第09讲平面解析几何学生版_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_12027年高考数学考前核心考点题型三轮冲刺讲与练（新高考地区专用）

第09讲 平面解析几何
【题型归纳】
 题型一：直线与方程
 题型二：圆的方程问题
 题型三：直线与圆的位置关系
 题型四：圆与圆的位置关系
 题型五：直线与圆的综合问题
 题型六：圆锥曲线性质的应用
 题型七：直接法求离心率问题
 题型八：构造齐次方程求离心率问题
 题型九：离心率的范围问题
 题型十：渐近线问题
 题型十一：抛物线问题
 题型十二：圆锥曲线弦长问题
 题型十三：圆锥曲线面积问题
 题型十四：圆锥曲线中点弦问题
 题型十五：圆锥曲线范围问题
 题型十六：圆锥曲线的定点、定值问题
 题型十七：圆锥曲线与向量压轴问题
【题型探究】
题型一：直线与方程
【典例1】．（2026·河北沧州·二模）已知直线 ： ，直线 ： ，
则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式1】．（2026·北京顺义·二模）已知直线 过点 ，其倾斜角为 ，设原点 到直线 的距离为 .当
时， 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【变式2】．（2026·北京西城·一模）在平面直角坐标系 中，点M在圆心为C的圆 上．若动
点P满足 ，则对于 ，点P到直线 的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型二：圆的方程问题
【典例2】．（2026·重庆·三模）已知圆 与直线 和圆 都相切，当圆 的半径最小
时，其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】．（2026·陕西渭南·二模）已知 是圆 上一动点，若直线 上存在两点
， ，使得 成立，则 的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．
【变式2】．（2026·湖北孝感·二模）在平面直角坐标系 中，已知圆 ，点 ．点 在直线
上运动，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则点 到直线 的距离的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型三：直线与圆的位置关系
【典例3】．（2026·山东威海·二模）已知直线 被圆 截得的弦长为 ，则
（ ）
A． B． C． D．1
【变式1】．（2026·青海西宁·二模）已知曲线 ： ，过点 作该曲线的 条弦，这些弦的长度构成一个递增的等差数列，则该数列公差 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知圆 ： ，若存在 ，使得直线
与圆 有公共点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型四：圆与圆的位置关系
【典例4】．（2026·陕西榆林·三模）已知两点 ，若圆 上存在点 使得
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】．（2026·江苏·二模）已知 ， ，则
的最小值为（ ）
A．1 B．9 C．16 D．25
【变式2】．（2026·河北石家庄·一模）已知 ，若圆 上总存在点 满足
，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：直线与圆的综合问题
【典例5】．（2026·河北沧州·二模）在平面直角坐标系 中，点 到直线 的距离的平方比点 到点 的
距离的平方大 记动点P的轨迹为 .(1)求 的方程.
(2)已知 为 上不同的三点.
（i）若线段 的中点坐标为 ，求 的面积;
（ii）若直线 和直线 均与圆 相切，证明：直线 与圆 相切.
【变式1】．（2025·江西萍乡·二模）已知圆 ，圆 ，动圆 与 外切，与
内切．
(1)求 的轨迹 的标准方程；
(2)设过点 的直线 与 交于 两点，且 ，求 的取值范围．
【变式2】．（2026·广东江门·二模）已知圆 的圆心在第一象限且圆 与两坐标轴均相切，抛物线
经过圆心 ．
(1)求圆 的标准方程．
(2)设 与圆 交于 ， 两点，证明： ， 两点到 轴的距离均不小于 ．
(3) 为坐标原点，过圆心 的直线 交 于另一点 ， 的焦点为 ，求 的最小值．
题型六：圆锥曲线性质的应用
【典例6】．（2026·贵州贵阳·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距
，点A，B在椭圆上且满足 ．若 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C．2 D．4【变式1】．（2026·河北·三模）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，点P在
C的右支上，且 ，若 的中点在C的第一、三象限内的渐近线上，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系 中，定点 ， 为动点，线段 的中点到
轴的距离等于 ，直线 交 轴于点 ， 的平分线交 轴于点 ，则实数 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
题型七：直接法求离心率问题
【典例7】．（2026·河南新乡·三模）已知 是椭圆 的左、右焦点， 是双曲线
的右顶点，过 的直线交椭圆 于M，N两点，且 的周长为20，则椭圆 的离心率为______.
【变式1】．（2026·河南郑州·一模）已知 ， 是双曲线E： 的左、右焦点，点M为双曲
线E右支上一点，点N在x轴上，满足 ，若 ，则双曲线E的离心
率为 __．
【变式2】．（2026·江西·二模）已知双曲线 的左焦点为 ，焦距为 ，过 的斜率为
的直线与双曲线的右支交于点 ，若 ，其中 为坐标原点，则双曲线 的离心率为_____．
题型八：构造齐次方程求离心率问题【典例8】．（25-26高三下·吉林长春·阶段检测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
过点 的直线与C交于A，B两点，且 ，以AB为直径的圆过点 ，设C的离心率为 ，则
___________________ ．
【变式1】．（2026·河北·二模）已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上位于 轴
上方的一点，直线 交 于另一点 ， 且 ，则 的离心率为_______.
【变式2】．（2026·浙江·模拟预测）已知椭圆 ，点 分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上
位于第一象限内的两点，满足 ，则椭圆C离心率的取值范围是______．
题型九：离心率的范围问题
【典例9】．（2026·江苏·二模）已知椭圆 的右焦点为 ，经过坐标原点 且斜率
的直线 与椭圆 交于 ， 两点，设 的中点为 ， 的中点为 ，以线段 为直径的圆经过点 ，
则 的离心率的取值范围________.
【变式1】．（2026·吉林长春·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， . 为椭圆
上一点， .圆 与线段 的延长线和线段 的延长线分别相切于点 和点 ，与线段 相切于点 ，
且 ， ，则椭圆 离心率的取值范围是________.
【变式2】．（25-26高二上·河南许昌·期末）已知点 为双曲线 的右顶点，点 的坐标为 ，若 上存在一点 （不与点 重合），使得 ，则 的离心率的取值范围为__________.
题型十：渐近线问题
【典例10】．（2026·四川资阳·三模）已知双曲线 的一条渐近线 被圆 所截得
的弦长等于 ，则 ______．
【变式1】．（2026·河北张家口·二模）双曲线 的左焦点为 ，右顶点为 ，渐近线分别为
