为❑√6(O 为坐标原点)，求正实
数m 的值.(9 分)
【解析】
(1)由条件知，2a＝2❑√3，b
a＝tan 30°＝
❑√3
3 ，
故a＝❑√3，b＝1.
即双曲线C 的标准方程为x
2
3 －y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O 到直线l 的距离为h，
联立{
x
2
3 −y
2＝1,
y ＝x＋m,
得2x2＋6mx＋3m2＋3＝0，
由Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，
解得m2>2，
又m>0，故m>❑√2，
则x1＋x2＝－3m，x1x2＝3m
2＋3
2
，
故弦长|AB|＝❑√1＋1
❑√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝❑√6
❑√m
2−2，h＝m
❑√2，
又S△AOB＝1
2|AB|h＝1
2×❑√6·❑√m
2−2· m
❑√2 ＝❑√6，
即m4－2m2－8＝0，解得m2＝4，
又m>❑√2，故m＝2.
12.(15 分)(2025·八省联考)已知椭圆C 的离心率为1
2,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0).
(1)求C 的方程;(2 分)
(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C 恰有一个公共点;(4 分)
(3)设M 是坐标平面上的动点,且线段F1M 的垂直平分线与C 恰有一个公共点,证明M 的
轨迹为圆,并求该圆的方程.(9 分)
【解析】(1)设椭圆C 的方程为x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0),
由题意知{
c
a = 1
2 ,
c =1,
a
2=b
2+c
2,
解得{
a=2,
b= ❑√3,
故C 的方程为x
2
4 + y
2
3 =1.
【证明】(2) 设F1M0的中点为P,∴P(0,2),k F1 M 0=2,
∴线段F1M0的垂直平分线方程为y=-1
2x+2,
联立{
y =−1
2 x +2,
3 x
2+ 4 y
2=12,
得3x2+4(
1
4 x
2−2 x + 4)=12,
即x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,
∴线段F1M0的垂直平分线与C 恰有一个公共点.
【解析】(3)设M(x0,y0),
当y0=0 时,线段F1M 的垂直平分线为直线x= x0−1
2
,此时x0−1
2
=±2,
解得x0=5 或x0=-3,此时M 为(5,0)或(-3,0).
当y0≠0 时,线段F1M 的垂直平分线为y=
- x0+1
y0 (x−x0−1
2 )+ y0
2 =- x0+1
y0
x+ x0
2+ y0
2−1
2 y0
,
联立{
y =−x0+1
y0
x + x0
2+ y0
2−1
2 y0
,
3 x
2+ 4 y
2=12,
得3x2+
4[
( x0
2+ y0
2−1)
2
4 y0
2
−( x0+1)( x0
2+ y0
2−1)
y0
2
x + ( x0+1)
2
y0
2
x
2]=12,
∴[3+ 4( x0+1)
2
y0
2 ]x2-
4( x0+1)( x0
2+ y0
2−1)
y0
2
x+
( x0
2+ y0
2−1)
2
y0
2
-12=0,
∵线段F1M 的垂直平分线与C 恰有一个公共点,
∴Δ=16( x0+1)
2( x0
2+ y0
2−1)
2
y0
4
-
4[3+ 4( x0+1)
2
y0
2 ][
( x0
2+ y0
2−1)
2
y0
2
−12]=0
⇒( x0
2+ y0
2−1)
2
y0
2
-12-16( x0+1)
2
y0
2
=0
⇒y0
4+(2x0
2-14)y0
2+x0
4-18x0
2-32x0-15=0
⇒y0
4+(2x0
2-14)y0
2+(x0
2+2x0+1)(x0
2-2x0-15)=0
⇒(y0
2+x0
2+2x0+1)(y0
2+x0
2-2x0-15)=0,
∵y0
2+x0
2+2x0+1=(x0+1)2+y0
2>0,
∴x0
2+y0
2-2x0-15=0.
又点M(5,0),(-3,0)也满足上式,∴M 的轨迹方程为(x-1)2+y2=16,它为一个圆.
【尖子拔高训练】每小题5 分，共10 分
13.已知双曲线x
2
a
2 －y
2
b
2 ＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t，0)的弦的端点
A，B 与点G(m，0)的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB，则m
的值为( )
A.a
2
t
B. t
a
2
C.t2
D. a
t
2
【答案】A
【解析】设直线AB 的方程为x＝ny＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示，
联立直线和双曲线方程{
x
2
a
2 −y
2
b
2 ＝1,
x＝ny ＋t ,
整理可得(b2n2－a2)y2＋2b2nty＋b2(t2－a2)＝0，
则y1＋y2＝－2b
2nt
b
2n
2−a
2，y1y2＝b
2(t
2−a
2)
b
2n
2−a
2 ，
且满足Δ＝(2b
2nt )
2－4b2(t2－a2)(b2n2－a2)>0，即a2<b2n2＋t2，
由∠NGA＝∠NGB，可得直线AG，BG 的斜率之和为0，
即kAG＋kBG＝0，所以
y1
x1−m ＋
y2
x2−m＝0，
即2ny1y2＋(t－m)(y1＋y2)＝0，
即2n·b
2(t
2−a
2)
b
2n
2−a
2 ＋(t－m)(−2b
2nt
b
2n
2−a
2)＝0，
整理可得2nb2(t2－a2)－2b2nt(t－m)＝0，
可得tm－a2＝0，即m＝a
2
t .
14.阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面
积的方法：如图，若抛物线C 与直线l 交于A，B 两点，要求弓形部分面积，先构造直
线l'∥l，l'与抛物线相切于点P，得到一级△PAB；用同样的方法在切点P 两旁得到两
个二级△DPA，△EPB；再用同样的方法在切点D，E 两旁得到四个三级三角形……依
次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是上一级三角形面积的1
8，那么
求出△PAB 的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x－y－1＝
0，则抛物线C 与直线l 围成的弓形面积为( )
A.4❑√2
B.8❑√2
C.16 ❑√2
3
D.16❑√2
【答案】C
【解析】由l：x－y－1＝0，设l'为：x－y＋c＝0，
联立{
x−y ＋c＝0,
y
2＝4 x
⇒x2＋(2c－4)x＋c2＝0，
由于l'与抛物线相切，所以Δ＝(2c－4)2－4c2＝0，
解得c＝1，
故x2－2x＋1＝0⇒x＝1，故切点P(1，2)，
所以点P(1，2)到直线l 的距离为
d＝|1−2−1|
❑√2
＝❑√2，
由{
x−y −1＝0,
y
2＝4 x
⇒x2－6x＋1＝0，
设抛物线C 与直线l 相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝❑√2·❑√( x1＋x2)
2−4 x1 x2
＝❑√2×❑√6
2−4×1＝8，
所以S△ABP＝1
2|AB|×d＝1
2×8×❑√2＝4❑√2，
根据规律，每一级三角形的个数是上一级三角形个数的2 倍，
每个新构建的三角形的面积是上一级三角形面积的1
8，
则第n 级的所有三角形的面积和
Sn＝4❑√2×2n－1×(
1
8)
n−1
＝4❑√2×(
1
4)
n−1
，
故经过n 次分割后得到的所有三角形面积之和为
S＝4❑√2×[1＋1
4 ＋(
1
4)
2
＋…＋(
1
4)
n−1
]
＝4❑√2×
1−(
1
4)
n
1−1
4
＝16 ❑√2
3 [1−(
1
4)
n
].
当n→＋∞时，S→16 ❑√2
3
，故抛物线C 与直线l 围成的弓形面积为16 ❑√2
3
.