，点 在第一象限内且在 上，若 ，则该双曲线的离心率为__________.
【变式2】．（2026·河北保定·一模）已知双曲线 左、右焦点分别为 ，点 是 上一点且位
于第二象限， 的面积为 ，过原点O 且平行于 的直线 与 和 的平分线分别交于点 ，
且 则双曲线 的渐近线方程为________.
题型十一：抛物线问题
【典例11】．（2026·上海·二模）已知焦点为F的抛物线 上有两点A和B，且 ，E为A和B
的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则 的最小值为________．【变式1】．（2026·山东威海·二模）已知抛物线 的顶点为原点， 为 的准线 上一点， 为 的焦点，
线段 交 于点 ，若 ，则 ________．
【变式2】．（2026·山西朔州·二模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，点 在 上且位于第一象限，
为坐标原点，设 的平分线交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 ________.
题型十二：圆锥曲线弦长问题
【典例12】．（2026·云南·模拟预测）已知点 在抛物线 上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设直线 与抛物线C相交于M，N两点，
（ⅰ）若 ，求实数k的值；
（ⅱ）O为坐标原点，求 外接圆圆心的轨迹方程．
【变式1】．（2026·上海黄浦·二模）已知点 、 分别是曲线 的左、右焦点，动直线 过点 且不
过点 ，它与 交于点 、 ．(1)求点 、 的坐标；
(2)若 ，求直线 的方程；
(3)设直线 过点 且与 垂直，直线 与 的交点为 ，求证：存在唯一的常数 ，使得点 与 的中心的
连线平分线段 ，并求此时 的最大值．
【变式2】．（2026·北京海淀·二模）椭圆 的下顶点为 ，左焦点到 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)经过点 的直线与椭圆的另一个交点为 （位于 轴上方），与 轴的交点为 ．点 关于 轴的对称点为 ．
过点 作与 轴平行的直线交直线 于点 ．设 与 的面积分别为 与 ，若
，求直线 的斜率．
题型十三：圆锥曲线面积问题
【典例13】．（2026·上海杨浦·二模）已知A、F分别是双曲线 ： （常数 ）的右顶点和右焦点，
记 过一、三象限的渐近线为 .(1)求双曲线 的离心率和渐近线 的方程；
(2)设 ， 是 上一点，若线段 的中点 在双曲线 上，求点Q的坐标；
(3)设 ，过A作两条相互垂直的直线与双曲线 交于M、N两点（M在第一象限），若直线 、 分别与
交于C、D两点，且 与 的面积之比为2，求直线 的方程.
【变式1】．（2026·安徽淮南·二模）已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)记点 为椭圆 的左顶点，点 为椭圆 的下顶点，动点 是第一象限内椭圆 上的一点，直线 与 轴交
于点 ，直线 与 轴交于点 .证明：四边形 的面积为定值.
【变式2】．（2026·湖南湘潭·二模）椭圆 （ ）的离心率为 ，其左焦点 到点 的距
离是 .
(1)求椭圆E的方程；
(2)若直线 被圆 截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，求 面积S的最大值.
题型十四：圆锥曲线中点弦问题
【典例14】．（2026·湖南长沙·一模）已知双曲线 过点 ，且焦距为(1)求双曲线 的方程；
(2)过定点 的直线 与双曲线 交于 两点，若 ，求直线 的方程.
【变式1】．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求 的标准方程；
(2)若过点 的直线 与 交于 、 两点，求线段 的中点 的轨迹方程.
【变式2】．（25-26高三下·重庆·月考）已知椭圆 的离心率 ，且过点 ，圆M
的圆心为 ，半径为 ，O为坐标原点．
(1)求椭圆C和圆M的标准方程；
(2)设斜率为 的直线l与椭圆C交于P，Q两点，N为线段PQ的中点，点N在圆M上，且满足 ，
求直线l的斜率．
题型十五：圆锥曲线范围问题
【典例15】．（2026·上海·二模）设椭圆 的左顶点为A．
(1)求 的离心率；
(2)设 的左焦点为F，上顶点为B，若点P在 上且位于y轴右侧． ，求点P的横坐标；
(3)设直线 ，l与 交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围．
【变式1】．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆 的离心率 ，以椭圆C的四个顶
点为顶点的四边形面积为4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设A为椭圆C的上顶点，P为椭圆上任意一点，求 的最大值及此时点P的坐标.【变式2】．（2026·北京昌平·二模）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，上顶点为 ，直
线 与 的斜率的乘积为 .
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)过点 的直线 交椭圆 于 两点，求 的取值范围.
题型十六：圆锥曲线的定点、定值问题
【典例16】．（25-26高二下·重庆·期中）已知平面内动点 到点 的距离与到直线 的距离相等．记动
点 的轨迹为 ，过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点．
(1)求轨迹 的方程；
(2)设点 关于 轴对称的点为 ，证明：直线 恒过定点．
【变式1】．（2026·湖南永州·三模）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 、动点 满足
， ，记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程：
(2)已知点 ， ，过点 作斜率为 的直线 交 于 ， 两点，设直线 ， 的斜率分别为 ， ，
若 ， ， 成等差数列，求 ．
【变式2】．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知 分别是双曲线 ： 的左、右顶点，点是双曲线 上的一点，且 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知过点 的直线 ： ，交双曲线 的左、右两支于 两点（异于 ）.
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）设直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上．
题型十七：圆锥曲线与向量压轴问题
【典例17】．（2026·福建南平·二模）已知椭圆 的焦点为 ， ，离心率为 .平行于 轴的直线 与
椭圆 交于A，B两点，且与直线 交于 点，直线 与 轴交于 点.
(1)求 面积的最大值；
(2)求 的值.
【变式1】．（2026·福建宁德·二模）已知椭圆 的离心率为 ，直线 交 于
两点.当 时， .
(1)求 的方程；
(2)过 作直线 的垂线，垂足为 ，点 ，证明： 三点共线.
x2 y2 3
 1
【变式2】．（2026·北京朝阳·一模）已知椭圆E：a2 b2 （ab0）的离心率为 2 ，A，B分别为椭圆E
B(0,1)
的上、下顶点，且 .
(1)求椭圆E的方程；
D(1,1) l E M N A P M
(2)过点 的斜率存在且不为1的直线 与椭圆 交于不同的两点 ， （均不与点 重合），点 与点O BP OD Q NQ A
关于原点 对称，直线 与直线 交于点 .求证：直线 经过点 .
x2 y2
2
【变式3】．（25-26高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆E：a2

b2
1ab0
的离心率为 2 ，椭圆E上的点
2 6
到两焦点的距离之和为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点 Mm,0 ， Nn,0 mn ，过点M 的直线l与椭圆E交于不同的两点 A,B ，点A关于x轴的对称点记为P
（P与B不重合）．若mn6，试判断三点P,B,N 是否共线？并说明理由．
【高考达标】
一、单选题
x2 y2
C:  1(a0,b0)
1．（2026·河北沧州·三模）已知双曲线 a2 b2 的焦距为4，右焦点 F 2到渐近线的距离等于1，
则其离心率为（ ）
2 3 5 4 15 17
A． 3 B． 2 C． 15 D． 4
x2 y2 2 5
 1a0,b0 
2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）双曲线E：a2 b2 的右焦点为F ，过点F 且斜率为 5 的直
线与y轴交于点A，线段AF 与E交于点B，若B为AF 的中点，则E的离心率为（ ）
2 5 4
A． 5 B．5 C． 5 D．5
VABC  A  D    D  B   A  E  2  E  C  O BE CD OB 2OD
3．（2026·山东济南·三模）在 中， ， ， 为 与 的交点，且 ．若
AB 6
，则
VABC
面积的最大值为（ ）A．6 B．12 C．18 D．24
x2 y2
C:  1(a0,b0)
4．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线 a2 b2 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 1的直线l
NF
1 3
与C的左支交于
M
，N 两点．若MF
1
MF
2
， MF
1
，则C的离心率为（ ）
5 10
A． 2 B． 2 C． 2 D． 3
C: y2 8x M :x2 (y8)2 1 l :x2
5．（2026·四川绵阳·模拟预测）抛物线 ，点A在C上，圆 ，直线 2 ，点A到
d l d d d
圆M上的点距离为 1，A到 2的距离为 2，则 1 2的最小值为（ ）
2 171 2 171 2 17
A．16 B． C． D．
x2 y2
 1ab0
6．（2026·河南开封·模拟预测）已知椭圆C：a2 b2 的左、右焦点分别为 F 1， F 2，点P在C上，设
I 为  PF 1 F 2的内切圆圆心，若  PF 1 F 2的面积为 3b2 ，且 PI a ，则C的离心率为（ ）
1 3 3
1
A．3 B．2 C． 3 D． 2
7．（2026·浙江·三模）如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共
1  1 1 
  
轭双曲线，已知C ， C 互为共轭双曲线，且C ， C 的离心率分别为e ，e ，则e e e  的最大值是（ ）
1 2 1 2 1 2 1 1 2
1+ 2 3
A．1 B． 2 C． 2 D．2
二、多选题
C :x2y22 4 C :xayy3 0
8．（2026·江西宜春·模拟预测）已知圆 1 与曲线 2 ，则（ ）C C
A． 1， 2恒有公共点
a0,1 C C
B．当 时， 1， 2恰有2个公共点
3
C．当a
2
时，C ，
C
在y0,时的公共点有3个
1 2
a3 xt C xt C
D．当 时，直线 与 2有3个公共点的充要条件是直线 与圆 1相交
x2 x2
C : y2 1 C : y2 1
9．（2026·辽宁锦州·二模）椭圆 1 m 和双曲线 2 m 的离心率分别为 e 1， e 2，若m1，P为双
C C C x A A
曲线 2的渐近线与椭圆 1在第一象限的交点，椭圆 1与 轴交于 1， 2两点，则（）
1 1
 1
A．C 与C 有且只有两个公共点 B．e2 e2
1 2 1 2
15 3
 
ee  e  PA PA  AA
C．若 1 2 4 ，则 1 2 D．使 1 2 1 2 成立的m值不存在
10．（2026·山东聊城·模拟预测）已知点P是圆 C:x12y32 9 上的动点，点 Q3,4 ， O 为坐标原点，则下
列结论正确的有（ ）
Q C
A．过点 的直线被圆 截得的最短弦长为4
OP
B． 的最大值为7
 
103 10 OCOP103 10
C．
 
t,OCtOQ
D．对任意实数 的最小值为2
Γ:y2 4x F l F Γ A,B A B l
11．（2026·福建宁德·二模）设抛物线 的焦点为 ，准线为 .过 的直线交 于 两点，过 ， 作
A,B
的垂线，垂足分别为 1 1，则（ ）
AF  AA
A． 1
AB
B． 的最小值为21
C．若 M 为A 1 B 1 的中点，则 MF  2 A 1 B 1
3,0
Γ
D．点 到 上点的距离的最小值为3
三、填空题
C: y2 8x F P C
12．（2026·江西宜春·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，若点 为 在第一象限内的一点，且
PF 6
PF
，则直线 的斜率为________．
xOy O Q O l
A1,2
13．（2026·贵州安顺·模拟预测）在平面直角坐标系 中，过单位圆 上一点 作圆 的切线 ，定点 ，
若线段 QA 的垂直平分线与直线 l 交于点P，则 PA 的最小值为________.
y2 x2
14．（2026·上海黄浦·二模）已知曲线  1 :y2 2pxp0 与曲线  2 : a2  b2 1y0 交于两点P，Q，点F是  1
PF  QF 10OF 
的焦点，点O是坐标原点．若 ，则 2的离心率为______．
xOy
A2，0，B2，0，C0，2，D0，2
15．（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点 ，双曲线
y2 x2
与焦点为 的双曲线E：  1相交于点 （点 位于第一象限），连接 ， ， ，
E 1 ：2x2y2 1 C，D 2 a2 b2 P P PA PB PC
PD ．若 △APB△DPC ，则双曲线 E 2的离心率为___________．
四、解答题
y2 2px p F x l
16．（2026·辽宁沈阳·三模）过抛物线 （ 为不等于2的质数）的焦点 ，作与 轴不垂直的直线 交抛
M N P x Q
物线于 、 两点，线段MN的垂直平分线交MN于 点，交 轴于 点.
MN
l
(1)若直线 的斜率为1，求 ；
(2)求PQ中点R的轨迹L的方程；
(3)证明：L上有无穷多个整点（横、纵坐标均为整数的点），但L上任意整点到原点的距离均不是整数.x2 y2
C:  1ab0
17．（2026·江西宜春·模拟预测）已知点 A 1，A 2 分别是椭圆 a2 b2 的左、右顶点， A 1 A 2 4 且C
1
的离心率为2．
(1)求C的方程；
(2)若点P是 C 上与 A 1， A 2不重合的点，直线 A 1 P ， A 2 P 与直线 x4 分别交于点 G ，H ，求 GH 的最小值；
1
(3)若不过点 A 1且斜率为2的直线与C交于M ，N 两点，证明： A 1 MN 的外心恒在定直线上．
x2 y2
18．（2026·河北沧州·三模）已知椭圆:
a2

b2
1(ab0)的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，椭圆的上顶点为A，右
3 2 3
顶点为B，离心率为 2 ， F
1
AB的面积为 2 ．
(1)求椭圆的方程．
P2,1

(2)过点 的直线l交椭圆 于C，D两点．
1
（ⅰ）若△APC的面积等于

ACD的面积的
4
，求直线l的方程．
（ⅱ）过点D作x轴的垂线，交直线BC于点E，若M为DE的中点，则M，A，B三点是否共线？若共线，请证
明你的结论；若不共线，请说明理由．
x2 y2 2
C:  1ab0
19．（2026·山东威海·二模）已知椭圆 a2 b2 的离心率为 2 ，C的右顶点与上顶点之间的距离
为6.
(1)求C的方程；A2,1
C P,Q M,N PQ MN G,H
(2)过点 作两条互相垂直的直线分别交 于点 和 ，且线段 和 的中点分别为 ．
5
（i）若直线PQ的斜率大于1，且  AGH 的面积为 9 ，求直线GH 的方程；
DE
ADGH D E
（ii）若 ， 为垂足，证明：存在定点 ，使得 为定值．
x2 y2
20．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知椭圆C:  1(ab0)的左、右焦点分别为 ， ， ， 为
a2 b2 F 1 F 2 F 1 F 2 4 M
MF  MF 4 2
C 上的动点，且 1 2 ．
(1)求C的方程；
(2)若M 在第一象限，直线l与C只有一个公共点M ，N 是x轴上一点，且MN l．
MF MF MN
（ⅰ）证明：直线 1， 2关于直线 对称；
（ⅱ）过原点 O 作 l 的垂线，垂足为 A ， OA 与 MF 1相交于点 B ，求  ABF 1面积的取值范围．